Derivadas direccionales Dada una función f(x,y) diremos que la derivada direccional de f en (a,b) en la dirección del vector unitario (u,v) es: ![]()
Las derivadas parciales se corresponden con las direcciones (1,0) en el caso de la derivada parcial respecto a x y (0,1) para la derivada respecto a y. Para las funciones diferenciables hay una relación entre las derivadas direccionales y las derivadas parciales:
En la escena puede observarse las rectas tangentes en cada una de las direcciones usando el control "ang. corte" que marca la dirección (cos t, sen t) siendo t ese ángulo de corte. Aunque
inicialmente se pueda interpretar que la existencia de todas las
derivadas direccionales conduce a afirmar la existencia del plano
tangente, esto es fácilmente rebatible. Basta considerar, por ejemplo,
la función
cuya gráfica es un plano horizontal a altura 1, del que se elimina la parábola y=x^2 excepto su vértice. Fácilmente se ve que existen todas las derivadas direccionales en (0,0) y son cero, y sin embargo el corte efectuado hace que la función sea discontinua en (0,0) y por tanto no existe el plano tangente, es decir, no es diferenciable la función. Este hecho nos conduciría a plantear la definición de derivadas a lo largo de curvas, pero sería reproducible la misma conclusión anterior llevándonos a la necesidad de comprobar la misma a partir de la definición inicial dada en base al cálculo del límite doble. No obstante hay una condición suficiente para garantizar la diferenciabilidad, que es la siguiente: Si f(x,y) es una función derivable en un punto y las derivadas parciales son continuas en un entorno de ese punto entonces la función es diferenciable. El
resultado anterior permite determinar rápida y cómodamente, en un
amplísimo conjunto de funciones, la existencia del plano tangente. |