Sean S=P+<D> y S'=P'+<D'> dos subvariedades lineales afines en |Rm y sea R una base de <D>+<D'>
Veamos que este módulo, |alt|, es la distancia de un punto de S a un punto de S' |alt|= distancia(P-P', r), con r perteneciente a R. Sumando P' en ambos extremos, distancia(P-P', r)=distancia(P, r+P')=distancia(P, d+d'+P') pues r pertenece a <D>+<D'> Restando d en ambos extremos concluimos que |alt|=distancia(-d+P, d'+P') que es la distancia de un punto de S a un punto de S'
Veamos que la distancia de un punto de S, P+d, a un punto de S', P'+d', es menor o igual que |alt| distancia2(P+d, P'+d')=distancia2(P-P', d'-d), hemos restado P'-d en ambos extremos, distancia2(P-P', d'-d)=distancia2(P-P'-r, d'-d-r) se ha restado r=P-P'-alt y como d'-d -r pertenece a <R>, lo designamos por r'. Así distancia2(P+d,P'+d')=distancia2(alt,r')=(alt-r') . (alt-r')=|alt|2+|r'|2>=|alt|2 pues alt es perpendicular a <R>, alt . r'=0
Concluimos
por tanto que |alt| o |