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<BODY>

<h3>Ejemplo 1</h3>
<p>Dados los siguientes subespacios de \(V = {\mathbb{R}^3}\):</p>
<p style="text-align: center;">\[S = \left\{ {\left( {x,y,z} \right)|\;x - 3z = 0} \right\}\]</p>
<p style="text-align: center;">\[T = \left\{ {\left( {x,y,z} \right)|\;x \; + \; y \;-\; z = 0} \right\}\]</p>
<p>Nos interesa hallar \(S + T\).</p>
<p>Busquemos una base de \(S\). Para eso en la ecuación despejamos una variable:</p>
<p style="text-align: center;">\[x = 3z\]</p>
<p>Ahora armamos un vector genérico:</p>
<p style="text-align: center;">\[\left( {x,y,z} \right) = \left( {3z,y,z} \right) = z\left( {3,0,1} \right) + y\left( {0,1,0} \right)\]</p>
<p style="text-align: center;">\[{B_S} = \left\{ {\left( {3,0,1} \right),\left( {0,1,0} \right)} \right\}\]</p>
<p>Busquemos una base de \(T\). Para esto en la ecuación despejamos una variable:</p>
<p style="text-align: center;">\[z = x + y\]</p>
<p>Ahora armamos un vector genérico:</p>
<p style="text-align: center;">\[\left( {x,y,z} \right) = \left( {x,y,x + y} \right) = x\left( {1,0,1} \right) + y\left( {0,1,1} \right)\]</p>
<p>Entonces</p>
<p style="text-align: center;">\[{B_T} = \left\{ {\left( {1,0,1} \right),\left( {0,1,1} \right)} \right\}\]</p>
<p style="text-align: center;">\[S + T = gen\left\{ {\left( {3,0,1} \right),\left( {0,1,0} \right),\left( {1,0,1} \right),\left( {0,1,1} \right)} \right\}\]</p>
<p>Sabemos que todo conjunto de más de 3 vectores en \({\mathbb{R}^3}\) es linealmente dependiente, ya que la dimensión de \({\mathbb{R}^3}\) es 3. ¿Cómo podemos extraer una base de la suma?</p>
<p>Podríamos armar una matriz con estos 4 vectores y llevarla a la forma escalonada. O si no, como el espacio es \({\mathbb{R}^3}\) podemos pensar geométricamente:</p>
<p><img loading="lazy"  src="../images/capitulo_03/operaciones_con_subespacios.png" width="53%"  ></p>
Como \(\left( {1,0,1} \right)\) no verifica la ecuación del plano S, los 3 primeros vectores <span style="text-decoration: underline;">no</span> son coplanares y por lo tanto forman una base de \(\mathbb{R}^3\). Podemos eliminar \(\left( {0,1,1} \right)\) porque es combinación lineal de dicha base.</p>
<p>Por lo tanto: \(B = \left\{ {\left( {3,0,1} \right),\left( {0,1,0} \right),\left( {1,0,1} \right)} \right\}\) es base de \(S + T\) y es base de \(\mathbb{R}^3\).</p>
<p>En este caso, como \(S + T\;\) es un subespacio de \({R^3}\) de dimensión 3, podemos afirmar que:</p>
<p style="text-align: center;">\[S + T = {\mathbb{R}^3}\]</p>
<p>Generalizando:</p>
<div class="content-box-red">
<p style="text-align: center;">\(S\) subespacio de \(V\)  y   \(\dim \left( S \right) = \dim \left( V \right) \Rightarrow S = V\)</p>
</div>
<h3>Ejemplo 2</h3>
<p>Dados los siguientes subespacios de \(V = {\mathbb{R}^4}\):</p>
<p style="text-align: center;">\[{S_1} = \left\{ {x \in {\mathbb{R}^4}|\;{x_1} + {x_2} = {x_2} + {x_4} = 0} \right\}\]</p>
<p style="text-align: center;">\[{S_2} = \left\{ {x \in {\mathbb{R}^4}|\;{x_1} &#8211; {x_4} = {x_3} + {x_4} = 0} \right\}\]</p>
<p>Hallar base y dimensión de \({S_1} + {S_2}\;\).</p>
<h3>Resolución</h3>
<p style="text-align: center;">\[\left( {{x_1},{x_2},{x_3},{x_4}} \right) = \left( { &#8211; {x_2},{x_2},{x_3}, &#8211; {x_2}} \right) = {x_2}\left( { &#8211; 1,1,0, &#8211; 1} \right) + {x_3}\left( {0,0,1,0} \right)\]</p>
<p style="text-align: center;">\[{B_{{S_1}}} = \left\{ {\left( {1, &#8211; 1,0,1} \right),\left( {0,0,1,0} \right)} \right\}\]</p>
<p style="text-align: center;">\[\left( {{x_1},{x_2},{x_3},{x_4}} \right) = \left( {{x_4},{x_2}, &#8211; {x_4},{x_4}} \right) = {x_4}\left( {1,0, &#8211; 1,1} \right) + {x_2}\left( {0,1,0,0} \right)\]</p>
<p style="text-align: center;">\[{B_{{S_2}}} = \left\{ {\left( {1,0, &#8211; 1,1} \right),\left( {0,1,0,0} \right)} \right\}\]</p>
<p style="text-align: center;">\[{S_1} + {S_2} = gen\left\{ {\left( {1, &#8211; 1,0,1} \right),\left( {0,0,1,0} \right),\left( {1,0, &#8211; 1,1} \right),\left( {0,1,0,0} \right)} \right\}\]</p>
<p>Cómo hemos visto, un método para analizar si son LI o LD, consiste en armar una matriz con los vectores como filas y llevarla a su forma escalonada. Por conveniencia colocaremos los vectores en el siguiente orden:</p>
<p style="text-align: center;">                                 \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&amp;{ &#8211; 1}&amp;0&amp;1\\1&amp;0&amp;{ &#8211; 1}&amp;1\\0&amp;1&amp;0&amp;0\\0&amp;0&amp;1&amp;0\end{array}} \right)\)</p>
<p style="text-align: center;">       \(\mathop  \to \limits_{{F_2} \;\; \to \; {F_2} \; - \; {F_1}} \; \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&amp;{ &#8211; 1}&amp;0&amp;1\\0&amp;1&amp;{ &#8211; 1}&amp;0\\0&amp;1&amp;0&amp;0\\0&amp;0&amp;1&amp;0\end{array}} \right)\)</p>
<p style="text-align: center;">       \(\mathop  \to \limits_{{F_3} \;\; \to \; {F_3} \; &#8211; \; {F_2}} \; \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&amp;{ &#8211; 1}&amp;0&amp;1\\0&amp;1&amp;{ &#8211; 1}&amp;0\\0&amp;0&amp;1&amp;0\\0&amp;0&amp;1&amp;0\end{array}} \right)\)</p>
<p style="text-align: center;">       \(\mathop  \to \limits_{{F_4} \;\; \to \; {F_4} \; &#8211; \; {F_3}} \; \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&amp;{ -1}&amp;0&amp;1\\0&amp;1&amp;{ &#8211; 1}&amp;0\\0&amp;0&amp;1&amp;0\\0&amp;0&amp;0&amp;0\end{array}} \right)\)</p>
<p>La matriz escalonada tiene 3 filas LI (su rango es 3), entonces podemos afirmar que la dimensión de \(S + T\) es 3.</p>
<p>Como se anuló la última fila, el vector \(\left( {0,0,1,0} \right)\) es combinación lineal de los otros tres, por lo tanto una base de \(S + T\) es: \({B_{S + T}} = \left\{ {\left( {1, -1,0,1} \right),\left( {0,1,0,0} \right),\left( {1,0, - 1,1} \right)} \right\}\).</p>
<p>Recordemos que las filas de la matriz escalonada componen otra base de la suma:</p>
<p style="text-align: center;">\[B\;'{_{S + T}} = \left\{ {\left( {1, -1,0,1} \right),\left( {0,1, -1,0} \right),\left( {0,0,1,0} \right)} \right\}\]</p>
</BODY>
</HTML>