# Formalización del problema

De la parte de exploración entendimos que podemos localizar cualquier punto en el plano si conocemos la distancia \(d\) de dicho punto a otros tres puntos en el mismo plano. La localización del punto (en este caso, un dispositivo) se realiza por medio de la intersección de las 3 circunferencias que tienen los tres puntos fijos como centro \(c\) y la distancia entre esos puntos y el punto buscado como radio \(r\). Este método es conocido como trilateración.

Ahora bien, a partir de esta construcción geométrica, ¿cómo obtenemos las coordenadas del punto de intersección? Es decir, ¿cómo traducimos la gráfica que estamos observando a una o varias expresiones algebraicas, de manera que podamos calcular su resultado y obtener las coordenadas \((x,y)\) de nuestro dispositivo móvil? En las siguientes páginas, lo vamos a averiguar.

Objetivo
A partir de la posición de las tres antenas y su distancia al dispositivo a localizar, vamos a formular un sistema de ecuaciones que nos permita calcular las coordenadas \(x\) y \(y\) del punto de intersección de las circunferencias, es decir, el dispositivo.

## Ecuación ordinaria de la circunferencia

Empecemos por construir la ecuación ordinaria de una circunferencia. Es relativamente sencillo obtenerla a partir de la definición de la circunferencia ('el conjunto de puntos que tienen igual distancia a un punto determinado llamado centro') y el conocidísimo teorema de Pitágoras.

Teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa \(hip\) (el lado de mayor longitud del triángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).
La ecuación del teorema es: \[hip^2 = ca^2 + co^2\] donde \(ca\) y \(co\) son el cateto adyacente y el cateto opuesto, respectivamente.

Ahora bien, para cualquier punto \(p\) de una circunferencia, se puede dibujar un triángulo rectángulo con el vértice de uno de sus ángulos agudos en el centro de dicha circunferencia y el vértice del segundo ángulo agudo en el punto \(p\). Compruébalo en la escena interactiva que se muestra a continuación.

Utiliza los controles rojos para colocar el centro \(C\) y el punto \(P\) de la circunferencia en las coordenadas que desees.

Pudiste notar que siempre se forma un triángulo rectángulo no importando el punto de la circunferencia o la posición de su centro. Así, gracias al teorema de Pitágoras, se puede calcular el valor del radio \(r\) de la circunferencia. A continuación, vamos a construir la ecuación que nos permite hacer lo mismo.

Contesta las preguntas que se muestran en el siguiente espacio interactivo.

Ahora que obtuvimos una ecuación que expresa en términos algebraicos la relación que existe entre el centro y un punto de la circunferencia, podemos proceder a formular un sistema de ecuaciones donde cada ecuación representa una circunferencia con centro en la posición de una de las antenas. Así podremos obtener las coordenadas \((x,y)\) del punto de intersección de estas tres circunferencias.

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