El plano tangente

Dada una función f(x,y) diremos que el plano t(x,y)=f(a,b)+A(x-a)+B(y-b) es el plano tangente a f(x,y) en  (x,y)=(a,b) si  es el plano que mejor aproxima a f(x,y) en (a,b, f(a,b)), es decir, en un entorno de (a,b), |t(x,y)-f(x,y)| < |s(x,y)-f(x,y)| para cualquier función afín s(x,y).

Por analogía con el caso de funciones unidimensionales técnicamente significaría que f(x,y)-(f(a,b)+A(x-a)+B(y-b)) es un infinitésimo de mayor orden que d((x,y),(a,b)), es decir,

definición plano tangente

En los casos que matemáticamente tenga sentido, si en la expresión anterior hacemos y=b, tendríamos que

situación en la que la y es fija

es decir,

Valor del coeficiente de x en el plano tangente

y de manera análoga haciendo  x=a obtendríamos que 

coediciente de y en la ecuación del plano tangente

Por tanto si existe el plano tangente las expresiones anteriores nos indican la forma de determinar los coeficientes A y B en la ecuación de dicho plano. Y si observamos A, según vimos en funciones de una variable, sería la derivada de la función f(x,b) en x=a y B sería la derivada de f(a,y) en  y=b. A estas derivadas las denominaremos derivadas parciales respecto a la variable x e y respectivamente y las denotamos:

derivada parcial respecto a x      derivada parcial respecto a y

y su cálculo no requiere ningún aprendizaje adicional sino que basta que en la expresión de f(x,y) procedamos a considerar la y como una constante en la derivada respecto a x y viceversa.

Diremos que una función f(x,y) es derivable en un punto cuando existen sus derivadas parciales existen en ese punto 

La ecuación del plano tangente, cuando exista, será:

ecuación del plano tangente

Una función diremos que es diferenciable en un punto si existe el plano tangente en ese punto.

En la escena se muestran tres espacios y numerosos controles con los que podrá obtener y ver diferentes situaciones.

derivadas parciales


En el de la izquierda se representa en negro la gráfica de f(x,y), en magenta la función afín s(x,y)=f(a,b)+A(x-a)+B(y-b) que puede variar con los controles etiquetados como A y B, siendo el punto P el de coordenadas (a,b).

Los controles que tiene a su disposición son:

  • plano secante: permite dibujar el plano secante z=f(a,b)+A(x-a)+B(y-b) y tratar de ajusta los coeficientes A y B para que ese plano se ajuste lo mejor posible a la función en P.
  • recta secante: permite dibujar la recta secante que pasa por P en la dirección del eje x o del y según el valor seleccionado en  el control "der. parcial".
  • plano tangente: muestra el plano tangente (objeto de búsqueda) en P, siempre que éste exista.
  • recta tangente: dibuja la recta tangente que pasa por P en la dirección del eje x o del y según el valor seleccionado en  el control "der. parcial".
  • plano de corte: representa el plano cartesiano que contiene al eje x, es decir, y=0, o al que contiene al eje y, es decir, x=0, según el control "der. parcial".
  • curva de corte: curva resultante de intersecar el plano seleccionado (bien y=0 o x=0) con la superficie z=f(x,y).
En la parte inferior dispone de los siguientes controles adicionales:
  • z=f(x,y) donde puede definir la función que quiere analizar.
  • ¿Dibujar superficie?: para representar o no la gráfica de la función anterior. Junto a este control tenemos dos campos de texto donde indicar el número de puntos a considerar, en la dirección del eje x e y respectivamente, para dibujar dicha superficie.
  • x e y: Cuatro campos de texto donde especificar el rectángulo donde se abordará el análisis de la función considerada.
  • P: Dos campos de texto donde especificar el punto de tangencia.

En el espacio superior derecho se representa el plano z=0. En  magenta la superficie error s(x,y)-f(x,y) del plano secante respecto a  la superficie y la correspondiente a la tangente t(x,y)-f(x,y) en el color naranja. Ambas se muestran  cuando se activan los controles "plano secante" y "plano tangente" respectivamente. Análogamente se muestra la curva de error en la dirección del eje eje x e y cuando se activan los controles recta secante y recta tangente.

En el espacio inferior derecho se representan la diferencias de f(x,y) con s(x,y) y con la tangente t(x,y) en la dirección espacial seleccionada. Este espacio le permitirá observar en detalle la mejor o peor aproximación conseguida y ajustar los coeficiente A y B del plano secante para que se aproxime al plano tangente deseado.


Ejercicios en la escena

En la escena puede indicar la función que desea analizar y el punto de posible tangencia.

1. Determinar el plano tangente.

Por defecto se propone la función f(x,y)=-x^2-y^2 y podemos abordar la búsqueda del plano tangente de la siguiente forma:

a) Por defecto tenemos activo el plano tangente y al derivada respecto a x. Observamos el espacio inferior derecho y moviendo el control A busquemos que la curva s(x,y)-f(x,y) sea lo más próxima al eje representado. Una vez conseguido tendremos evaluado el valor  de A, es decir de la derivada parcial respecto a x.

b) Seleccionemos la derivada parcial respecto a y y procedamos a ajustar el control B para que, de nuevo, s(x,y)-f(x,y) sea lo más próxima al eje representado. De esta forma habremos determinado el valor de la derivada parcial respecto a y.

c) Tenemos el plano tangente determinado y su ecuación está reflejada al lado de los controles A y B.

d) Compruebe seleccionando el plano tangente.

2. Cambie el punto de tangencia y determine de nuevo el plano tangente.

3. Considere otra función. Por ejemplo f(x,y)=x^2sen(y) y proceda a la búqueda del plano tangente en diferentes puntos.

4. Aborde el análisis de la función que desee.


Cuestión a analizar

¿Es suficiente la existencia de las derivadas parciales para que exista el plano tangente?