10.1 La fuerza de la gravedad en cada objeto aumenta con el cuadrado de la distancia inversa a medida que caen juntos, y de ahí que también lo haga la aceleración. Por ejemplo, si la distancia se reduce a la mitad, la fuerza y la aceleración se cuadruplican. Nuestro promedio es exacto solo para una aceleración que aumenta linealmente, mientras que la aceleración en realidad aumenta a una mayor velocidad. Entonces nuestra velocidad calculada es muy pequeña. De la tercera ley de Newton (fuerzas de acción-reacción), la fuerza de gravedad entre dos objetos debe ser la misma. Pero las aceleraciones no serán si tienen masas diferentes.
10.2 Los edificios más altos del mundo están a menos de 1 km. Como g es proporcional a la distancia al cuadrado del centro de la Tierra, una relación simple muestra que el cambio en g a 1 km por encima de la superficie de la Tierra es inferior al 0,0001%. No habría necesidad de considerar esto en el diseño estructural.
10.3 El valor de g cae aproximadamente un 10% sobre este cambio de altura. Entonces ΔU = mg (y2-y1) dará un valor demasiado grande. Si usamos g = 9.80m / s, obtenemos ΔU = mg(y2 - y1) = 3.53 × 1010 J que es aproximadamente un 6% mayor que el encontrado con el método correcto.
10.4 La sonda debe superar tanto la atracción gravitacional de la Tierra como del Sol. En el segundo cálculo de nuestro ejemplo, encontramos la velocidad necesaria para escapar del Sol desde una distancia de la órbita de la Tierra, no desde la Tierra misma. La forma correcta de encontrar este valor es comenzar con la ecuación de energía, Ecuación 10.5, en la que incluirías un término de energía potencial tanto para la Tierra como para el Sol.
10.5 Cambias la dirección de tu velocidad con una fuerza que es perpendicular a la velocidad en todos los puntos. En efecto, debe ajustar constantemente los propulsores, creando una fuerza centrípeta hasta que tu momento cambie de tangencial a radial. Un diagrama de vector de momento simple muestra que el cambio neto en el momento es √2 veces la magnitud del momento mismo. Esta resulta ser una forma muy ineficiente para llegar a Marte. Discutimos la forma más eficiente en las Leyes de Movimiento Planetario de Kepler.
10.6 En la ecuación 10.7, el radio aparece en el denominador dentro de la raíz cuadrada. Entonces el radio debe aumentar en un factor de 4, para disminuir la velocidad orbital en un factor de 2. La circunferencia de la órbita también se ha incrementado en este factor de 4, y así, con la mitad de la velocidad orbital, el período debe ser 8 veces más. Eso también se puede ver directamente a partir de la Ecuación 10.8.
10.7 La suposición es que el objeto orbital es mucho menos masivo que el cuerpo en órbita. Esto no está realmente justificado en el caso de la Luna y la Tierra. Tanto la Tierra como la Luna orbitan alrededor de su centro de masa común. Abordamos este problema en el próximo ejemplo.
10.8 Las estrellas en el "interior" de cada galaxia estarán más cerca de la otra galaxia y, por lo tanto, sentirán una fuerza gravitatoria mayor que las que están en el exterior. En consecuencia, tendrán una mayor aceleración. Incluso sin esta diferencia de fuerza, las estrellas interiores estarían orbitando en un radio más pequeño, y, por lo tanto, se desarrollaría un alargamiento o estiramiento de cada galaxia. La diferencia de fuerza solo aumenta este efecto.
10.9 El eje semi-mayor para la órbita altamente elíptica del cometa de Halley es 17.8 UA y es el promedio del perihelio y el afelio. Esto se encuentra entre los radios orbitales 9.5 AU y 19 AU para Saturno y Urano, respectivamente. El radio para una órbita circular es el mismo que el eje semi mayor, y dado que el período aumenta con un aumento del eje semieje mayor, se espera que el período de Halley esté entre los períodos de Saturno y Urano.
10.10 Considera la última ecuación. Los valores de r1 y r2 permanecen casi iguales, pero el diámetro de la Luna, (r
2 - r1), es un cuarto de la Tierra. Entonces las fuerzas de marea en la Luna son aproximadamente un cuarto tan grandes como en la Tierra.
10.11 Dada la increíble densidad requerida para forzar a un cuerpo del tamaño de la Tierra a convertirse en un agujero negro, no esperamos ver tan pequeños agujeros negros. Incluso un cuerpo con la masa de nuestro Sol tendría que ser comprimido por un factor de 80 más que el de una estrella de neutrones. Se cree que las estrellas de este tamaño no pueden convertirse en agujeros negros. Sin embargo, para las estrellas con algunas masas solares, se cree que el colapso gravitacional al final de la vida de una estrella podría formar un agujero negro. Como veremos más adelante, ahora se cree que los agujeros negros son comunes en el centro de las galaxias. Estos agujeros negros galácticos normalmente contienen la masa de muchos millones de estrellas.
1. La verdad última es la verificación experimental. La teoría de campo se desarrolló para ayudar a explicar cómo se ejerce la fuerza sin que los objetos estén en contacto con las fuerzas gravitatorias y electromagnéticas que actúan a la velocidad de la luz. Solo desde el siglo XX hemos podido medir que la fuerza no se transmite de inmediato.
3. La aceleración centrípeta no está dirigida a lo largo de la fuerza de la gravedad y, por lo tanto, la línea correcta del edificio (es decir, la línea de la plomada) no está dirigida hacia el centro de la Tierra. Pero los ingenieros usan una plomada o un tránsito, y ambos responden tanto a la dirección de la gravedad como a la aceleración. No es necesario tener en cuenta su ubicación en la Tierra.
5. A medida que nos movemos a órbitas más grandes, el cambio en la energía potencial aumenta, mientras que la velocidad orbital disminuye. Por lo tanto, la relación es más alta cerca de la superficie de la Tierra (técnicamente infinita si orbitamos en la superficie de la Tierra sin cambio de elevación), moviéndose a cero cuando llegamos a infinitamente lejos.
7. El período de la órbita debe ser de 24 horas. Pero además, el satélite debe estar ubicado en una órbita ecuatorial y orbitando en la misma dirección que la rotación de la Tierra. Deben cumplirse los tres criterios para que el satélite permanezca en una posición relativa a la superficie de la Tierra. Se necesitan al menos tres satélites, ya que dos en lados opuestos de la Tierra no pueden comunicarse entre sí. (Esto no es técnicamente cierto, ya que se podría elegir una longitud de onda que proporcione suficiente difracción. Pero sería totalmente impráctico)
9. La velocidad es mayor cuando el satélite está más cerca de la masa grande y menos cuando está más lejos: en la periapsis y apoapsis, respectivamente. Es la conservación del momento angular la que rige esta relación. Pero también se puede deducir de la conservación de la energía, la energía cinética debe ser mayor donde la energía potencial gravitatoria es la menor (la más negativa). La fuerza, y por lo tanto la aceleración, siempre se dirige hacia M en el diagrama, y la velocidad siempre es tangente a la trayectoria en todos los puntos. El vector de aceleración tiene una componente tangencial a lo largo de la dirección de la velocidad en la ubicación superior en el eje y; por lo tanto, el satélite se está acelerando. Todo lo contrario es cierto en la posición inferior.
11. El rayo láser llegará a la pared más alejada a la izquierda, a medida que el piso se acelera hacia arriba. En relación con el laboratorio, el rayo láser "cae". Por lo tanto, podríamos esperar que esto suceda en un campo gravitacional. La masa de luz, o incluso un objeto con masa, no es relevante.
13. 7.4 × 10-8N
15. a. 7.01 × 10-7 N; b. La masa de Júpiter es
mJ = 1.90 × 1027kg
FJ = 1.35 × 10-6 N
FfFJ = 0.521
17. a. 9.25 × 10-6 N; b. No mucho, ya que el ISS ni siquiera es simétrico, mucho menos esférico simétrico.
19. a. 1.41 × 10-15 m/s2; b. 1.69 × 10-4 m/s2
21. a. 1.62 m/s2; b. 3.75 m/s2
23. a. 147 N; b. 25,5 N; c. 15 kg; d. 0; e. 15 kg
25. 12 m/s2
27. (3/2)RE
29. 5000 m/s
31. 1440 m/s
33. 11 km/s
35. a. 5,85 × 1010 J; b. -5.85 × 1010J; No. Supone que la energía cinética es recuperable. Esto ni siquiera sería razonable si tuviéramos un ascensor entre la Tierra y la Luna.
37. a. 0.25; b. 0.125
39. a. 5.08 × 103 km; b. Esto menos que el radio de la Tierra.
41. 1.89 × 1027 kg
43. a. 4.01 × 1013 kg; b. El satélite debe estar fuera del radio del asteroide, por lo que no puede ser más grande que este. Si fuera de este tamaño, su densidad sería de aproximadamente 1200 kg/m3. Esto está justo por encima del agua, por lo que parece bastante razonable.
45. a. 1.66 × 10-10 m/s2; Sí, la aceleración centrípeta es tan pequeña que admite el argumento de que un marco de referencia casi inercial puede ubicarse en el Sol. b. 2,17 × 105 m/s
47. 1,98 × 1030 kg; Los valores son los mismos dentro de 0.05%.
49. Compara la ecuación 10.8 y la ecuación 10.11 para ver que difieren solo en que el radio circular, r, se reemplaza por el eje semieje mayor, a. Por lo tanto, el radio medio es la mitad de la suma del afelio y el perihelio, el mismo que el eje semi mayor.
51. El eje semi mayor, 3.78 AU se encuentra a partir de la ecuación para el período. Esta es la mitad de la suma del afelio y el perihelio, dando una distancia de afelio de 4.95 UA. 53. 1.75 años
55. 19.800 N; esto claramente no es sobrevivible
57. 1.19 × 107 km
59. a. 1.85 × 1014 N; b. No lo hagas!
61. 1.49 × 108 km
63. El valor de g para este planeta es de 2.4 m/s2, que es aproximadamente una cuarta parte de la Tierra. Entonces son débiles puentes altos.
65. En el Polo Norte, 983 N; en el ecuador, 980 N
67. a. La velocidad de escape aún es de 43.6 km/s. Al despegar desde la Tierra en la dirección de la velocidad tangencial de la Tierra, necesita 43.4 - 29.8 = 13.8 km/s relativos a la Tierra. b. La energía total es cero y la trayectoria es una parábola.
69. 44.9 km/s
71. a. 1.3 × 107 m; b. 1,56 × 1010 J; -3.12 × 1010J; -1.56 × 1010J
73. a. 6.24 × 103s o alrededor de 1.7 horas. Esto estaba usando el diámetro promedio de 520 km. b. Vesta claramente no es muy esférico, por lo que necesitaría estar por encima de la dimensión más grande, de casi 580 km. Más importante aún, la naturaleza no esférica perturbaría la órbita muy rápidamente, por lo que este cálculo no sería muy preciso incluso para una órbita.
75. a. 323 km/s; b. No, solo necesitas la diferencia entre la velocidad orbital y la velocidad de escape del sistema solar, por lo que aproximadamente 323 - 228 = 95 km/s.
77. Ajustando e = 1, tenemos αr = 1 + cosθ → α = r + rcosθ = r + x; por lo tanto, r2 = x2 + y2 = (α - x)2. Expande y colecciona para mostrar x = 1-2αy2 + α2.
79. Sustituir directamente en la ecuación de energía utilizando pvp = qvq de la conservación del momento angular, y resolver para vp.
81. g = 43Gρπr → F = mg = [43Gmρπ]r, y de F = md2rdt2, obtenemos d2rdt2 = [43Gρπ]r donde el primer término es ω2. Entonces T = 2πω = 2π√3/4Gρπ y si sustituimos ρ = M(4/3)πR3, obtenemos la misma expresión que para el período de la órbita R.
83. Usando la masa del Sol y el radio orbital de la Tierra, la ecuación da 2.24 × 1015m2/s. El valor de πRES2/(1 año) da el mismo valor.
87. a. Encuentra la diferencia en fuerza, Fmarea = 2GMmR3Δr; b. Para el caso dado, utilizando el radio de Schwarzschild de un problema anterior, tenemos una fuerza de marea de 9.5 × 10-3N. ¡Esto ni siquiera se notará!