Objetivo

Obtener el límite de convergencia de una sucesión simple.

Conceptos básicos

Una sucesión es una función que asocia a cada entero positivo un número real.

Una sucesión se puede expresar de varias maneras:

1. Describiendo en palabras cómo obtener cada uno de sus términos.
2. $\{a_{n}\}$, es decir, escribiendo entre llaves la expresión de su término general.
3. $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, $...$, es decir, escribiendo los primeros términos hasta que sea evidente para el lector cuál es la regla para obtener los siguientes.

A toda sucesión se le puede asignar una gráfica, dibujando en el plano cartesiano los puntos de coordenadas $(n,a_{n})$.

Ejemplos de sucesiones

El siguiente recuadro muestra ejemplos de sucesiones con sus definiciones y sus gráficas. Se puede mover el espacio arrastrándolo a la izquierda y a la derecha, también se puede cambiar la escala con el pulsador que está en la parte inferior derecha.

Se dice que una sucesión de números reales $\{a_{n}\}$ converge a $L$ si para cualquier número positivo $ε$, los términos $a_{n}$ de la sucesión distan de $L$ menos que $ε$, para $n$ suficientemente grande. La sucesión: $2.1$, $2.01$, $2.001$, $2.0001$, $...$ converge a $2$ y la sucesión $\{\frac{1}{n}\}$ converge a cero. Éstos son dos ejemplos de sucesiones que convergen. La sucesión $1$, $-1$, $1$, $-1$, $1$, $...$ no converge. Tampoco converge la sucesión $\{3^{n}\}$. Éstos últimos son dos ejemplos de sucesiones que no convergen.

Cuando una sucesión $\{a_{n}\}$ converge a un número $L$, se dice que $L$ es el límite de $\{a_{n}\}$ y se escribe:

$$\lim_{∞ \to n}{a_{n}}=L$$

Ejemplos de convergencia

Algunas de las sucesiones que se muestran en el recuadro siguiente convergen y otras no. Estudia cada caso y lee la explicación. Observa que la sucesión converge cuando para cualquier franja de ancho arbitrario $ε > 0$, la cola de la sucesión queda dentro de ella. En otras palabras, $|a_{n}-L| < ε$ para números enteros $n$ suficientemente grandes.

Ejercicios

Apoyándote en la gráfica, responde en cada caso si la sucesión converge y, en ese caso, encuentra el límite $L$. Si no converge, responde si la sucesión tiende $a +∞$, $a -∞$ o a ningún número.