En un método iterativo 
a) Diremos que un punto fijo es atractivo o estable si existe un entorno de él
en el que la sucesión es convergente para cualquier valor .
b) Diremos que un punto fijo es repulsivo o inestable si existe un entorno de él
en el que la sucesión es divergente para cualquier valor .
El comportamiento que presenta la sucesión obtenida con un método iterativo de punto fijo es dependiente de la función que lo define y del punto inicial considerado. Se cuenta con una
Condición suficiente de estabilidad (Teorema del punto fijo)
Si es un punto fijo de y esta función tiene derivada continua en un entorno de ese punto, entonces:
- Si
el punto fijo es atractivo.
- Si
el punto fijo es repulsivo.
En la escena de la derecha podemos observar diferentes situaciones
- convergencia monótona como consecuencia de que
.
Pruebe, por ejemplo, con los valores iniciales 0.2 y 6. En este
caso la cuenca de atracción del punto fijo 3 es toda la semirrecta
positiva, pero obviamente la condición suficiente es local.
- convergencia oscilante debido a que
. Pruebe también con los valores iniciales 0.2 y 6 para observar el comportamiento hacia el punto fijo que es 4.
- divergencia monótona al ser
. Pruebe por ejemplo con 0.9 y 1.1 que son valores próximos al punto fijo que es 1.
- divergencia oscilante cuando
. Pruebe con 1.4 y 1.6.
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