Existencia del plano tangente

¿Que propiedades han de verificarse para que exista el plano tangente? Tratemos de relacionar la continuidad, la derivabilidad y la existencia del plano tangente o diferenciabilidad

Continuidad

Si una función es discontinua en el punto de "tangencia" entonces no existe el plano tangente.
Podemos observalo si consideramos la función

Función discontinua     Ejemplo 1 en la escena

que es discontinua en (0,0), o bien ésta otra:

función discontinua y no derivable

discontinua en todos los puntos de la recta x=0. Y una tercera discontinua en los puntos de los ejes coordenados x=0 e y=0:

discontinua en los ejes de coordenadas   Ejemplo 2 en la escena

Derivabilidad

En el primer ejemplo

Función discontinua

podemos ver como existen las derivadas parciales en (0,0) y ambas vale cero. Por tanto comprobamos como la derivabilidad no implica continuidad. Esto contrasta con lo observado en funciones de una variable donde la existencia de la derivada implica la continuidad, pero no se contradice con lo actual, porque en una variable derivabilidad y diferenciabilidad son conceptos equivalentes, mientras que para dos o más variables la diferenciabilidad es un concepto más restrictivo que la derivabilidad como iremos viendo.

Pero la continuidad no implica la derivabilidad. Por ejemplo podemos considerar:

  1. z(x,y)=|x| que es continua en cualquier punto e igualmente ocurre con la derivada parcial con respecto a y, pero para los puntos (0,y) no existe la derivada parcial respecto a  x.  Ejemplo 3 en la escena
  2. De manera análoga ocurre con z(x,y)=|y| para la que no existe la derivada parcial respecto a y en los puntos (x,0). Ejemplo 4 en la escena
  3. Y en z(x,y)=|x|+|y| que es continua en todo punto, en (0,0) no existe ni la derivada parcial respecto a x, ni respecto a y; en los puntos (0,y) no existe la derivada parcial respecto a  y no existe la derivada parcial respecto a y en los puntos (x,0). Ejemplo 5 en la escena
Nota: Téngase en cuenta que la precisión de la gráfica puede incidir en la realidad de la gráfica obtenida. El análisis infinitesimal siempre será necesario para poder afirmar una propiedad característica de una función.

Cuestión a analizar

Podemos razonar que lo observado no es más que la constatación de que  estamos pretendiendo ver lo que acontece con la función f(x,y) sin más que mirar en dos direcciones espaciales, las correspondientes a los vectores de dirección (1,0) en el caso de la derivada parcial respecto a x y (0,1) para la derivada parcial respecto a y, cuando hay infinitas direcciones que observar.¡Es lógico lo que estamos observando! Por tanto, el planteamiento siguiente puede ser: ¡miremos en todas las direcciones! y planteemos lo que puede ser la derivada en la dirección dada por un vector (u,v).