Extracto da páxina http://www.xtec.es/bfiguera/curioso.html#quadrat
Autor: Blai Figueras Álvarez
Distancia entre números ao cadrado
"A distancia ou diferenza entre 2 números consecutivos ao cadrado é a suma de ambos ".
Exemplos:
8² = 64, mentres que 9² = 81. A súa diferenza 81 - 64 = 17, é dicir,
9 + 8 = 17
Isto
é válido en todos os casos... 24² = 576,
25² = 625, a diferenza é 49 = 24 + 25
A partir de aquí podemos definir que a distancia entre 2 números
calquera ao cadrado é a coñecida fórmula, tantas veces memorizada,
pero quizais non sempre valorada neste aspecto do cálculo:"A
distancia entre 2 números calquera ao cadrado é a suma pola diferenza".
a² - b²
= (a + b) · (a - b)
Exemplo: 9² = 81, 5² = 25, 81 - 25 = 56, é dicir: (9 + 5) · ( 9 - 5 ) = 14 x 4 = 56
Isto, obviamente, pódenos permitir
calcular números ao cadrado a partir dos que xa coñecemos:
Ex. Canto será 26²,
se sabemos que 25² = 625 ?
Só temos que sumar 25 +
26 = 51, e isto, engadilo ao 625, ou sexa, 625 + 51 = 676
Exercicio: Canto é 37²,
se sabemos que 30² = 900 ? >>>
Suma = 67, Diferenza = 7
Cun pouco de habilidade calcularemos
67 x 7 = 469 e sumarémolo a 900, para obter: 37² = 1.369
EXERCICIO: Canto
é 54², se sabemos que 50² = 2.500 ?
Cal será a diferenza entre 41² e 26²
?
a) Comezarei co
cadrado
dos números de 2 cifras acabados en 5:
O
cadrado dos números
tipo 15, 25, 35, etc. pódese facer de xeito moi rápido:"Multiplicando
a decena propia pola seguinte e engadindo un 25 detrás"
Vexamos agora algúns exemplos:
Ex. 15²: multiplicamos a súa decena 1
pola seguinte 2, e obtemos 2
engadimos un 25 detrás e temos o 225, que é 15².
Ex. 45² : 4
x 5 = 20, engadimos o 25 e sae 2.025 = 45²
Ex. 65² : 6
x 7 = 42, engadimos o 25 e xa esta o 65² = 4.225
(¿sorprendente ou non?)
b) Cadrado dos números de dúas
cifras acabados en 1:
O
cadrado dos números
tipo 11, 21, 31, etc. pódese calcular de modo rápido en tres partes:"Cadrado
da decena, o dobre da decena, engadimos un 1"
Exemplos: 11²: cadrado da decena 1 x 1 = 1
o dobre da decena 1 + 1 = 2
engadímoslle un 1 >>>> e obtemos o 121 = 11²
Ex. 31²: cadrado
da decena 9, o dobre da decena 6, engadímoslle un 1
>>> 31² = 961 Se a suma
das decenas pasa de 9, entón levámonos 1 ao construír o número:
Ex. 61²: cadrado da decena 36, o dobre da decena 12 neste caso, ao pasar de 9 a suma levámonos 1, ou sexa, 372, e engadímoslle un 1 >> 61² = 3.721
c) Cadrado dos números de dúas
cifras acabados en 9:
O cadrado dos números
tipo 19, 29, 39, etc. pódese calcular de xeito rápido en tres
partes: "Ao cadrado da decena seguinte
engadímoslle o 0, restamos o dobre da decena seguinte e engadimos
un 1"
Ex. 29²: cadrado da
decena seguinte 3 x 3 = 9, engadimos o 0, ou sexa, 90
restámoslle o dobre da decena 3 + 3 = 6, é dicir, 90 - 6 = 84
engadímoslle un 1 >>>> e obtemos o 841 = 29²
Ex. 49²:
cadrado da decena seguinte 25 >> 250, restamos o dobre da decena
seguinte 10, 250 - 10 = 240, engadímoslle un 1 >>> 49² = 2401
d) Cadrado dos números de dúas
cifras acabados en 2 (e das demais cifras do 3 ao 8):
Dun xeito similar aos acabados
en 1, faremos os acabados en 2: "Cadrado da
decena, o dobre da decena por 2, engadimos un 4 (cadrado
do 2)"
Ex:
22²: cadrado da decena 2
x 2 = 4
o dobre da decena 2 + 2 = 4 por 2 = 8
engadímoslle un 4 >>>> e obtemos o 484 = 22²
Ex: 52²:
cadrado da decena 5 x 5 = 25
o dobre da decena 10 por 2 = 20, é dicir, levámonos 2, polo tanto,
25+2 = 27 >> 270
engadímoslle un 4 >>>> e obtemos o 2704 = 52²
O método pódese xeneralizar para os demais números.
Para acabar vexamos os números
acabados en 3: "Cadrado da decena, o dobre
da decena por 3, engadimos un 9 (cadrado do 3)"
Ex. 73²: cadrado da decena 7 x
7 = 49
o dobre da decena 7 + 7 = 14 por 3 = 42, levámonos 4, polo tanto,
49+4 = 53 >> 532
engadímoslle un 9 >>>> e obtemos o 5.329 = 73²
EXERCICIO: Calcular con este método os seguintes números
ao cadrado:
35² = ... ; 41² = ... ;
32² = ... ; 75² = ... ;
59² = ... ; 115² = ...
Método dos "produtos equidistantes"
Un aspecto interesante dos
números
ao cadrado é a "perda" que se produce se aumentamos e diminuímos
os números
nunha cantidade constante, é dicir, a diferenza de área entre
cadrados e rectángulos cun mesmo perímetro.
Tomamos un cadrado de lado a e convertémolo nun rectángulo de lados: a +
k e
a -
k.
Vexamos
o que ocorre cun exemplo numérico: 24²
= 576
>
25 x 23 = 575 (-1)
sumamos e restamos 1 e a distancia é 1²
>
26 x 22 = 572 (-4)
sumamos e restamos 2 e a distancia é 2²
>
27 x 21 = 567 (-9)
sumamos e restamos 3 e a distancia é 3²
>
28 x 20 = 560 (-16)
sumamos e restamos 4 e a distancia é 4²
>
29 x 19 = 551 (-25)
sumamos e restamos 5 e a distancia é 5²
Podemos concluír, polo tanto, que:
"A diferenza
entre a área dun cadrado e a área dun rectángulo,
xerado a partir daquel, é igual ao cadrado da deformidade aplicada"
De aquí tamén se pode sacar unha aplicación numérica no cálculo rápido do produto de números que sexan equidistantes a un número ao cadrado, así, se observamos que 18 e 12 son equidistantes ao 15, poderemos calcular moi rapidamente 18 x 12, dado que 15² = 225 e a distancia é 3² = 9, deducimos que 18 x 12 = 216.
Só se pode aplicar cando ambos factores son pares ou ambos son impares.
Este "método dos produtos equidistantes" é moi eficaz coa soa condición de memorizar unha boa serie de números ao cadrado e de observar rapidamente se un produto permíteo ou non.
EXERCICIO: Calcular con este método aqueles produtos que permitan
a súa aplicación:
29 x 21 = ... ; 35 x 30 = ... ; 18 x 12 = ... ; 23 x 31 = ... ; 37 x 32
= ... ; 54 x 46 = ...
TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS ENTEIROS
Expresións matemáticas para obter triángulos rectángulos con valores enteiros
O gran Pitágoras de Samos legounos o seu coñecido Teorema
dos triángulos rectángulos, alicerce fundamental de cálculos
xeométricos e trigonométricos, no que se relacionan as
medidas dos catetos e da hipotenusa: a²
= b² + c²
Dado que ao aplicar esta fórmula matemática temos que acabar
calculando unha raíz cadrada, case sempre nos atoparemos que
non obtemos valores exactos, ou mellor dito, valores enteiros.
Ao propio Pitágoras debémoslle o triángulo rectángulo
arquetipo de medidas 3, 4 e 5, pero se o que pretendemos
é utilizar outros triángulos rectángulos con valores enteiros
case nunca o conseguiremos e acabaremos recorrendo a este triángulo
pitagórico (3, 4, 5) ou aos seus múltiplos.
Dedico esta sección a expor unhas expresións matemáticas
que nos permitirán obter a maioría dos triángulos
rectángulos de valores enteiros que existen, son o froito dunha
boa idea inicial e dun estudo exhaustivo posterior. Así que
podedes tomar boa nota e, deste xeito, ter unha pequena
ferramenta coa que poderedes xerar problemas, etc. que teñan
por solución sempre valores enteiros, ou simplemente ver este capítulo
como unha curiosidade matemática máis.
A primeira expresión xéranos as 3 medidas de triángulos
rectángulos en que o cateto pequeno é un número
impar:
2n
+ 1, 2n(n + 1),
2n²
+ 2n + 1
Así para n = 1 obtemos os valores: 3, 4 e 5 (sóavos de algo?). Para n = 2: 5, 12, 13, etc.
A segunda expresión xéranos as 3 medidas de triángulos
rectángulos en que o cateto pequeno é un número
par:
2(n
+ 1), n(n + 2),
n²
+ 2n + 2
Ex. para n = 1 obtemos os valores: 4,
3
e 5 (outra
vez). Para n = 3: 8,
15,
17,
etc.
Vexamos unha táboa cos 7 primeiros valores de cada unha:
2n + 1 |
2n(n + 1) | 2n² + 2n + 1 |
n |
2(n + 1) | n(n + 2) | n² + 2n + 2 |
3 | 4 | 5 | 1 | 4 | 3 | 5 |
5 | 12 | 13 | 2 | 6 | 8 | 10 |
7 | 24 | 25 | 3 | 8 | 15 | 17 |
9 | 40 | 41 | 4 | 10 | 24 | 26 |
11 | 60 | 61 | 5 | 12 | 35 | 37 |
13 | 84 | 85 | 6 | 14 | 48 | 50 |
15 | 112 | 113 | 7 | 16 | 63 | 65 |
Ás dúas expresións expostas teriamos que engadir unha constante k, que ao multiplicala por cada un dos valores obtidos e tomando diferentes valores permítanos obter os múltiplos destas medidas, que obviamente, tamén cumpren o Teorema de Pitágoras:
[2n
+ 1, 2n(n + 1), 2n²
+ 2n + 1] · k
[2(n
+ 1), n(n + 2), n²
+ 2n + 2] · k
Agora xa tedes un bo puñado de exemplos e coas expresións
matemáticas poderedes obter máis.
De todos os xeitos estes non son os únicos
e, por iso, acabei por buscar outro algoritmo de cálculo aínda
máis xeral.
Partindo da coñecida regra, exposta
no capítulo anterior, que di que:
"A distancia entre 2 números calquera ao cadrado é a
suma pola diferenza"
x² - e²
= (x + e) · (x - e)
Pódese facer a seguinte demostración:
Se temos un número a, que é múltiplo doutros,
poderémolo expresar como a = x · e
Segundo
o Teorema de Pitágoras: a²=
c²
-
b²
= (c + b) · (c - b)
De aquí podemos deducir que: x² · e² =
(c + b) · (c - b), e polo tanto:
x²
= c + b
e² = c - b Se
agora resolvemos este sistema de ecuacións teremos que:
c = (x² + e²) / 2 , b = (x² - e²) / 2 , a = x · e
Ou sexa, que dado un cateto que mide a poderémolo expresar en forma de produto de dous divisores: x · e (ata os números primos: a = a 1 · => x = a, e = 1, cumpren esta fórmula => ver a táboa) e a partir destes achamos que: o outro cateto é a metade da diferenza dos cadrados dos seus divisores e a súa hipotenusa é a metade da suma dos cadrados dos seus divisores.
O único pequeno problema que xorde aquí é que ao
ter que dividir por 2 nalgúns casos (se un divisor é par e
o outro impar) non saen valores exactos, pero os seus múltiplos pares
si que o serán e, en calquera caso, como máximo
teremos un decimal .5 igualmente moi interesante.
Vexamos agora uns cantos exemplos:
a = x · e |
b=
(x² - e²) / 2 |
c=
(x² + e²) / 2 |
a = x · e |
b=
(x² - e²) / 2 |
c=
(x² + e²) / 2 |
27 = 9 · 3 | (9² - 3²) / 2 = 36 | (9² + 3²) / 2 = 45 | 45 = 15 · 3 | (15² - 3²) / 2 =108 | (15² + 3²) / 2 =117 |
32 = 8 · 4 | (8² - 4²) / 2 = 24 | (8² + 4²) / 2 = 40 | 48 = 8 · 6 | (8² - 6²) / 2 = 14 | (8² + 6²) / 2 = 50 |
33 = 11 · 3 | (11² - 3²) / 2 = 56 | (11² + 3²) / 2 = 65 | 17 = 17 · 1 | (17² - 1²) / 2 =144 | (17² + 1²) / 2 =145 |
35 = 7 · 5 | (7² - 5²) / 2 = 12 | (7² + 5²) / 2 = 37 | 36 = 9 · 4 | (9² - 4²) / 2 = 32.5 | (9² + 4²) / 2 = 48.5 |
Neste último exemplo temos que a = 36, b = 32.5, c = 48.5, de aquí podemos deducir que os seus múltiplos pares si son enteiros como: a = 72, b = 65, c = 97, a = 144, b = 130, c = 194, etc.
Ata aquí este estudo, para concluír só direi que aínda queda un grupo de triángulos rectángulos de valores enteiros que non se xeran con ningunha das expresións expostas, pero si que con elas obteremos a maioría dos que existen e, polo tanto, parécenme de gran utilidade.
SOLUCIÓNS:
54² =
2.916 (2.500
+ 104 x 4 = 2.916)
41²
- 26² = (41 + 26) x (41 - 26) = 67 x 15 = 1.005
35² = 1.225
(3 x 4 = 12, 25)
41² = 1.681 (4²
= 16, 4 x 2 = 8, 1)
32² = 1.024 (3²
= 9, 3 x 2 x 2 = 12, 2² = 4) >> 9 +1 = 10, 2, 4 >> 1.024
75² = 5.625 (7
x 8 = 56, 25)
59² = 3.481 (6²
= 36, 6 x 2 = 12, 1) >> 360 - 12 = 348, 1 >> 3.481
115² = 13.225 (11 x 12 =
132, 25)
29 x 21 = 25² - 4² = 625 - 16 = 609
35 x 30 = 1.050 (non)
18 x 12 = 15² - 3² = 225 - 9 = 216
23 x 31 = 27² - 4² = 729 - 16 = 713
37 x 32 = 1.184 (non)
54 x 46 = 50² - 4² = 2.500 - 16 = 2.484
Extracto da páxina http://www.xtec.es/bfiguera/curioso.html#quadrat
Autor: Blai Figueras Álvarez