# El producto de números complejos

## Las potencias de un número complejo

En la siguiente escena interactiva usaremos la identidad \(e^{i\varphi}=\cos \varphi+ i \sin \varphi\), llamada la fórmula de Euler, para representar a un número complejo como \(z=e^{i\varphi}\), donde \(r=|z|\) y \(\varphi\), el argumento de \(z\), son las coordenadas polares del punto que representa geométricamente a \(z\), es decir a un punto \(P(x,y)\) con

\(x=r \cos \varphi\) y \(y= r \sin \varphi\)
por lo que
\(z=e^{i\varphi}=\cos \varphi+ ir\sin \varphi\)

En la siguiente figura se representa \(z\) para \(r=1\)

Verás que esta fórmula facilita enormemente tanto la expresión analítica del producto, como su interpretación geométrica.
Multiplicar dos números complejos equivale entonces a multiplicar sus valores absolutos y sumar sus argumentos, de tal manera que si

\(z_1=r_1e^{i \varphi_1}\) y \(z_2=r_2e^{i \varphi_2}\)
entonces
\(z_1z_2=r_1r_2e^{i(\varphi_1 +\varphi_2)}\).
Por lo que
\(z^2=r^2 e^{2\varphi i}\) y \(z^3=r^3 e^{3\varphi i}\).
En general
\(z^n=r^n e^{n\varphi i}\)

En la siguiente escena interactiva mueve el control gráfico \(z\) (punto rojo) para que explores cómo cambian las potencias de \(z\) si cambian \(r\) y \(\varphi\).
¿Cómo sería el comportamiento de \(z^n\) si \(n>5\), con \(n \in \mathbb{N}\) y \(z<1\)?
Bajo estas mismas condiciones, ¿cómo se comporta \(z^n\) si \(z>1\)?

Presiona el botón Ver rectas y observa que hay tantas rectas (de color verde) que pasan por el origen como potencias de \(z\). Estas rectas forman un ángulo \(\varphi\) entre ellas, por lo que si \(\varphi=\frac{\pi}{4}\), la recta que pasa por \(z\) es la misma que la que pasa por \(z^5\).

En esta escena se ilustran las potencias de un número complejo \(z\) y sus valores. En el menú en la parte de abajo de la escena puedes elegir qué potencia de \(z\) graficar. Con el pulsador de abajo a la derecha puedes modificar la escala del espacio para que puedas visualizar la gráfica completa. También puedes mover el origen pulsando en cualquier punto del plano y moviéndolo sin soltarlo.

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# Créditos

## Escena original

Diseño del contenido | Elsa Sirenia Vega Camacho José Luis Abreu León
Diseño funcional | Elsa Sirenia Vega Camacho José Luis Abreu León
Programación | Elsa Sirenia Vega Camacho
Asesoría de programación | Leticia Montserrat Vargas Rocha José Luis Abreu León
Diseño gráfico | Ricardo López Gómez
Coordinación | Leticia Montserrat Vargas Rocha

## Adaptación

Diseño funcional | Elsa Sirenia Vega Camacho
Programación | Elsa Sirenia Vega Camacho
Asesoría de programación | Leticia Montserrat Vargas Rocha
Diseño gráfico | Francisco Varela Fuentes
Ilustración | Francisco Varela Fuentes
Coordinación | Leticia Montserrat Vargas Rocha

Los contenidos de esta unidad didáctica interactiva están bajo una licencia Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-CompartirIgual.

La unidad didáctica fue creada con Arquímedes, una herramienta de código abierto.

La unidad didáctica contiene escenas elaboradas con Descartes, una herramienta de código abierto.

LITE - UnADM 2015