# Formalización del problema

## Identificación del modelo matemático que resuelve el problema

Ya hemos observado que, en recortes sucesivos de tu rectángulo, la razón del lado mayor \(L\) al menor \(l\) alterna entre dos valores. Dependiendo de cómo elegiste la razón entre lados de tu rectángulo inicial, la diferencia entre los valores alternados puede ser mayor o menor.

Objetivo
Ya establecimos que debe haber una razón particular \(\frac{L}{l}\) para la cual ambos valores sean iguales. Ello nos garantizará un rectángulo que al ser cortado por la mitad de su lado mayor, genere dos rectángulos cuyas proporciones sean iguales al original. En esta página te ayudaremos a encontrar dicha razón \(\frac{L}{l}\).

Para ello, es importante que tengas presente que dos rectángulos comparten la misma proporción si:

- El cociente entre los lados mayores de los dos rectángulos es igual al cociente entre los lados menores: \(\frac{L1}{L2} = \frac{l1}{l2}\).
- El cociente del lado mayor entre el lado menor del primer rectángulo es igual al cociente del lado mayor entre el menor del segundo rectángulo: \(\frac{L1}{l1} = \frac{L2}{l2}\).

En el siguiente espacio interactivo te ayudaremos a expresar, en términos algebraicos, la relación que existe entre los lados de dos rectángulos sucesivos. Ello es crucial para encontrar el modelo que te permitirá resolver el problema.

Haz tu mejor intento para encontrar las respuestas por tu propia cuenta. Intenta varias veces de ser necesario. Solo pulsa el botón 'Ver solución' cuando hayas encontrado la solución al problema, o si realmente no logras seguir en la construcción de la misma.

Elige valores del lado mayor \(L\) y menor \(l\) y avanza en la explicación. A lo largo de la misma, encontrarás preguntas que habrás de responder para poder avanzar. Procura introducir al menos tres decimales de así ser necesario en los campos de texto de las preguntas. Con el fin de que puedas experimentar a lo largo de la explicación, siempre podrás modificar los valores de \(L\) y \(l\). No obstante, si vuelves a responder alguna pregunta numérica, habrás de considerar los nuevos valores de estas variables.

## Solución

La ecuación que te permite resolver el problema para obtener un rectángulo recortado de iguales proporciones al original es: \[\frac{L}{l}=\frac{l}{\frac{L}{2}}\]

Para despejar \(\frac{L}{l}\) de esta ecuación, se pueden seguir los siguientes pasos:

1. Del lado derecho de la ecuación, pasamos la expresión \(\frac{L}{2}\) al numerador: \(\frac{L}{l}=l(\frac{2}{L})\)
2. Por la propiedad conmutativa de la multiplicación, esta ecuación se puede reescribir así: \(\frac{L}{l}=2(\frac{l}{L})\)
3. Pasamos la fracción \(\frac{l}{L}\) del lado derecho de la ecuación al lado izquierdo, invirtiendo numerador y denumerador: \((\frac{L}{l})(\frac{L}{l})=2\)
4. Haciendo la multiplicación del lado izquierdo, obtenemos que \((\frac{L}{l})^2=2\)
5. Lo anterior equivale a \(\frac{L}{l}=\sqrt{2}\)

Esta es precisamente la proporción entre lados que buscamos para que se cumpla la siguiente propiedad:

La proporción entre el lado mayor y el lado menor que debe cumplir un rectángulo para que al ser cortado por la mitad de su lado mayor los rectángulos resultantes compartan la proporción del rectángulo inicial es \(\sqrt{2}\).
\[\frac{L}{l} = \sqrt{2}\]

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