Existencia del plano tangente ¿Que
propiedades han de verificarse para que exista el plano tangente?
Tratemos de relacionar la continuidad, la derivabilidad y la existencia
del plano tangente o diferenciabilidad Continuidad Si una función es discontinua en el punto de "tangencia" entonces no existe el plano tangente.
que es discontinua en (0,0), o bien ésta otra: discontinua en todos los puntos de la recta x=0. Y una tercera discontinua en los puntos de los ejes coordenados x=0 e y=0: ![]()
Derivabilidad En el primer ejemplo podemos
ver como existen
las derivadas parciales en (0,0) y ambas vale cero. Por tanto
comprobamos como la derivabilidad no implica continuidad. Esto
contrasta con lo observado en funciones de una variable donde la
existencia de la derivada implica la continuidad, pero no se contradice
con lo actual, porque en una variable derivabilidad y diferenciabilidad
son conceptos equivalentes, mientras que para dos o más variables la
diferenciabilidad es un concepto más restrictivo que la derivabilidad
como iremos viendo. Pero la continuidad no implica la derivabilidad. Por ejemplo podemos considerar:
Cuestión a analizar Podemos razonar que lo observado no es más que la constatación de que estamos pretendiendo ver lo que acontece con la función f(x,y) sin más que mirar en dos direcciones espaciales, las correspondientes a los vectores de dirección (1,0) en el caso de la derivada parcial respecto a x y (0,1) para la derivada parcial respecto a y, cuando hay infinitas direcciones que observar.¡Es lógico lo que estamos observando! Por tanto, el planteamiento siguiente puede ser: ¡miremos en todas las direcciones! y planteemos lo que puede ser la derivada en la dirección dada por un vector (u,v).
|