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<BODY>

<h3>Ejemplo</h3>
<p>Consideremos el siguiente ejemplo:</p>
\[r:\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\;x + y + z + 1 = 0\;\;\;\;\;\;\;\;{\pi _1}}\\{\;x - y - z + 2 = 0\;\;\;\;\;\;\;\;{\pi _2}}\end{array}} \right.\]
<p>Éste es un sistema de 2x3 (de 2 ecuaciones con 3 incógnitas) cuyo conjunto solución es la recta \(r\).</p>
<p>¿Cómo podemos hallar un vector director de la recta y un punto de la misma?</p>
<p>Para obtener \(\vec v\) , debe tenerse en cuenta que:</p>
<p style="text-align: center;"><img loading="lazy" src="../images/capitulo_01/Rectaenma4.png" width="576px" height="336"></p>
<p>Por lo tanto \(\;\overrightarrow {{n_1}} \times \overrightarrow {{n_2}} \;\) es un vector paralelo a \(\,r.\;\) Así encontramos un vector director de \(\,r\):</p>
<p>\[\vec v = \overrightarrow {{n_1}} \times \overrightarrow {{n_2}} = \left( {0,2, - 2} \right)\]</p>
<p>Para hallar un punto \({P_0} \in r\) , podemos fijar el valor de una de las variables en el sistema de ecuaciones que define a la recta, por ejemplo fijemos arbitrariamente \(z = 0\)</p>
<p>Reemplazando en el sistema, nos queda:<br>
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\;x + y + 1 = 0\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\;x - y + 2 = 0\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.sistema\;2&#215;2\]
<p>Resolviendo este sistema, obtenemos: \(\:x = - \;\dfrac{3}{2},\;\;\;y = \;\dfrac{1}{2}\;\) por lo cual un punto de la recta es \(\,{P_0}\;\left( { - \;\dfrac{3}{2}\;,\;\dfrac{1}{2},\;0} \right)\).</p>
<p>Con la información obtenida, estamos en condiciones de escribir la ecuación vectorial de la recta:</p>
<p>\[r:\left( {x,y,z} \right) = \left( { - \;\frac{3}{2}\;,\;\frac{1}{2},\;0} \right) + \lambda \left( {0,2, - 2} \right),\;\;\;\lambda \; \in R\]</p>
<p>Observación: Si para buscar un punto de la recta fijáramos \(\,x = 0\) (en lugar de \(z = 0\)), nos quedaría el siguiente sistema: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y + z + 1 = 0}\\{\; - y - z + 2 = 0\;}\end{array}}\right.\;\)que es incompatible.</p>
<p>¿Por qué se produce esta incompatibilidad? Porque no hay ningún punto de la recta en el plano \(\,x = 0\), o sea la recta no interseca al plano \(x = 0\).</p>
<p>En resumen:</p>
<p>Dada una recta \(r:\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\;{a_1}x + {b_1}y + {c_1}z + {d_1} = 0}\\{\;{a_2}x + {b_2}y + {c_2}z + {d_2} = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\;\)</p>
<p>podemos obtener un vector director calculando el producto vectorial \(\;\overrightarrow {{n_1}} \; \times \overrightarrow {{n_2}} \) .</p>
<p>Para obtener un punto de la recta, fijamos arbitrariamente el valor de una de las variables y resolvemos el sistema 2&#215;2 resultante.</p>

<h3>Ejemplo</h3>
<p>Retomemos el ejemplo anterior:</p>
<p>\[r:\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\;x + y + z + 1 = 0\;\;\;\;\;\;\;\;{\pi _1}}\\{\;x - y - z + 2 = 0\;\;\;\;\;\;\;\;{\pi _2}}\end{array}} \right.\]</p>
<p>Otra forma de obtener la ecuación vectorial de la recta es resolver el sistema de ecuaciones que la define.</p>
<p>Escribimos la matriz ampliada asociada al sistema:</p>
<img loading="lazy" class="aligncenter size-full wp-image-2361" src="../images/capitulo_01/recta-en-r3.png" width="296" height="168">
<p>Aplicamos operaciones elementales entre filas para resolver el sistema de ecuaciones:</p>
<p>\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&amp;1&amp;1&amp;{ - 1}\\1&amp;{ - 1}&amp;{ - 1}&amp;{ - 2}\end{array}} \right)\mathop \to \limits_{{F_2} \; \to \;{F_2} \; - \; {F_1}} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&amp;1&amp;1&amp;{ - 1}\\0&amp;{ - 2}&amp;{ - 2}&amp;{ - 1}\end{array}} \right)\]</p>
<p>\[\mathop \to \limits_{{F_2} \; \to \; - \, \frac{1}{2}{F_2}} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&amp;1&amp;1&amp;{ - 1}\\0&amp;1&amp;1&amp;{0,5}\end{array}} \right)\mathop \to \limits_{{F_1} \; \to \; {F_1} \; - \;{F_2}} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&amp;0&amp;0&amp;{ - 1,5}\\0&amp;1&amp;1&amp;{0,5}\end{array}} \right)\]</p>
<p>\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&amp;0&amp;0&amp;{ - 1,5}\\0&amp;1&amp;1&amp;{0,5}\end{array}} \right)\]</p>
<p>Y ahora escribimos el sistema simplificado:</p>
<p>\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1,5}\\{y + z = 0,5}\end{array}\;} \right.\]</p>
<p>O sea:</p>
<p>\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1,5}\\{y = 0,5 - z}\end{array}\;} \right.\]</p>
<p>Entonces el conjunto solución se puede expresar así:</p>
<p>\[S = \left\{ {\left( {x,y,z} \right) \in {\mathbb{R}^3}\;|\;\;x = - 1,5\;\; \wedge \;\;y = 0,5 - z} \right\}\]</p>
<p>Y podemos escribir la ecuación vectorial de la recta \(r\):</p>
<p>\[\left( {x,y,z} \right) = \left( { - 1,5;\;\;0,5 - z;\;\;z} \right)\]</p>
<p>Llamando \(z = \lambda \) , resulta:</p>
<p>\[r:\;\;\left( {x,y,z} \right) = \left( { - 1,5;\;0,5;\;0} \right) + \lambda \;\left( {0, - 1,1} \right),\;\;\;\lambda \in \mathbb{R}\]</p>

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