## Las curvas cónicas, la ecuación de segundo grado en dos variables y las matrices simétricas

Los lugares geométricos de las ecuaciones de segundo grado en dos variables: \[ ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0 \tag{1} \] son precisamente las curvas cónicas, incluyendo los casos degenerados: el vacío, un punto, una recta, o dos rectas.
La demostración de este hecho puede hacerse mediante un cambio de coordenadas, específicamente, una rotación, cuyo efecto es hacer desaparecer el término mixto en \(xy\). Luego, si sigue habiendo términos en \(x^2\) y en \(y^2\), completando cuadrados se encuentra una traslación que hace desaparecer los términos en \(x\) y en \(y\), con lo cual se llega a una ecuación de la forma: \[ax^2+cy^2+f=0\tag{2} \]

Si uno de los términos cuadráticos no existe, una traslación lleva a una de estas dos formas: \[\begin{equation}ax^2+ey+f=0\end{equation}\] o \[cy^2+dx+f=0\tag{3} \] Finalmente, si no hay términos cuadráticos, la ecuación tiene la forma \[dx+ey+f=0\tag{4} \] Es evidente que si la forma \( (4) \), representa una recta y que las formas \( (3) \) representan parábolas, la primera con eje vertical y la segunda con eje horizontal. Finalmente la forma \( (2)\) conviene separarla en dos casos:

- (H) Cuando los coeficientes \(a\) y \(c\) tiene signos opuestos se dice que la ecuación es hiperbólica y, en efecto, representa una hipérbola, siempre y cuando \(f\) no se anule. Cuando \(f=0\), entonces se obtiene la ecuación de dos rectas que se cruzan en el origen.
- (E) Cuando \(a\) y \(c\) tienen el mismo signo, se dice que la ecuación es elíptica. Si \(f\) tiene el mismo signo que \(a\) y \(c\), la solición es el conjunto vacío. Si \(f=0\), la solución es un punto, específicamente, el origen y, finalmente, \(f\) tiene signo contrario al de \(a\) y \(c\), la solución es una elipse (un círculo cuando \(a=c\)).

En esta unidad didáctica demostraremos que efectivamente la ecuación (1) puede convertirse en una de las formas (2), (3) o (4) mediante una rotación y una traslación. Pero además veremos que las formas cuadráticas: \[ax^2+bxy+cy^2\tag{5} \] pueden identificarse con las matrices simétricas: \[ M= \begin{bmatrix} a & \frac{b}{2} \\ \frac{b}{2} & a \\ \end{bmatrix} \] mediante el producto \(r^tMr\) donde \(r=\begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} \) es el vector columna cuyas coordenadas son \(x\) y \(y\), y \(r^t=[x\quad y]\) es el vector transpuesto de \(r\).

Es fácil comprobar que con estas definiciones, \[r^tMr=ax^2+bxy+cy^2\] Estudiaremos las transformaciones del plano que corresponden a estas matrices simétricas y demostraremos que la rotación que elimina el término \(xy\) en la forma cuadrática es la misma que diagonaliza la matriz \(A\), es decir, la lleva a la forma diagonal: \[\begin{bmatrix} λ_1 & 0 \\ 0 & λ_2 \\ \end{bmatrix} \] Veremos que el proceso de diagonalizar la matriz simétrica \(A\) puede hacerse con un método general consistente en encontrar los ceros del llamado polinomio característico: \[(a-λ)(c-λ)-\frac{b^2}{4}=0\] cuyas soluciones \(λ_1\) y \(λ_2\) se denominan eigenvalores o valores propios de la matriz.

Los eigenvalores \({λ_i}\) tienen la propiedad de hacer que los sistemas de ecuaciones: \[(a-λ_i)x+\frac{b}{2} y=0\] \[\frac{b}{2} x+ (c-λ_i)y=0\] tengan soluciones no triviales, que son dos vectores \(\begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \\ \end{bmatrix} \), \(\begin{bmatrix} x_2 \\ y _2 \\ \end{bmatrix} \), los cuales pueden elegirse de magnitud \(1\). Estos vectores se llaman eigenvectores o vectores propios de la matriz \(A\) y coinciden con las direcciones de los ejes principales de la curva cónica.

Todo esto lo demostraremos en el Desarrollo de esta unidad didáctica.
La gran ventaja del método de eigenvalores y eigenvectores es que puede aplicarse también a formas cuadráticas en tres o más variables. De hecho la idea de diagonalizar matrices simétricas puede generalizarse a operadores en espacios de dimensión infinita y tiene aplicaciones importantes en la Física. Por ejemplo, los eigenvalores de cierto operador son los niveles de energía de los átomos.

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# Créditos

## Escena original

Diseño del contenido | José Luis Abreu León
Diseño funcional | José Luis Abreu León
Programación | José Luis Abreu León Leticia Montserrat Vargas Rocha
Diseño gráfico | Ricardo López Gómez
Coordinación | Leticia Montserrat Vargas Rocha

## Adaptación

Diseño funcional | Elsa Sirenia Vega Camacho
Programación | Elsa Sirenia Vega Camacho
Asesoría de programación | Leticia Montserrat Vargas Rocha
Diseño gráfico | Francisco Varela Fuentes
Coordinación | Leticia Montserrat Vargas Rocha

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La unidad didáctica fue creada con Arquímedes, una herramienta de código abierto.

La unidad didáctica contiene escenas elaboradas con Descartes, una herramienta de código abierto.

LITE - UnADM 2014