# Reflexiones y aplicaciones

## Curiosidades y aplicaciones de la proporción áurea

En la solución al problema anterior, leíste que la proporción áurea o dorada equivale al valor \(1.618033989\) y se denota por la letra griega \(phi\) mayúscula: \(\Phi\).

Algunas curiosidades de la proporción áurea, que tal vez ya hayas notado, y que eventualmente podrías investigar por tu cuenta, son:

- La proporción buscada la podrías haber encontrado directamente al computar \(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\).
- El valor de \(b\) que originalmente encontraste corresponde también a \(\frac{1}{\Phi}\). Esto es, \(\frac{1}{\Phi}=0.618033989\). A este número se le denota con la letra griega phi minúscula: \(\phi\).
- \(\Phi-1=\phi\). Observa que la cadena decimal es la misma para ambos números.

Es pertinente notar que \(\Phi\) y \(\phi\), al igual que \(\sqrt{2}\) en el ejemplo de las hojas DIN, es un número irracional. Es decir, la cadena decimal se prolonga infinitamente y sin repetir un patrón. Así pues, cuando se representa con notación decimal, el número está truncado hasta un cierto número de decimales, y no representa la proporción áurea de forma exacta. Esto es, es solo una aproximación.

La proporción áurea ha sido motivo de admiración desde la época de los griegos. Se han determinado múltiples aplicaciones de dicha proporción, principalmente en la naturaleza. A continuación enumeramos algunas:

- La disposición de semillas en, por ejemplo, las plantas como los girasoles, se puede reproducir moviendo el radio a una determinada semilla un ángulo de \(\Phi\) radianes y a una distancia poco mayor que la original. Esto asegura una distribución de semillas en donde no quedan muy separadas o muy juntas independientemente de que se observen porciones cerca o lejos del centro del girasol.
- Varios objetos geométricos consideradas "estéticos" conllevan proporciones cercanas a \(\Phi\) o \(\phi\). Como ejemplo, de todos los rectángulos, supuestamente la mayoría de las personas consideran más bellos a aquellos que tienen dicho número como proporción entre sus lados. No obstante, esto es una cuestión subjetiva y no debe tomarse como un hecho.
- Figuras tales como el pentagrama y algunos árboles de Cayley involucran de forma exacta la proporción áurea.
- La estabilidad de las órbitas en mecánica celeste se encuentran relacionadas con la proporción áurea.

Adicionalmente, en la esfera del arte, algunos autores han preferido el uso de valores cercanos a la proporción áurea como guía en sus obras, argumentando que las obras resultantes serían más estéticas (cuestión de apreciación). Entre ellos se pueden mencionar a Piero della Francesca, Leonardo da Vinci y Le Corbusier, entre muchos otros. La proporción áurea aparece también en la música, la arquitectura y la pintura.

Para concluir, observa que tanto para el caso del problema original de los papeles DIN, como para el caso de la proporción áurea, pudiste obtener una ecuación algebraica a partir de la cual se puede determinar el número en cuestión. Es importante notar que el correcto planteamiento de la ecuación permite encontrar una forma de expresar el número en cuestión. Nuevamente se pone de manifiesto el poder del buen uso del álgebra.

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