La integral como función primitiva o antiderivada
Primitivas o antiderivadas de funciones algebraicas

Objetivo

Conceptos básicos

La función primitiva o antiderivada de una función $f(x)$ es una función tal que al ser derivada nos generará la misma $f(x)$. Así pues, $F(x)$ será una antiderivada de $f(x)$ si $F'(x)=f(x)$. En notación de integral, $F'(x)=f(x)$ se puede expresar como $\int{f(x)dx}=F(x)$.

Por otra parte, recordemos que una función algebraica es aquella que puede expresarse mediante un número finito de términos usando las operaciones básicas de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación. Un ejemplo de una función algebraica es $f(x)=3x^{3}-2x^{2}+4x-2$.

Procedimiento

Observa las funciones: $f(x)=ax^{n}$ y $g(x)=\frac{a}{n+1}x^{n+1}$. ¿Qué obtenemos de derivar $g(x)$? Al resolver la derivada, tenemos que $\frac{d}{dx}g(x)=(n+1)\frac{a}{n+1}x^{(n+1)-1}=ax^{n}=f(x)$. Efectivamente, al derivar $g(x)$ se obtiene $f(x)$. De tal forma que $g(x)$ satisface la definición dada en los conceptos básicos y, por lo tanto, es una antiderivada de $f(x)$.

En la parte de ejemplos se desarrollará el proceso que se tiene que seguir para que, a partir de $f(x)$, se pueda obtener su antiderivada $g(x)$.

Cabe notar que al proceso seguido para encontrar la primitiva de una función se le conoce como integración indefinida. Es por la relación expuesta anteriormente que a la integración se le considera el inverso de la derivación.

La integral comparte, al ser inversa de la derivada, muchas propiedades con ésta, como por ejemplo:

  1. La integral de una suma de funciones es la suma de las integrales de cada una de ellas. Por ejemplo, $$\int{(8x^{2}-3x^{3})dx}=\int{8x^{2}dx}-\int{3x^{3}dx}$$
  2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función. Por ejemplo, $$\int{8x^{2}dx}=8\int{x^{2}dx}$$

Cabe hacer una observación importante. Una vez que se cuenta con una antiderivada o primitiva de una función original, a ésta se le puede sumar cualquier constante. Al derivar cualquier antiderivada más cualquier constante elegida, la derivada será siempre igual, esto es, la función original. Por ello, es importante notar que hay todo un conjunto de funciones que difieren entre sí por la constante, pero que todas son antiderivadas de la función original. A este conjunto se le conoce como integral indefinida. En los presentes ejemplos y ejercicios consideraremos dicha constante siempre cero.

Ejemplos

A continuación, se muestran ejemplos del proceso que se tiene que seguir para obtener, a partir de $f(x)$, su antiderivada $F(x)$, pon atención a cada paso. Presiona el botón Generar ejemplo para observar nuevos ejemplos.

Observa que en ninguno de los ejemplos donde aparecen sólo sumas de potencias en $x$ se aborda el caso en que el exponente es $-1$. Si sigues las reglas arriba expuestas para obtener la integral, en dicho caso se tendría una indeterminación. Para $F(x)=ln(ax)$, dado que $\frac{d}{dx}F(x)=\frac{d}{dx}ln(ax)=\frac{1}{ax}a=\frac{1}{x}=f(x)$, donde $a$ es una constante, al integrar $f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}$ se debe obtener la antiderivada de $f(x)$, que es $F(x)$. Es decir, $\int{\frac{1}{x}dx}=ln(x)$. Como se mencionó antes, aunque aquí en los resultados de las antiderivadas no se exprese explícitamente, siempre puede haber una constante sumada a la antiderivada. Ella no se expresa de forma explícita pues se trata de la constante de integración, tema que se abordará después.

Ejercicios

Da clic en el botón Generar ejercicio y responde los siguientes ejercicios usando hasta dos decimales de precisión de ser necesario.


Esta unidad ha sido revisada, adaptada y corregida en octubre de 2022 para ser publicada en la Web de RED Descartes dentro del subproyecto denominado Prometeo, manteniendo el mismo nombre que le dieron en la versión original, cuyos créditos se reflejan después de este apartado.

Actualización: Ángel Cabezudo Bueno


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Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi

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