El plano tangente Dada una función f(x,y) diremos que el plano t(x,y)=f(a,b)+A(x-a)+B(y-b) es el plano tangente a f(x,y) en (x,y)=(a,b) si es el plano que mejor aproxima a f(x,y) en (a,b, f(a,b)), es decir, en un entorno de (a,b), |t(x,y)-f(x,y)| < |s(x,y)-f(x,y)| para cualquier función afín s(x,y). Por analogía con el caso de funciones unidimensionales técnicamente significaría que f(x,y)-(f(a,b)+A(x-a)+B(y-b)) es un infinitésimo de mayor orden que d((x,y),(a,b)), es decir,
En los casos que matemáticamente tenga sentido, si en la expresión anterior hacemos y=b, tendríamos que
es decir,
y de manera análoga haciendo x=a obtendríamos que
Por tanto si existe el plano tangente las expresiones anteriores nos indican la forma de determinar los coeficientes A y B en la ecuación de dicho plano. Y si observamos A, según vimos en funciones de una variable, sería la derivada de la función f(x,b) en x=a y B sería la derivada de f(a,y) en y=b. A estas derivadas las denominaremos derivadas parciales respecto a la variable x e y respectivamente y las denotamos:
y su cálculo no requiere ningún aprendizaje adicional sino que basta que en la expresión de f(x,y) procedamos a considerar la y como una constante en la derivada respecto a x y viceversa. La ecuación del plano tangente, cuando exista, será:
Una función diremos que es diferenciable en un punto si existe el plano tangente en ese punto. En la escena se muestran tres espacios y numerosos controles con los que podrá obtener y ver diferentes situaciones.
En el de la izquierda se representa en negro la gráfica de f(x,y), en magenta la función afín s(x,y)=f(a,b)+A(x-a)+B(y-b) que puede variar con los controles etiquetados como A y B, siendo el punto P el de coordenadas (a,b). Los controles que tiene a su disposición son:
En el espacio superior derecho se representa el plano z=0. En magenta
la superficie error s(x,y)-f(x,y) del plano secante respecto a la superficie y la correspondiente a la tangente t(x,y)-f(x,y) en el color naranja. Ambas
se muestran cuando se activan los controles "plano secante" y
"plano tangente" respectivamente. Análogamente se muestra la curva de
error en la dirección del eje eje x e y cuando se activan los controles recta secante y recta tangente. En el espacio inferior derecho se representan la diferencias de f(x,y) con s(x,y) y con la tangente t(x,y) en la dirección espacial seleccionada. Este espacio le permitirá observar en detalle la mejor o peor aproximación conseguida y ajustar los coeficiente A y B del plano secante para que se aproxime al plano tangente deseado. Ejercicios en la escena
En la escena puede indicar la función que desea analizar y el punto de posible tangencia. 1. Determinar el plano tangente. Por defecto se propone la función f(x,y)=-x^2-y^2 y podemos abordar la búsqueda del plano tangente de la siguiente forma: a) Por defecto tenemos activo el plano tangente y al derivada respecto a x. Observamos el espacio inferior derecho y moviendo el control A busquemos que la curva s(x,y)-f(x,y) sea lo más próxima al eje representado. Una vez conseguido tendremos evaluado el valor de A, es decir de la derivada parcial respecto a x. b) Seleccionemos la derivada parcial respecto a y y procedamos a ajustar el control B para que, de nuevo, s(x,y)-f(x,y) sea lo más próxima al eje representado. De esta forma habremos determinado el valor de la derivada parcial respecto a y. c) Tenemos el plano tangente determinado y su ecuación está reflejada al lado de los controles A y B. d) Compruebe seleccionando el plano tangente. 2. Cambie el punto de tangencia y determine de nuevo el plano tangente. 3. Considere otra función. Por ejemplo f(x,y)=x^2sen(y) y proceda a la búqueda del plano tangente en diferentes puntos. 4. Aborde el análisis de la función que desee.
Cuestión a analizar ¿Es suficiente la existencia de las derivadas parciales para que exista el plano tangente? |