En un método iterativo   iteración

a) Diremos que un punto fijo alfa es atractivo o estable si existe un entorno de él

intervalo

en el que la sucesiónsucesión es convergente para cualquier valor valor inicial en el intervalo.

b) Diremos que un punto fijo alfa es repulsivo o inestable si existe un entorno de él

intervalo

en el que la sucesión sucesión es divergente para cualquier valor valor inicial en el intervalo excluido el punto fijo.


El comportamiento que presenta la sucesión sucesión obtenida con un método iterativo de punto fijo es dependiente de la función F que lo define y del punto inicial considerado. Se cuenta con una

Condición suficiente de estabilidad (Teorema del punto fijo)

Si alfa es un punto fijo de  F(x)y esta función tiene derivada continua en un entorno de ese punto, entonces:

  • Si  valor absoluto de la derivada menor que uno   el punto fijo es atractivo.
  • Si valor absoluto de la derivada mayor que uno el punto fijo es repulsivo.


En la escena de la derecha podemos observar diferentes situaciones
  • convergencia monótona como consecuencia de que derivada entre 0 y 1. Pruebe, por ejemplo, con  los valores iniciales 0.2 y 6. En este caso la cuenca de atracción del punto fijo 3 es toda la semirrecta positiva, pero obviamente la condición suficiente es local.
  • convergencia oscilante debido a que derivada entre -1 y 0. Pruebe también con los valores iniciales 0.2 y 6 para observar el comportamiento hacia el punto fijo que es 4.
  • divergencia monótona al ser derivada mayor que 1. Pruebe por ejemplo con 0.9 y 1.1 que son valores próximos al punto fijo que es 1.
  • divergencia oscilante cuando derivada menor que -1. Pruebe con 1.4 y 1.6.