# Formalización del problema

## Triángulos y sectores circulares

Como seguramente te diste cuenta, el área que deseamos calcular (el área de la parte del tubo que no contiene ni sedimento ni agua) se puede obtener a partir de la suma o resta, según sea el caso, del área de un sector circular y un triángulo. Más adelante en esta sección de la unidad analizaremos con más detalle cuándo hay que sumar ambas áreas y cuándo es preciso restarlas. Por ahora, descubriremos cómo calcular las áreas del triángulo y del sector circular, respectivamente.

El siguiente interactivo sirve como recordatorio de las fórmulas para calcular el área de un triángulo y de un sector circular. Nota que aquí el ángulo se indica en radianes.

Habrás notado que para poder calcular el área de un sector circular, necesitamos conocer el ángulo α que define a dicho sector. Como quizá ya hayas comprendido, podemos obtener ese ángulo haciendo uso del triángulo que se observa en la escena interactiva. Es por eso que en esta página nos enfocaremos en el cálculo de algunas medidas de ese triángulo.

Objetivo
A continuación determinaremos cómo obtener:

- el ángulo θ del triángulo amarillo de arriba, a fin de poder calcular el área del sector circular;
- el área de dicho triángulo, para obtener, a partir del área del sector circular, el área vacía.

## Obtención del área y el ángulo θ del triángulo

Utiliza el siguiente interactivo para encontrar una forma de calcular el ángulo que define el sector circular de la parte vacía, conociendo la altura del agua.

Acabamos de darnos cuenta de que dos de los tres lados del triángulo amarillo se pueden obtener de manera sencilla:

- El lado mayor (la hipotenusa) equivale al radio \(r\) de la circunferencia;
- El lado \(a\) equivale a la altura del segmento circular vacío menos el radio : \( a = r - h_{vacío} \)

Gracias a las razones trigonométricas, también establecimos que:

\[\theta = arccos \left({r- h_{vacío} \over{r} }\right) \] \[ b = r * \text{sen} \theta \] \[ a = r * \text{cos} \theta \]

Los datos anteriores nos permiten determinar el área del triángulo que pudiste observar en las páginas de exploración de esta unidad. Veamos cómo.

1. La fórmula del área del triángulo amarillo que analizaste en el recurso interactivo de arriba queda: $$ {Área\ del\ triángulo} = \frac{(r \ sen \theta) × (r \ cos \theta)}{2} $$
2. Pero si notas, este triángulo es sólo la mitad del triángulo que en realidad queremos, entonces lo multiplicamos por dos y simplificamos: $$ \begin{align*} 2 (\text{Área del triángulo}) &= 2 \left( {r\ sen \theta × r \ cos \theta \over{2} } \right) \\ &= { r^2 cos \theta\ sen \theta } \\ \end{align*} $$
3. Dada la identidad trigonométrica \( sen(2\alpha ) =2 cos\ \alpha\ sen\ \alpha \), reescribimos esta ecuación de la siguiente manera: $$ \begin{align*} { r^2 cos \theta\ sen \theta } &= \frac{r^2}{2} ( 2\ cos \theta\ sen \theta ) \\ &= \frac{r^2}2 ( sen 2\theta ) \\ \end{align*} $$

Entonces tenemos que : $$ \text{Área del triángulo} = \frac{r^2}2 ( sen 2\theta ) $$ $$ \theta = arccos \left({ r - h_{vacío} \over{r} }\right) $$

## Área libre mayor que la mitad del tubo

En los ejemplos anteriores supusimos que el área vacía dentro del tubo no cubría más de la mitad de este, pero ¿qué ocurre cuando es mayor?

En el siguiente espacio interactivo cambia los valores correspondientes a las alturas del sedimento y del agua. Observa cómo se debería adaptar la fórmula para obtener el ángulo θ y cómo afecta el valor de θ.

Podemos concluir que, independientemente de la porción del tubo que esté vacía, podemos definir el lado \( a \) indistintamente como: $$ (h_{vacio} - r \ ) \text{ o } (r - h_{vacio} ) $$
Por lo mismo podemos dejar nuestras fórmulas como: $$ \text{Área del triángulo} = \frac{r^2}2 ( sen 2\theta ) $$ $$ \theta = arccos \left({ r - h_{vacío} \over{r} }\right) = arccos \left(1 - {h_{vacío} \over{r} }\right) $$

En la siguiente página utilizaremos estas dos ecuaciones para obtener el área libre dentro del tubo.

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