Operaciones con funciones y sus derivadas
Derivadas de potencias de funciones

Objetivos

Conceptos previos

La composición de funciones es una operación que consiste en aplicar una función y, al resultado obtenido, aplicarle la segunda función.

Así, la composición de $g$ con $h$, denotada con $h ∘g$, que se lee: $g$ compuesta con $h$; o bien $g$ seguida de $h$, es una función definida en los valores de $x$ en el dominio de $g$ para los cuales $g(x)$ esté en el dominio de $h$.

$$x → u=g(x) → h(u)=h(g(x))$$

Procedimiento

Para encontrar la derivada de una función de la forma $f(x)=(4x^{2}-5x)^{2}$ podemos desarrollar el cuadrado $f(x)=16x^{4}-40x^{3}+25x^{2}$ y después derivar el polinomio $f'(x)=64x^{3}-120x^{2}+50x$

Veamos ahora otra manera de resolver este problema, que consiste en pensar a la función $f$ como la composición de dos funciones. $u=g(x)=4x^{2}-5x$ y $h(u)=u^{2}$ entonces $f=h(u)$ en efecto $f=h(u)=u^{2}=(4x^{2}-5x)^{2}$

Para calcular la derivada de una composición de funciones, se utiliza la regla de la cadena:

$$\tag{1} (h \circ g)'(x)=h'(g(x))g'(x)$$

o, con la notación de Leibniz, llamando $u=g(x)$ y $y=h(u)$

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$$

Regresando al ejemplo inicial, calculando por separado las derivadas de $h$ y $g$

$$\begin{aligned} h' &= 2u \\ g' &= 8x-5 \end{aligned}$$

las multiplicamos

$$(2u)(8x-5)$$

y sustituimos $u$ por $4x^{2}-5x$

$$2(4x^{2}-5x)(8x-5)$$

lo cual coincide con la derivada de $f$, como podemos comprobar haciendo las multiplicaciones indicadas

$$2(4x^{2}-5x)(8x-5)=64x^{3}-120x^{2}+50x$$

La fórmula (1) toma una forma muy sencilla cuando la segunda función que se aplica es una potenciación $h(u)=u^{n}$, ya que $h'(u)=nu^{n-1}$

$$\tag{2} (g^{n})'(x)=n(g^{n-1}(x))g'(x)$$

o bien, con la notación de Leibniz, llamando $u=g(x)$

$$\tag{3} \frac{du^{n}}{dx}=nu^{n-1}\frac{du}{dx}$$

Las fórmulas (2) y (3) son ciertas para cualquier número real $n$, aunque en esta lección nos limitaremos a valores de $n$ racionales.

Ejemplos

Ejercicios


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Actualización: Ángel Cabezudo Bueno


Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.

Autor: Carlos Hernández Garciadiego

Edición académica: Carlos Hernández Garciadiego y José Luis Abreu León

Edición técnica: Octavio Fonseca Ramos


Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.

Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán

Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi


Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.

Adaptación: Juan José Rivaud Gallardo

Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi

Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán


Actualización tecnológica y de estilo, 2019.

Actualización: Joel Espinosa Longi


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