Objetivo

Identificar la equivalencia de las expresiones $y=a^{x}$ y $log_{a}(y)=x$.

Procedimiento

Los logaritmos se pueden definir por su útil propiedad de convertir las multiplicaciones en simples adiciones. De esta utilidad podemos deducir la siguiente ecuación de funciones:

$$f(xy)=f(x)+f(y)$$

donde $f$ es la función que buscamos definir.

De esta ecuación de funciones podemos deducir que:

$$f(x^{2})=f(x x)=f(x)+f(x)=2f(x)$$

Análogamente podemos deducir que:

$$\begin{aligned} f(x^{p}) &= f(x·x·x ... x·x)\\ &= f(x)+f(x)+f(x)...f(x)+f(x)=pf(x)\\ &= pf(x) \end{aligned}$$

es decir, que $f(x^{p})=pf(x)$.

Nota del revisor:

En análisis matemático se acostumbra a trabajar con logaritmos $naturales$, tambien llamados $neperianos$, y consiste en tomar como base al número $e$. En este caso se escribe así $log_e (y) = ln (y)$.

Podemos identificar la siguiente equivalencia $$ln(y)=x \iff y=e^x$$En la siguiente escena se ejemplifica las propiedades de los logaritmos para justificar que $A \cdot B = e^{lnA+lnB}$ puesto que $ln(A \cdot B)=(lnA+lnB)lne=lnA+lnB$

Si supieramos que $f(a)=1$ entonces tendríamos que $f(a^{p})=pf(a)=p·1=p$. Este hecho nos permite ver que la función que estamos buscando es justamente la función inversa de la función exponencial con base $a$, ya que $f(a^{p})=p$. Por lo tanto, $f(x)$ debe ser la función logarítmo base $a$.

Resumiendo, el logaritmo en base $a$ de un número $x$, es el exponente ($y$) al que hay que elevar la base a para que nos dé dicho número ($x$), tal como se muestra a continuación:

$log_{a}x=y$ entonces $x=a^{y}$

Esto quiere decir que el logaritmo es la función inversa de la función exponencial.

Ejemplos

1. ¿Cuánto vale $log_{3}81$?
   Si $3^{x}=81$, entonces $x=4$, ya que $3^{4}=3×3×3×3=9\times 9=81$. Por lo tanto $log_{3}81=4$.
   Una de las utilidades fundamentales del logaritmo es transformar multiplicaciones complicadas en simples sumas. Mediante tablas, antes de la invención de las calculadoras, se obtenían los valores de los logaritmos para realizar más fácilmente las multiplicaciones. Estos cálculos, por los errores de redondeo propios de las tablas de logaritmos, tenían un pequeño margen de error, como se muestra en el siguiente ejemplo.

2. ¿Cuánto vale aproximadamente $1,345×2,456$?
   $ln(1,345)=7.204$ y $ln(2,456)=7.806$ entonces $ln(1,345×2,456)=ln(1.345)+ln(2.456)=7.204+7.806=15.010$ de lo que obtenemos que $1,345×2,456=e^{15.010}=3,301,871.54$ lo cual es un valor muy cercano del real, el cual es $3,303,320$.

   Nota del revisor:
   
   Con una calculadora de bolsillo podemos obtener logaritmos con al menos 9 decimales y en la escena anterior se calcula con 10 decimales con lo cual queda reducido o eliminado, aparentemente, el error al dar los resultados redondeados, como se observa en la siguiente imagen:

   

Ejercicios