# La solución de una ecuación diferencial

¿Qué significa resolver una ecuación diferencial y cómo podemos resolverla? Para responder esta pregunta nos servirá analizar ecuaciones algebraicas de la forma \( F(x) = 0 \) por ejemplo \( x^2 - 4x + 3 = 0 \) cuyas soluciones son un conjunto de valores los cuales puede tomar la variable \(x\) de tal forma que satisface la ecuación. Cabe mencionar que el conjunto está restringido a un cierto número valores, para esta ecuación el conjunto está compuesto por dos elementos {1,3} y se puede decir que 1 y 3 son soluciones de la ecuación.

Las soluciones de ecuaciones con dos variables están dadas por un conjunto de parejas ordenadas, cuyos valores corresponden a cada variable. Por ejemplo para la ecuación \( y - 3x = 0 \) necesitamos conjuntos de parejas de tal forma que al evaluarlas se satisface la ecuación. La ecuación tiene diversas soluciones, y si queremos alguna que nos interese podemos asignar un valor arbitrario a una de las variables (condición inicial), despejamos la otra y obtenemos su valor. Algunas soluciones son {(1,3),(2,6),(3,9),...}.

De forma análoga a los ejemplos anteriores, cuando se nos presenta una ecuación diferencial de la forma \( F(x,f(x),f'(x)) = 0 \), se piensa que existe un cierto conjunto de funciones donde la ecuación está bien definida. Dichas funciones deben tener derivadas hasta de orden n, y para este caso necesariamente tendrá que ser un subconjunto del conjunto de funciones. Por solución de una ecuación diferencial se entenderá la función \( f(x) \) que junto con sus derivadas, al evaluarse en la ecuación se satisface la relación. Por ejemplo la función:

\( y(x) = 2sen(x) - \frac{1}{3}cos(2x) \)

es una solución de la ecuación diferencial de segundo orden:

\( \frac{d^2y}{dx^2} + y = cos(2x) \)

Si obtenemos \( y''(x) \) y evaluamos en la ecuación tanto \( y(x) \) como \( y''(x) \) vemos que la ecuación se satisface. ©

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# Créditos

## Escena original

Diseño del contenido | Víctor Hugo García Jarillo (Facultad de Ciencias UNAM, LITE)
Diseño funcional | Víctor Hugo García Jarillo (Facultad de Ciencias UNAM, LITE)
Programación | Víctor Hugo García Jarillo (Facultad de Ciencias UNAM, LITE)
Diseño gráfico | Ricardo López Gómez
Coordinación | Leticia Montserrat Vargas Rocha

## Adaptación

Diseño funcional | Victor Hugo García Jarillo (Facultad de Ciencias, UNAM)
Programación | Victor Hugo García Jarillo (Facultad de Ciencias, UNAM)
Diseño gráfico | Francisco Varela Fuentes
Coordinación | Leticia Montserrat Vargas Rocha

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La unidad didáctica contiene escenas elaboradas con Descartes, una herramienta de código abierto.

LITE - UnADM 2014