Un segmento en el disco de Poincaré es el arco de geodésica que une dos puntos y aporta la distancia mínima entre ellos.

Tres puntos en el disco de Poincaré determinan tres segmentos esféricos. A la región del disco comprendida entre ellos se le denomina triángulo.

triángulo en el disco de Poincaré

Las geodésicas en el disco de Poincaré son arcos de circunferencia (o segmentos rectilíneos), es decir, son funciones diferenciables en todos sus puntos y por tanto está definida la recta tangente en ellos. Así pues, la medida de un ángulo en el disco de Poincaré puede realizarse midiendo el ángulo plano determinado por las rectas tangentes.

ángulo en el disco de Poincaré

En la zona derecha se representa la suma de los tres ángulos correspondientes al triángulo ubicado en el disco de Poincaré. Puede observarse que la suma de los ángulos es siempre menor que 180º (180º en el caso que el triángulo sea degenerado, es decir, que sus tres vértices estén en una misma geodésica).

 

¿Cómo es que la suma de los ángulos de un triángulo es inferior a 180º?

suma de los ángulos de un triángulo en el disco de Poincaré