# Análisis de la ecuación de segundo grado en dos variables. Parte 1: Encontrar el centro

## ¿Cómo se encuentra el centro de la curva definida por la ecuación general de segundo grado?

Una traslación por \((h,k)\) consiste en cambiar las coordenadas \(x\) y \(y\) por \(x+h\) y \(y+k\) respectivamente. En particular. Tal transformación lleva la ecuación \[ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0 \tag{1} \] a la ecuación \[a(x+h)^2+b(x+h)(y+k)+c(y+k)^2+d(x+h)+e(y+k)+f=0 \tag{2} \] Reagrupando términos, esto puede escribirse así: \[ax^2+bxy+cy^2+(2ah+bk+d)x+(bh+2ck+e)y+ah^2+bhk+ck^2+dh+ek+f=0 \tag{3} \] Por lo tanto, una traslación conserva intacta la parte cuadrática \(ax^2+bxy+cy^2\) y los nuevos términos en \(x\) y \(y\) quedan expresados como como funciones lineales de los originales.

Concretamente, la ecuación \((3)\) en las coordenadas trasladadas puede escribirse así: \[ax^2+bxy+cy^2+Dx+Ey+F=0 \tag{4} \] donde \(D=2ah+bk+d\), \(E=bh+2ck+e\) y \(F=ah^2+bhk+ck^2+dh+ek+f\). Para encontrar el centro de nuestro lugar geométrico debemos encontrar \(h\) y \(k\) tales que \(D=0\) y \(E=0\) y para ello debemos resolver, para \(h\) y \(k\), el sistema de ecuaciones: \[2ah+bk+d=0\] \[bh+2ck+e=0 \tag{5} \]

Podemos resolver este sistema siempre que \(\Delta =4ac−b^2\) sea distinto de cero. Como veremos más adelante, cuando \(\Delta =0\), la ecuación es de tipo parabólico y requiere un tratamiento especial que, de hecho, es más sencillo. A lo largo de ésta escena y las siguientes, supondremos que \[\Delta =4ac−b^2 \tag{6} \] es diferente de cero.
Entonces la solución al sistema de ecuaciones \((5)\) es \[h=\frac{−2cd+be}{\Delta}\] y \[k=\frac{bd−2ae}{\Delta}\] Es con estas expresiones que se han calculado las coordenadas \(h\) y \(k\) del centro de nuestro lugar geométrico en la escena interactiva y, como puede comprobarse visualmente, efectivamente marcan el centro de la curva.

Se sugiere al lector modificar los parámetros \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\) y \(f\) usando los pulsadores y observar que estas fórmulas dan siempre el centro del lugar geométrico (excepto cuando \(\Delta =0\)).También se sugiere buscar valores \(d\)

El procedimiento usado para encontrar el centro del lugar geométrico definido por la ecuación \[ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0 \tag{1} \] puede verse en términos matriciales. Las ecuaciones \((5)\) que son las condiciones que debe cumplir la traslación por \((h,k)\) para que los coeficientes en \(x\) y \(y\) se anulen, pueden verse como una ecuación matricial: \[ \begin{bmatrix} a & \frac{b}{2} \\ \frac{b}{2} & c \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} h \\ k \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} d \\ e \\ \end{bmatrix} =0 \] O bien \[M \begin{bmatrix} h \\ k \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -d \\ -e \\ \end{bmatrix} =0 \] Donde \[ M= \begin{bmatrix} a & \frac{b}{2} \\ \frac{b}{2} & a \\ \end{bmatrix} \]

Por tanto la solución se obtiene aplicando la matriz inversa \(M^{-1}\) al vector \(\begin{bmatrix} -d \\ -e \\ \end{bmatrix}\) Es decir: \[\begin{bmatrix} h \\ k \\ \end{bmatrix} = M^{-1} \begin{bmatrix} -d \\ -e \\ \end{bmatrix} \] Es fácil ver que la matriz inversa es: \[M^{-1}= \frac{1}{ \Delta ^2} \begin{bmatrix} 4c & -2b \\ -2b & 4a \\ \end{bmatrix} \] donde \(\Delta=4ac-b^2\). Conviene notar que la matriz \(M\) y su inversa solamente dependen de los coeficientes de segundo grado \(a\), \(b\), \(c\). También conviene tomar nota del llamado discriminante \(\Delta=4ac-b^2\) que es, esencialmente el determinante de la matriz \(M\), salvo por un factor de \(4\). En las siguientes escenas demostraremos que el signo del discriminante determina si la ecuación es elíptica o hiperbólica.

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# Créditos

## Escena original

Diseño del contenido | José Luis Abreu León
Diseño funcional | José Luis Abreu León
Programación | José Luis Abreu León Leticia Montserrat Vargas Rocha
Diseño gráfico | Ricardo López Gómez
Coordinación | Leticia Montserrat Vargas Rocha

## Adaptación

Diseño funcional | Elsa Sirenia Vega Camacho
Programación | Elsa Sirenia Vega Camacho
Asesoría de programación | Leticia Montserrat Vargas Rocha
Diseño gráfico | Francisco Varela Fuentes
Coordinación | Leticia Montserrat Vargas Rocha

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La unidad didáctica fue creada con Arquímedes, una herramienta de código abierto.

La unidad didáctica contiene escenas elaboradas con Descartes, una herramienta de código abierto.

LITE - UnADM 2014