# Matrices, Determinantes
y Sistemas de ecuaciones

# INTERACTIVO

Matrices, Determinantes
y Sistemas de ecuaciones
INTERACTIVO

María José García Cebrian
Red Educativa Digital Descartes, España

Fondo Editorial Pascual Bravo

Medellín

Título de la obra
Matrices, Determinantes y Sistemas de ecuaciones
María José García Cebrian
Primera edición: 2020

Diseño del libro: Juan Guillermo Rivera Berrío
Diseño de cubierta: Diana María Velásquez García
Librería turn.js: Emmanuel García
Herramienta de edición: DescartesJS
Fuente: Amaranth

Fondo Editorial Pascual Bravo
Calle 73 73A-226
PBX: (574) 4480520
Apartado 6564
Medellín, Colombia
www.pascualbravo.edu.co
ISBN 978-958-52584-5-7

Esta obra está bajo una licencia Creative Commons 4.0 internacional: Reconocimiento-No Comercial-Compartir Igual.
Todos los objetos interactivos y los contenidos de esta obra colectiva están protegidos por la Ley de Propiedad Intelectual.

## Tabla de contenido

Introducción vii

PARTE I: Matrices 1

1. Matrices sobre IR 3

1.1. Matrices iguales3

1.2. Matriz traspuesta4

1.3. Matrices cuadradas4

2. Operaciones con matrices5

2.1. Suma de matrices5

2.2. Producto por un escalar6

3. Producto de matrices7

3.1. Propiedades del producto7

4. Rango de una matriz8

4.1. Transformaciones que conservan el rango8

4.2. Cálculo del rango de una matriz por el método de Gauss9

5. Matriz inversa10

5.1. Propiedades de la matriz inversa10

5.2. Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss-Jordan11

Ejercicios para practicar12

Autoevaluación13

PARTE II: Determinantes 15

1. Determinante de una matriz cuadrada17

1.1. Determinante de una matriz de orden 217

1.2. Determinante de una matriz de orden 317

1.3. Determinante de una matriz de orden n18

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1.4. Menor complementario y adjunto18

1.5. Desarrollo por los elementos de una fila o columna19

2. Propiedades de los determinantes20

3. Calcular determinantes de orden superior a 323

3.1. Determinante de una matriz triangular23

3.2. Calcular determinantes por el método de Gauss23

4. Calcular el rango de una matriz con determinantes24

5. Calcular la matriz inversa con determinantes25

Ejercicios para practicar27

Autoevaluación28

PARTE III: Sistemas de ecuaciones 31

1. Sistema general de ecuaciones lineales33

1.1. Expresión matricial de un sistema34

1.2. Sistemas equivalentes34

2. Resolución de sistemas35

2.1. Sistemas escalonados35

2.2. Resolución de sistemas por el método de Gauss36

2.3. Resolución de sistema por inversión de la matriz de los coeficientes37

2.4. La regla de Cramer38

3. Discusión de sistemas39

3.1. Teorema de Rouché-Frobenius39

3.2. Sistemas homogéneos41

3.3. Discusión de sistemas con parámetros42

4. Planteamiento de problemas43

Ejercicios para practicar44

Autoevaluación45

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Apéndice 47

Problemas de selectividad49

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# Introducción

En este libro interactivo abordamos el estudio del álgebra matricial y sus aplicaciones en la resolución de sistemas de ecuaciones. Se siguen las pautas que marca la programación actual de este tema en las Matemáticas II de 2º de Bachillerato en España.

En este curso la finalidad fundamental del Álgebra es la resolución de problemas que pueden plantearse mediante sistemas de ecuaciones, y para ello son necesarias una serie de herramientas básicas como son las matrices y los determinantes. Por este motivo el texto se ha dividido en tres partes: I) Matrices, II) Determinantes y III) Sistemas de ecuaciones.

Parte I: Matrices

Las matrices son una de la herramientas más usadas en el Álgebra Lineal, aunque su utilidad va más allá de una simple disposición de números. El término “matriz” es debido a James Joseph Sylvester en 1850 y fue Arthur Cayley el primero en desarrollar de modo independiente el concepto de matriz en un artículo publicado en 1855, "A memoir on the theory of matrices". Pero hay antecedentes muy anteriores como los cuadrados mágicos, de los que consta uno en la literatura china del año 650 a.C. aproximadamente, y también en la cultura china encontramos el primer ejemplo conocido de uso de las matrices para resolver un sistema de ecuaciones, en "Nueve capítulos sobre el Arte de las matemáticas" (Jiu Zhang Suan Shu) del año 300 a.C a 200 a.C.

Pretendemos alcanzar los siguientes objetivos:

- Representar e interpretar una tabla de números como una matriz, identificando elementos concretos de la misma, así como los tipos de matrices más característicos.
- Utilizar el lenguaje matricial y las operaciones con matrices como instrumento para representar e interpretar datos, relaciones y ecuaciones y, en general, para resolver situaciones diversas.
- Calcular el rango de una matriz por el método de Gauss.
- Calcular la matriz inversa, cuando sea posible, por el método de Gauss-Jordan.

Al final de esta introducción puedes ver un video con una amena introducción a las matrices y sus aplicaciones.

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Parte II: Determinantes

Los determinantes surgieron cuando se empezaron a resolver los sistemas de ecuaciones lineales y, en Europa, aparecieron en la literatura matemática más de un siglo antes que las matrices. En 1693, Leibniz (1646–1716) usó un conjunto sistemático de índices para los coeficientes de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas obteniendo un determinante. El primero en dar una exposición coherente y lógica de la teoría de los determinantes como tales, aplicándolos a los sistemas de ecuaciones lineales, fue Vandermonde en 1776.

Los objetivos a alcanzar en este apartado son:

- Interpretar un determinante como un número asociado a una matriz cuadrada. Calcular determinantes de orden dos y tres.
- Conocer las propiedades de los determinantes y aplicarlas para calcular los de orden superior a tres.
- Aplicar los determinantes para calcular el rango de una matriz.
- Caracterizar las matrices cuadradas regulares y calcular su inversa aplicando determinantes.

Parte III: Sistemas de ecuaciones lineales

La primera cultura de la que se tiene registro que planteó y resolvió sistemas de ecuaciones fue la china, ya que en ella se desarrolló el interés por describir y resolver sistemas de ecuaciones relacionadas con la obtención de cuadrados mágicos. Los sistemas de ecuaciones lineales comenzaron a ser estudiados sistemáticamente por Leibniz y Cramer a mediados del siglo XVIII. Este último matemático, expuso lo que hoy conocemos como regla de Cramer para los sistemas de orden 3. A mediados del siglo XIX fue Cayley, al estudiar las matrices, quien dedujo la fórmula general de la regla de Cramer y quien expuso claramente la condición necesaria y suficiente para que un sistema cuadrado de ecuaciones lineales tuviera solución única.

De cursos anteriores conoces distintos métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales, aquí se trata de ampliar este conocimiento aplicando las matrices y los determinantes. Se trata de conseguir los siguientes objetivos:

- Resolver problemas que precisen del planteamiento y resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

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- Conocer y utilizar diversos métodos de resolución de sistemas: Gauss, Cramer y método de la matriz inversa.
- Aplicar el Teorema de Rouché-Frobenius para estudiar sistemas lineales.
- Discutir y resolver, en su caso sistemas dependientes de parámetros.

Al finalizar cada uno de estos tres apartados se ofrecen una serie de ejercicios y problemas para practicar, todos ellos con solución, con objeto de afianzar los conceptos aprendidos, así como una Autoevaluación que permite valorar los conocimientos adquiridos.

Por último se incluye un apéndice en el que se aportan ejercicios modelo de las Pruebas de Evaluación para el acceso a las universidades españolas.

Ahora, antes de comenzar, puedes ver el vídeo anunciado anteriormente.

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# parte i

# Matrices

## 1. Matrices sobre IR

Una matriz mxn sobre IR es un cuadro de números reales, dispuestos en m filas y n columnas﻿﻿, donde aij indica el elemento que ocupa la fila i y columna j. La dimensión de la matriz es mxn.

- El conjunto de matrices con m filas y n columnas lo indicaremos M (mxn).

Si m≠n, la matriz es rectangular y si m=n diremos que es cuadrada. Veamos algunos tipos de matrices:

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#### 1.2. Matriz traspuesta

Dada una matriz M, mxn, llamaremos matriz traspuesta de M, y la indicaremos con At a la matriz cuyo elemento (i,j) es el (j,i) de A. La obtenemos intercambiando filas con columnas.

#### 1.3. Matrices cuadradas

Mención aparte merecen las matrices cuadradas, en las que el número de filas es igual al de columnas. Si este número es n diremos que se trata de una matriz cuadrada de orden n.

El conjunto de matrices cuadradas de orden n lo designaremos M(n). Entre ellas cabe destacar:

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## 2. Operaciones con matrices

Consideremos el conjunto de matrices M (mxn), definimos las siguientes operaciones:

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#### 2.2. Producto por un escalar

El conjunto M (mxn) con las operaciones suma y producto por un escalar, tiene estructura de espacio vectorial.

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## 3. Producto de matrices

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## 4. Rango de una matriz

Si consideramos las filas y columnas de una matriz por separado como si fueran matrices fila o matrices columna, diremos que son linealmente independientes cuando ninguna es combinación lineal de las otras, es decir cuando no se pueden obtener a partir de las otras filas o columnas.

Llamaremos:

- Rango por filas de una matriz al mayor número de filas linealmente independientes.
- Rango por columnas al mayor número de columnas linealmente independientes.

#### 4.1. Transformaciones que conservan el rango

Podemos realizar determinadas transformaciones en una matriz mediante las que obtenemos otra matriz equivalente con el mismo rango. Estas transformaciones elementales son:

- Intercambiar dos filas (columnas) entre sí. Lo indicaremos Fi ↔ Fj
- Multiplicar una fila (columna) por un número real distinto de 0. Lo indicaremos Fi → k·Fi
- Sumar a una fila (columna) otra multiplicada por un número real. Escribiremos Fi → Fi+k·Fj

A partir de estas, otras transformaciones que también conservan el rango son:

- Sumar a una fila (columna) una combinación lineal de sus paralelas.
- Sustituir una fila (columna) por una combinación lineal de ella y sus paralelas.
- Eliminar una fila (columna) de ceros.
- Eliminar una fila (columna) igual o proporcional a otra paralela.
- Eliminar una fila (columna) combinación lineal de sus paralelas.

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#### 4.2. Cálculo del rango de una matriz por el método de Gauss

Una matriz es escalonada por filas si en cada fila el primer elemento no nulo está más a la derecha del de la fila anterior y las filas de ceros están situadas en la parte inferior.

Para calcular el rango de una matriz por el método de Gauss procederemos así:

- Realizamos sucesivas transformaciones elementales por filas hasta lograr una matriz escalonada por filas.
- El rango será el número de filas no nulas de la matriz equivalente así obtenida.

Veamos el proceso con un ejemplo:

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## 5. Matriz inversa

Entre las propiedades del producto de matrices no se ha citado el elemento inverso puesto que existe en determinados casos pero no en general, sin embargo hay matrices cuadradas para las que existe otra matriz que multiplicada por ellas nos da la matriz unidad. Estas matrices se llaman regulares o invertibles., en caso contrario se dicen singulares.

- Dada una matriz cuadrada M, a la matriz, si existe, que multiplicada por M a izquierda y derecha resulta la matriz unidad la llamaremos la inversa de M.

La indicaremos M-1: M · M-1 = M-1· M = In.

- Para que una matriz cuadrada de orden n, M, tenga inversa el rango de M debe ser n.

#### 5.1. Propiedades de la matriz inversa

Dadas A y B, matrices cuadradas de orden n, si existe su inversa se cumple:

- La inversa de la matriz inversa es la matriz original: (A-1)-1 = A.

En efecto como A · A-1 = A-1· A = In, la inversa de A-1 es A.

- Si A y B son dos matrices del mismo orden que tienen inversa entonces (A·B)-1 = B-1·A-1.

(A·B) · (B-1·A-1) = A · (B·B-1) · A = A · In · A-1 = A · A-1 = In

- La inversa de la matriz traspuesta de A es la traspuesta de la inversa: (At)-1 = (A-1)t

(A-1)t· At = (A · A-1)t = (In)t = In

Por otra parte, puesto que no siempre existe la matriz inversa, la igualdad A · B = A · C no implica necesariamente B = C, lo que nos lleva a que un producto de matrices pueda ser la matriz cero sin que sean nulas ninguna de las matrices factores.

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#### 5.2. Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss-Jordan

Las transformaciones elementales que sirven para calcular el rango de una matriz se pueden utilizar también para calcular su inversa.

Para ello ampliamos la matriz original escribiendo a su derecha la matriz identidad del mismo orden, aplicamos las transformaciones pertinentes de modo que a la izquierda quede la matriz identidad y así, la matriz de la derecha será la inversa buscada. Veámoslo con un ejemplo:

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Ejercicios para practicar

A continuación se presentan más ejercicios para practicar con matrices. Puedes elegir en el menú el tipo que prefieras para empezar. De todos ellos se ofrece la solución.

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# Autoevaluación

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# parte ii

# Determinantes

## 1. Determinante de una matriz cuadrada

A las matrices cuadradas se les puede asociar un número real que llamaremos determinante.

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#### 1.3. Determinante de una matriz de orden n

Si observas la definición de los determinantes de las matrices de orden 2 y de orden 3, verás que cada sumando es un producto formado tomando de un elemento de cada fila y de cada columna, habiendo tantos sumandos como productos se pueden formar así. El signo de cada sumando viene dado dado por el número de inversiones o alteraciones del orden natural, de los subíndices que indican las columnas, ordenadas las filas. Si este número es par el sumando tiene signo más y menos si es impar.

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El cálculo del determinante de una matriz de orden superior a 3 a partir de la definición es excesivamente laborioso, veamos un método que facilita esta tarea.

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## 2. Propiedades de los determinantes

La justificación y ejemplos de las siguientes propiedades se hace para las filas y con determinantes de matrices de orden 3, pero se extienden a las columnas y a cualquier orden de matrices.

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Las siguientes propiedades son muy útiles para calcular determinantes de orden superior a 3.

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Por último dos propiedades relativas al producto de matrices.

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## 3. Cálculo de determinantes de orden superior a 3

Un método para calcular determinantes de orden superior a 3 es desarrollar por los elementos de una fila o columna, aplicar las propiedades de los determinantes puede agilizar este proceso.

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## 4. Calcular el rango de una matriz con determinantes

Hemos visto que si en una matriz cuadrada de orden n, una fila o columna es combinación lineal de otras, su determinante es 0. Entonces si el determinante no es 0, sus filas o columnas serán linealmente independientes y por tanto el rango de la matriz será n.

Si en una matriz A cualquiera hay un menor de orden p distinto de 0, sus filas son linealmente independientes, luego r(A) ≥ p. Por otra parte si todos los menores de orden p son nulos, no hay p filas linealmente independientes luego r(A) < p. Lo que nos lleva a afirmar:

- El rango de una matriz es el orden del menor de mayor orden no nulo.

Veamos con un ejemplo el proceso a seguir para aplicar esto al cálculo del rango de una matriz:

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## 5. Calcular la inversa de una matriz con determinantes

En la parte I hemos visto que una matriz cuadrada A de orden n tiene inversa si y solo si r(A)=n.

Por otra parte sabemos que el rango de A es n si y solo si |A|≠0. De estas dos afirmaciones deducimos que:

- Una matriz cuadrada A tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de 0.

Con esta premisa veamos otra forma de calcular la inversa de una matriz aplicando determinantes.

Para ello partimos de la matriz adjunta de A, que es la matriz formada por los adjuntos de cada elemento de A, la representamos adj(A).

Como vimos en el apartado 1.5, el determinante de A se puede calcular desarrollando por los elemento de una línea, fila o columna, así por ejemplo:

|A| = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ... + ainAin

Pero, además, si multiplicamos los elementos de una línea por los adjuntos de otra paralela el resultado es 0, ya que tendríamos el desarrollo de un determinante con dos líneas iguales.

ai1Aj1 + ai2Aj2 + ... + ainAjn = 0

Entonces si multiplicamos una matriz por la traspuesta de su adjunta obtenemos:

Observa que, de nuevo, la condición necesaria y suficiente pata que exista la matriz inversa es que el determinante no sea cero. El proceso a seguir es el siguiente:

1. Se calcula el determinante de A, si es distinto de cero, la matriz tiene inversa.
2. Se calcula la matriz adjunta de A.
3. Se traspone la matriz adjunta de A y se divide cada elemento por |A|.

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Veamoslo con un ejemplo:

Ahora puedes hacerlo tú:

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Ejercicios para practicar

A continuación se presentan más ejercicios para practicar con determinantes. Puedes elegir en el menú el tipo que prefieras para empezar. De todos ellos se ofrece la solución.

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# Autoevaluación

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# parte iii

# Sistemas de ecuaciones

## 1. Sistemas de ecuaciones lineales

Una ecuación es una igualdad que establece una relación entre variables desconocidas que llamaremos incógnitas.

Un conjunto de ecuaciones que deben cumplirse simultaneamente forma un sistema de ecuaciones e interesa buscar las soluciones comunes a todas ellas. En nuestro caso trataremos de sistemas de ecuaciones lineales, donde cada ecuación es lineal.

Entonces un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas será de la forma:

Encontrar una solución del sistema es encontrar n números reales ordenados, α1, α2, ... , αn, que satisfagan todas las ecuaciones.

Un sistema en el que todos los términos independientes son cero se llama homogéneo. Estos sistemas siempre tienen la solución x1 = x2 = ... = xn = 0, llamada solución trivial o impropia.

Atendiendo al número de soluciones los sistemas de ecuaciones pueden ser:

- Compatibles: Con solución.

- Compatible determinado: Solución única.
- Compatible indeterminado: Más de una solución lo que equivale a Si el sistema tuviera dos soluciones, los valores medios de ambas también serían solución, y así sucesivamente, por lo que habría infinitas soluciones. infinitas soluciones.

- Incompatibles: Sin solución.

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#### 1.1. Expresión matricial de un sistema

Las matrices nos dan la posibilidad de expresar un sistema en la forma siguiente, que se conoce como expresión matricial del sistema:

o bien A · X = C, donde A es la matriz de los coeficientes, X es la matriz columna de las incógnitas y C la de los términos independientes.

#### 1.2. Sistemas equivalentes

Dos sistemas con las mismas incógnitas se dicen equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones.

Las siguientes transformaciones en un sistema dan lugar a otro equivalente:

- Cambiar el orden de las ecuaciones del sistema.
- Multiplicar o dividir los dos miembros de una ecuación por un número distinto de 0.
- Suprimir una ecuación que sea combinación lineal de las otras.
- Sustituir una ecuación por una combinación lineal de ella y de las otras.

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## 2. Resolución de sistemas

Cuando se trata de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas son bien conocidos los métodos de sustitución, igualación y reducción para resolverlos. También pueden resolverse gráficamente puesto que cada ecuación representa una recta en el plano. A modo de recordatorio puedes ver a continuación algunos ejemplos.

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#### 2.2. Resolución de sistemas por el método de Gauss

Resolver un sistema por el método de Gauss consiste en transformar el sistema propuesto en otro equivalente escalonado, de fácil resolución, aplicando las transformaciones anteriormente citadas.

En los siguientes ejemplos puedes ver el proceso. Observa que, para facilitar los cálculos, prescindimos de escribir las incógnitas, utilizando la matriz de los coeficientes A a la que añadimos la columna de los términos independientes, la llamada matriz ampliada, A* = [A | C].

Por este método también podemos estudiar las soluciones del sistema. Una vez escalonado el sistema y eliminadas las ecuaciones de la forma 0 = 0, pueden darse distintas situaciones:

- Si aparece alguna ecuación de la forma 0 = k, el sistema es incompatible.
- No aparecen ecuaciones de la forma 0 = k, el sistema es compatible

- Determinado si el número de ecuaciones y de incógnitas es igual.
- Indeterminado si el número de ecuaciones es menor que el de incógnitas

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#### 2.3. Resolución de sistemas por inversión de la matriz de los coeficientes

Podemos considerar la expresión matricial de un sistema de ecuaciones lineales, A · X = C, como una ecuación matricial que resolvemos despejando X siempre que sea posible, esto es si la matriz de los coeficientes es cuadrada y tiene inversa.

A · X = C ⇒ A-1· A · X = A-1· C ⇒ In· X = A-1· C ⇒ X = A-1· C

Observa que cuando A es cuadrada e invertible, el sistema es compatible determinado.

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#### 2.4. La regla de Cramer

Diremos que un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas es de Cramer si el determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de 0. Entonces estos sistemas pueden resolverse, como se ha visto en el punto anterior. por inversión de la matriz de los coeficientes A.

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## 3. Discusión de sistemas

Discutir un sistema de ecuaciones consiste en determinar si es compatible o no, y caso de serlo si es determinado o indeterminado, sin necesidad de resolverlo.

#### 3.1. Teorema de Rouché-Frobenius

Dado un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, en el que A es la matriz de los coeficientes y A* la matriz ampliada, tenemos que:

El sistema es compatible ⇔ r(A) = r(A*)

Escribimos el sistema como se indica a continuación, en forma vectorial:

- Si el sistema es compatible, existe un conjunto de valores α1, α2, ... , αn, solución del sistema, se cumple A1α1 + A2α2 + ... + Anαn = C, donde Ai son las columnas de A. Luego la columna C es combinación lineal de las columnas de A y por tanto r(A*) = r(A).
- Si r(A) = r(A*), la columna formada por los términos independientes que las diferencia, será combinación lineal de las anteriores, A1α1 + A2α2 + ... + Anαn = C, luego (α1, α2, ... , αn) es solución del sistema, que por tanto, es compatible.

Además si el sistema es compatible, tenemos que:

- Si r(A) = n ⇒ el sistema es determinado.
- Si r(A) < n ⇒ el sistema es indeterminado.

En efecto si r(A*) = n, hay en A* n filas linealmente independientes y por tanto n ecuaciones linealmente independientes. Tomando estas n ecuaciones tenemos un sistema con |A|≠0, es decir, de Cramer y por tanto con solución única.

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A continuación puedes ver algunos ejemplos. en los que puedes elegir el método para calcular el rango de A y de A*.

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#### 3.2. Sistemas homogéneos

Recuerda que un sistema es homogéneo si todos los términos independientes son cero.

En estos sistemas r(A) = r(A*), luego siempre son compatibles, todos tienen al menos la solución x1 = x2 = ... = xn = 0, llamada solución trivial, y lo que interesa es ver si hay más soluciones.

En un sistema homogéneo indeterminado se cumple que cualquier combinación lineal de soluciones es también solución del sistema.

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#### 3.3. Discusión de sistemas con parámetros

En ocasiones se nos presentan sistemas en los que algunos coeficientes o términos independientes dependen de uno o más parámetros. Se trata de familias de sistemas de ecuaciones y para cada valor del parámetro o los parámetros se tiene un sistema diferente.

Para discutir estos sistemas de este tipo se determinan los valores del parámetro para los que pueden ser distintos los rangos de A y de A*, se halla el rango de A y el de A* para estos y el resto de valores del parámetro y se aplica el Teorema de Rouche-Frobenius.

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## 4. Planteamiento de problemas

El lenguaje algebraico constituye un potente instrumento para resolver problemas. Aquí hay algunos problemas resueltos mediante sistemas de ecuaciones, pulsando sobre el número se puede ver otro ejemplo. Recuerda los pasos a dar:

- Tras la lectura comprensiva del enunciado, identificaremos y nombraremos las incógnitas.
- Planteamiento del problema, traduciendo el enunciado a ecuaciones.
- Resolución del sistema planteado y discusión, comprobando que la solución obtenida cumple las ecuaciones y es válida para las condiciones impuestas.

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Ejercicios para practicar

A continuación se presentan más ejercicios para practicar con sistemas. Puedes elegir en el menú el tipo que prefieras para empezar. De todos ellos se ofrece la solución.

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# Autoevaluación

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# Apéndice

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Problemas de Selectividad

A continuación se presentan los problemas de Álgebra propuestos en la Evaluación de Bachillerato para el acceso a la Universidad del año 2018, en cada distrito universitario de España. De todos ellos se ofrece la solución.

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