Extracto da páxina http://www.xtec.es/bfiguera/curioso.html#quadrat

Autor: Blai Figueras Álvarez

NÚMEROS AO CADRADO

Distancia entre números ao cadrado

    "A distancia ou diferenza entre 2 números consecutivos ao cadrado é a suma de ambos ".

    Exemplos:  8² = 64, mentres que 9² = 81. A súa diferenza 81 - 64 = 17, é dicir, 9 + 8 = 17
    Isto é válido en todos os casos...    24² = 576, 25² = 625, a diferenza é 49 = 24 + 25

    A partir de aquí podemos definir que a distancia entre 2 números calquera ao cadrado é a coñecida fórmula, tantas veces memorizada, pero quizais non sempre valorada neste aspecto do cálculo:"A distancia entre 2 números calquera ao cadrado é a suma pola diferenza".
                a² - b² = (a + b) · (a - b)

       Exemplo: 9² = 81, 5² = 25, 81 - 25 = 56, é dicir: (9 + 5) · ( 9 - 5 ) = 14 x 4 = 56

     Isto, obviamente, pódenos permitir calcular números ao cadrado a partir dos que xa coñecemos:
    Ex. Canto será 26², se sabemos que 25² = 625 ?
    Só temos que sumar 25 + 26 = 51, e isto, engadilo ao 625, ou sexa, 625 + 51 = 676
    Exercicio: Canto é 37², se sabemos que 30² = 900 ?      >>>  Suma = 67,  Diferenza = 7
    Cun pouco de habilidade calcularemos 67 x 7 = 469 e sumarémolo a 900, para obter: 37² = 1.369

    EXERCICIO: Canto é 54², se sabemos que 50² = 2.500 ?
                       Cal será a diferenza entre 41²  e  26²  ?  


Un método rápido de calcular números ao cadrado
 

    a) Comezarei co cadrado dos números de 2 cifras acabados en 5:
    O cadrado dos números tipo 15, 25, 35, etc. pódese facer de xeito moi rápido:"Multiplicando a decena propia pola seguinte e engadindo un 25 detrás"   

Vexamos agora algúns exemplos:
    Ex. 15²:     multiplicamos a súa decena 1 pola seguinte 2, e obtemos 2
                    engadimos un 25 detrás e temos o 225, que é 15².
    Ex. 45² :    4 x 5 = 20, engadimos o 25 e sae 2.025 = 45²
    Ex. 65² :    6 x 7 = 42, engadimos o 25 e xa esta o 65² = 4.225      (¿sorprendente ou non?)

 

    b) Cadrado dos números de dúas cifras acabados en 1:
    O cadrado dos números tipo 11, 21, 31, etc. pódese calcular de modo rápido en tres partes:"Cadrado da decena, o dobre da decena, engadimos un 1"   

    Exemplos: 11²:   cadrado da decena 1 x 1 = 1
                            o dobre da decena 1 + 1 = 2
                            engadímoslle un 1  >>>> e obtemos o 121 = 11²
    Ex. 31²:    cadrado da decena 9, o dobre da decena 6, engadímoslle un 1  >>> 31² = 961 Se a suma das decenas pasa de 9, entón levámonos 1 ao construír o número:    

Ex. 61²:    cadrado da decena 36, o dobre da decena 12 neste caso, ao pasar de 9 a suma levámonos 1, ou sexa, 372, e engadímoslle un 1  >> 61² = 3.721

 

    c) Cadrado dos números de dúas cifras acabados en 9:
    O cadrado dos números tipo 19, 29, 39, etc. pódese calcular de xeito rápido en tres partes: "Ao cadrado da decena seguinte engadímoslle o 0, restamos o dobre da decena seguinte e engadimos un 1"    

    Ex. 29²:       cadrado da decena seguinte 3 x 3 = 9, engadimos o 0, ou sexa, 90
                      restámoslle o dobre da decena 3 + 3 = 6, é dicir, 90 - 6 = 84
                      engadímoslle un 1  >>>> e obtemos o 841 = 29²
    Ex. 49²:       cadrado da decena seguinte 25 >> 250, restamos o dobre da decena seguinte 10, 250 - 10 = 240, engadímoslle un 1  >>> 49² = 2401

 

    d) Cadrado dos números de dúas cifras acabados en 2 (e das demais cifras do 3 ao 8):
    Dun xeito similar aos acabados en 1, faremos os acabados en 2: "Cadrado da decena, o dobre da decena por 2, engadimos un 4 (cadrado do 2)"    

    Ex: 22²:      cadrado da decena 2 x 2 = 4
                    o dobre da decena 2 + 2 = 4 por 2 = 8
                    engadímoslle un 4  >>>> e obtemos o 484 = 22²
   Ex: 52²:      cadrado da decena 5 x 5 = 25
       o dobre da decena 10 por 2 = 20, é dicir, levámonos 2, polo tanto, 25+2 = 27 >> 270
                   engadímoslle un 4  >>>> e obtemos o 2704 = 52²

    O método pódese xeneralizar para os demais números.


    Para acabar vexamos os números acabados en 3: "Cadrado da decena, o dobre da decena por 3, engadimos un 9 (cadrado do 3)"    

    Ex. 73²:     cadrado da decena 7 x 7 = 49
       o dobre da decena 7 + 7 = 14 por 3 = 42, levámonos 4, polo tanto, 49+4 = 53 >> 532
                    engadímoslle un 9  >>>> e obtemos o 5.329 = 73²

    EXERCICIO: Calcular con este método os seguintes números ao cadrado:
      35² = ... ;   41² = ... ;   32² = ... ;  75²  = ... ;  59² = ... ; 115² = ...


Método dos "produtos equidistantes"

   Un aspecto interesante dos números ao cadrado é a "perda" que se produce se aumentamos e diminuímos os números nunha cantidade constante, é dicir, a diferenza de área entre cadrados e rectángulos cun mesmo perímetro.
    Tomamos un cadrado de lado a e convertémolo nun rectángulo de lados: a + k e a - k.
  Vexamos o que ocorre cun exemplo numérico: 24² = 576
 >  25 x 23 = 575  (-1)    sumamos e restamos 1 e a distancia é
 >  26 x 22 = 572  (-4)    sumamos e restamos 2 e a distancia é
 >  27 x 21 = 567  (-9)    sumamos e restamos 3 e a distancia é
 >  28 x 20 = 560 (-16)   sumamos e restamos 4 e a distancia é
 >  29 x 19 = 551 (-25)   sumamos e restamos 5 e a distancia é

    Podemos concluír, polo tanto, que:
"A diferenza entre a área dun cadrado e a área dun rectángulo, xerado a partir daquel, é igual ao cadrado da deformidade aplicada"

    De aquí tamén se pode sacar unha aplicación numérica no cálculo rápido do produto de números que sexan equidistantes a un número ao cadrado, así, se observamos que 18 e 12 son equidistantes ao 15, poderemos calcular moi rapidamente 18 x 12, dado que 15² = 225 e a distancia é 3² = 9, deducimos que 18 x 12 = 216.

Só se pode aplicar cando ambos factores son pares ou ambos son impares.    

    Este "método dos produtos equidistantes" é moi eficaz coa soa condición de memorizar unha boa serie de números ao cadrado e de observar rapidamente se un produto permíteo ou non.

    EXERCICIO: Calcular con este método aqueles produtos que permitan a súa aplicación:
  29 x 21 = ... ; 35 x 30 = ... ; 18 x 12 = ... ; 23 x 31 = ...  ; 37 x 32 = ... ; 54 x 46 = ...


  TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS ENTEIROS

Expresións matemáticas para obter triángulos rectángulos con valores enteiros

    O gran Pitágoras de Samos legounos o seu coñecido Teorema dos triángulos rectángulos, alicerce fundamental de cálculos xeométricos e trigonométricos, no que se relacionan as medidas dos catetos e da hipotenusa: a² = + c²   

    Dado que ao aplicar esta fórmula matemática temos que acabar calculando unha raíz cadrada, case sempre nos atoparemos que non obtemos valores exactos, ou mellor dito, valores enteiros.
    Ao propio Pitágoras debémoslle o triángulo rectángulo arquetipo de medidas 3, 4 e 5, pero se o que pretendemos é utilizar outros triángulos rectángulos con valores enteiros case nunca o conseguiremos e acabaremos recorrendo a este triángulo pitagórico (3, 4, 5) ou aos seus múltiplos.
    Dedico esta sección a expor unhas expresións matemáticas que nos permitirán obter a maioría dos triángulos rectángulos de valores enteiros que existen, son o froito dunha boa idea inicial e dun estudo exhaustivo posterior. Así que podedes tomar boa nota e, deste xeito, ter unha pequena ferramenta coa que poderedes xerar problemas, etc. que teñan por solución sempre valores enteiros, ou simplemente ver este capítulo como unha curiosidade matemática máis.

    A primeira expresión xéranos as 3 medidas de triángulos rectángulos en que o cateto pequeno é un número impar:
    2n + 1, 2n(n + 1), 2n² + 2n + 1

    Así para n = 1 obtemos os valores: 3, 4 e 5 (sóavos de algo?). Para n = 2: 5, 12, 13, etc.

    A segunda expresión xéranos as 3 medidas de triángulos rectángulos en que o cateto pequeno é un número par:
    2(n + 1), n(n + 2), n² + 2n + 2

    Ex. para n = 1 obtemos os valores: 4, 3 e 5 (outra vez). Para n = 3:  8, 15, 17, etc.
    Vexamos unha táboa cos 7 primeiros valores de cada unha:

 

2n + 1

2n(n + 1) 2n² + 2n + 1

n

2(n + 1) n(n + 2) n² + 2n + 2
3 4 5 1 4 3 5
5 12 13 2 6 8 10
7 24 25 3 8 15 17
9 40 41 4 10 24 26
11 60 61 5 12 35 37
13 84 85 6 14 48 50
15 112 113 7 16 63 65

    Ás dúas expresións expostas teriamos que engadir unha constante k, que ao multiplicala por cada un dos valores obtidos e tomando diferentes valores permítanos obter os múltiplos destas medidas, que obviamente, tamén cumpren o Teorema de Pitágoras:

[2n + 1, 2n(n + 1), 2n² + 2n + 1] · k
[2(n + 1), n(n + 2), n² + 2n + 2] · k
    

Agora xa tedes un bo puñado de exemplos e coas expresións matemáticas poderedes obter máis.
    De todos os xeitos estes non son os únicos e, por iso, acabei por buscar outro algoritmo de cálculo aínda máis xeral.
    Partindo da coñecida regra, exposta no capítulo anterior, que di que:

    "A distancia entre 2 números calquera ao cadrado é a suma pola diferenza"
    x² - e² = (x + e) · (x - e)    

    Pódese facer a seguinte demostración:
    Se temos un número a, que é múltiplo doutros, poderémolo expresar como a = x · e
    Segundo o Teorema de Pitágoras:  = - = (c + b) · (c - b)
    De aquí podemos deducir que:  x² · e² = (c + b) · (c - b), e polo tanto:
x² = c + b
e² = c - b Se agora resolvemos este sistema de ecuacións teremos que:

c = (x² + e²) / 2 , b = (x² - e²) / 2 , a = x · e    

    Ou sexa, que dado un cateto que mide a poderémolo expresar en forma de produto de dous divisores: x · e (ata os números primos: a = a 1 · => x = a, e = 1, cumpren esta fórmula => ver a táboa) e a partir destes achamos que: o outro cateto é a metade da diferenza dos cadrados dos seus divisores e a súa hipotenusa é a metade da suma dos cadrados dos seus divisores.

    O único pequeno problema que xorde aquí é que ao ter que dividir por 2 nalgúns casos (se un divisor é par e o outro impar) non saen valores exactos, pero os seus múltiplos pares si que o serán e, en calquera caso, como máximo teremos un decimal .5 igualmente moi interesante.
    Vexamos agora uns cantos exemplos:

 
a = x · e b
(x² - e²) / 2
c=
(x² + e²) / 2
a = x · e b
(x² - e²) / 2
c=
(x² + e²) / 2
27 = 9 · 3 (9² - 3²) / 2 = 36 (9² + 3²) / 2 = 45 45 = 15 · 3 (15² - 3²) / 2 =108 (15² + 3²) / 2 =117
32 = 8 · 4 (8² - 4²) / 2 = 24 (8² + 4²) / 2 = 40 48 = 8 · 6 (8² - 6²) / 2 = 14 (8² + 6²) / 2 = 50
33 = 11 · 3 (11² - 3²) / 2 = 56 (11² + 3²) / 2 = 65 17 = 17 · 1 (17² - 1²) / 2 =144 (17² + 1²) / 2 =145
35 = 7 · 5 (7² - 5²) / 2 = 12 (7² + 5²) / 2 = 37 36 = 9 · 4 (9² - 4²) / 2 = 32.5 (9² + 4²) / 2 = 48.5

    Neste último exemplo temos que a = 36, b = 32.5, c = 48.5, de aquí podemos deducir que os seus múltiplos pares si son enteiros como: a = 72, b = 65, c = 97, a = 144, b = 130, c = 194, etc.

    Ata aquí este estudo, para concluír só direi que aínda queda un grupo de triángulos rectángulos de valores enteiros que non se xeran con ningunha das expresións expostas, pero si que con elas obteremos a maioría dos que existen e, polo tanto, parécenme de gran utilidade.

Cálculo da diagonal dunha figura xeométrica que non existe!
 
    Se queremos calcular o que mide a diagonal dun cadrado coñecendo o que miden os seus lados, só necesitaremos aplicar o Teorema de Pitágoras.
    Así un cadrado de lado 1, terá unha diagonal que mide V¯2¯ (raíz cadrada de 2)
    A partir de aquí deduciremos que a diagonal dun cadrado de lado n mide: d =n · V¯2¯

    Se agora queremos calcular o que mide a diagonal dun cubo, entre dous vértices de caras opostas, tamén poderemos aplicar o Teorema de Pitágoras se triangularizamos o cubo e observamos o triángulo rectángulo formado por unha aresta inferior a , a diagonal da cara lateral d e a diagonal grande D.
    Así observaremos que =+
    No caso do cubo de aresta a = 1 a diagonal lateral
d = V¯2¯ e, polo tanto:=+ (V¯2¯)² = 1 + 2 = 3  =>  D = V¯3¯     Obviamente poderemos afirmar que a diagonal grande dun cubo de lado n mide: D =n · V¯3¯
   Con todo isto, e se seguimos este procedemento de triangulación, poderiamos calcular canto miden as diagonais de figuras xeométricas de máis de 3 dimensións, é dicir, de figuras que non existen, nin podemos tampouco imaxinar dada a nosa limitación tridimensional.
    A diagonal grande dunha figura tipo cubo, pero de 4 dimensións, será:
D = n · V¯4¯ = 2n    A diagonal grande dunha figura tipo cubo, pero de 5 dimensións, será: D = n · V¯5¯, etc.
    Que magnífico poder calcular algo que non podemos nin sequera imaxinar a súa forma! Marabíllame que unha ciencia como as matemáticas poida chegar onde non o fai nin a imaxinación!
    Como me gustaría chegar a un mundo cuatridimensional e pedir aos seus habitantes que me mostrasen un dado e observar este obxecto en que a súa diagonal mide o dobre que as súas arestas...


SOLUCIÓNS:

    54² =  2.916     (2.500 + 104 x 4 = 2.916)
    41² - 26²  =  (41 + 26) x (41 - 26) = 67 x 15 = 1.005

    35² = 1.225      (3 x 4 = 12, 25)
    41² = 1.681      (4² = 16, 4 x 2 = 8, 1)
    32² = 1.024      (3² = 9, 3 x 2 x 2 = 12, 2² = 4) >> 9 +1 = 10, 2, 4 >> 1.024
    75²  = 5.625     (7 x 8 = 56, 25)
    59² = 3.481      (6² = 36, 6 x 2 = 12, 1) >> 360 - 12 = 348, 1 >> 3.481
   115² = 13.225   (11 x 12 = 132, 25)

    29 x 21 = 25² - 4² = 625 - 16 = 609
    35 x 30  = 1.050 (non)
    18 x 12 = 15² - 3² = 225 - 9 = 216
    23 x 31 = 27² - 4² = 729 - 16 = 713
    37 x 32 = 1.184 (non)
    54 x 46 = 50² - 4² = 2.500 - 16 = 2.484

Extracto da páxina http://www.xtec.es/bfiguera/curioso.html#quadrat

Autor: Blai Figueras Álvarez