Nociones de paralelismo y/o perpendicularidad

Concepto familiar de paralelismo y perpendicularidad

El concepto de paralelo en el caso de rectas evoca una noción de que ellas deben de alguna forma tener la misma inclinación. Otra noción que se evoca es que, si está una más arriba que la otra, nunca se tocarán. Estas nociones familiares tienen una explicación matemática que veremos más adelante.

El concepto de perpendicular en el caso de rectas nos hace pensar que se cruzan formando un ángulo de 90 grados. Por lógica esperamos que dos rectas perpendiculares, a diferencia de las paralelas, se crucen en algún punto.

Breve recordatorio de la recta

Dado que el paralelismo y la perpendicularidad se tratarán con rectas, se proporciona este recordatorio de los parámetros que componen la ecuación de la recta típicamente representada por \( y=mx+b \):

Relación entre parámetros de rectas y su paralelismo o perpendicularidad

Ahora que has recordado los parámetros de la recta, observa el siguiente recurso interactivo en que se muestran dos rectas, que bien pueden ser paralelas o perpendiculares.

Observa el par de rectas mencionado y las ecuaciones de las mismas. Elige si las rectas han de ser paralelas o perpendiculares. Intenta determinar qué propiedades deben tener sus respectivos parámetros para que se cumpla que sean paralelas, perpendiculares o ninguna de las anteriores. Usa las lupas en la esquina inferior de la gráfica para controlar la escala de la misma.

Los segmentos verde y naranja en el interactivo son una forma de ver la pendiente. Es decir, la puedes obtener dividiendo el segmento vertical entre el horizontal, y el signo será positivo si el valor en \(y\) (la vertical) aumenta cuando aumenta el de \(x\) (la horizontal). Por otro lado, el signo será negativo si el valor en \(y\) disminuye cuando aumenta el de \(x\). Algunos puntos de interés que puedes notar del triángulo que se forma con los 2 segmentos y el pedazo de recta subtendido por ellos es:

Ahora ya tienes los criterios que determinan que una recta sea paralela o perpendicular. Estos criterios dependen de la pendiente. ¡Claro, la pendiente es una forma de expresar la inclinación, y es la inclinación la encargada de determinar el ángulo entre las rectas! Es por eso que sólo depende de la pendiente y no de la ordenada al origen. Esta última sólo se encarga de desplazar la recta (sea paralela o perpendicular) hacia arriba o hacia abajo.

Breviario cultural

Tal vez recuerdes de la unidad sobre Ecuaciones de primer grado con una incógnita que la solución al problema puede verse como la coordenada en el eje \(X\) del punto en que se cruzan las dos rectas de las cuales se origina tu problema. En esa unidad también se vio que hay situaciones en que no hay solución al problema (normalmente esto resulta de una división por cero al despejar \(x\) de la ecuación). Este comportamiento responde a que, en esos casos, las dos rectas son paralelas, y por lo tanto no se cruzan nunca.