# Análisis de la ecuación de segundo grado en dos variables. Parte 3: El caso parabólico

## Ejes de simetría y vértice del lugar geométrico definido por una ecuación de tipo parabólico

En el caso parabólico, es decir cuando \(ac-\frac{b^2}{4}=0\), hay que hacer la rotación sin haber hecho una traslación, para lo cual se usa el mismo ángulo:

\(\theta =\frac{atan(\frac{b}{a-c})}{2}\) si \(a\neq c\) y \(\theta =\frac{\pi}{4} \) si \(a=c\).
Sustituyendo \(x\) por \(xcos\theta +ysen \theta\) y \(y\) por \(-xsen \theta +y cos \theta \), se obtiene la ecuación: \[Ax^2+Cy^2+Dx+Ey+F=0\] donde \[A=a cos^2 \theta +bcos \theta sen \theta +csen^2\theta \] \[C=asen^2 \theta -bcos \theta sen \theta +c cos^2 \theta \] \[D=d cos \theta -e sen \theta \] \[E=d sen \theta + e ocs \theta \] Pero siempre ocurre que \(A=0\) o \(C=0\), porque, como se puede demostar para este valor de \(\theta \):
\(AC=ac-\frac{b^2}{4} \)

El resto del análisis conviene separarlo en dos casos:
Caso 1) \(C=0\)
Para completar cuadrados definimos \(h=\frac{D}{2A} \) con lo que la ecuación queda así: \[A(x-h)^2+Ey+F-Ah^2=0 \] Lo cual sugiere definir \(k=\frac{Ah^2-F}{E}\) si \(E \neq 0\), y \(k=0\) cuando \(E=0\). Con esto la ecuación adquiere la forma \[A(x-h)^2+E(y-k)=0\]

Caso 2) \(A=0\)
Para completar cuadrados definimos \( k=\frac{E}{2C}\) con lo que la ecuación queda así: \[C(y-k)^2+Dx+F-Ch^2=0\] Lo cual sugiere definir \(h=\frac{Ck^2-F}{D}\) si \(D \neq 0\), y \(h=0\) cuando \(D=0\). Con esto la ecuación adquiere la forma \[C(y-k)^2+D(x-h)=0\] En ambos casos se obtuvo la ecuación de una parábola (o dos rectas paralelas) cuando en el caso 1 \(E=0\), o en el caso 2 \(D=0\).

El punto \((h,k)\) es el vértice de la parábola girada por el ángulo \(θ\). Así que para obtener el vértice de la parábola original hay que aplicar la rotación inversa: \[ \begin{bmatrix} h_0 \\ k_0 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos \theta & sen \theta \\ -sen \theta & cos \theta \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} h \\ k \\ \end{bmatrix}\]

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# Créditos

## Escena original

Diseño del contenido | José Luis Abreu León
Diseño funcional | José Luis Abreu León
Programación | José Luis Abreu León Leticia Montserrat Vargas Rocha
Diseño gráfico | Ricardo López Gómez
Coordinación | Leticia Montserrat Vargas Rocha

## Adaptación

Diseño funcional | Elsa Sirenia Vega Camacho
Programación | Elsa Sirenia Vega Camacho
Asesoría de programación | Leticia Montserrat Vargas Rocha
Diseño gráfico | Francisco Varela Fuentes
Coordinación | Leticia Montserrat Vargas Rocha

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LITE - UnADM 2014