Los métodos iterativos pueden formularse como

iteración.

x se dice que es un punto fijo de

F(x)

si es solución de la ecuación

Ecuación del punto fijo.

Si F es continua y la sucesión obtenida con el método iterativo es convergente, entonces converge al punto fijo.

El método de Herón podemos observar que es un caso particular del método iterativo donde

función para el método de Herón

y el punto fijo, si existe, verificaría la ecuación
planteamiento para el método de Herón

cuya solución es la raíz cuadrada de a.

Así pues, podríamos definir múltiples métodos iterativos para determinar las raíces de una ecuación. La forma más trivial para resolver una ecuación

Ecuación a resolver

sería sumar x a cada miembro

suma x

es decir, que la función que define el método iterativo sería

función general.

Por tanto, una alternativa a la obtención de la raíz cuadrada de un número a es considerar la ecuación

ecuación para la raíz cuadrada

y el método iterativo dado por la función:

función polinómica para la raíz cuadrada.

Pero veamos que el comportamiento no es análogo a lo acontecido en el método de Herón. Si en este caso, por ejemplo, desea determinar la raíz cuadrada de 2 considere la aproximación inicial 1.42, que difiere en menos de una décima del valor exacto, e itere en la escena de la derecha y podrá comprobar que ese punto sería repulsivo, es decir, que no converge al valor deseado.

punto repulsivo

Y si considera como valor inicial a 1.41 observará un comportamiento alternante, aparentemente convergente, pero que degenera en un bucle.

Comportamiento alternante

Observamos que el comportamiento del método iterativo depende de la función que lo define y del valor inicial considerado.
 
Sin embargo si consideramos el método iterativo definido por:
Función hiperbólica

que también tiene como punto fijo a la raíz cuadrada de a, volvemos a detectar que el comportamiento es atractivo.

¿Qué es lo que determina un comportamiento atractivo, alternante o repulsivo?

La respuesta la encontramos en las funciones contractivas y en el Teorema del Punto Fijo.