Parametrización de una Hélice

Parametrización de una Hélice

Las hélices son curvas cuya forma aparece constantemente en la naturaleza y en la vida cotidiana. Piensa en un tornillo, en un tornado o incluso en la forma de algunas plantas. Matemáticamente, un punto \((x,y,z)\) de una hélice satisface la ecuación del círculo \(x^2+y^2=r^2\) y por lo tanto, la curva está sobre el cilindro cuya ecuación es precisamente \(x^2+y^2=r^2\). Entonces, una parametrización de la hélice está dada por las ecuaciones \[x=cos(t)\] \[y=sen(t)\] \[z=t \] con \(-\infty < t < \infty \).


Es decir que la curva trazada por la función vectorial definida para toda \(t \in \mathbb{R}\) \[\textbf{r}(t)=cos(t)\hat{\imath}+sen(t)\hat{\jmath}+t\hat{k}\] es una hélice. Por la forma en que se grafican las curvas en este applet, multiplicamos a \(t\) por \(2\pi \).


Cuando agregamos parámetros a estas ecuaciones obtenemos una hélice que no necesariamente es circular, y cuya distancia entre una vuelta y otra también puede variar, o podemos obtener una curva que no está sobre un cilindro. En la siguiente escena veremos éstas últimas más a fondo.

En la siguiente escena interactiva mueve los pulsadores a, b y c para que puedas observar los cambios que producen estos parámetros en la curva. ¿Qué pasa si a y b son distintos entre sí? ¿Qué pasa si c no es 1? ¿Qué pasa si agregas otro parámetro que multiplique a t? Utiliza m y n para hacer pruebas.


En esta escena interactiva puedes observar la gráfica y la ecuación de una hélice. Puedes modificar el valor de cada parámetro en las ecuaciones con los pulsadores a y b. Puedes modificar las ecuaciones en los campos de texto. Los pulsadores m y n son parámetros disponibles que puedes agregar a las ecuaciones \(x(t)\), \(y(t)\) y \(z(t)\). Los pulsadores t1 y t2 determinan el intervalo [t1,t2] donde se grafica la curva. El control N sirve para suavizar la curva.

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