# Análisis de la ecuación de segundo grado en dos variables. Parte 2: Encontrar los ejes de simetría

## Ejes de simetría del lugar geométrico definido por una ecuación general de segundo grado

La rotación por un ángulo \( \theta \) se obtiene cambiando la coordenada \(x\) por \[x cos \theta − y sen \theta \] y la coordenada y por \[x sen \theta + y cos \theta \] Estos cambios llevan la ecuación con centro en el origen: \[a x^2+b xy+c y^2+F=0 \tag{1} \] a la forma \[a(x cos\theta −y sen \theta )^2+b(x cos \theta −y sen \theta )(x sen \theta +y cos \theta)+c(x sen \theta +y sen \theta )^2+F=0 \tag{2} \] y puede escribirse así: \[Ax^2+Bxy+Cy^2+F=0 \tag{3} \] donde: \[A=a cos^2 \theta +b cos \theta sen \theta +c sen^2 \theta \] \[B=a(2cos\theta sen\theta )+b(cos^2 \theta −sen^2 \theta )−c(2cos \theta sen \theta )\] \[C=asen^2 \theta −bsen \theta cos \theta +c cos^2\theta \] Usando las fórmulas del \(seno\) y el \(coseno\) del doble de un ángulo: \[sen2\theta =2sen \theta cos\theta \] \[cos2\theta =cos^2\theta -sen^2\theta \] el nuevo coeficiente del término cruzado puede escribirse como: \[B=(a-c)sen(2\theta )-bcos(2\theta )\] y éste coeficiente se anula si \(\theta =\frac{atan(\frac{b}{a-c})}{2} \), esto cuando \(a \neq c \). Cuando \(a=c\) podemos anularlo tomando \( \theta =\frac{\pi }{4}\) (es decir, \(45°\)).

Tomando este valor de \(\theta \) la ecuación toma la forma simple \[Ax^2+Cy^2+F=0 \tag{4} \] Ésta puede reescribirse como \( \pm \frac{x^2}{\alpha ^2} \pm \frac{y^2}{\beta ^2}=1\) mediante las siguientes definiciones:

\( \alpha =\sqrt{|{\frac{F}{A}}|}\) y \( \beta=\sqrt{|{ \frac{F}{C}}|} \)

- (E) Caso elíptico: \(AC>0\), es decir, \(A\) y \(C\) tienen el mismo signo. Ambos signos serán positivos si \(A\) y \(C\) tienen el mismo signo y \(F\) tiene el contrario. Entonces la ecuación es la de una elipse. Si \(A\) y \(C\) tiene el mismo signo y \(F=0\) entonces la ecuación es la de un solo punto, concretamente, el origen. Si \(A\), \(C\) y \(F\) tienen el mismo signo entonces la ecuación no tiene soluciones, es decir, el lugar geométrico que define es vacío.
- (H) Caso hiperbólico: \(AC<0\), es decir, \(A\) y \(C\) tienen signos opuestos. En este caso uno de los dos signos será positivo y el otro negativo. Concretamente, el signo negativo va en el primer sitio si \(F\) tiene el mismo signo que \(A\) y en el segundo sitio si \(F\) tiene el mismo signo que \(C\). Cuando \(F\) es cero la ecuación se reduce a \[ \frac{x^2}{\alpha ^2}=\frac{y^2}{\beta ^2} \] o, equivalentemente, \[ \pm \frac{x}{\alpha}= \pm \frac{y}{\beta} \] que representa a dos rectas.

Se puede demostrar que \( \Delta =ac-\frac{b^2}{4}=AC\) con lo que antes de hacer el análisis completo se puede saber si la ecuación es de tipo elíptico o hiperbólico según el signo de \( \Delta \).

La forma cuadrática: \[ax^2+bxy+cy^2 \tag{5} \] puede identificarse con la matriz simétrica: \[M= \begin{bmatrix} a & \frac{b}{2} \\ \frac{b}{2} & c \\ \end{bmatrix} \] mediante el producto \(r^tMr\) donde \(\begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix}\) es el vector columna cuyas coordenadas son \(x\) y \(y\) y \(r^t=[x \quad y]\) es el vector transpuesto de \(r\).

Es fácil comprobar que con estas definiciones, \[r^tMr=ax^2+bxy+cy^2\] La transformación del plano correspondientes a esta matriz deja unos vectores invariantes. Para encontrarlos encontramos primero los valores propios o eigenvalores de M, que son los números reales \(λ_1\) y \(λ_2\), que son las soluciones de la ecuación cuadrática: \[(a-λ)(c-λ)-\frac{b^2}{4}=0\] Esta ecuación cuadrática tiene siempre dos soluciones reales: \[λ_i=\frac{a+c \pm \sqrt{(a-c)^2+b^2} } {2} \]

Los eigenvalores \({λ_i}\) tienen la propiedad de hacer que los sistemas de ecuaciones: \[(a-λ_i)x+\frac{b}{2}y=0\] \[ \frac{b}{2}x+(c-λ_i)y=0\] con \(i = 1, 2\), tienen soluciones no triviales que son dos vectores \(e_1=\begin{bmatrix}x_1 \\ y_1 \\ \end{bmatrix} \), \(e_2=\begin{bmatrix}x_2 \\ y_2 \\ \end{bmatrix} \), los cuales elegiremos de magnitud \(1\). En efecto, podemos tomar para \(i = 1, 2\):

\(x_i=\frac{b}{2}\), \(y_i=λ_i-a\), \(r_i=\sqrt{x_i^2+y_i^2}\)
y finalmente tomamos \(x_i=\frac{x_i}{r_i}\) y \(y_i=\frac{y_i}{r_i} \) para normalizar los vectores.

Estos vectores \(e_1\) y \(e_2\) se llaman eigenvectores o vectores propios de la matriz \(M\) y son casi invariantes ante \(M\), pues \(Me_i=λ_ie_i\). Además, coinciden con las direcciones de los ejes principales de nuestro lugar geométrico.
Las flechas rojas que aparecen en la escena son los eigenvectores de la matriz \(M\) y se calculan precisamente como acabamos de describir. Es importante notar que los eigenvectores son ortogonales entre sí y de hecho la matriz cuadrada que forman es una rotación. Más aún: \[\begin{bmatrix} x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2 \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} cos \theta & sen\theta \\ -sen\theta & cos\theta \\\end{bmatrix}\] La gran ventaja del método de eigenvalores y eigenvectores es que puede aplicarse también a formas cuadráticas en tres o más variables. De hecho la idea de diagonalizar matrices simétricas puede generalizarse a operadores en espacios de dimensión infinita y tiene aplicaciones importantes en la Física. Por ejemplo, los eigenvalores de cierto operador son los niveles de energía de los átomos.

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# Créditos

## Escena original

Diseño del contenido | José Luis Abreu León
Diseño funcional | José Luis Abreu León
Programación | José Luis Abreu León Leticia Montserrat Vargas Rocha
Diseño gráfico | Ricardo López Gómez
Coordinación | Leticia Montserrat Vargas Rocha

## Adaptación

Diseño funcional | Elsa Sirenia Vega Camacho
Programación | Elsa Sirenia Vega Camacho
Asesoría de programación | Leticia Montserrat Vargas Rocha
Diseño gráfico | Francisco Varela Fuentes
Coordinación | Leticia Montserrat Vargas Rocha

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La unidad didáctica fue creada con Arquímedes, una herramienta de código abierto.

La unidad didáctica contiene escenas elaboradas con Descartes, una herramienta de código abierto.

LITE - UnADM 2014