Electrónica Digital

Ejemplos y Ejercicios

Oscar Ignacio Botero Henao

Fondo Editorial RED Descartes

Título de la obra:
Electrónica Digital
Ejemplos y Ejercicios

Autor:
Oscar Ignacio Botero Henao

Código JavaScript para el libro: Joel Espinosa Longi, IMATE, UNAM.
Recursos interactivos: DescartesJS, WebSim
Fuentes: Lato y UbuntuMono
Figura de portada: ilustración generada por Nightcafe AI

Red Educativa Digital Descartes
Córdoba (España)
descartes@proyectodescartes.org
https://proyectodescartes.org

Proyecto iCartesiLibri
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/index.htm

ISBN: 978-84-10368-22-4

Esta obra está bajo una licencia Creative Commons 4.0 internacional: Reconocimiento-No Comercial-Compartir Igual.

Tabla de contenido

Prefacio

La electrónica digital es una disciplina fundamental en el campo de la ingeniería y la tecnología, abarcando desde los principios básicos de los sistemas numéricos hasta el diseño y la implementación de circuitos complejos con mediana escala de integración. Esta primera parte del libro "ELECTRÓNICA DIGITAL, Ejemplos y Ejercicios" ha sido concebido con el objetivo de proporcionar a estudiantes y profesionales una herramienta práctica y accesible para el estudio y la comprensión de los conceptos esenciales de la electrónica digital.

A diferencia de otros textos que se centran en la teoría y la explicación detallada de los principios y conceptos, esta obra se dedica exclusivamente a la resolución de Ejemplos y la proposición de Ejercicios con respuestas. Creo firmemente que la mejor manera de aprender y dominar los conceptos de la electrónica digital es a través de la práctica constante y la aplicación directa de los conocimientos adquiridos.

Los temas abordados que incluye este libro son:

• Capítulo 1: Conversiones Sistemas Numéricos:
• Este tema abarca la transformación de números entre distintos sistemas de numeración. Cada sistema tiene su propia base: el binario (base 2), el octal (base 8), el decimal (base 10) y el hexadecimal (base 16). Estas conversiones son fundamentales para trabajar con datos en distintos niveles de abstracción en las áreas de la informática y la electrónica.

• Capítulo 2: Álgebra de Boole:
• El álgebra Booleana es una rama de las matemáticas que se utiliza para el análisis y diseño de circuitos digitales. Emplea variables binarias y operaciones lógicas como AND, OR y NOT, permitiendo simplificar y optimizar circuitos lógicos con el fin de reducir costos en su implementación y mejorar su eficiencia.

• Capítulo 3: Operaciones Lógicas Binarias:
• Este capítulo muestra con ejemplos sobre cómo realizar operaciones aritméticas básicas como la suma, la resta, la multiplicación y la división utilizando números binarios. Es esencial para entender el funcionamiento interno de los microprocesadores y otros componentes digitales.
• Se exploran los circuitos lógicos para llevar a cabo operaciones con números binarios como: sumadores, restadores, multiplicadores y divisores, que son bloques fundamentales en la construcción de unidades aritmético-lógicas (ALU) en computadoras.

• Capítulo 4: Funciones Lógicas:
• Este capítulo se enfoca en ejemplos que develan el procedimiento y solución de funciones lógicas utilizando los diferentes tipos de compuertas lógicas, sus expresiones Booleanas, tablas de verdad y la simbología propia de cada tipo.

• Capítulo 5: Minterm y Maxterm, Lógica AOI:
• La lógica AOI (AND-OR-NOT) es una técnica utilizada para implementar funciones lógicas. Los minterms y maxterms son representaciones canónicas de funciones Booleanas que se emplean para estructurar el diseño de circuitos

• lógicos con base en solo compuertas lógicas AND, NOT y OR y que simplifican el diseño e implementación.

• Capítulo 6: Mapas de Karnaugh:
• Los mapas de Karnaugh son una herramienta gráfica utilizada para simplificar funciones lógicas de manera visual, inventada por el físico y matemático estadounidense Maurice Karnaugh. Facilitan la minimización de expresiones Booleanas, ayudando a diseñar circuitos más sencillos y eficaces.

Cada capítulo contiene una serie de Videos explicativos, Objetos Interactivos, archivos con Simulaciones y Hojas de Datos de los circuitos integrados, diseñados para complementar y enriquecer el aprendizaje. Estos recursos adicionales permiten al lector visualizar y experimentar con los conceptos en un entorno dinámico y práctico que enriquecen la experiencia de aprendizaje al proporcionar una perspectiva práctica y aplicable; donde, cada uno de estos temas es crucial para desarrollar una comprensión sólida de la Electrónica Digital. En la parte final del libro encuentra unas actividades de Repaso que sirven de autoexamen para comprobar los conocimientos y la comprensión de los temas trabajados; igualmente, varios Anexos como información complementaria.

Invito a los lectores a sumergirse en este viaje de exploración y descubrimiento, utilizando los ejemplos resueltos y los ejercicios propuestos como una guía para alcanzar una comprensión profunda y aplicada del mundo de la Electrónica Digital. Espero que este libro se convierta en un aliado indispensable en su formación y desarrollo profesional.

Oscar Ignacio Botero Henao
Autor

Conversión de Decimal a Binario

Para la conversión de la parte entera, se va dividiendo la cantidad decimal por la base 2 (divisiones sucesivas), tantas veces como sea posible, hasta que llegar a un cociente de 1. Luego, se toma el último "Cociente" y todos los "Residuos" comenzando con el último (bit más significativo - MSB) hasta llegar al primero (bit menos significativo - LSB) como lo indica la flecha en la figura.

Para la conversión de la parte fraccionaria se multiplica sucesivamente por la base 2, hasta la cantidad de dígitos fraccionarios que se requieran o hasta que el resultado del producto sea cero (0); para la respuesta se toman los valores enteros de cada producto y los valores que sobran se siguen multiplicando por 2.

★ Ejemplo 1: ¿Convertir 27,375_d a binario?

Otra forma de evidenciar la solución es:

27 ÷ 2 = 13 y residuo 1
13 ÷ 2 = 6 y residuo 1

Para la parte fraccionaria se utiliza la multiplicación:

Otra forma de evidenciar la solución es:

0,375 x 2 = 0 y residuo 75
0,75 x 2 = 1 y residuo 5
0,5 x 2 = 1 y residuo 0
Parte fraccionaria = 011_b
➤ R/. 27,375_d = 11011,011_b ✓

★ Ejemplo 2: ¿Convertir 103,85₁₀ a binario?

103 ÷ 2 = 51 y residuo 1
51 ÷ 2 = 25 y residuo 1
25 ÷ 2 = 12 y residuo 1
12 ÷ 2 = 6 y residuo 0
6 ÷ 2 = 3 y residuo 0
3 ÷ 2 = 1 y residuo 1
Parte entera = 1100111_b

0,85 x 2 = 1 y residuo 7
0,7 x 2 = 1 y residuo 4
0,4 x 2 = 0 y residuo 8
0,8 x 2 = 1 y residuo 6
0,6 x 2 = 1 y residuo 2
0,2 x 2 = 0 y residuo 4 y se repiten las operaciones a partir del residuo 4
Parte fraccionaria = 110110_b
➤ R/. 103,85_d = 1100111,110110_b ✓

Conversión de Binario a Decimal

Para la conversión se utiliza el "método de la suma de pesos o ponderaciones", donde se toman los dígitos de la parte entera de derecha a izquierdo y se multiplica cada dígito por 2 elevado a la potencia correspondiente, comenzando con 2⁰ e incrementando en uno (1) el valor de la potencia, a esto se le denomina "ponderar cada digito"; luego, se realiza la suma de todos los resultados parciales de la parte entera. Para la parte fraccionaria, se toman los dígitos de izquierda a derecha con exponentes negativos comenzando con 2^-1 y se multiplica por cada dígito que está en esa posición; finalmente, se suman los resultados parciales de la parte fraccionaria. El resultado final es la unión de los dos resultados.

★ Ejemplo 1: ¿Convertir 101,011_b a decimal?

1 x 2² + 0 x 2¹ + 1 x 2⁰ + 0 x 2^-1 + 1 x 2^-2 + 1 x 2^-3
1 x 4 + 0 x 2 + 1 x 1 + 0 x 1/2 + 1 x 1/4 + 1 x 1/8
4 + 1 + 1/4 + 1/8
4 + 1 + 0,25 + 0,125
➤ R/. 101,011_b = 5,375_d ✓

★ Ejemplo 2: ¿Convertir 1101,101_b a decimal?

1 x 2³ + 1 x 2² + 0 x 2¹ + 1 x 2⁰ + 1 x 2^-1 + 0 x 2^-2 + 1 x 2^-3
1 x 8 + 1 x 4 + 0 x 2 + 1 x 1 + 1 x 1/2 + 0 x 1/4 + 1 x 1/8
8 + 4 + 1 + 1/2 + 1/8
8 + 4 + 1 + 0,5 + 0,125
➤ R/. 1101,101_b = 13,625_d ✓

Conversión de Decimal a Octal

Para la conversión de la parte entera, se va dividiendo la cantidad decimal por la base 8 (divisiones sucesivas), tantas veces como sea posible, hasta que llegar a un cociente menor que 8.

Luego, se toma el último "Cociente" y todos los "Residuos" comenzando con el último (bit más significativo - MSB) hasta llegar al primero (bit menos significativo - LSB) como lo indica la flecha en la siguiente figura.

★ Ejemplo 1: ¿Convertir 310,625_d a octal?

Otra forma de evidenciar la solución es:

310 ÷ 8 = 38 y residuo 6
38 ÷ 8 = 4 y residuo 6
Parte entera = 466_o

Para la parte fraccionaria se utiliza la multiplicación:

0,625 x 8 = 5 y residuo 0
Parte fraccionaria = 5_o
➤ R/. 310,625_d = 466,5_o ✓

★ Ejemplo 2: ¿Convertir 415,75_d a octal?

415 ÷ 8 = 51 y residuo 7
51 ÷ 8 = 6 y residuo 3
Parte entera = 637_o

0,75 x 8 = 6 y residuo 0
Parte fraccionaria = 6_o
➤ R/. 415,75_d = 637,6_o ✓

Conversión de Octal a Decimal

Para la conversión se utiliza el "método de la suma de pesos o ponderaciones".

Para la conversión de Octal a Decimal, se toman los dígitos de la parte entera de derecha a izquierda y se multiplica cada dígito por 8 elevado a la potencia correspondiente, comenzando con 8⁰ e incrementando en uno (1) el valor de la potencia, a esto se le denomina "ponderar cada dígito"; luego, se realiza la suma de todos los resultados parciales de la parte entera. Para la parte fraccionaria, se toman los dígitos de izquierda a derecha con exponentes negativos

comenzando con 8^-1 y se multiplica por cada dígito que está en esa posición; finalmente, se suman los resultados parciales de la parte fraccionaria. El resultado final es la unión de los dos resultados.

★ Ejemplo 1: ¿Convertir 521,043_o a decimal?

5 x 8² + 2 x 8¹ + 1 x 8⁰ + 0 x 8^-1 + 4 x 8^-2 + 3 x 8^-3
5 x 64 + 2 x 8 + 1 x 1 + 0 x 1/8 + 4 x 1/64 + 3 x 1/512
320 + 16 + 1 + 0,0625 + 0,005859375
➤ R/. 521,043_o = 337,068359375_d ✓

★ Ejemplo 2: ¿Convertir 713,51_o a decimal?

7 x 8² + 1 x 8¹ + 3 x 8⁰ + 5 x 8^-1 + 1 x 8^-2
7 x 64 + 1 x 8 + 3 x 1 + 5 x 1/8 + 1 x 1/64
448 + 8 + 3 + 0,625 + 0,015625
➤ R/. 713,51_o = 459,640625_d ✓

Conversión de Decimal a Hexadecimal

Para la conversión de la parte entera, se va dividiendo la cantidad decimal por la base 16 (divisiones sucesivas), tantas veces como sea posible, hasta que llegar a un cociente menor que 16. Luego, se toma el último "Cociente" y todos los "Residuos" comenzando con el último (bit más significativo - MSB) hasta llegar al primero (bit menos significativo - LSB) como lo indica la flecha en la siguiente figura.

★ Ejemplo 1: ¿Convertir 158,25_d a hexadecimal?

Otra forma de evidenciar la solución es:

158 ÷ 16 = 9 y residuo 14 --> E
Parte entera = 9E_h

0,25 x 16 = 4 y residuo 0
Parte fraccionaria = 4_h
➤ R/. 158,25_d = 9E,4_h ✓

★ Ejemplo 2: ¿Convertir 92,15_d a hexadecimal?

92 ÷ 16 = 5 y residuo 12 --> C
Parte entera = 5C_h

0,15 x 16 = 2 y residuo 4
0,4 x 16 = 6 y residuo 4
0,4 x 16 = 6 y residuo 4
Parte fraccionaria = 266_h
➤ R/. 92,15_d = 5C,266_h ✓

Conversión de Hexadecimal a Decimal

Para la conversión se utiliza el "método de la suma de pesos o ponderaciones".

Para la conversión de Hexadecimal a Decimal, se toman los dígitos de la parte entera de derecha a izquierda y se multiplica cada dígito por 16 elevado a la potencia correspondiente, comenzando con 16⁰ e incrementando en uno (1) el valor de la potencia, a esto se le denomina "ponderar cada dígito"; luego, se realiza la suma de todos los resultados parciales de la parte entera. Para la parte fraccionaria, se toman los dígitos de izquierda a derecha con exponentes negativos comenzando con 16^-1 y se multiplica por cada dígito que está en esa posición; finalmente, se suman los resultados parciales de la parte fraccionaria. El resultado final es la unión de los dos resultados parciales.

★ Ejemplo 1: ¿Convertir 3AF,D_h a decimal?

3 x 16² + A x 16¹ + F x 16⁰ + D x 16^-1
3 x 256 + 10 x 16 + 15 x 1 + 13 x 1/16
768 + 160 + 15 + 0,8125
➤ R/. 3AF,D_h = 943,8125_d ✓

★ Ejemplo 2: ¿Convertir ABC,37_h a decimal?

A x 16² + B x 16¹ + C x 16⁰ + 3 x 16^-1 + 7 x 16^-2
10 x 256 + 11 x 16 + 12 x 1 + 3 x 1/16 + 7 x 1/256
2560 + 176 + 12 + 0,1875 + 0,02734375
➤ R/. ABC,37_h = 2748,21484375_d ✓

Conversión de Binario a Octal

Este método consiste en agrupar de a tres (3) bits. Para la parte entera se comienza de derecha a izquierda, o sea del bit menos significativo (LSB) hasta el más significativo (MSB), para la parte fraccionaria se agrupan en sentido contrario (de izquierda a derecha). Cuando las cifras no están completas, o sea de a tres (3) bits se completan con ceros (0) a la izquierda para la parte entera y con ceros a la derecha para la parte fraccionaria.

★ Ejemplo 1: ¿Convertir 1001011011,1010_b a octal?

Parte entera: 001 001 011 011_b, agrupados de a 3 bits = 1 1 3 3_o
Parte fraccionaria: 101 000_b, agrupados de a 3 bits = 5 0_o

➤ R/. 1001011011,1010_b = 1133,50_o ✓

★ Ejemplo 2: ¿Convertir 111010011,101011_b a octal?

Parte entera: 111 010 011_b, agrupados de a 3 bits = 7 2 3_o
Parte fraccionaria: 101 011_b, agrupados de a 3 bits = 5 3_o

➤ R/. 111010011,101011_b = 723,53_o ✓

Conversión de Octal a Binario

Cada carácter octal se representa en 3 bits, tanto para la parte entera como para la parte fraccionaria.

★ Ejemplo 1: ¿Convertir 37,61_o a binario?

Parte entera: 37_o, representados en 3 bits cada carácter = 011 111_b
Parte fraccionaria: 61_o, representados en 3 bits cada carácter = 110 001_b
➤ R/. 37,61_o = 011111,110001_b ✓

★ Ejemplo 2: ¿Convertir 152,731_o a binario?

Parte entera: 152_o, representados en 3 bits cada carácter = 001 101 010_b
Parte fraccionaria: 731_o, representados en 3 bits cada carácter = 111 011 001_b
➤ R/. 152,731_o = 1101010,111011001_b ✓

Conversión de Binario a Hexadecimal

Este método es similar a la conversión de Binario a Octal, pero agrupando de a cuatro (4) bits.

Para la parte entera se comienza de derecha a izquierda, o sea del bit menos significativo (LSB) hasta el más significativo (MSB), para la parte fraccionaria se procede a agrupar en sentido contrario, o sea de izquierda a derecha. Cuando las cifras no están completas, o sea de a cuatro (4) bits se completan con ceros (0) a la izquierda para la parte entera y con ceros a la derecha para la parte fraccionaria.

★ Ejemplo 1: ¿Convertir 1101101111,101011_b a hexadecimal?

Parte entera: 11 0110 1111_b, agrupados en 4 bits = 36F_h
Parte fraccionaria: 1010 11_b, agrupados en 4 bits = AC_h
➤ R/. 1101101111,101011_b = 36F,AC_h ✓

★ Ejemplo 2: ¿Convertir 111101011,1000101_b a hexadecimal?

Parte entera: 1 1110 1011_b, agrupados en 4 bits = 1EB_h
Parte fraccionaria: 1000 101_b, agrupados en 4 bits = 8A_h
➤ R/. 111101011,1000101_b = 1EB,8A_h ✓

Conversión de Hexadecimal a Binario

Cada carácter hexadecimal se representa en 4 bits, tanto para la parte entera como la fraccionaria; similar a la conversión de octal a binario.

★ Ejemplo 1: ¿Convertir A46,1F_h a binario?

Parte entera: A46_h, representada en 4 bits = 1010 0100 0110_b
Parte fraccionaria: 1F_h, representada en 4 bits = 0001 1111_b
➤ R/. A46,1F_b = 1010 0100 0110,0001 1111_b ✓

★ Ejemplo 2: ¿Convertir 356,01_h a binario?

Parte entera: 356_h, representada en 4 bits = 11 0101 0110_b
Parte fraccionaria: 01_h, representada en 4 bits = 0000 0001_b
➤ R/. 356,01_h = 11 0101 0110,0000 0001_b ✓

Conversión de Octal a Hexadecimal

Para la conversión se realizan dos pasos, primero se convierte de Octal a Decimal y luego de Decimal a Hexadecimal.

★ Ejemplo 1: ¿Convertir 147,25_o a hexadecimal?

1 x 8² + 4 x 8¹ + 7 x 8⁰ + 2 x 8^-1 + 5 x 8^-2
1 x 64 + 4 x 8 + 7 x 1 + 2 x 1/8 + 5 x 1/64

Ahora, se convierte de Decimal a Hexadecimal:

103 ÷ 16 = 6 y residuo 7
Parte entera = 67_h

0,328125 x 16 = 5 y residuo 25
0,25 x 16 = 4 y residuo 0
Parte fraccionaria = 0,54_h
R/. 103,328125_d = 60,54_h
➤ R/. 147,25_o = 60,54_h ✓

★ Ejemplo 2: ¿Convertir 100,75_o a hexadecimal?

1 x 8² + 0 x 8¹ + 0 x 8⁰ + 7 x 8^-1 + 5 x 8^-2
1 x 64 + 0 x 8 + 0 x 1 + 7 x 1/8 + 5 x 1/64

Ahora, se convierte de Decimal a Hexadecimal:

64 ÷ 16 = 4 y residuo 0
Parte entera = 40_h

0,953125 x 16 = 15 --> F y residuo 25
0,25 x 16 = 4 y residuo 0
Parte fraccionaria = 0,F4_h
R/. 64,953125_d = 40,F4_h
➤ R/. 100,75_o = 40,F4_h ✓

Conversión de Hexadecimal a Octal

Para la conversión se realizan dos pasos, primero se convierte de Hexadecimal a Decimal y luego de Decimal a Octal.

★ Ejemplo 1: ¿Convertir 1A7,5_h a octal?

1 x 16² + A x 16¹ + 7 x 16⁰ + 5 x 16^-1
1 x 256 + 10 x 16 + 7 x 1 + 5 x 1/16
256 + 160 + 7 + 0,3125
R/. 1A7,5_h = 423,3125_d

Ahora, se convierte de Decimal a Octal:

423 ÷ 8 = 52 y residuo 7
52 ÷ 8 = 6 y residuo 4
Parte entera = 647_o

0,3125 x 8 = 2 y residuo 5
0,5 x 8 = 4 y residuo 0
Parte fraccionaria = 24_o
R/. 423,3125_d = 647,24_o
➤ R/. 1A7,5_d = 647,24_o ✓

★ Ejemplo 2: ¿Convertir 61D,3_h a octal?

6 x 16² + 1 x 16¹ + D x 16⁰ + 3 x 16^-1
6 x 256 + 1 x 16 + 13 x 1 + 3 x 1/16
1536 + 16 + 13 + 0,1875
R/. 61D,3_h = 1565,1875_d

Ahora, se convierte de Decimal a Octal:

1565 ÷ 8 = 195 y residuo 5
195 ÷ 8 = 24 y residuo 3
24 ÷ 8 = 3 y residuo 0
Parte entera = 3035_o

0,1875 x 8 = 1 y residuo 5
0,5 x 8 = 4 y residuo 0
Parte fraccionaria = 14_o
R/. 1565,1875_d = 3035,14_o
➤ R/. 61D,3_d = 3035,14_o ✓

Ejercicios propuestos con respuesta

Decimal a Binario

Binario a Decimal

Decimal a Octal

Octal a Decimal

Decimal a Hexadecimal

Hexadecimal a Decimal

Binario a Octal

Octal a Binario

Binario a Hexadecimal

Hexadecimal a Binario

Octal a Hexadecimal

Hexadecimal a Octal

Ayudas y Complementos

Videos

Vídeos sobre conversiones del sistema Decimal:Videos realizados por Marisol Maldonado Olmos (Pasos por Ingeniería), CONVERSIÓN entre sistemas numéricos...

Vídeos sobre conversiones del sistema Binario:Videos realizados por Marisol Maldonado Olmos (Pasos por Ingeniería), CONVERSIÓN entre sistemas numéricos...

Vídeos sobre conversiones del sistema Hexadecimal:Videos realizados por Marisol Maldonado Olmos (Pasos por Ingeniería), CONVERSIÓN entre sistemas numéricos...

Vídeos sobre conversiones del sistema Octal:Videos realizados por Marisol Maldonado Olmos (Pasos por Ingeniería), CONVERSIÓN entre sistemas numéricos...

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Convertidor entre los sistemas numéricos Binario, Decimal y Hexadecimal

Seleccione la opción correcta

El álgebra de Boole se utiliza para representar en forma de ecuaciones un circuito de lógica digital y de esta forma poder solucionarlos.

Demostración de las Reglas de Absorción

Regla 16: aplicar la regla 12 (ley distributiva)

Regla 17: sacar factor común $A$

Regla 18: aplicar la regla 12 (ley distributiva)

Regla 19: aplicar la regla 12 (ley distributiva)

Regla 20: aplicar la regla 13 (ley distributiva)

Regla 21: aplicar la regla 13 (ley distributiva)

Regla 22: aplicar la regla 13 (ley distributiva)

Regla 23: aplicar la regla 12 (ley distributiva)

Regla 24: sacar factor común $A$

Ejemplos

★ Ejemplo 1:

• Sacar factor común $(B \times C)$:

★ Ejemplo 2:

• Aplicar la regla 12:

• Aplicar la regla 7:

★ Ejemplo 3:

• Sacar factor común $(A \times B)$ del segundo y tercer término:

• Aplicar la regla 8:

• Aplicar la regla 6:

★ Ejemplo 4:

• Multiplicar los términos:

• Aplicar las reglas 5 y 7:

• Sacar factor común $X$ del segundo y tercer término:

• Aplicar la regla 7:

★ Ejemplo 5:

• Solucionar los productos del segundo y tercer término:

• Aplicar la regla 6 al primer y segundo término y la regla 5 al cuarto término:

• Sacar factor común $B$ del primer y tercer término:

• Aplicar la regla 4 al primer término:

• Sacar factor común $B$ del primer y tercer término:

• Aplicar la regla 4 al primer término:

★ Ejemplo 6:

• Solucionar el producto:

• Sacar factor común $AC$ del primer y segundo término; y $A \overline{C}$ del tercer y cuarto término:

• Aplicar la regla 4:

• Sacar factor común $A$:

★ Ejemplo 7:

• Factor común $A \overline {B}$ del primero y cuarto término. Factor común $B$ del segundo y tercer término:

• Aplicar la regla 4:

★ Ejemplo 8:

• Aplicar la regla 25 (ley de Morgan):

• Aplicar la regla 26 (ley de Morgan):

★ Ejemplo 9:

• Aplicar la regla 25 (ley de Morgan):

• Aplicar la regla 25 (ley de Morgan):

• Solucionar el producto:

• Función lógica de la compuerta XNOR:

★ Ejemplo 10:

• Aplicar la regla 25 (ley de Morgan):

Ejercicios propuestos con respuestas

"No importa qué tan correcto un teorema matemático puede parecer, uno nunca debe estar convencido de que no había algo imperfecto en ello hasta que también da la impresión de ser hermosa".

George Boole

Ayudas y Complementos

Videos

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Las Operaciones Lógicas Binarias se basan en el Sistema numérico Binario y se implementan mediante circuitos lógicos combinacionales que realizan operaciones básicas como: suma, resta, multiplicación y división.

Suma lógica Binaria

Se suman los dos términos sumandos y si el resultado excede se agrega un '1' a la izquierda del sumando que se está analizando (acarreo = carry).

★ Ejemplo 1:

• Paso 1: se suman los dos primeros sumandos de C1:
$$ 0 + 0 = \textcolor {red} {0} $$

• Paso 2: se suman los sumandos de C2:
$$ 0 + 1 = \textcolor {red} {1} $$

• Paso 3: se suman los sumandos de C3:
$$ 1 + 0 = \textcolor {red} {1} $$

• Paso 4: la respuesta binaria de la suma es:
$$ \large{\boldsymbol{\textcolor {red} {\colorbox {bfc9ca} {$100 + 010 = 110_b$}}}} $$

• Paso 5: verificación en el sistema numérico decimal:
$$ \large{\boldsymbol{\textcolor {red} {\colorbox {bfc9ca} {$4 + 2 = 6_d$}}}} $$

★ Ejemplo 2:

• Paso 1: se suman los sumandos de C1:
$$ 1 + 1 = {\textcolor {red} {0}} \quad y \quad {\textcolor {green} {carry=1}} $$

• Paso 2: se suma el carry anterior con los dos sumandos de C2:
$$ \textcolor {green} {1} + 0 = \textcolor {RoyalBlue} {1} $$ $$ \textcolor {RoyalBlue} {1} + 1 = \textcolor {red} {0} \quad y \quad {\textcolor {green} {carry=1}} $$

• Paso 3: se suma el carry anterior con los dos sumandos de C3:
$$ \textcolor {green} {1} + 1 = \textcolor {RoyalBlue} {0} \quad y \quad {\textcolor {green} {carry=1}}$$ $$ \textcolor {RoyalBlue}{0} + 0 = \textcolor {red} {0} $$

• Paso 4: se suma el carry anterior que está en C4:
$$ \textcolor {red} {1} $$

• Paso 5: la respuesta binaria de la suma es:
$$ \large{\boldsymbol{\textcolor {red} {\colorbox {bfc9ca} {$101 + 011 = 1000_b$}}}} $$

• Paso 6: verificación en el sistema numérico decimal:
$$ \large{\boldsymbol{\textcolor {red} {\colorbox {bfc9ca} {$5 + 3 = 8_d$}}}} $$

★ Ejemplo 3:

• Paso 1: se suman los sumandos de C1:
$$ 1 + 1 = {\textcolor {red} {0}} \quad y \quad {\textcolor {green} {carry=1}} $$

• Paso 2: se suma el carry anterior con los dos sumandos de C2:
$$ \textcolor {green} {1} + 0 = \textcolor {RoyalBlue} {1} $$ $$ \textcolor {RoyalBlue} {1} + 1 = \textcolor {red} {0} \quad y \quad {\textcolor {green} {carry=1}} $$

• Paso 3: se suma el carry anterior con los dos sumandos de C3:
$$ \textcolor {green} {1} + 0 = \textcolor {RoyalBlue} {1} $$ $$ \textcolor {RoyalBlue} {1} + 1 = \textcolor {red} {0} \quad y \quad {\textcolor {green} {carry=1}} $$

• Paso 4: se suma el carry anterior con los dos sumandos de C4:
$$ \textcolor {green} {1} + 1 = \textcolor {RoyalBlue} {0} \quad y \quad {\textcolor {green} {carry=1}}$$ $$ \textcolor {RoyalBlue}{0} + 1 = \textcolor {red} {1} $$

• Paso 5: se suma el carry anterior con los dos sumandos de C5:
$$ \textcolor {green} {1} + 1 = \textcolor {RoyalBlue} {0} \quad y \quad {\textcolor {green} {carry=1}}$$ $$ \textcolor {RoyalBlue}{0} + 0 = \textcolor {red} {0} $$

• Paso 6: se suma el carry anterior que está en C6:
$$ \textcolor {red} {1} $$

• Paso 7: la respuesta de la suma es:
$$ \large{\boldsymbol{\textcolor {red} {\colorbox {bfc9ca} {$11001 + 01111 = 101000_b$}}}} $$

• Paso 8: verificación en el sistema numérico decimal:
$$ \large{\boldsymbol{\textcolor {red} {\colorbox {bfc9ca} {$25 + 15 = 40_d$}}}} $$

★ Ejemplo 4:

• Paso 1: se suman los sumandos de C1:
$$ 0 + 0 = {\textcolor {red} {0}} $$

• Paso 2: se suman los dos sumandos de C2:
$$ 1 + 1 = \textcolor {red} {0} \quad y \quad {\textcolor {green} {carry=1}} $$

• Paso 3: se suma el carry anterior con los dos sumandos de C3:
$$ \textcolor {green} {1} + 1 = \textcolor {RoyalBlue} {0} \quad y \quad {\textcolor {green} {carry=1}} $$ $$ \textcolor {RoyalBlue} {0} + 1 = {\textcolor {red} {1}} $$

• Paso 4: se suma el carry anterior con los dos sumandos de C4:
$$ \textcolor {green} {1} + 1 = \textcolor {RoyalBlue} {0} \quad y \quad {\textcolor {green} {carry=1}} $$ $$ \textcolor {RoyalBlue} {0} + 1 = {\textcolor {red} {1}} $$

• Paso 5: se suma el carry anterior con el sumando de C5:
$$ \textcolor {green}{1} + 0 = {\textcolor {red} {1}} $$

• Paso 6: el sumando de C6:
$$ \textcolor {red} {1} $$

• Paso 7: la respuesta de la suma es:
$$ \large{\boldsymbol{\textcolor {red} {\colorbox {bfc9ca} {$101110 + 1110 = 111100_b$}}}} $$

• Paso 8: verificación en el sistema numérico decimal:
$$ \large{\boldsymbol{\textcolor {red} {\colorbox {bfc9ca} {$46 + 14 = 60_d$}}}} $$

★ Ejemplo 5:

• Paso 1: se suman los sumandos de C1:
$$ 1 + 1 = {\textcolor {red} {0}} \quad y \quad {\textcolor {green} {carry=1}} $$

• Paso 2: se suman los dos sumandos de C2:
$$ \textcolor {green}{1} + 0 = \textcolor {RoyalBlue} {1} $$ $$ \textcolor {RoyalBlue} {1} + 1 = \textcolor {red} {0} \quad y \quad {\textcolor {green} {carry=1}} $$

• Paso 3: se suma el carry anterior con los dos sumandos de C3:
$$ \textcolor {green} {1} + 1 = \textcolor {RoyalBlue} {0} \quad y \quad {\textcolor {green} {carry=1}} $$ $$ \textcolor {RoyalBlue} {0} + 1 = {\textcolor {red} {1}} $$

• Paso 4: se suma el carry anterior con los dos sumandos de C4:
$$ \textcolor {green} {1} + 1 = \textcolor {RoyalBlue} {0} \quad y \quad {\textcolor {green} {carry=1}} $$ $$ \textcolor {RoyalBlue} {0} + 0 = {\textcolor {red} {0}} $$

• Paso 5: se suma el carry anterior con los dos sumandos de C5:
$$ \textcolor {green} {1} + 0 = \textcolor {RoyalBlue} {1} $$ $$ \textcolor {RoyalBlue} {1} + 1 = {\textcolor {red} {0}} \quad y \quad {\textcolor {green} {carry=1}}$$

• Paso 6: se suma el carry anterior con los dos sumandos de C6:
$$ \textcolor {green} {1} + 1 = \textcolor {RoyalBlue} {0} \quad y \quad {\textcolor {green} {carry=1}} $$ $$ \textcolor {RoyalBlue} {0} + 0 = {\textcolor {red} {0}} $$

• Paso 7: se suma el carry anterior con los dos sumandos de C7:
$$ \textcolor {green} {1} + 0 = \textcolor {RoyalBlue} {1} $$ $$ \textcolor {RoyalBlue} {1} + 0 = {\textcolor {red} {1}} $$

• Paso 8: se suman los sumandos de C8:
$$ 1 + 0 = {\textcolor {red} {1}} $$

• Paso 9: el sumando de C9:
$$ \textcolor {red} {1} $$

• Paso 10: la respuesta de la suma es:
$$ \large{\boldsymbol{\textcolor {red} {\colorbox {bfc9ca} {$10101101 + 100010111 = 111000100_b$}}}} $$

• Paso 11: verificación en el sistema numérico decimal:
$$ \large{\boldsymbol{\textcolor {red} {\colorbox {bfc9ca} {$173 + 279 = 452_d$}}}} $$

Resta lógica Binaria

Se sustrae del minuendo el sustraendo, entregando como resultado la diferencia; si el sustraendo excede el minuendo se extrae el '1' del minuendo que está a la izquierda convirtiéndose el de la izquierda en '0', equivaliendo el nuevo minuendo que se está analizando al valor 10_B = 2_D.

★ Ejemplo 1:

• Paso 1: se resta del minuendo el sustraendo de C1; como no tiene pide prestado al minuendo de C2:
$$ 0 - 1 = {\textcolor {red} {1}} \quad y \quad {\textcolor {green} {presta=1}} $$ El minuendo de C2 queda convertido en '0'

• Paso 2: se restan los términos de C2:
$$ \textcolor {green}{0} - 0 = \textcolor {red} {0} $$

• Paso 3: la respuesta de la resta es:
$$ \large{\boldsymbol{\textcolor {red} {\colorbox {bfc9ca} {$10 - 01 = 01_b$}}}} $$

• Paso 4: verificación en el sistema numérico decimal:
$$ \large{\boldsymbol{\textcolor {red} {\colorbox {bfc9ca} {$2 - 1 = 1_d$}}}} $$

★ Ejemplo 2:

• Paso 1: se resta del minuendo el sustraendo de C1; como no tiene pide prestado al minuendo de C2 y el minuendo de C2 no tiene, entonces le pide prestado al minuendo de C3:
$$ 0 - 1 = {\textcolor {red} {1}} \quad y \quad {\textcolor {green} {presta=1}} $$

Inicialmente, el minuendo de C2 queda convertido en '10', pero al prestarle al minuendo de C1 que queda convertido en '01'

El minuendo de C3 queda convertido en '0'

• Paso 2: se resta del minuendo el sustraendo de C2:
$$ \textcolor {green}{1} - 1 = \textcolor {red} {0} $$

• Paso 3: se resta del minuendo el sustraendo de C3:
$$ \textcolor {green}{0} - 0 = \textcolor {red} {0} $$

• Paso 4: la respuesta de la resta es:
$$ \large{\boldsymbol{\textcolor {red} {\colorbox {bfc9ca} {$100 - 011 = 001_b$}}}} $$

• Paso 5: verificación en el sistema numérico decimal:
$$ \large{\boldsymbol{\textcolor {red} {\colorbox {bfc9ca} {$4 - 3 = 1_d$}}}} $$

★ Ejemplo 3:

• Paso 1: se resta del minuendo el sustraendo de C1; como no tiene pide prestado al minuendo de C2 y el minuendo de C2 no tiene, entonces le pide prestado al minuendo de C3:
$$ 0 - 1 = {\textcolor {red} {1}} \quad y \quad {\textcolor {green} {presta=1}} $$

Inicialmente, el minuendo de C2 queda convertido en '10', pero al prestarle al minuendo de C1 que queda convertido en '01'

El minuendo de C3 queda convertido en '0'

• Paso 2: se resta del minuendo el sustraendo de C2:
$$ \textcolor {green}{1} - 1 = \textcolor {red} {0} $$

• Paso 3: se resta del minuendo el sustraendo de C3; como no tiene pide prestado al minuendo de C4:
$$ \textcolor {green}{10} - 1 = \textcolor {red} {1} $$

• Paso 4: se resta del minuendo el sustraendo de C4:
$$ \textcolor {green}{0} - 0 = \textcolor {red} {0} $$

• Paso 5: la respuesta de la resta es:
$$ \large{\boldsymbol{\textcolor {red} {\colorbox {bfc9ca} {$1100 - 0111 = 0101_b$}}}} $$

• Paso 6: verificación en el sistema numérico decimal:
$$ \large{\boldsymbol{\textcolor {red} {\colorbox {bfc9ca} {$12 - 7 = 5_d$}}}} $$

★ Ejemplo 4:

• Paso 1: se resta del minuendo el sustraendo de C1; como no tiene pide prestado al minuendo de C2 y el minuendo de C2 no tiene, entonces le pide prestado al minuendo de C3:
$$ 1 - 1 = {\textcolor {red} {0}} $$

• Paso 2: se resta del minuendo el sustraendo de C2; como no tiene pide prestado al minuendo de C3 y el minuendo de C3 no tiene, entonces le pide prestado al minuendo de C4:
$$ \textcolor {green}{10} - 1 = {\textcolor {red} {1}} \quad y \quad {\textcolor {green} {presta=1}} $$

Inicialmente, el minuendo de C3 queda convertido en '10', pero al prestarle al minuendo de C2 que queda convertido en '01'

El minuendo de C4 queda convertido en '0'

• Paso 3: se resta del minuendo el sustraendo de C3:
$$ \textcolor {green}{01} - 1 = {\textcolor {red} {0}} $$

• Paso 4: se resta del minuendo el sustraendo de C4; como no tiene pide prestado al minuendo de C5:
$$ \textcolor {green}{10} - 1 = {\textcolor {red} {1}} $$ El minuendo de C5 queda convertido en '0'

• Paso 5: se resta del minuendo el sustraendo de C5; como no tiene pide prestado al minuendo de C6:
$$ \textcolor {green}{10} - 1 = {\textcolor {red} {1}} $$ El minuendo de C6 queda convertido en '0'

• Paso 6: se resta del minuendo el sustraendo de C6:
$$ \textcolor {green}{0} - 0 = {\textcolor {red} {0}} $$

• Paso 7: la respuesta de la resta es:
$$ \large{\boldsymbol{\textcolor {red} {\colorbox {bfc9ca} {$111001 - 011111 = 011010_b$}}}} $$

• Paso 8: verificación en el sistema numérico decimal:
$$ \large{\boldsymbol{\textcolor {red} {\colorbox {bfc9ca} {$57 - 31 = 26_d$}}}} $$

★ Ejemplo 5:

• Paso 1: se resta del minuendo el sustraendo de C1:
$$ 1 - 0 = \textcolor {red} {1} $$

• Paso 2: se resta del minuendo el sustraendo de C2; como no tiene pide prestado al minuendo de C3 y el minuendo de C3 no tiene, entonces le pide prestado al minuendo de C4; como no tiene pide prestado al minuendo de C5:
$$ \textcolor {green}{10} - 1 = {\textcolor {red} {1}} \quad y \quad {\textcolor {green} {presta=1}} $$

Inicialmente, el minuendo de C3 queda convertido en '10', pero al prestarle al minuendo de C2 que queda convertido en '01'

Inicialmente, el minuendo de C4 queda convertido en '10', pero al prestarle al minuendo de C3 que queda convertido en '01'

El minuendo de C5 queda convertido en '0'

• Paso 3: se resta del minuendo el sustraendo de C3:
$$ \textcolor {green}{01} - 1 = {\textcolor {red} {0}} \quad y \quad {\textcolor {green} {presta=1}} $$

• Paso 4: se resta del minuendo el sustraendo de C4:
$$ \textcolor {green}{01} - 1 = {\textcolor {red} {0}} \quad y \quad {\textcolor {green} {presta=1}} $$

• Paso 5: se resta del minuendo el sustraendo de C5; como no tiene pide prestado al minuendo de C6:
$$ \textcolor {green}{10} - 1 = {\textcolor {red} {1}} \quad y \quad {\textcolor {green} {presta=1}} $$ El minuendo de C6 queda convertido en '0'

• Paso 6: se resta del minuendo el sustraendo de C6:
$$ \textcolor {green}{0} - 0 = {\textcolor {red} {0}} $$

• Paso 7: la respuesta de la resta es:
$$ \large{\boldsymbol{\textcolor {red} {\colorbox {bfc9ca} {$110001 - 011110 = 010011_b$}}}} $$

• Paso 8: verificación en el sistema numérico decimal:
$$ \large{\boldsymbol{\textcolor {red} {\colorbox {bfc9ca} {$49 - 30 = 19_d$}}}} $$

★ Ejemplo 6:

• Paso 1: se resta del minuendo el sustraendo de C1:
$$ 1 - 0 = \textcolor {red} {1} $$

• Paso 2: se resta del minuendo el sustraendo de C2:
$$ 0 - 0 = \textcolor {red} {0} $$

• Paso 3: se resta del minuendo el sustraendo de C3:
$$ 1 - 0 = \textcolor {red} {1} $$

• Paso 4: se resta del minuendo el sustraendo de C4; como no tiene pide prestado al minuendo de C5 y el minuendo de C5 no tiene, entonces le pide prestado al minuendo de C6:
$$ \textcolor {green}{10} - 1 = {\textcolor {red} {1}} \quad y \quad {\textcolor {green} {presta=1}} $$ Inicialmente, el minuendo de C5 queda convertido en '10', pero al prestarle al minuendo de C4 que queda convertido en '01'

El minuendo de C6 queda convertido en '0'

• Paso 5: se resta del minuendo el sustraendo de C5:
$$ \textcolor {green}{01} - 0 = \textcolor {red} {1} $$

• Paso 6: se resta del minuendo el sustraendo de C6; como no tiene pide prestado al minuendo de C7 y el minuendo de C7 no tiene, entonces le pide prestado al minuendo de C8:
$$ \textcolor {green}{10} - 1 = {\textcolor {red} {1}} \quad y \quad {\textcolor {green} {presta=1}} $$

Inicialmente, el minuendo de C7 queda convertido en '10', pero al prestarle al minuendo de C6 que queda convertido en '01'

El minuendo de C8 queda convertido en '0'

• Paso 7: se resta del minuendo el sustraendo de C7:
$$ \textcolor {green}{01} - 1 = \textcolor {red} {0} $$

• Paso 8: se resta del minuendo el sustraendo de C8; como no tiene pide prestado al minuendo de C9:
$$ \textcolor {green}{10} - 1 = \textcolor {red} {1} $$ El minuendo de C9 queda convertido en '0'

• Paso 9: se resta del minuendo el sustraendo de C9:
$$ \textcolor {green}{0} - 0 = \textcolor {red} {0} $$

• Paso 10: la respuesta de la resta es:
$$ \large{\boldsymbol{\textcolor {red} {\colorbox {bfc9ca} {$110100101 - 011101000 = 010111101_b$}}}} $$

• Paso 11: verificación en el sistema numérico decimal:
$$ \large{\boldsymbol{\textcolor {red} {\colorbox {bfc9ca} {$421 - 232 = 189_d$}}}} $$

• Paso 11: verificación en el sistema numérico decimal:
$$ \large{\boldsymbol{\textcolor {red} {\colorbox {bfc9ca} {$421 - 232 = 189_d$}}}} $$

Otro método de solución

La sustracción o resta es una suma cambiando el signo del sustraendo:

• El signo de un número binario positivo o negativo se cambia hallando su complemento 2.
• Para restar dos números con signo, se calcula el complemento 2 del sustraendo y luego se le suma al minuendo, aplicando las reglas de la suma.
• Los acarreos pueden generar un bit de "desborde" al final de la operación en el extremo izquierdo, este se descarta.

Una forma rápida y fácil de hallar el complemento 2 de un número es:

1. Se toma el número de derecha a izquierda (desde el LSB hasta el MSB) y se escriben igual hasta encontrar el primer '1' incluyéndolo.
2. A partir del primer '1', se cambian los '1' por '0' y viceversa, hasta llegar al final del número.
3. El resultado final es el valor obtenido.

★ Ejemplo 1:

• Paso 1: hallar el complemento 2 del sustraendo de la operación:
• Se escribe igual hasta el primer '1', incluyéndolo = $\textcolor {RoyalBlue}{1} $
• Se cambian los '1' por '0' y viceversa = $ \textcolor {RoyalBlue}{1} $
• El número completo es = $ \textcolor {RoyalBlue}{11}$

• Paso 2: se suma el minuendo de la resta con el número obtenido en complemento 2:
$$ 10 + \textcolor {RoyalBlue}{11} = \textcolor {green}{1} \textcolor {red}{01} \quad \textcolor {green}{se \, descarta \, el \, {1}}$$

• Paso 3: la respuesta de la operación es:
$$ \large{\boldsymbol{\textcolor {red} {\colorbox {bfc9ca} {$01_b=1_d$}}}} $$

★ Ejemplo 2:

• Paso 1: hallar el complemento 2 del sustraendo de la operación:
• Se escribe igual hasta el primer '1', incluyéndolo = $\textcolor {RoyalBlue}{1} $
• Se cambian los '1' por '0' y viceversa = $ \textcolor {RoyalBlue}{10} $
• El número completo es = $ \textcolor {RoyalBlue}{101}$

• Paso 2: se suma el minuendo de la resta con el número obtenido en complemento 2:
$$ 100 + \textcolor {RoyalBlue}{101} = \textcolor {green}{1} \textcolor {red}{001} \quad \textcolor {green}{se \, descarta \, el \, {1}}$$

• Paso 3: la respuesta de la operación es:
$$ \large{\boldsymbol{\textcolor {red} {\colorbox {bfc9ca} {$001_b=1_d$}}}} $$

★ Ejemplo 3:

• Paso 1: hallar el complemento 2 del sustraendo de la operación:
• Se escribe igual hasta el primer '1', incluyéndolo = $\textcolor {RoyalBlue}{1} $
• Se cambian los '1' por '0' y viceversa = $ \textcolor {RoyalBlue}{100} $
• El número completo es = $ \textcolor {RoyalBlue}{1001}$

• Paso 2: se suma el minuendo de la resta con el número obtenido en complemento 2:
$$ 1100 + \textcolor {RoyalBlue}{1001} = \textcolor {green}{1} \textcolor {red}{0101} \quad \textcolor {green}{se \, descarta \, el \, {1}}$$

• Paso 3: la respuesta de la operación es:
$$ \large{\boldsymbol{\textcolor {red} {\colorbox {bfc9ca} {$0101_b=5_d$}}}} $$

★ Ejemplo 4:

• Paso 1: hallar el complemento 2 del sustraendo de la operación:
• Se escribe igual hasta el primer '1', incluyéndolo = $\textcolor {RoyalBlue}{1} $
• Se cambian los '1' por '0' y viceversa = $ \textcolor {RoyalBlue}{10000} $
• El número completo es = $ \textcolor {RoyalBlue}{100001}$

• Paso 2: se suma el minuendo de la resta con el número obtenido en complemento 2:
$$ 111001 + \textcolor {RoyalBlue}{100001} = \textcolor {green}{1} \textcolor {red}{011010} \quad \textcolor {green}{se \, descarta \, el \, {1}}$$

• Paso 3: la respuesta de la operación es:
$$ \large{\boldsymbol{\textcolor {red} {\colorbox {bfc9ca} {$011010_b=26_d$}}}} $$

★ Ejemplo 5:

• Paso 1: hallar el complemento 2 del sustraendo de la operación:
• Se escribe igual hasta el primer '1', incluyéndolo = $\textcolor {RoyalBlue}{10} $
• Se cambian los '1' por '0' y viceversa = $ \textcolor {RoyalBlue}{1000} $
• El número completo es = $ \textcolor {RoyalBlue}{100010}$

• Paso 2: se suma el minuendo de la resta con el número obtenido en complemento 2:
$$ 110001 + \textcolor {RoyalBlue}{100010} = \textcolor {green}{1} \textcolor {red}{0101} \quad \textcolor {green}{se \, descarta \, el \, {1}}$$

• Paso 3: la respuesta de la operación es:
$$ \large{\boldsymbol{\textcolor {red} {\colorbox {bfc9ca} {$010011_b=19_d$}}}} $$

★ Ejemplo 6:

• Paso 1: hallar el complemento 2 del sustraendo de la operación:
• Se escribe igual hasta el primer '1', incluyéndolo = $\textcolor {RoyalBlue}{1000} $
• Se cambian los '1' por '0' y viceversa = $ \textcolor {RoyalBlue}{10001} $
• El número completo es = $ \textcolor {RoyalBlue}{100011000}$

• Paso 2: se suma el minuendo de la resta con el número obtenido en complemento 2:
$$ 110100101 + \textcolor {RoyalBlue}{100011000} = \textcolor {green}{1} \textcolor {red}{0101} \quad \textcolor {green}{se \, descarta \, el \, {1}}$$

• Paso 3: la respuesta de la operación es:
$$ \large{\boldsymbol{\textcolor {red} {\colorbox {bfc9ca} {$010111101_b=189_d$}}}} $$

Multiplicación lógica Binaria

La multiplicación de números binarios se realiza de forma similar a la multiplicación de números decimales, salvo que la suma de los productos parciales se realiza en binario.

★ Ejemplo 1:

• Paso 1: se realiza el producto de cada bit Multiplicador por cada bit del Multiplicando:
$$ 0 \times 11 = \textcolor {RoyalBlue}{00} $$ $$ 1 \times 11 = \textcolor {RoyalBlue}{11} $$

• Paso 2: se suman los anteriores resultados parciales respetando las posiciones que ocupan dentro de la solución del producto:
$$ \large{\boldsymbol{\textcolor {red} {\colorbox {bfc9ca} {$110$}}}} $$

• Paso 3: el resultado de la multiplicación es:
$$ 11 \times 10 = \large{\boldsymbol{\textcolor {red} {\colorbox {bfc9ca} {$110_b=6_d$}}}} $$

• Paso 4: verificación en el sistema numérico decimal:
$$ \large{\boldsymbol{\textcolor {red} {\colorbox {bfc9ca} {$3 \times 2=6_d$}}}} $$

★ Ejemplo 2:

• Paso 1: se realiza el producto de cada bit Multiplicador por cada bit del Multiplicando:
$$ 1 \times 110 = \textcolor {RoyalBlue}{110} $$ $$ 1 \times 110 = \textcolor {RoyalBlue}{110} $$ $$ 1 \times 110 = \textcolor {RoyalBlue}{110} $$

• Paso 2: se suman los anteriores resultados parciales respetando las posiciones que ocupan dentro de la solución del producto:
$$ \large{\boldsymbol{\textcolor {red} {\colorbox {bfc9ca} {$101010$}}}} $$

• Paso 3: el resultado de la multiplicación es:
$$ 110 \times 111 = \large{\boldsymbol{\textcolor {red} {\colorbox {bfc9ca} {$101010_b=42_d$}}}} $$

• Paso 4: verificación en el sistema numérico decimal:
$$ \large{\boldsymbol{\textcolor {red} {\colorbox {bfc9ca} {$6 \times 7=42_d$}}}} $$

★ Ejemplo 3:

• Paso 1: se realiza el producto de cada bit Multiplicador por cada bit del Multiplicando:
$$ 0 \times 1101 = \textcolor {RoyalBlue}{0000} $$ $$ 1 \times 1101 = \textcolor {RoyalBlue}{1101} $$ $$ 0 \times 1101 = \textcolor {RoyalBlue}{0000} $$ $$ 1 \times 1101 = \textcolor {RoyalBlue}{1101} $$

• Paso 2: se suman los anteriores resultados parciales respetando las posiciones que ocupan dentro de la solución del producto:
$$ \large{\boldsymbol{\textcolor {red} {\colorbox {bfc9ca} {$10000010$}}}} $$

• Paso 3: el resultado de la multiplicación es:
$$ 1101 \times 1010 = \large{\boldsymbol{\textcolor {red} {\colorbox {bfc9ca} {$10000010_b=130_d$}}}} $$

• Paso 4: verificación en el sistema numérico decimal:
$$ \large{\boldsymbol{\textcolor {red} {\colorbox {bfc9ca} {$13 \times 10=130_d$}}}} $$

★ Ejemplo 4:

• Paso 1: se realiza el producto de cada bit Multiplicador por cada bit del Multiplicando:
$$ 0 \times 10110 = \textcolor {RoyalBlue}{00000} $$ $$ 1 \times 10110 = \textcolor {RoyalBlue}{10110} $$ $$ 0 \times 10110 = \textcolor {RoyalBlue}{00000} $$ $$ 1 \times 10110 = \textcolor {RoyalBlue}{10110} $$

• Paso 2: se suman los anteriores resultados parciales respetando las posiciones que ocupan dentro de la solución del producto:
$$ \large{\boldsymbol{\textcolor {red} {\colorbox {bfc9ca} {$11011100$}}}} $$

• Paso 3: el resultado de la multiplicación es:
$$ 10110 \times 1010 = \large{\boldsymbol{\textcolor {red} {\colorbox {bfc9ca} {$11011100_b=220_d$}}}} $$

• Paso 4: verificación en el sistema numérico decimal:
$$ \large{\boldsymbol{\textcolor {red} {\colorbox {bfc9ca} {$22 \times 10=220_d$}}}} $$

★ Ejemplo 5:

• Paso 1: se realiza el producto de cada bit Multiplicador por cada bit del Multiplicando:
$$ 1 \times 1010110 = \textcolor {RoyalBlue}{1010110} $$ $$ 1 \times 1010110 = \textcolor {RoyalBlue}{1010110} $$ $$ 0 \times 1010110 = \textcolor {RoyalBlue}{0000000} $$ $$ 1 \times 1010110 = \textcolor {RoyalBlue}{1010110} $$

• Paso 2: se suman los anteriores resultados parciales respetando las posiciones que ocupan dentro de la solución del producto:
$$ \large{\boldsymbol{\textcolor {red} {\colorbox {bfc9ca} {$1110110010$}}}} $$

• Paso 3: el resultado de la multiplicación es:
$$ 1010110 \times 1011 = \large{\boldsymbol{\textcolor {red} {\colorbox {bfc9ca} {$1110110010_b=946_d$}}}} $$

• Paso 4: verificación en el sistema numérico decimal:
$$ \large{\boldsymbol{\textcolor {red} {\colorbox {bfc9ca} {$86 \times 11=946_d$}}}} $$

División lógica Binaria

Se realiza de forma similar a la división de los números decimales, salvo que las multiplicaciones y restas internas al proceso de la división se hacen en sistema numérico binario.

★ Ejemplo 1:

• Paso 1: como el Divisor tiene 2 bits (10), se toman igualmente 2 bits en el Dividendo (10):
• El $Dividendo > Divisor $ y lo contiene $ \bold {\textcolor {red}{1}} $ vez
• Se realiza el producto de: $1 \times 10 = \textcolor {RoyalBlue}{10} $
• Se halla la diferencia entre: $ 10 - \textcolor {RoyalBlue}{10} = \textcolor {RoyalBlue}{00} $

• Paso 2:
• Se baja el bit '0' del Dividendo y el nuevo Dividendo es '000'
• Como el nuevo $ Dividendo < Divisor $ se coloca un $ \bold {\textcolor {red}{0}}$ en el Cociente
• Como no hay más bits para bajar, la operación termina.

• Paso 3: los resultados del Cociente y el Residuo son:
$$ Cociente: \large{\boldsymbol{\textcolor {red} {\colorbox {bfc9ca} {$10_b=2_d$}}}} $$ $$ Residuo: \large{\boldsymbol{\textcolor {red} {\colorbox {bfc9ca} {$000_b=0_d$}}}} $$

• Paso 4: verificación en el sistema numérico decimal:
$$ \large{\boldsymbol{\textcolor {red} {\colorbox {bfc9ca} {$4 \div 2=2_d$}}}} $$

★ Ejemplo 2:

• Paso 1: como el Divisor tiene 3 bits (101), se toman igualmente 3 bits en el Dividendo (110):
• El $ Dividendo > Divisor $ y lo contiene $ \bold {\textcolor {red}{1}} $ vez
• Se realiza el producto de: $ 1 \times 101 = \textcolor {RoyalBlue}{101} $
• Se halla la diferencia entre: $ 110 - \textcolor {RoyalBlue}{101} = \textcolor {RoyalBlue}{001} $

• Paso 2:
• Se baja el bit '0' del Dividendo y el nuevo Dividendo es '0010'
• Como el $ Dividendo < Divisor $ se coloca un $ \bold {\textcolor {red}{0}}$ en el Cociente
• Se baja otro bit (1) y el nuevo Dividendo es '00101'
• Como el $ Dividendo > Divisor $ se coloca un $ \bold {\textcolor {red}{1}}$ en el Cociente
• Se realiza la operación: $ 1 \times 101 = \textcolor {RoyalBlue}{101} $
• Se halla la diferencia entre: $ 101 - \textcolor {RoyalBlue}{101} = \textcolor {RoyalBlue}{000} $
• Como no hay más bits para bajar, la operación termina

• Paso 3: los resultados del Cociente y el Residuo son:
$$ Cociente: \large{\boldsymbol{\textcolor {red} {\colorbox {bfc9ca} {$101_b=5_d$}}}} $$ $$ Residuo: \large{\boldsymbol{\textcolor {red} {\colorbox {bfc9ca} {$000_b=0_d$}}}} $$

• Paso 4: verificación en el sistema numérico decimal:
$$ \large{\boldsymbol{\textcolor {red} {\colorbox {bfc9ca} {$25 \div 5=5_d$}}}} $$

★ Ejemplo 3:

• Paso 1: como el Divisor tiene 2 bits (11), se toman igualmente 2 bits en el Dividendo (10):
• Como el $ Dividendo \lt Divisor $, se toma otro bit del Dividendo (101)
• El $Dividendo \gt Divisor $ y lo contiene se coloca un $ \bold {\textcolor {red}{1}} $ en el Cociente
• Se realiza el producto de: $ 1 \times 11 = \textcolor {RoyalBlue}{11} $
• Se halla la diferencia entre: $ 101 - \textcolor {RoyalBlue}{11} = \textcolor {RoyalBlue}{010} $

• Paso 2:
• Se baja el bit '0' del Dividendo y el nuevo Dividendo es '100'
• Como el nuevo $ Dividendo \gt Divisor $ y lo contiene, se coloca un $ \bold { \textcolor {red}{1}} $ en el Cociente
• Se realiza el producto de: $ 1 \times 11 = \textcolor {RoyalBlue}{11} $
• Se halla la diferencia entre: $ 100 - \textcolor {RoyalBlue}{11} = \textcolor {RoyalBlue}{001} $

• Paso 3:
• Se baja el bit '1' del Dividendo y el nuevo Dividendo es '011'
• Como el nuevo $ Dividendo \gt Divisor $ y lo contiene, se coloca un $ \bold {\textcolor {red}{1}} $ en el Cociente
• Se realiza el producto de: $ 1 \times 11 = \textcolor {RoyalBlue}{11} $
• Se halla la diferencia entre: $ 011 - \textcolor {RoyalBlue}{011} = \textcolor {RoyalBlue}{000} $

• Paso 4:
• Se baja el bit '0' del Dividendo y el nuevo Dividendo es '000'
• Como el nuevo $ Dividendo \lt Divisor $ y NO lo contiene, se coloca un $ \bold {\textcolor {red}{0}} $ en el Cociente
• Como no hay más bits para bajar, la operación termina

• Paso 5: los resultados del Cociente y el Residuo son:
$$ Cociente: \large{\boldsymbol{\textcolor {red} {\colorbox {bfc9ca} {$1110_b=14_d$}}}} $$ $$ Residuo: \large{\boldsymbol{\textcolor {red} {\colorbox {bfc9ca} {$000_b=0_d$}}}} $$

• Paso 6: verificación en el sistema numérico decimal:
$$ \large{\boldsymbol{\textcolor {red} {\colorbox {bfc9ca} {$42 \div 3=14_d$}}}} $$

★ Ejemplo 4:

• Paso 1: como el Divisor tiene 3 bits (110), se toman igualmente 3 bits en el Dividendo (110):
• El $Dividendo = Divisor $ y lo contiene se coloca un $ \bold {\textcolor {red}{1}} $ en el Cociente
• Se realiza el producto de: $ 1 \times 110 = \textcolor {RoyalBlue}{110} $
• Se halla la diferencia entre: $ 110 - \textcolor {RoyalBlue}{110} = \textcolor {RoyalBlue}{000} $

• Paso 2:
• Se baja el bit '0' del Dividendo y el nuevo Dividendo es '000'
• Como el nuevo $ Dividendo \lt Divisor $ y NO lo contiene, se coloca un $ \bold {\textcolor {red}{0}} $ en el Cociente

• Paso 3:
• Se baja el bit '1' del Dividendo y el nuevo Dividendo es '001'
• Como el nuevo $ Dividendo \lt Divisor $ y NO lo contiene, se coloca un $ \bold {\textcolor {red}{0}} $ en el Cociente

• Paso 4:
• Se baja el bit '0' del Dividendo y el nuevo Dividendo es '010'
• Como el nuevo $ Dividendo \lt Divisor $ y NO lo contiene, se coloca un $ \bold {\textcolor {red}{0}} $ en el Cociente
• Como no hay más bits para bajar, la operación termina

• Paso 5: los resultados del Cociente y el Residuo son:
$$ Cociente: \large{\boldsymbol{\textcolor {red} {\colorbox {bfc9ca} {$1000_b=8_d$}}}} $$ $$ Residuo: \large{\boldsymbol{\textcolor {red} {\colorbox {bfc9ca} {$010_b=2_d$}}}} $$

• Paso 6: verificación en el sistema numérico decimal:
$$ \large{\boldsymbol{\textcolor {red} {\colorbox {bfc9ca} {$50 \div 6=8_d \, y \,sobra \,2_d$}}}} $$

★ Ejemplo 5:

• Paso 1: como el Divisor tiene 4 bits (1000), se toman igualmente 4 bits en el Dividendo (1101):

• El $Dividendo \gt Divisor $ y lo contiene se coloca un $ \bold {\textcolor {red}{1}} $ en el Cociente
• Se realiza el producto de: $ 1 \times 1000 = \textcolor {RoyalBlue}{1000} $
• Se halla la diferencia entre: $ 1101 - \textcolor {RoyalBlue}{1000} = \textcolor {RoyalBlue}{0101} $

• Paso 2:
• Se baja el bit '0' del Dividendo y el nuevo Dividendo es '1010'
• Como el nuevo $ Dividendo \gt Divisor $ y lo contiene, se coloca un $ \bold {\textcolor {red}{1}} $ en el Cociente
• Se realiza el producto de: $ 1 \times 1000 = \textcolor {RoyalBlue}{1000} $
• Se halla la diferencia entre: $ 1010 - \textcolor {RoyalBlue}{1000} = \textcolor {RoyalBlue}{0010} $

• Paso 3:
• Se baja el bit '0' del Dividendo y el nuevo Dividendo es '0100'
• Como el nuevo $ Dividendo \lt Divisor $ y NO lo contiene, se coloca un $ \bold {\textcolor {red}{0}} $ en el Cociente

• Paso 4:
• Se baja el bit '1' del Dividendo y el nuevo Dividendo es '1001'
• Como el nuevo $ Dividendo \gt Divisor $ y lo contiene, se coloca un $ \bold {\textcolor {red}{1}} $ en el Cociente
• Se realiza el producto de: $ 1 \times 1000 = \textcolor {RoyalBlue}{1000} $
• Se halla la diferencia entre: $ 1001 - \textcolor {RoyalBlue}{1000} = \textcolor {RoyalBlue}{0001} $

• Paso 5:
• Se baja el bit '1' del Dividendo y el nuevo Dividendo es '0011'
• Como el nuevo $ Dividendo \lt Divisor $ y NO lo contiene, se coloca un $ \bold {\textcolor {red}{0}} $ en el Cociente
• Como no hay más bits para bajar, la operación termina.

• Paso 6: los resultados del Cociente y el Residuo son:
$$ Cociente: \large{\boldsymbol{\textcolor {red} {\colorbox {bfc9ca} {$11010_b=26_d$}}}} $$ $$ Residuo: \large{\boldsymbol{\textcolor {red} {\colorbox {bfc9ca} {$0011_b=3_d$}}}} $$

• Paso 7: verificación en el sistema numérico decimal:
$$ \large{\boldsymbol{\textcolor {red} {\colorbox {bfc9ca} {$211 \div 8=26_d \, y \,sobra \,3_d$}}}} $$

Ejercicios propuestos con respuesta

Circuitos Sumadores

Por medio de los circuitos lógicos combinacionales (compuertas lógicas) se pueden implementar circuitos que realicen sumas.

Semi-Sumador (SS)

El circuito Semi Sumador (SS = Semi Sumador, HA = Half Adder) se utiliza para sumar dos bits de datos únicamente y su diagrama en bloques es:

En la tabla de verdad del Semi Sumador se observa que la salida (Σ) cumple con la tabla de verdad de la compuerta lógica XOR.

El plano esquemático del circuito semi sumador está compuesto por 2 compuertas lógicas: XOR y AND cada una con dos entradas para los sumandos A y B; y la salida Σ para la Suma y Co para el acarreo (carry).

Las funciones lógicas del Semi Sumador son:

Sumador Completo (SC)

El circuito sumador completo (SC = Sumador Completo, FA = Full Adder) se utiliza para sumar 3 bits de datos y su diagrama en bloques es:

En la tabla de verdad se puede observar el comportamiento del circuito con un Acarreo de Entrada (Carry In = Ci) de '0' y de '1'.

En el diagrama en bloques se observa que el Sumador Completo (SC) está conformado por 2 Semi Sumadores (SS) conectados en cascada.

El plano esquemático del Sumador Completo es:

Las funciones lógicas del Sumador Completo son:

Ejemplos

★ Ejemplo 1:

• Paso 1: hallar las salidas para cada pulso de entrada:
• Pulso a: entradas A = '0' y B = '1', las salidas suma = '1' y Co = '0'
• Pulso b: entradas A = '0' y B = '0', las salidas suma = '0' y Co = '0'
• Pulso c: entradas A = '1' y B = '1', las salidas suma = '0' y Co = '1'
• Pulso d: entradas A = '0' y B = '0', las salidas suma = '0' y Co = '0'
• Pulso e: entradas A = '1' y B = '1', las salidas suma = '0' y Co = '1'
• Pulso f: entradas A = '0' y B = '1', las salidas suma = '1' y Co = '0'

• Paso 2: la tabulación de la información es:
• Tabla de verdad:

• Una imagen de la simulación en Proteus:

Repositorio en Github (Ejemplo-1-SS.dsn) con el archivo de la simulación con Proteus v7.8

★ Ejemplo 2:

• Paso 1: hallar las salidas para cada pulso de entrada:
• Pulso a: entradas A = '1', B = '1' y Ci = '0', las salidas suma = '0' y Co = '1'
• Pulso b: entradas A = '0', B = '0' y Ci = '0', las salidas suma = '0' y Co = '0'
• Pulso c: entradas A = '0', B = '1' y Ci = '0', las salidas suma = '1' y Co = '0'
• Pulso d: entradas A = '1', B = '0' y Ci = '0', las salidas suma = '1' y Co = '0'
• Pulso e: entradas A = '1', B = '0' y Ci = '1', las salidas suma = '0' y Co = '1'
• Pulso f: entradas A = '0', B = '1' y Ci = '1', las salidas suma = '0' y Co = '1'
• Pulso g: entradas A = '0', B = '0' y Ci = '1', las salidas suma = '1' y Co = '0'
• Pulso h: entradas A = '1', B = '1' y Ci = '1', las salidas suma = '1' y Co = '1'

• Paso 2: la tabulación de la información es:
• Tabla de verdad:

• Una imagen de la simulación en Proteus:

Repositorio en Github (Ejemplo-2-SC.dsn) con el archivo de la simulación con Proteus v7.8

★ Ejemplo 3:

• Paso 1: en el diagrama en bloques:
• El primer bloque es un Semi Sumador (SS) que realiza la operación entre A1 y B1 y genera la salida S1 y el acarreo Co1
• El segundo bloque es un Sumador Completo (SC), que recibe el dato del acarreo del bloque anterior (Co1) y los datos A2 y B2 de los sumandos, para generar las salidas S2 y el acarreo Co2 que hace las veces del tercer bit en la respuesta (S3)

• Paso 2:
• Una imagen de la simulación en Proteus:
• La operación que se observa en la imagen es: $ 11 + 11 = 110_b$ que equivale a: $ 3 + 3 = 6_d $

Repositorio en Github (Ejemplo-3-SC.dsn) con el archivo de la simulación con Proteus v7.8

Circuitos Restadores

Semi-Restador (SR)

El circuito Semi Restador (SR = Semi Restador, HS = Half Substractor) se utiliza para restar dos bits de datos únicamente.

En la tabla de verdad del Semi Restador se observa que la salida (D) cumple con la tabla de verdad de la compuerta lógica XOR.

El plano esquemático del circuito semi restador está compuesto por 3 compuertas lógicas: XOR y AND cada una con dos entradas para los datos A y B, y la NOT que se conecta al 'MINUENDO'; y las salidas D para la Diferencia y Bo para el préstamo (Borrow).

Las funciones lógicas del Semi Restador son:

Restador Completo (RC)

El circuito restador completo (RC = Restador Completo, FS = Full Substractor) se utiliza para restar 3 bits de datos.

En la tabla de verdad del Restador Completo se observa que la salida (D) cumple con la tabla de verdad de la compuerta lógica XOR.

En el diagrama en bloques se observa que el Restador Completo (RC) está conformado por 2 Semi Restadores (SR) conectados en cascada.

El plano esquemático del Restador Completo es:

Las funciones lógicas del Restador Completo son:

Ejemplos

★ Ejemplo 1:

• Paso 1: hallar las salidas para cada pulso de entrada:
• Pulso a: entradas A = '0' y B = '1', las salidas diferencia = '1' y Po = '1'
• Pulso b: entradas A = '0' y B = '0', las salidas diferencia = '0' y Po = '0'
• Pulso c: entradas A = '1' y B = '1', las salidas diferencia = '0' y Po = '0'
• Pulso d: entradas A = '1' y B = '0', las salidas diferencia = '1' y Po = '0'
• Pulso e: entradas A = '1' y B = '1', las salidas diferencia = '0' y Po = '0'
• Pulso f: entradas A = '0' y B = '1', las salidas diferencia = '1' y Po = '1'

• Paso 2: la tabulación de la información es:
• Tabla de verdad:

• Una imagen de la simulación en Proteus:

Repositorio en Github (Ejemplo-1-SR.dsn) con el archivo de la simulación con Proteus v7.8

★ Ejemplo 2:

• Paso 1: hallar las salidas para cada pulso de entrada:
• Pulso a: entradas A = '0', B = '0' y Pi = '0', las salidas diferencia = '0' y Po = '0'
• Pulso b: entradas A = '0', B = '1' y Pi = '0', las salidas diferencia = '1' y Po = '1'
• Pulso c: entradas A = '1', B = '0' y Pi = '0', las salidas diferencia = '1' y Po = '0'
• Pulso d: entradas A = '1', B = '1' y Pi = '0', las salidas diferencia = '0' y Po = '0'
• Pulso e: entradas A = '1', B = '1' y Pi = '1', las salidas diferencia = '1' y Po = '1'
• Pulso f: entradas A = '1', B = '0' y Pi = '1', las salidas diferencia = '0' y Po = '0'
• Pulso g: entradas A = '0', B = '1' y Pi = '1', las salidas diferencia = '0' y Po = '1'
• Pulso h: entradas A = '0', B = '0' y Pi = '1', las salidas diferencia = '1' y Po = '1'

• Paso 2: la tabulación de la información es:
• Tabla de verdad:

• Una imagen de la simulación en Proteus:

Repositorio en Github (Ejemplo-2-RC.dsn) con el archivo de la simulación con Proteus v7.8

★ Ejemplo 3:

• Paso 1: en el diagrama en bloques:
• El primer bloque es un Semi Restador (SR) que realiza la operación entre A1 y B1 y genera la salida D1 y el préstamo Po1.
• El segundo bloque es un Restador Completo (RC), que recibe el dato del préstamo del bloque anterior (Po1) y los datos A2 y B2, para generar las salidas D2 y el préstamo Po2 que hace las veces del tercer bit en la respuesta (D3), pero este dato se descarta.

• Paso 2: una imagen de la simulación en Proteus:
• La operación que se observa en la imagen es: $ 11 - 10 = 01_b$ que equivale a: $ 3 - 2 = 1_d $

Repositorio en Github (Ejemplo-3a-RC.dsn) con el archivo de la simulación con Proteus v7.8

★ Ejemplo 4:

• Paso 1: obtener el Complemento 2:
• Para realizar una Resta utilizando la Suma, es necesario hallar el Complemento 2 al Sustraendo y una de las formas es obteniendo primero el Complemento 1 y luego sumarle '1'.
• El Complemento 1 se obtiene cambiando los '0' por '1' y viceversa. Ej: $ 10_b $ el Complemento 1 es: $ 01_b $ y luego, se le suma '1' para obtener el Complemento 2 que será el nuevo Sumando para la operación.

• Paso 2: implementación del circuito para el Complemento 2:
• Para implementar el Complemento 2 del Sustraendo se utiliza una compuerta NOT en la entrada del bit "B"
• Para sumarle '1' se requiere que el primer bloque sea un Sumador Completo (SC), que posee 3 entradas: 2 para los bits A1 y B1 y una tercera para Ci que sirve para adicionarle el '1' y de esa forma obtener el Complemento 2 del Sustraendo.

• Paso 3: en el diagrama en bloques utilizando Sumadores Completos (SC):

• Para operar 2 bits se requieren 2 Sumadores Completos (SC) conectados en cascada.
• El primer bloque realiza la operación: $ A1 + B1 + 1 $ y genera la salida D1 y el acarreo Co1 que se conectará al siguiente bloque Sumador.
• El segundo bloque recibe el dato del acarreo del bloque anterior (Co1) y adiciona los datos A2 y B2, para generar las salidas D2 y el acarreo Co2 que es descartado para el resultado.

• Paso 4: imagen de la simulación en Proteus:
• La operación que se observa en la imagen es: $ 11 - 10 = 01_b$ que equivale a: $ 3 - 2 = 1_d $

Repositorio en Github (Ejemplo-3b-RC.dsn) con el archivo de la simulación con Proteus v7.8

★ Ejemplo 5:

• Paso 1: obtener el Complemento 2:
• Para realizar una Resta utilizando la Suma, es necesario hallar el Complemento 2 al Sustraendo y una de las formas es obteniendo primero el Complemento 1 y luego sumarle '1'.

• El Complemento 1 se obtiene cambiando los '0' por '1' y viceversa. Ej: $ 10_b $ el Complemento 1 es: $ 01_b $ y luego, se le suma '1' para obtener el Complemento 2 que será el nuevo Sumando para la operación.

• Paso 2: implementación del circuito para el control de "Suma" y "Resta" (Complemento 2):
• Para realizar la Suma se requiere que el bit de "B" no cambie y para la Resta que se invierta
• Para implementar el Complemento 2 del Sustraendo se requiere Negar la entrada "B" y luego Sumar '1'
• Por medio de una compuerta XOR se controla la selección del tipo de operación:

• Paso 3: diagrama en bloques del sistema Suma / Resta utilizando Sumadores Completos (SC):

• Paso 4: imagen de la simulación en Proteus:
• La operación que se observa en la imagen es: $ 11 + 10 = 101_b$ que equivale a: $ 3 + 2 = 5_d $


• La operación que se observa en la imagen es: $ 11 - 10 = 01_b$ que equivale a: $ 3 - 2 = 1_d $

Repositorio en Github (Ejemplo-3c-RC.dsn) con el archivo de la simulación con Proteus v7.8

Multiplicador

La multiplicación de números binarios se realiza de forma similar a la de números decimales, multiplicando cada bit del MULTIPLICADOR por cada bit del MULTIPLICANDO y se utilizan las reglas de las operaciones binarias de la Multiplicación y la Suma.

El bloque Multiplicador de 2 bits está conformado por una compuerta AND de 2 entradas:

Ejemplos

★ Ejemplo 1:

• Paso 1: la estructura para la operación es:

• Paso 2: el diagrama en bloques:
• El primer bloque es una compuerta AND de 2 entradas que realiza las operaciones entre el Multiplicador B1 y el Multiplicando A1 y genera la respuesta A1B1.
• El segundo bloque es una compuerta AND de 2 entradas que realiza las operaciones entre el Multiplicador B2 y el Multiplicando A1 y genera la respuesta A1B2.
• El diagrama completo lo conforman 2 bloques Multiplicadores, donde sus respectivas respuestas son a la vez los resultados finales M1 y M2 de la operación.

• Paso 3: la implementación en un software de simulación electrónica:
• Una imagen de la simulación en Proteus:

Repositorio en Github (Ejemplo-1-M.dsn) con el archivo de la simulación con Proteus v7.8

★ Ejemplo 2:

• Paso 1: la estructura para la operación es:

Repositorio en Github (Ejemplo-2-M.dsn) con el archivo de la simulación con Proteus v7.8

Divisor

Para implementar el circuito Combinacional para ejecutar la División se requiere como base una Unidad de Procesamiento (UP) que realice el Complemento 2 y luego haga una comparación para saber si el resultado de la resta es positivo o negativo.

Unidad de Procesamiento (UP):

La operación de la Resta se realiza por el método del Complemento 2, donde primero se obtiene el Complemento 1 al Sustraendo y luego se le suma ‘1’.

Si el Acarreo (Co) es ‘1’, indica que el resultado de la resta es positivo y la salida del Multiplexor (MUX) será la diferencia (D) entre A y B (A-B).

Si el Acarreo (Co) es ‘0’, indica que el resultado de la resta es negativo y la salida del Multiplexor (MUX) será el bit de A.

Para desplazar a la derecha el valor del Divisor en las operaciones internas se lleva a cabo de acuerdo a la disposición que ocupa cada una de las UP dentro del sistema completo.

La cantidad de filas es igual a la cantidad de bits del DIVIDENDO.

Como el DIVISOR tiene 2 bits, las 2 primeras filas tienen 2 UP y el resto tendrán una UP más.

El DIVIDENDO tiene la misma cantidad de bits que el COCIENTE y el DIVISOR tiene la misma cantidad de bits que el RESIDUO.

Si se divide por 1, el valor del Dividendo es igual al del Cociente y el del Divisor es igual al del Residuo.

Ejemplos

★ Ejemplo 1:

• Paso 1: la estructura para la operación es:

• Paso 2: diagrama de bloques:

• El DIVIDENDO tiene 2 bits, entonces el sistema consta de 2 filas.
• El DIVISOR tiene 2 bit, o sea que las dos primeras filas contienen 2 UP y si tuviese más filas, las restantes tendrían una UP de más.
• Para la UP2, el bit para ingresar por la entrada A es '0' para completar los datos.
• El DIVISOR debe pasar a través de una compuerta NOT para obtener el Complemento 1.
• Para la primera UP de cada fila (la del extremo derecho, UP1, UP3), por la entrada Ci se ingresa el 1 para obtener su Complemento 2.
• El DIVIDENDO tiene la misma cantidad de bits que el COCIENTE.

• El DIVISOR tiene la misma cantidad de bits que el RESIDUO.
• Si se divide por 1, el valor del Dividendo es igual al del Cociente y el del Divisor es igual al del Residuo
• La línea discontinua de color rojo muestra la propagación y el desplazamiento del DIVISOR para cada comparación con el Dividendo.

• Paso 3: la implementación en un software de simulación electrónica:

Repositorio en Github (Divisor 2x2bits.dsn) con el archivo de la simulación con Proteus v7.8

★ Ejemplo 2:

• Paso 1: la estructura para la operación es:

• Paso 2: diagrama de bloques:
• El DIVIDENDO tiene 3 bits, por ello el sistema consta de 2 filas.
• El DIVISOR tiene 2 bit, o sea que las dos primeras filas contienen 2 UP y las restantes tendrían una UP de más (en este ejemplo la tercera fila).

• Para la UP2, el bit para ingresar por la entrada A es '0' para completar los datos y sumar '0' no afecta la operación.
• Para la UP7, el bit para ingresar por la entrada B es '0' y se hace por medio de una compuerta NOT para obtener el Complemento 1.
• El DIVISOR debe pasar a través de una compuerta NOT para obtener el Complemento 1.
• Para la primera UP de cada fila (la del extremo derecho, UP1, UP3, UP5), por la entrada Ci se ingresa el 1 para sumar y obtener su Complemento 2.
• El DIVIDENDO tiene la misma cantidad de bits que el COCIENTE.
• El DIVISOR tiene la misma cantidad de bits que el RESIDUO.
• Si se divide por 1, el valor del Dividendo es igual al del Cociente y el del Divisor es igual al del Residuo.
• La línea discontinua de color rojo muestra la propagación y el desplazamiento del DIVISOR para cada comparación interna en el proceso.

• Paso 3: la implementación en un software de simulación electrónica:

Repositorio en Github (Divisor 3x2bits.dsn) con el archivo de la simulación con Proteus v7.8

Ejercicios propuestos con respuestas

★ Ejercicios 1 y 2:

• Estructura de una suma 2x3:

• Diagrama en bloques de la solución del ejercicio 1 (Sumador 2x3):

• Diagrama en bloques de la solución del ejercicio 2 (Sumador 3x3):

★ Ejercicio 3:

• Diagrama en bloques de la solución del ejercicio 3 (Restador 3x3) con Semi Restador (SR) y Restador Completo (RC):

• Diagrama en bloques de la solución del ejercicio 3 (Restador 3x3) con Sumadores Completos (SC), implementado por el método del Complemento 2:

★ Ejercicios 4 y 5:

• Diagrama en bloques para la solución del ejercicio 4 de 3 bits para el Multiplicando y 2 bits para el Multiplicador:

• Diagrama en bloques para la solución del ejercicio 5 de 3 bits para el Multiplicando y 3 bits para el Multiplicador:

• Diagrama en bloques para la solución del ejercicio 5 de 3 bits para el Multiplicando y 3 bits para el Multiplicador:

★ Ejercicios 6:

• La estructura de la operación es:

• Diagrama en bloques para la solución del ejercicio 6 de 4x2 bits:

Ayudas y Complementos

Videos

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• Vídeos sobre solución de operaciones básicas en sistema Binario:Videos realizados por Marisol Maldonado Olmos (Pasos por Ingeniería) SUMA BINARIA - Ejercicio #1 y RESTA BINARIA - Ejercicio #1

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• Vídeos sobre solución de operaciones básicas en sistema Binario:Videos realizados por Marisol Maldonado Olmos (Pasos por Ingeniería) MULTIPLICACIÓN BINARIA - Ejercicio #1 y DIVISIÓN BINARIA - Ejercicio #1

Video explicativo: Sumador Binario, Circuitos Combinacionales - Solución y Simulación, en el canal de youtube de Oscar Botero @oscarboterohenao

Video explicativo: Restador Binario, Circuitos Combinacionales - Solución y Simulación, en el canal de youtube de Oscar Botero @oscarboterohenao

Video explicativo: Multiplicador Binario, Circuitos Combinacionales - Solución y Simulación, en el canal de youtube de Oscar Botero @oscarboterohenao

Objetos Interactivos

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Simulaciones

Repositorio en Github con los archivos de las simulaciones de los ejemplos de este capítulo con Proteus v7.8

Compuertas Lógicas

Funciones Booleanas, símbolos, tablas de verdad y referencias comerciales y del software Proteus (clic en la imagen para aumentar)

Diagramas internos de las compuertas familia TTL

Diagramas internos de las compuertas familia CMOS

Referencias comerciales por familias y sus descripciones

Ejemplos basados en Funciones Lógicas

La fórmula para obtener la cantidad de combinaciones posibles de una función es:

★ Ejemplo 1:

• Paso 1: se comienza el diseño de la tabla, colocando las variables de Entrada $\bm{''A \, y \,B''}$ de la función, con todas las combinaciones de valores binarios posibles.

• Paso 2: se desarrolla el primer término de la función que está etiquetado con el número "1", dicho término pertenece a la función de una compuerta lógica "AND de 2 entradas: A y B".

• Paso 3: se desarrolla el segundo término etiquetado con el número "2", éste pertenece a la función de una compuerta lógica "OR de 2 entradas: A y B".

• Paso 4: se finaliza la solución de la tabla con la unión de los resultados parciales de los términos etiquetados como "1" y "2" por medio de una compuerta lógica "NOR de 2 entradas".

• Paso 5: se implementa la función en un software de simulación electrónica, en este caso se utilizó el "Proteus" versión 7.8

• Paso 6: se ejecuta la simulación y se valida la solución obtenida en la tabla.

Video explicativo de la solución: Función Lógica 1 - Solución, en el canal de youtube de Oscar Botero @oscarboterohenao

Video explicativo de la simulación: Función Lógica 1 - Simulación, en el canal de youtube de Oscar Botero @oscarboterohenao

Repositorio en Github ("P_función1.dsn") con el archivo de la simulación con Proteus v7.8

★ Ejemplo 2:

• Paso 1: se colocan todas las variables de entrada "A, B y C", con sus 8 combinaciones lógicas.

• Paso 2: se soluciona el primer término de la función que está etiquetado con el número "1", dicho término pertenece a la función de una compuerta lógica "AND de 2 entradas: A y B".

• Paso 3: se soluciona el segundo término etiquetado con el número "2", éste pertenece a la función de una compuerta lógica "NOT de 1 entrada: C".

• Paso 4: finaliza la solución de la tabla con la unión de los resultados parciales de los términos etiquetados como "1" y "2" por medio de una compuerta lógica "OR de 2 entradas".

• Paso 5: se implementa la función en un software de simulación electrónica, en este caso se utilizó el "Proteus" versión 7.8

• Paso 6: se ejecuta la simulación y se validan todas las respuestas obtenidas en la tabla.

Video explicativo de la solución: Función Lógica 2 - Solución, en el canal de youtube de Oscar Botero @oscarboterohenao

Video explicativo de la simulación: Función Lógica 2 - Simulación, en el canal de youtube de Oscar Botero @oscarboterohenao

Repositorio en Github ("P_función2.dsn") con el archivo de la simulación con Proteus v7.8

★ Ejemplo 3:

n = 3 variables tiene la función
2ⁿ = 8 combinaciones posibles

• Paso 1: se colocan todas las variables de entrada $\bm{''A\,,B\ y \,C''}$, con sus 8 combinaciones lógicas.

• Paso 2: se soluciona el primer término de la función que está etiquetado con el número "1", dicho término pertenece a la función de una compuerta lógica "NOR de 2 entradas: A y B".

• Paso 3: se soluciona el segundo término etiquetado con el número "2", éste pertenece a la función de una compuerta lógica "AND de 2 entradas: B y C".

• Paso 4: se resuelve la llave que agrupa los términos etiquetados como "1" y "2" por medio de una compuerta lógica "AND de 2 entradas".

• Paso 5: se soluciona el término etiquetado con el número "4", éste pertenece a la función de una compuerta lógica "NAND de 2 entradas: A y C".

• Paso 6: finaliza la solución de la tabla con la unión de los resultados parciales de los términos etiquetados como 3" y "4" por medio de una compuerta lógica "XOR de 2 entradas".

• Paso 7: se implementa la función en un software de simulación electrónica, en este caso se utilizó el "Proteus" versión 7.8

• Paso 8: se ejecuta la simulación y se validan todas las respuestas obtenidas en la tabla.

Video explicativo de la solución: Función Lógica 3 - Solución, en el canal de youtube de Oscar Botero @oscarboterohenao

Video explicativo de la simulación: Función Lógica 3 - Simulación, en el canal de youtube de Oscar Botero @oscarboterohenao

Repositorio en Github ("P_función3.dsn") con el archivo de la simulación con Proteus v7.8

★ Ejemplo 4:

• Paso 1: se colocan todas las variables de entrada $\bm{''A\,,B\ y \,C''}$, con sus 8 combinaciones lógicas.

• Paso 2: se soluciona el primer término de la función que está etiquetado con el número "1", dicho término pertenece a la función de una compuerta lógica "NOR de 2 entradas: A y B".

• Paso 3: se soluciona el segundo término etiquetado con el número "2", éste pertenece a la función de una compuerta lógica "XOR de 2 entradas: A y C".

• Paso 4: se resuelve la llave que agrupa los términos etiquetados como "1" y "2" por medio de una compuerta lógica "NAND de 2 entradas".

• Paso 5: se soluciona el término etiquetado con el número "4", éste pertenece a la función de una compuerta lógica "NOT de 1 entrada: A".

• Paso 6: finaliza la solución de la tabla con la unión de los resultados parciales de los términos etiquetados como 3" y "4" por medio de una compuerta lógica "AND de 2 entradas".

• Paso 7: se implementa la función en un software de simulación electrónica, en este caso se utilizó el "Proteus" versión 7.8

• Paso 8: se ejecuta la simulación y se validan todas las respuestas obtenidas en la tabla.

Video explicativo de la solución: Función Lógica 4 - Solución, en el canal de youtube de Oscar Botero @oscarboterohenao

Video explicativo de la simulación: Función Lógica 4 - Simulación, en el canal de youtube de Oscar Botero @oscarboterohenao

Repositorio en Github ("P_función4.dsn") con el archivo de la simulación con Proteus v7.8

Ejemplos basados en el Circuito

★ Ejemplo 1:

• Paso 1:
• Compuerta 1: la señal "A" entra a una compuerta NOT o inversora que la niega:
$$ \boldsymbol{1= \overline {A}} $$
• Compuerta 2: las señales "B" y "C" entran a una compuerta NOR que las suma y niega:
$$ \boldsymbol{2= \overline{(B+C)}} $$

• Compuerta 3: las señales resultantes de las compuertas "1" y "2" entran a una compuerta XOR (OR exclusiva):
$$ \boldsymbol{3= \overline {A} \oplus {\overline {(B+C)}}} $$
• Compuerta 4: la señal resultante de la compuerta "2" y la señal "C" entran a una compuerta AND que las multiplica:
$$ \boldsymbol{4= \overline {(B+C)} \times {C}} $$
• Compuerta 5: las señales resultantes de las compuertas "3" y "4" entran a una compuerta OR:
$$ \large {\boldsymbol{\textcolor {red} {\colorbox {bfc9ca} {$5=F= \{\overline {A} \oplus {\overline {(B+C)}} \}+ \{\overline {(B+C)} \times {C} \}$}}}} $$

• Paso 2: plano esquemático (SCH) con las etiquetas en cada salida de cada compuerta lógica

• Paso 3: hallar la tabla de verdad paso a paso

• Paso 4: ejecutar la simulación y validar todas las respuestas obtenidas.

Repositorio en Github ("P_circuito1.dsn") con el archivo de la simulación con Proteus v7.8

★ Ejemplo 2:

• Paso 1: para hallar la función de salida, se halla y etiqueta cada salida de cada compuerta con su función resultante, comenzando por las entradas hasta llegar a la salida etiquetada como "F"
• Compuerta 1: la señal "A" entra a una compuerta NOT o inversora que la niega:
$$ \boldsymbol{1= \overline {A}} $$
• Compuerta 2: las señales "B" y "C" entran a una compuerta AND que las multiplica:
$$ \boldsymbol{2=B \times {C}} $$
• Compuerta 3: la señal "C" entra a una compuerta NOT o inversora que la niega:
$$ \boldsymbol{3= \overline {C}} $$
• Compuerta 4: la señal y la señal resultante de la compuerta "3" entran a una compuerta XOR (OR exclusiva):
$$ \boldsymbol{4=A \oplus {\overline {(C)}}} $$

• Compuerta 5: las señales resultantes de las compuertas "1", "2" y "4" entran a una compuerta NOR de 3 entradas:

• Paso 2: dibujo del plano esquemático (SCH) con las etiquetas en cada salida de cada compuerta lógica

• Paso 3: hallar la tabla de verdad paso a paso:

• Paso 4: ejecutar la simulación y validar todas las respuestas obtenidas.

Repositorio en Github ("P_circuito2.dsn") con el archivo de la simulación con Proteus v7.8

Ejercicios propuestos con respuestas

Basados en funciones lógicas

★ Ejercicio 1:

R/. 0,1,1,1,1,1,1,1

★ Ejercicio 2:

R/. 1,1,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0

★ Ejercicio 3:

R/. 1,1,1,0,1,0,1,0

★ Ejercicio 4:

R/. 0,0,1,1,0,0,1,0,1,1,1,1,1,1,1,1

★ Ejercicio 5:

R/. 1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0

Basados en el circuito

★ Ejercicio 1:

R/. 1,1,0,1,0,1,1,0

★ Ejercicio 2:

R/. 1,0,0,1,1,1,0,1,1,0,1,1,1,0,1,1

★ Ejercicio 3:

R/. 1,0,1,0,1,0,0,1

★ Ejercicio 4:

R/. 1,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,1,1,1

★ Ejercicio 5:

R/. 1,1,1,1,0,1,0,1

★ Ejercicio 6:

R/. 1,0,0,1,0,0,0,0

Ayudas y Complementos

Videos

Video explicativo: Crear Tablas de Verdad para solución de Circuitos Digitales:, en el canal de youtube de Oscar Botero @oscarboterohenao

Video explicativo: Compuertas Lógicas Individuales - Simulación Proteus, en el canal de youtube de Oscar Botero @oscarboterohenao

Video explicativo: Compuertas Lógicas con conexión Alámbrica - Simulación Proteus, en el canal de youtube de Oscar Botero @oscarboterohenao

Video explicativo de la solución: Compuertas Lógicas con conexión Inalámbrica - Simulación Proteus, en el canal de youtube de Oscar Botero @oscarboterohenao

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• Esta aplicación se llama "LogicsSandbox" y simula circuitos digitales, fue creada por: Buys de Barbanson - (repositorio en Github). El autor expone que, esta versión no permite guardar las simulaciones y tiene errores.

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• El profesor Arturo Javier Miguel del Prieto Paz (Perú), creó un simulador digital con Board Virtual llamado: "Constructor Virtual sobre Protoboards y Simulador de Circuitos Digitales".

Objetos Interactivos

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Haga clic sobre la imagen para abrir el objeto interactivo:

Simuladores Circuitos Digitales

➤ La empresa LabCenter Electronics ofrece un Demo de "Proteus" descargable (requiere registro), los archivos de simulación con Proteus utilizados en este libro se pueden ejecutar y modificar con el "Demo":

➤ Para ejecutar la aplicación "LogicsSandbox" dar clic en el siguiente ícono:

➤ Aplicación para simular circuitos digitales, "Constructor Virtual sobre Protoboards y Simulador de Circuitos Digitales" del Ing. Arturo Javier Miguel del Prieto Paz; haz clic en el ícono para descargarlo:

➤ La empresa National Instruments ofrece una versión estudiantil descargable del programa "Multisim" (requiere registro):

➤ La empresa Analog Devices ofrece una versión gratuita descargable del programa "LTspice" (requiere registro):

➤ El programa Logisim es una versión gratuita y descargable. Simula circuitos digitales esquemáticos:

➤ La empresa DesignSoft diseñó el programa Tina-TI para Texas Instruments (TI), es una versión gratuita y descargable (requiere registro). Simula circuitos digitales esquemáticos:

➤ El programa Tinkercad es gratuito (requiere registro). Simula circuitos digitales en línea:

➤ El programa CircuitLab es gratuito (requiere registro). Simula circuitos digitales esquemáticos en línea:

Este método "convierte o transforma" cualquier función lógica en otra función con solo compuertas lógicas AND, OR y NOT; de allí su nombre de "LÓGICA AOI".

• Minterm (Σ): son todas las combinaciones para las que la función toma el valor de salida de '1'
• Maxterm (∏): son todas las combinaciones para las que la función toma el valor de salida de '0'
• SOP (Suma de Productos): es una expresión booleana compuesta por un único término producto o por una suma de términos producto
• POS (Producto de Sumas): es una expresión booleana compuesta por un único término suma o por un producto de sumas

Ejemplos basados en la función lógica

★ Ejemplo 1: Minterm = Minitérmino (Σ):

Esta función es un minterm ya que es una "Suma de Productos" (SOP) y cada término de la función genera un '1' lógico en su salida. Las variables que están negadas en la función toman el valor de '0' y las que "NO" lo están toman el valor de '1'

En el primer término $(\overline {A} \times B \times C)$ están declaradas todas las variables de entrada. En el segundo término $(A \times \overline {C})$ la variable 'B' no está declarada y puede tomar un valor de '1' o de '0', o sea que es "indiferente" el valor que tome dentro de este término.

Se construye la tabla de verdad completa:

Se implementa el circuito en un software de simulación electrónica y se verifican los resultados obtenidos en la tabla de verdad; para este libro se utilizó el Proteus v7.8:

Repositorio en Github (Ejemplo_1.dsn) con el archivo de la simulación con Proteus v7.8

★ Ejemplo 2: Maxterm = Maxitérmino (∏):

Esta función es un maxterm ya que es un "Producto de Sumas" (POS) y cada término de la función genera un '0' lógico en su salida.

Las variables que en la función están negadas toman el valor de '1' y las que "NO" lo están toman el valor de '0'

En el primer término $(A + B + \overline {C})$ están declaradas todas las variables de entrada. En el segundo término $(A + \overline {B})$ la variable 'C' no está declarada y puede tomar un valor de '1' o de '0', o sea que es "indiferente" el valor que tome dentro de este término.

Se construye la tabla de verdad completa:

Se implementa el circuito en un software de simulación electrónica y se verifican los resultados obtenidos en la tabla de verdad; para este libro se utilizó el Proteus v7.8

Repositorio en Github (Ejemplo_1.dsn) con el archivo de la simulación con Proteus v7.8

Ejemplos basados en la tabla de verdad

★ Ejemplo 1:

Se aplica el método "Minterm (Σ)" para obtener la función lógica, debido a la menor cantidad de '1' lógicos que se presentan en la salida de la tabla y por ende la función lógica dará más simplificada.

La función lógica es:

La implementación del circuito es:

Repositorio en Github (Ejemplo_2.dsn) con el archivo de la simulación con Proteus v7.8

★ Ejemplo 2:

Se aplica el método "Maxterm (∏)" para obtener la función lógica, debido a la menor cantidad de '0' lógicos que se presentan en la salida de la tabla y por ende la función lógica dará más simplificada.

La función lógica es:

La implementación del circuito es:

Repositorio en Github (Ejemplo_2.dsn) con el archivo de la simulación con Proteus v7.8

Ejemplos basados en enunciados con condiciones

★ Ejemplo 1:

Las condiciones mencionan 3 variables, lo que lleva a 8 posibles combinaciones de las variables de entrada y cuando dichas condiciones se cumplan "Activa" una alarma, o sea que la salida vale '1'

Se buscan las combinaciones de las entradas que cumplan la condición a o b:

• La variable C está en '1' y la variable B está en '0', no se menciona la variable A, quiere decir que es "Indiferente" el valor que esta tome. Cumplen:
  

• Las tres variables están en '0'. Cumple:

• Se ubican las combinaciones anteriores en la tabla y se completa:
  

• La función por Minterm (Σ) es:
$$ \boldsymbol{F(\Sigma)= \textcolor {green} {(\overline {A} \times \overline {B} \times \overline {C})} + \textcolor {RoyalBlue} {(\overline {A} \times \overline {B} \times {C})} + \textcolor {RoyalBlue} {({A} \times \overline {B} \times {C})}} $$

• El circuito implementado es:
  

Repositorio en Github (Ejemplo_3.dsn pág1) con el archivo de la simulación con Proteus v7.8

★ Ejemplo 2:

Las condiciones mencionan 3 variables, lo que lleva a 8 posibles combinaciones de las variables de entrada y cuando dichas condiciones se cumplan "Apaga" una lámpara, o sea que la salida vale '0'

Se buscan las combinaciones de las entradas que cumplan la condición a o b:

• Las variables B y C están en '0', no se menciona la variable A, quiere decir que es "Indiferente" el valor que esta tome. Cumplen:

• Las tres variables están en '1'. Cumple:

• Se ubican las combinaciones anteriores en la tabla y se completa:
  

• La función desarrollada por Maxterm (∏) es:
$$ \boldsymbol{F(\Pi)= \textcolor {green} {(\overline {A} + \overline {B} + \overline {C})} \times \textcolor {RoyalBlue} {({A} + {B} + {C})} \times \textcolor {RoyalBlue} {(\overline {A} + {B} + {C})}} $$

• El circuito implementado es:
  

Repositorio en Github (Ejemplo_3.dsn pág1) con el archivo de la simulación con Proteus v7.8

★ Ejemplo 3:

El sistema consta de tres variables (A, B y C) y 8 posibles combinaciones, dos salidas: la alarma sonora y la lumínica.

• La alarma sonora se activa cuando se cumplan las siguientes combinaciones:

• El indicador lumínico se desactiva cuando se cumpla la siguiente combinación:

• La tabla de verdad completa es:

• Las funciones lógicas para los dos circuitos combinacionales son:
$$ \boldsymbol{S(\Sigma)= \textcolor {green} {(A \times B \times \overline {C})} + \textcolor {green} {(\overline {A} \times B \times {C})}} $$ $$ \boldsymbol{ L(\Pi)= \textcolor {RoyalBlue} {(\overline {A} + \overline {B} + \overline {C})}} $$

• Los circuitos combinacionales para la alarma sonora y para el indicador lumínico son:

Repositorio en Github (Ejemplo_3.dsn pág2) con el archivo de la simulación con Proteus v7.8

Ejercicios propuestos con respuestas

Basados en funciones lógicas

★ Ejercicio 1:

R/. 1,0,1,1,1,1,0,1,1,0,1,1,1,0,1,1

★ Ejercicio 2:

R/. 1,0,1,1,1,1,0,1,1,0,1,1,1,1,1,0

★ Ejercicio 3:

R/. 0,1,1,0,0,0,1,0,0,1,0,1,0,0,0,0

★ Ejercicio 4:

R/. 0,1,1,0,1,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0

Basados en las tablas de verdad

★ Ejercicios 1 a 4:

Los ejercicios pueden ser resueltos por ambos métodos (Σ o ∏), pero el criterio de selección para dar cumplimiento al enunciado de hallar la función más simple es observando la salida en la tabla de verdad y eligiendo la menor cantidad de '0' o '1' que hallan.

• Si la menor cantidad son los '1' se resuelve por Minterm (Σ)
• Si la menor cantidad son los '0' se resuelve por Maxterm (∏)

• R/. Función lógica del ejercicio 1:

Se resolvió por Minterm (Σ)

• R/. Función lógica del ejercicio 2:

Se resolvió por Minterm (Σ)

• R/. Función lógica del ejercicio 3:

Se resolvió por Maxterm (∏)

• R/. Función lógica del ejercicio 4:

Se resolvió por Maxterm (∏)

Basados en enunciados con condiciones

★ Ejercicio 1:

R/. 0,1,0,1,0,1,0,1,0

★ Ejercicio 2:

R/. 1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0

★ Ejercicio 3:

R/. 1,1,1,0,1,1,1,0,1,1,1,0,1,1,1,0

★ Ejercicio 4:

R/. M1 = 0,1,0,0,0,0,0,1 y M2 = 0,0,0,0,1,0,0,1

★ Ejercicio 5:

R/. M9 = 1,0,1,0,1,0,1,0

Ayudas y Complementos

Videos

Video explicativo: Lógica AOI: Ejercicios 1, Circuitos Combinacionales - Soluciones y Simulaciones Proteus:, en el canal de youtube de Oscar Botero @oscarboterohenao

Video explicativo: Lógica AOI: Ejercicios 2, Circuitos Combinacionales - Soluciones y Simulaciones Proteus:, en el canal de youtube de Oscar Botero @oscarboterohenao

Video explicativo: Lógica AOI: Ejercicios 3, Circuitos Combinacionales - Soluciones y Simulaciones Proteus:, en el canal de youtube de Oscar Ignacio Botero Henao @oscarboterohenao

Objetos Interactivos

Haga clic sobre la imagen para abrir el objeto interactivo:

Cuestionario:

Simulaciones

• Los pasos que se siguen en la elaboración de un mapa de Karnaugh son:

1. Obtener una expresión booleana en forma de minterm (Σ) o maxterm (∏)
2. Colocar '1' o '0' en el mapa de Karnaugh de acuerdo a la expresión (mapa de Karnaugh por minterm o por maxterm)
1. No se pueden generar grupos en diagonal, solo de forma vertical y horizontal
2. Los unos o los ceros pueden compartir grupos
3. Unir los dos extremos, ya sea horizontal o verticalmente, para considerar las celdas de las esquinas como celdas adyacentes (doblar el mapa)
4. Cuanto más grande sea un grupo, más simplificada va ser la función
3. Agrupar los conjuntos de valores adyacentes de unos ('1') o ceros ('0'), en potencias de 2: grupos de 2, 4, 8, 16, 32...
1. Se encierran los '1' o '0' que NO sean adyacentes con otros del mismo valor, se llaman islas
2. Se encierran los '1' o '0' que formen grupos de dos pero que NO formen grupos de cuatro '1' o '0'
3. Se encierran los '1' o '0' que formen grupos de cuatro pero que NO formen grupos de ocho '1' o '0'
4. Así sucesivamente hasta que todos los '1' o '0' del mapa sean agrupados
4. Agrupar los valores adyacentes:
1. Se tienen en cuenta las variables adyacentes que NO cambian su estado lógico dentro de la agrupación

2. Se eliminan las variables que SI cambian su estado lógico dentro de la agrupación (eliminar los complementos)

5. Enlazar con operadores OR los grupos obtenidos para formar la expresión simplificada en forma de minterm (Σ) y con operadores AND en forma de maxterm (∏)

Mapas por Minterm (Σ):

Mapas por Maxterm (∏):

Ejemplos basados en la tabla de verdad

★ Ejemplo 1:

• Se bajan los '1' de la tabla de verdad a las celdas correspondientes del mapa de Karnaugh de 3 variables por "MINTERM" y se agrupan:

• La función simplificada es:

• El circuito implementado con la función simplificada es:

En la tabla de verdad hay seis '1' que pertenecen a 6 términos minterm y al simplificarla por el método de mapas K queda reducida la función a 3 términos y uno de ellos contiene una sola variable; de esta forma se evidencia la simplificación.

Repositorio en Github (Ejemplo 1-1.dsn) con el archivo de la simulación con Proteus v7.8

★ Ejemplo 2:

• Se bajan los '0' de la tabla de verdad a las celdas correspondientes del mapa de Karnaugh de 3 variables por "MAXTERM" y se agrupan:

• La función simplificada es:

• El primer término (color verde) y el último (color azul) equivalen a la función lógica de la compuerta XOR:

• El circuito implementado con la función simplificada es:

En la tabla de verdad hay cinco '0' que pertenecen a 5 términos maxterm y al simplificarla por el método de mapas K queda reducida la función a 3 términos; de esta forma se evidencia la simplificación.

Repositorio en Github (Ejemplo 1-2.dsn) con el archivo de la simulación con Proteus v7.8

★ Ejemplo 3:

• Se bajan los '1' de la tabla de verdad a las celdas correspondientes del mapa de Karnaugh de 4 variables por "MINTERM" y se agrupan:

• La función simplificada es:

• La función simplificada es equivalente a la función lógica de la compuerta XNOR:

• El circuito implementado con la función simplificada es:

En la tabla de verdad hay ocho '1' que pertenecen a 8 términos minterm y al simplificarla por el método de mapas K queda reducida la función a 2 términos; de esta forma se evidencia la simplificación.

Repositorio en Github (Ejemplo 1-3.dsn) con el archivo de la simulación con Proteus v7.8

★ Ejemplo 4:

• Se bajan los '0' de la tabla de verdad a las celdas correspondientes del mapa de Karnaugh de 4 variables por "MAXTERM" y se agrupan:

• La función simplificada es:

• El circuito implementado con la función simplificada es:

En la tabla de verdad hay cinco '0' que pertenecen a 5 términos maxterm y al simplificarla por el método de mapas K queda reducida la función a 2 términos; de esta forma se evidencia la simplificación.

Repositorio en Github (Ejemplo 1-4.dsn) con el archivo de la simulación con Proteus v7.8

Ejemplo con secuencia de números y display

★ Secuencia numérica 3-0-2-1 y display 7 segmentos:

• Como el display es de cátodo común, a los segmentos que encienden se les colocan un '1' lógico.
• Cada mapa es independiente y por ello cada uno se puede simplificar por "MINTERM" o por "MAXTERM".
• La secuencia numérica está forma por 4 números y para recorrerla se requieren 2 variables ya que 2² = 4.
• Se bajan los '1' o '0' de la tabla de verdad de cada segmento a las celdas correspondientes dentro de los mapas de Karnaugh de 2 variables (A y B).
• Verificar que pueden resultar mapas que se repiten. En este caso los mapas para los segmentos a y d son los mismos; entonces, se realiza un solo mapa y por ende se obtiene una sola función lógica resultante que controlará los dos segmentos del display.
• Para activar el LED se requiere un '1' en el número 3_d = 11_b y en el mapa de Karnaugh se refleja como una isla.
• La siguiente figura muestra los números decimales y los segmentos que encienden:

• La tabla de verdad completa es:

• La asignación de los segmentos del display es:

• Los mapas de Karnaugh:

• Funciones simplificadas por medio de los mapas de Karnaugh:

• El mapa de Karnaugh para controlar del LED (Diodo Emisor de Luz) estaría formado por una isla y es equivalente a leer este dato como un término Minterm:

Repositorio en Github (Ejemplo 2.dsn) con el archivo de la simulación con Proteus v7.8

• Plano esquemático (SCH) del circuito completo:

Ejemplo con un texto y display alfanumérico

★ Palabra "SUMA" y display Alfanumérico:

• En la siguiente figura se visualizan todos los caracteres para el display alfanumérico de 16 segmentos:

• El display alfanumérico es de cátodo común y los segmentos que se requieran encender se les envía un '1' lógico.
• Como cada mapa es independiente se puede simplificar por "MINTERM" o por "MAXTERM" cada uno.
• La palabra "SUMA" está forma por 4 caracteres o letras y para recorrerla se requieren 2 variables ya que 2² = 4 combinaciones.
• Se bajan los '1' o '0' de la tabla de verdad de cada segmento a las celdas correspondientes dentro de los mapas de Karnaugh de 2 variables (A y B).

• Se observa que hay segmentos donde se repiten todos los datos. Para este ejemplo se repiten: Sa1=Sa2=Sg1=Sg2, Sb=Se, Sc=Sf, Sd1=Sd2, Sh=Sj=Sl y Si=Sk=Sm; entonces, se realiza un solo mapa para los segmentos repetidos y se obtiene una sola función lógica resultante que controlará esos segmentos del display.
• Para activar el punto decimal (DP) se requiere un '1' en el número 3_d = 11_b y en el mapa de Karnaugh se refleja como una isla.

• La distribución de los segmentos del display alfanumérico de 16 segmentos es:

• Mapas de Karnaugh y sus agrupaciones:

• Funciones simplificadas por medio de los mapas de Karnaugh:

• El mapa de Karnaugh para controlar el punto decimal (DP) estaría formado por una isla y es equivalente a leer este dato como un término Minterm:

• El mapa de Karnaugh para controlar el punto decimal (DP) estaría formado por una isla y es equivalente a leer este dato como un término Minterm:

• Plano esquemático (SCH) del circuito completo:

Repositorio en Github (Ejemplo 3.dsn) con el archivo de la simulación con Proteus v7.8

Ejercicios propuestos con respuestas

★ Ejercicios 1 y 2:

R/. Mapas de Karnaugh y sus funciones lógicas simplificadas, la primera por minterm y la segunda por maxterm:

$ \boldsymbol{F(\Sigma)= \textcolor {red} {(A \times B)} + \textcolor {RoyalBlue} {\overline {C}}} $

$\boldsymbol{F(\Pi)= \textcolor {green} {A} \times \textcolor {RoyalBlue} {\overline {B}}} $

★ Ejercicio 3:

R/. Mapas de Karnaugh y sus funciones lógicas simplificadas, la primera por minterm y la segunda por maxterm:

★ Ejercicio 4:

R/. Las respuestas son personalizadas debido a que el número de la identificación es única

★ Ejercicio 5:

R/. Las respuestas son personalizadas debido a su nombre propio.

★ Ejercicio 6:

R/. Tabla de verdad:

R/. Cada segmento y su mapa son independientes; es por ello que unas funciones pueden ser simplificadas por Minterm y otras por Maxterm. A continuación, se muestran algunas posibles respuestas:

★ Ejercicio 7:

R/. Tabla de verdad:

R/. Funciones lógicas simplificadas por mapas de Karnaugh:

Ayudas y Complementos

Videos

Video explicativo: Secuencia Numérica, Circuito Combinacional - Solución y Simulación Proteus:, en el canal de youtube de Oscar Botero @oscarboterohenao

Video explicativo: Conexión Display Alfanumérico - Simulación Proteus:, en el canal de youtube de Oscar Botero @oscarboterohenao

Video explicativo: Display Alfanumérico, Circuito Combinacional - Solución y Simulación Proteus:, en el canal de youtube de Oscar Botero @oscarboterohenao

Objetos Interactivos

El asterisco (*) en las funciones significa que la variable que le antecede está negada.

Haga clic sobre la imagen para abrir el objeto interactivo:

Cuestionario:

Simuladores y Simulaciones

➤ El programa Karnaugh Calculator- Minimizador es una versión Beta que permite ingresar los datos en una tabla de verdad (3 a 8 variables), para generar las funciones por Minterm, por Maxterm y simplificar por mapas de Karnaugh:

➤ Sublime.tool es una aplicación en línea que soluciona mapas de Karnaugh por minterm o por maxterm:

➤ Solucionador de mapas de Karnaugh en línea, genera las funciones por Minterm, por Maxterm, el código en lenguajes: VHDL y Verilog:

➤ APP "Solución para mapas de Karnaugh" de Adriano Moutinho para 3 o 4 variables, muestra varias versiones de circuitos lógicos optimizados de salida: el tradicional, solo con: inversores, compuertas NAND o compuertas NOR:

Repositorio en Github con los archivos de las simulaciones de este capítulo con Proteus v7.8

Repaso

Actividades de Repaso

Anexos

Anexo A
Hojas de Datos

Anexo B
Subfamilias de los CI TTL

Anexo C
Subfamilias de los CI CMOS

Anexo D
Sufijos de Fabricantes Actuales

Sufijos Fabricantes

Fabricante	Logo	Código
Texas Instruments		TTL = SN
		CMOS = CD
Hitachi		TTL = HD
		CMOS = HEF y HCF
Motorola		MC, ON Semiconductor
Anteriormente: Philips Semiconductors Actualmente: NXP Semiconductors		NXP

Anexo E
Principales Encapsulados CI

Principales Encapsulados

Figura	Descripción
	Dual InLine Packaging (DIP): tiene dos filas de pines paralelos a lo largo del cuerpo del encapsulado
	Small Outline Package (SOP): son más pequeños y compactos; con terminales en "ala de gaviota o en J" que se ensambra sobre el PCB
	Quad Flat Package (QFP): encapsulado cuadrado o rectangular con muchos pines; buena disipación de calor y alta escala de integración
	Pin Grid Array (PGA): posee una gran cantidad de terminales situados en la parte inferior del encapsulado y se ensambla en zócalo
	Ball Grid Array (BGA): en vez de pines utilizan unas bolas pequeñas de soldadura en la superficie inferior que proporciona un mejor rendimiento eléctrico y disipación térmica
	Land Grid Array (LGA): los contactos se acoplan a las almohadillas correspondientes en la PCB

Anexo F
Símbolos estándar para CI

Símbolos estándar

Símbolo	Descripción
	Entrada activa en bajo, norma Comisión Internacional de Electromecánica (IEC)
	Entrada activa en bajo, norma Americana (ANSI)
	Salida activa en bajo, norma Comisión Internacional de Electromecánica (IEC)
	Salida activa en bajo, norma Americana (ANSI)
	Salida de Tres Estados (Tri-State)
	Salida de Colector Abierto (Open Collector)
	Salida Schmitt Trigger
	Entrada de Habilitación (EN = E)

Bibliografía