Objetivo

Encontrar las asíntotas verticales de la función $f(x)=\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}$, con $P(x)$ y $Q(x)$ lineales o cuadráticas.

Procedimiento

Para encontrar las asíntotas verticales de la función $f(x)=\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}$, con $P(x)$ y $Q(x)$ lineales o cuadráticas, basta con encontrar los valores de $x$ que hacen cero el denominador $Q(x)$. Para esto se siguen los siguientes pasos:

1. Igualar a cero el denominador de $f(x)$ para obtener la ecuación $Q(x)=0$.
2. Despejar $x$ de la ecuación.

Las asíntotas verticales serán de la forma $x=x_{0}$, donde $x_{0}$ es solución de la ecuación.

Solución

Las asíntotas verticales de $f$ serán las rectas de la forma $x=x_{0}$, donde $x_{0}$ es solución de la ecuación $Q(x)=0$. Hay que destacar lo siguiente:

1. En caso de que la ecuación $Q(x)=0$ no tenga soluciones reales, la gráfica de $f$ no tendrá asíntotas verticales.
2. En caso de que $x_{0}$ también haga cero el numerador $P(x)$, entonces significará que $x-x_{0}$ es un factor común de $P(x)$ y $Q(x)$. Esto es, la función $f$ se puede reducir a la forma $\displaystyle \frac{P'(x)}{Q'(x)}$ donde $P'(x)=\displaystyle \frac{P(x)}{x-x_{0}}$ y $Q'(x)=\displaystyle \frac{Q(x)}{x-x_{0}}$. Para decidir si $x = x_{0}$ es asíntota de $f$, hay que decidir si es asíntota de la función reducida.

Utiliza el recuadro interactivo para observar varios ejemplos de cómo encontrar las asíntotas verticales.

Ejercicios

Encuentra las asíntotas verticales de la función dada. Verifica tu respuesta y resuelve más ejercicios.