# Definición algebraica de la derivada direccional

El gradiente nos indica el sentido de crecimiento más rápido de una función en un punto dado. La derivada direccional nos ayuda a encontrar el valor máximo en el sentido del gradiente, es por esta razón que iniciaremos definiendo lo que es la derivada direccional.

La derivada direccional de una función multivariable sobre un vector dado, representa la tasa de cambio de la función en la dirección de dicho vector. Este concepto generaliza a las derivadas parciales, ya que estas son derivadas direccionales en los vectores paralelos a los ejes.

La noción geométrica de la derivada direccional se puede entender a partir de la idea de la pendiente de la recta tangente a las curvas de intersección de una superficie con el plano vertical que contiene a la dirección dada.

En esta imagen se muestra con flechas las derivadas direccionales con respecto al eje \( x \) y \( y \), las cuales están sobre el punto rojo y cada una apunta en dirección positiva del eje que le corresponde.

Si tenemos una función \( z=f(x,y) \), sus derivadas parciales \( f_x \) y \( f_y \) se definen como:

\( f_x(x_0,y_0)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h, y_0) - f(x_0, y_0)}{h}\)

\( f_y(x_0,y_0)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0, y_0+h) - f(x_0, y_0)}{h}\)

La derivadas parciales nos dan información de cómo es la razón de cambio de \( z \) a partir de un punto \( P=(x_0, y_0) \), ya sea en las dirección del eje \( X \) o del eje \( Y \). Estos ejes se representan con los vectores unitarios \( \vec{i} \) y \( \vec{j} \).

En casos como el del mapa del clima, no sólo nos interesa conocer la razón de cambio en las direcciones de \( \vec{i} \) y \( \vec{j} \), sino también en la dirección de cualquier vector unitario arbitrario \( \vec{u} \)\(=(a, b)\). Esta razón de cambio está representada por la derivada direccional definida como :

\( D_uf(x_0, y_0)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+ha, y_0+hb) - f(x_0,y_0)}{h}\)

Podemos observar que si \( \vec{u} = \vec{i} \)\(=(1,0)\), entonces \( D_if=f_x \), y si \( \vec{u} = \vec{j} \)\(=(0,1)\), entonces \( D_jf=f_y \). Lo que muestra que las derivadas parciales en \(x\) y \(y\) son justamente casos especiales de la derivada direccional.

Cuando se calcula la derivada direccional de una función que está definida por medio de una fórmula, podemos afirmar que:

Si \( f \) es una función diferenciable de \(x\) y de \(y\), entonces \(f\) tiene una derivada direccional en la dirección de cualquier vector unitario \( \vec{u} \)\(=(a,b)\) definida como:

\( D_uf(x, y)= f_x(x,y)a + f_y(x,y)b \)
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# Créditos

## Escena original

Diseño del contenido | Elsa Sirenia Vega Camacho (LITE)
Diseño funcional | Elsa Sirenia Vega Camacho (LITE)
Programación | Elsa Sirenia Vega Camacho (LITE)
Asesoría de programación | Victor Hugo García Jarillo (Facultad de Ciencias, UNAM)
Diseño gráfico | Ricardo López Gómez
Coordinación | Leticia Montserrat Vargas Rocha

## Adaptación

Diseño funcional | Victor Hugo García Jarillo (Facultad de Ciencias, UNAM)
Programación | Victor Hugo García Jarillo (Facultad de Ciencias, UNAM)
Diseño gráfico | Francisco Varela Fuentes
Coordinación | Leticia Montserrat Vargas Rocha
Desarrollo del contenedor | Oscar Escamilla González

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La unidad didáctica fue creada con Arquímedes, una herramienta de código abierto.

La unidad didáctica contiene escenas elaboradas con Descartes, una herramienta de código abierto.

LITE - UnADM 2014