Trazamos desde \(A\), \(B\) y \(C\), las rectas \(AP\), \(BQ\) y \(CR\), perpendiculares a la recta \(NML\). Los triángulos \(ANP\) y \(BNQ\) son semejantes, así que \[ \frac{AN}{NB}=\frac{AP}{QB} \] Similarmente, los triángulos \(BLQ\) y \(CLR\) son semejantes, así que \[ \frac{BL}{LC}=\frac{QB}{CR} \] Finalmente, los triángulos \(APM\) y \(CRM\) son semejantes, luego, \[ \frac{CM}{MA}=\frac{RC}{AP} \] (si en una fracción el sentido de recorrido del numerador es diferente al del denominador, el signo de la fracción es negativo) Entonces, \[ \frac{AN}{NB}\frac{BL}{LC}\frac{CM}{MA}=\frac{AP}{QB}\frac{QB}{CR}\frac{RC}{AP}=-1 \] Observa que hay un cambio de sentido, por eso el signo el negativo. El recíproco se prueba de manera similar al teorema de Ceva. Se supone que la recta que pasa por \(M\) y \(N\) corta al lado \(BC\) en un punto \(L'\), y usando la primera parte del teorema, se prueba que \(L\) y \(L'\) deben ser el mismo punto. This is a paragraph. |