# Formalización del problema

## ¿Sumar o restar el triángulo?

Ya sabemos cómo calcular el área del triángulo que nos ayudará a obtener el área libre del tubo; además, tenemos una fórmula para determinar el valor del ángulo \( \theta \) que define el sector circular. Como sabemos que el área de un sector circular equivale a \(r^2 \frac{\alpha}{2}\), donde \(\alpha = 2\theta\), tenemos ahora las herramientas requeridas para calcular su valor.

La forma geométrica del área libre que deseamos calcular se llama un segmento circular.
¡Ojo, no confundas un sector circular con un segmento circular!

En la página anterior mencionamos que, para obtener el área de un segmento circular a partir de un sector circular, existen casos donde el triángulo correspondiente se debe restar del área del sector, y otros donde hay que sumar ambas áreas. Analicémoslo de una vez.

Utiliza el siguiente recurso para determinar en qué casos se debe sumar el triángulo y en qué casos es necesario restarlo.

## Área del segmento circular

A continuación definiremos finalmente la fórmula que nos permitirá calcular el área del segmento circular libre en nuestra tubería. Para ello, retomemos nuevamente las fórmulas de la página anterior:

$$ \text{Área de un sector circular} = r^2 \frac{\alpha}{2} $$ $$ \text{Área del triángulo} = \frac{r^2}2 ( sen 2\theta ) $$ $$ \theta = arccos \left(1-{ h_{vacío} \over{r} }\right) $$

Usaremos la resta para obtener el área del segmento circular, es decir, restamos la fórmula del área de nuestro triángulo de la fórmula del sector circular: $$ r^2 \frac{\alpha}{2} - {r^2\over{2}} ( sen 2\theta ) $$

Pero antes de continuar tenemos que hacer un cambio para que las dos fórmulas utilicen el mismo ángulo. Recuerda que \(\alpha\ = 2\theta\), por lo que podemos sustituir y nos queda: $$ r^2 \frac{\alpha}{2} - {r^2\over{2}} ( sen \alpha ) $$

Simplificando los términos tenemos : $$ \begin{align} {r^2\over{2}} \alpha - {r^2\over{2}} ( sen \alpha ) &= {r^2\over{2}} ( \alpha - sen \alpha ) \\ \end{align} $$

Entonces, la fórmula para calcular el área de un segmento circular es: $$ {r^2\over{2}} ( \alpha - sen \alpha ) $$

Pregunta
Obtuvimos la anterior fórmula para calcular el área del espacio vacío a partir de la resta del área del sector y el triángulo.
¿Cómo será dicha fórmula si ambas áreas se deben sumar?

En el siguiente espacio interactivo podrás encontrar la respuesta.

Mueve el ángulo que define al sector circular y observa qué sucede con la fórmula cuando ocurre el cambio de sumar el área del triángulo a restarla.

Como pudiste observar, nuestra fórmula para calcular el área de un segmento circular indirectamente toma en cuenta los casos donde se debe sumar o restar el triángulo.

¡Por fin encontramos un método para calcular el área que puede llenar el sedimento antes de que el tubo se sature, conociendo la altura del agua y del sedimento!

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