# Divisibilidad

Ahora que conocemos cómo es el algoritmo de la división, podemos definir lo que es la divisibilidad. Aunque el conjunto de los números enteros \( \mathbb{Z} \) no es cerrado en la operación del cociente, hay muchos casos en los que un número entero divide a otro, dando como resultado otro entero. Por ejemplo \(2\) divide a \(18\) y \(5\) divide a \(−40\). La división es exacta, es decir el residuo es cero. Así pues, el que \(2\) divida a \(18\) implica la existencia de un cociente, \(9\), tal que \(18 = 2 · 9\), este concepto se conoce como divisibilidad, se puede decir que \(18\) es divisible cuando tiene un divisor diferente de \(1\) de tal forma que su residuo es cero.

Formalmente la divisibilidad se define como:

Sean \(a\) y \(b\) dos números enteros tales que \( a \neq 0\). Diremos que \(a\) divide a \(b\) si existe un número entero \( q \) tal que \( b = a · q\). Suele notarse \( a \mid b \), es decir,

\( a \mid b \Leftrightarrow \exists q \epsilon \mathbb{Z} : b = a q \)

Existen algunas expresiones equivalentes a “\(a\) divide a \(b\)” como, “\(a\) es un divisor de \(b\)” o “\(b\) es múltiplo de \(a\)” o “\(b\) es divisible por \(a\)”.

Ejemplos:

- \(−7\) divide a \(−21\) ya que \(−21 = (−7)3\), con \(3 \epsilon \mathbb{Z} \).
- \(3\) no divide a \(5\) ya que no existe ningún número entero \(q\) tal que \(5 = 3 · q\).

## Propiedades

Sean \(a\), \(b\) y \(c\) tres números enteros, siendo \(a\) y \(b\) distintos de cero. Se verifica que:

- \(1\) divide a “\(a\)” y “\(a\)” divide a \(0\).
- Si “\(a\)” divide a “\(b\)” y “\(b\)” divide a “\(a\)”, entonces \(a = ±b\).
- Si “\(a\)” divide a “\(b\)” y “\(b\)” divide a “\(c\)”, entonces “\(a\)” divide a “\(c\)”.
- Si “\(a\)” divide a “\(b\)” y “\(a\)” divide a “\(c\)”, entonces “\(a\)” divide a \(pb + qc\), cualesquiera que sean \(p\) y \(q\), enteros. (A la expresión \(pb + qc\) se le llama combinación lineal de \(b\) y \(c\) con coeficientes enteros).

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# Créditos

## Escena original

Diseño del contenido | Gustavo Magallanes Guijón
Diseño funcional | Gustavo Magallanes Guijón
Programación | Gustavo Magallanes Guijón
Diseño gráfico | Ricardo López Gómez
Coordinación | Leticia Montserrat Vargas Rocha

## Adaptación

Diseño funcional | Julio Arnoldo Prado Saavedra Victor Manuel Amezcua y Raz
Programación | Julio Arnoldo Prado Saavedra Victor Manuel Amezcua y Raz
Diseño gráfico | Francisco Varela Fuentes
Coordinación | Leticia Montserrat Vargas Rocha

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La unidad didáctica fue creada con Arquímedes, una herramienta de código abierto.

La unidad didáctica contiene escenas elaboradas con Descartes, una herramienta de código abierto.

LITE - UnADM 2014