Sean S=P+<D> y S'=P'+<D'> dos subvariedades lineales afines en |Rm y sea R una base de <D>+<D'> 

 es el módulo del vector alt que comienza en un punto de <R>, termina en P-P' y es perpendicular a <R>, es decir, la altura desde P-P' a <R>

 

Veamos que este módulo, |alt|, es la distancia de un punto de S a un punto de S'

|alt|= distancia(P-P', r), con r perteneciente a R. Sumando P' en ambos extremos,

distancia(P-P', r)=distancia(P, r+P')=distancia(P, d+d'+P') pues r pertenece a <D>+<D'>

Restando d en ambos extremos concluimos que |alt|=distancia(-d+P, d'+P') que es la distancia de un punto de S a un punto de S'

 

Veamos que la distancia de un punto de S, P+d, a un punto de S', P'+d', es menor o igual que |alt|

distancia2(P+d, P'+d')=distancia2(P-P', d'-d), hemos restado P'-d en ambos extremos,

distancia2(P-P', d'-d)=distancia2(P-P'-r, d'-d-r) se ha restado r=P-P'-alt y como d'-d -r pertenece a <R>, lo designamos por r'. Así

distancia2(P+d,P'+d')=distancia2(alt,r')=(alt-r') . (alt-r')=|alt|2+|r'|2>=|alt|2 pues alt es perpendicular a <R>, alt . r'=0

Concluimos por tanto que |alt| o es la distancia de S a S'