Un segmento en el disco de Poincaré es el arco de geodésica que une dos puntos y aporta la distancia mínima entre ellos.

La distancia entre dos puntos puede calcularse usando la métrica euclídea a partir de las coordenadas de esos puntos y de los puntos de intersección de la geodésica con la frontera del disco de Poincaré.

Distancia entre dos puntos

 

Sobre la imagen siguiente, que es otra teselación de Escher titulada "Círculo límite I", se han representado dos segmentos que tienen igual longitud. ¡Puede sorprender! pero todos los pájaros representados en la dirección de los diámetros tienen ¡igual longitud! La sorpresa sólo surge si miramos con ojos euclídeos.

Dos segmentos iguales

En la siguiente imagen podemos ver otros dos segmentos (en geódesicas que no son diámetros) que también tienen igual longitud.