### Ejemplo 1

¿Es el conjunto \(A = \left\{ {\left( {1,1,0} \right),\left( {2, -1,1} \right),\left( {0,1,0} \right)} \right\}\) base de \({\mathbb{R}^3}\)?

Cómo \(\dim \left( {{\mathbb{R}^3}} \right) = 3\) y \(A\) tiene tres vectores, entonces por la propiedad 1, es suficiente probar que \(A\) es LI para asegurar que es una base de \({\mathbb{R}^3}\).

En \({\mathbb{R}^3}\), tres vectores \({v_1},\;{v_2},\;{v_3}\) son LD si y sólo si están situados en el mismo plano que pasa por el origen (vectores coplanares). Veamos si son coplanares haciendo el producto mixto:

$$ \left(1, 1, 0 \right)\,\cdotp\, \left(2, -1, 1 \right) \times \left(0, 1, 0 \right)= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{vmatrix} = -1 \not = 0 $$

No son coplanares, por lo tanto son L.I.

Luego \(A\) es base de \({\mathbb{R}^3}\).

### Ejemplo 2

\[C = \left\{ {1 + x + {x^2}; \; 3 -x; \; 2 + k{x^2}} \right\} \subset {P_2}\]

Determinar todos los \(k \in \mathbb{R}\) tales que \(C\) sea una base de \({P_2}\).

\(\dim \left( {{P_2}} \right) = 3\) \(\; \Rightarrow \;\) Todo conjunto de tres vectores L.I. en \({\,P_2}\,\) es base.

\[\alpha \left( {1 + x + {x^2}} \right) + \beta \left( {3 - x} \right) + \gamma \left( {2 + k{x^2}} \right) = {0_{{P_2}}}\]

Igualando coeficientes, resulta:

$$\begin{cases} \alpha + 3 \beta + 2 \gamma = 0 \\ \alpha - \beta = 0 \\ \alpha + k \gamma = 0\end{cases}$$

Como es un sistema homogéneo, siempre tiene solución. ¿Buscamos que tenga solución única, o infinitas?

Buscamos los valores de \(k\) para que la única solución sea la trivial: \(\alpha = \beta = \gamma = 0\).

Habíamos visto que en los sistemas cuadrados homogéneos, el determinante de la matriz de coeficientes permite decidir si son SCD o SCI.

En este caso, \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&3&2\\1&{ - 1}&0\\1&0&k\end{array}} \right)\) y \(\,\det \left( A \right) = 2 - 4k\)

Si \(k = \frac{1}{2}\) el sistema queda compatible indeterminado.

Para cualquier \(k \ne \frac{1}{2}\;\) el sistema es compatible determinado, por lo tanto \(\left\{ {1 + x + {x^2}; \; 3 -x; \; 2 + k{x^2}} \right\}\) es LI, y entonces es base de \({P_2}\).

### Ejemplo 3

Dado \(A = \left\{ {{v_1},{v_2},{v_3},{v_4}} \right\} \subset {\mathbb{R}^3}\;\) puede afirmarse que este conjunto es LD. Si hubiera tres vectores LI, éstos formarían una base de \({\mathbb{R}^3}\) y por lo tanto el vector restante podría expresarse como combinación lineal de ellos.

### Ejemplo 4

El conjunto \(\left\{ {u = \left( {1,2,3} \right),v = \left( {1,1,0} \right)} \right\}\) es LI en \({\mathbb{R}^3}\) pero no genera todo \({\mathbb{R}^3}\) sino que genera un plano. Podemos extenderlo a una base agregando algún vector LI, podría ser por ejemplo el producto vectorial entre estos dos. Obtenemos \(\left\{ {u,v,u \times v} \right\}\) que es una base de \({\mathbb{R}^3}\).