# Reflexiones y aplicaciones

## La proporción áurea

Para el caso de la fotografía y las hojas del estándar DIN, la expresión útil para el cálculo de la proporción que los lados deben mantener fue \(\frac{a}{b}=\frac{b}{\frac{a}{2}}\), que eventualmente nos lleva a que la proporción entre lados \(a\) y \(b\) ha de ser \(\frac{a}{b}=\sqrt{2}\). Esto nos garantizó que, al partir la hoja a la mitad por el lado más grande, se obtiene una hoja cuya proporción es igual a la de la hoja original.

En el ejemplo anterior, la proporción entre lados es \(\sqrt{2}\). No obstante, existen otro tipo de proporciones. Una de ellas es la llamada proporción áurea. Como tal vez hayas escuchado, esta proporción se encuentra en muchos fenómenos de la naturaleza; también puede ser usada para fines prácticos. A continuación abordaremos dicha proporción.

Problema
Supón que tienes un rectángulo cuyo lado mayor denotamos con \(a\) y cuyo lado menor denotamos con \(b\). Construyes un cuadrado dentro de él de lado \(b\) y lo recortas. Sobrará, así pues, un rectángulo. ¿Qué proporción \(\frac{a}{b}\) debe tener el rectángulo original para que el rectángulo sobrante tras recortar el cuadrado tenga la misma proporción (que el original)?

Para empezar a analizar el problema, explora el siguiente interactivo siguiendo las instrucciones que se te proporcionan.

En el espacio interactivo de abajo se muestra un rectángulo cuyo lado mayor \(a\) mide 1 unidad. Puedes mover el valor del lado menor \(b\) entre 0.4 y 0.8. Una vez que hayas definido las dimensiones iniciales del rectángulo amarillo original, pulsa el botón 'Siguiente'; verás el recorte del cuadrado (azul) y el rectángulo resultante tras el recorte (rojo).
Observa bien la proporción del rectángulo original así como la del rectángulo resultante y compáralas. Trata de encontrar un valor para \(b\) para el cual las razones de los lados de ambos rectángulas (amarillo y rojo) sean lo más parecidas posible.

Tras explorar, es probable que hayas llegado a un valor para \(b\) de 0.62, lo que lleva una proporción del rectángulo original de \(\frac{1}{0.62}=1.613\). Para el rectángulo rojo tendrás entonces una proporción de \(\frac{0.62}{0.38}=1.632\). Y ambas proporciones son muy semejantes. Esta proporción de alrededor de 1.613 es un aproximado del valor exacto que buscamos. Pero... ¿cómo hacemos para encontrarlo de forma exacta? ¡Te toca a ti averiguarlo!

### Tarea

Encuentra el valor exacto de \(b\) para el cual la razón de los lados de los rectángulos amarillo y rojo sea idéntica.
Para lograr eso, tendrás que:

- Averiguar de qué manera se pueden expresar algebraicamente (es decir, con las literales \(a\) y \(b\)) los lados del rectángulo rojo;
- Expresar la igualdad entre las razones de los lados de ambos rectángulos (amarillo y rojo) como una ecuación algebraica de la forma \(\frac{a}{b}=\frac{?}{?}\), donde las interrogaciones representan los lados correspondientes del rectángulo rojo.
- Definir una segunda ecuación, para completar el sistema de ecuaciones. Para esto, considera que ya conoces el valor del lado \(a\).

Nuevamente, ¡trata de encontrar la solución por tu cuenta antes de descargar el archivo pdf con la solución!

## Solución de la tarea

- Observa que las dimensiones del rectángulo azul están dadas por \(b\) como el lado grande y \(a-b\) como el lado chico. La razón entre estos lados será \(\frac{b}{a-b}\).
- Lo que hiciste al mover los valores de \(b\) fue buscar aquél para el cual la razón \(a:b\) del rectángulo original fuera lo más cercana posible a la del rectángulo azul. Es decir, lo que buscaste fue un valor para \(b\) tal que \(\frac{a}{b} = \frac{b}{a-b}\).
- Si consideramos de inicio que \(a=1\), tenemos que \(\frac{1}{b} = \frac{b}{1-b}\).
- Multiplicando ambos lados de la ecuación por \(b\) obtenemos que \( 1 = \frac{b^2}{1-b}\).
- Luego, multiplicamos ambos lados de esta última ecuación por \(1-b\), de donde obtenemos que \(1-b = b^2\).
- Pasamos el \(1-b\) restando al lado derecho de la igualdad, obteniendo: \(b^2 + b - 1 = 0\).
- Esta es una ecuación cuadrática que podemos resolver para \(b\). Así, \( b = \frac{-1±\sqrt{1+4}}{2} \), de donde \( b = \frac{-1+\sqrt{5}}{2} = 0.618033988...\).

Nota que en la última ecuación, escogemos el signo + del ±, ya que es el que nos da un valor positivo, siendo el único que tiene sentido para una longitud.

Finalmente, la proporción que buscamos del lado más grande al más pequeño está dada por \( \frac{a}{b} = \frac{1}{0.618033988...} = 1.618033988... \). Este valor se conoce como la proporción áurea o dorada y se denota por la letra griega phi mayúscula: \(\Phi\).

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