La
recta tangente Dada una función f(x) diremos que la recta t(x)=f(a)+m(x-a) es la recta tangente a f(x) en x=a si es la recta que mejor aproxima a f(x) en (a, f(a)), es decir, en un entorno de a, |t(x)-f(x)| < |s(x)-f(x)| para cualquier función afín s(x). En la escena se muestran tres espacios.
En el de la izquierda se representa en negro la gráfica de f(x), en magenta la función afín s(x)=f(a)+m(x-a) y puede seleccionar la recta que denominamos como tangente activando el control tipo menú etiquetado como "¿tangente?" y se representará en color naranja. En el espacio superior derecho se representa la diferencias de f(x) con s(x) y con la tangente t(x). Estas diferencias se muestran con más detalle en el espacio inferior derecho. En este espacio puede observarse como la recta que mejor aproxima a f(x) en x=a será aquella que cuya diferencia con f(x) tenga su gráfica lo más semejante a y=0 en el entorno de a, es decir, técnicamente que s(x)-f(x) es un infinitésimo de mayor orden que x-a o bien
y dado que tenemos que:
Expresión
que nos indica cómo hemos de calcular la pendiente de la denominada
recta tangente. Diremos que m es
la derivada de f en a y
lo denotaremos f'(a), siendo por tanto la ecuación
de la recta tangente y=f(a)+f'(a)(x-a). Surge, consecuentemente, la necesidad de abordar el cálculo de derivadas Nota: La expresión (A) podemos interpretarla como que nos conduce a
es decir, técnicamente lo que se está buscando es una recta de manera que el incremento de la función: f(x)-f(a) y el incremento de esa recta (f(a)+m(x-a)-f(a) sean infinitésimos equivalente en x=a. Ésta es la recta tangente.
Ejercicios en la escena
En la escena puede indicar la función que desea analizar y el punto de posible tangencia. Por ejemplo, podemos definir una función a trozos como f(x)=2*(x>=0)-1*(x<0) y estudiar la existencia de la recta tangente. Puede verificarse que ésta existe en cualquier punto salvo cuando a=0. La escena la avisará que en a=0 la función es discontinua y que consecuentemente no existe la recta tangente. No obstante contextualice que siempre será necesario abordar un análisis formal y que el análisis gráfico puede ser erróneo al emplear determinadas funciones.
Puede demostrarse que la derivabilidad de una función en un punto implica la continuidad en él, pero el recíproco no es cierto. Ello puede observase si consideramos la función valor absoluto |x|, que puede indicarla en la escena como abs(x), en x=0. La escena nos avisa de tal circunstancia, pero como le indicabamos contextualice analíticamente la existencia o no de la derivada. Gráficamente puede observarse que aunque no exista la recta tangente podemos ver como sí hay una buena aproximación, en este caso identidad, por la izquierda: e igualmente ocurre por la derecha: por lo que podremos considerar la derivabilidad por la izquierda y por la derecha.
Pruebe y analice las funciones que estime pertinente sin más que indicar su expresión análitica en el control proporcionado.
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