# Demostración por contrarrecíproca

En lógica, la contraposición de una declaración condicional se forma negando ambos términos e invirtiendo la dirección de la inferencia. Explícitamente, la contraposición de la declaración "si A, entonces B" es "si no B, entonces no A." Una declaración y su contrapositiva son lógicamente equivalentes: si la afirmación es cierta, entonces su contrapositivo es cierto, y viceversa.

p | q | ¬p | ¬q | Directa | Recíproca | Contraria o inversa | Contrarrecíproca o contraposición
--- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | ---
|  |  |  | p \( \rightarrow\) q | q \( \rightarrow\) p | ¬p \( \rightarrow\) ¬q | ¬q \( \rightarrow\) ¬p
V | V | F | F | V | V | V | V
V | F | F | V | F | V | V | F
F | V | V | F | V | F | F | V
F | F | V | V | V | V | V | V

Esta estructura nos permite hacer demostraciones matemáticas y el método es conocido como demostración por contrarrecíproca. Suponemos que la conclusión \( Q \) (tesis) es falsa para concluir que \( P \) (hipótesis) es falsa.

\( (P \Rightarrow Q) \Leftrightarrow ( ¬ Q \Rightarrow ¬ P) \)

Ejemplo: demostraremos la siguiente sentencia:
“Para cada entero \(n\), si \(5n + 3\) es par, entonces \(n\) es impar”.
Su contrarrecíproca sería:
“Para cada entero \(n\), si \(n\) no es impar, entonces \(5n + 3\) no es par”.
Sea \(n\) cualquier número entero. Si \(n\) no es impar \(n ≠ 2k + 1\), para cualquier entero \(k\) y por lo tanto, \(5n + 3 ≠5(2k + 1) + 3\), \(∀k ∈ Z\)
De aquí que \(5n + 3 ≠2(5k + 4)\), \(∀k ∈ Z\)
Como \(k\) es entero, \(5k + 4\) también lo es,lo llamaremos \(m\). Tenemos que \(5n + 3 ≠2m\), \(∀m ∈ Z\)
Por lo tanto, de acuerdo con la definición, \(5n + 3\) no es par y la demostración concluye.

©
×

# Créditos

## Escena original

Diseño del contenido | Víctor Hugo García Jarillo (Facultad de Ciencias UNAM, LITE)
Diseño funcional | Víctor Hugo García Jarillo (Facultad de Ciencias UNAM, LITE)
Programación | Víctor Hugo García Jarillo (Facultad de Ciencias UNAM, LITE)
Diseño gráfico | Ricardo López Gómez
Coordinación | Leticia Montserrat Vargas Rocha

## Adaptación

Diseño funcional | Victor Hugo García Jarillo (Facultad de Ciencias, UNAM)
Programación | Victor Hugo García Jarillo (Facultad de Ciencias, UNAM)
Diseño gráfico | Francisco Varela Fuentes
Coordinación | Leticia Montserrat Vargas Rocha

Los contenidos de esta unidad didáctica interactiva están bajo una licencia Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-CompartirIgual.

La unidad didáctica fue creada con Arquímedes, una herramienta de código abierto.

La unidad didáctica contiene escenas elaboradas con Descartes, una herramienta de código abierto.

LITE - UnADM 2014