### Ejercicio 1

Sean,

\[B = \left\{ {\left( {1,0,0} \right),\left( {1,1,0} \right),\left( {2,2,1} \right)} \right\}\;base\;de\;{\mathbb{R}^3}\]

\[u = \left( { -1,4,3} \right)\]

a) Hallar:

- \({\left[ u \right]_B}\) , coordenadas del vector \(u\) en la base \(B\)
- \({\left[ u \right]_E}\) , coordenadas del vector \(u\) en la base canónica

b) Sabiendo que:

\[{\left[ v \right]_B} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}3\\{\begin{array}{*{20}{c}}1\\2\end{array}}\end{array}} \right)\]

Hallar \(v\).

### Resolución

Ítem a

\[\alpha \left( {1,0,0} \right) + \beta \left( {1,1,0} \right) + \gamma \left( {2,2,1} \right) = \left( { -1,4,3} \right)\]

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\alpha + \beta + 2\gamma = -1}\\{\beta + 2\gamma = 4}\\{\gamma = 3}\end{array}} \right.\;\;\; \Rightarrow \;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\alpha = - 5}\\{\beta = - 2}\\{\gamma = 3}\end{array}} \right.\]

Estos escalares son las coordenadas de \(u\) es la base \(B\):

\[{\left[ u \right]_B} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ -5}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{ -2}\\3\end{array}}\end{array}} \right)\]

En el caso de la base canónica, las coordenadas del vector coinciden con sus componentes, ya que:

\[\left( {x,y,z} \right) = x\left( {1,0,0} \right) + y\left( {0,1,0} \right) + z\left( {0,0,1} \right)\]

Entonces:

\[{\left[ u \right]_E} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}\\{\begin{array}{*{20}{c}}4\\3\end{array}}\end{array}} \right)\]

Ítem b

Dadas una base y las coordenadas de un vector en esa base, podemos hallar el vector:

\[v = 3\left( {1,0,0} \right) + 1\left( {1,1,0} \right) + 2\left( {2,2,1} \right) = \left( {8,5,2} \right)\]

Observación: Las bases son conjuntos ordenados. O sea, si reordenamos los vectores de una base, obtenemos una base diferente. Así:

\(B = \left\{ {\left( {1,0,0} \right),\left( {1,1,0} \right),\left( {2,2,1} \right)} \right\}\) y \(B’ = \left\{ {\left( {2,2,1} \right),\left( {1,0,0} \right),\left( {1,1,0} \right)} \right\}\) son bases distintas de \({\mathbb{R}^3}\).

¿Por qué son distintas? Porque las coordenadas de un vector cambian si se reordena la base. Por ejemplo para \(u = \left( { - 1,4,3} \right)\) las coordenadas en cada base son:

\[{\left[ u \right]_B} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 5}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{ – 2}\\3\end{array}}\end{array}} \right)\;\;\;\;\;\;\;\;y\;\;\;\;\;\;\;\;{\left[ u \right]_{B’}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}3\\{\begin{array}{*{20}{c}}{ - 5}\\{ -2}\end{array}}\end{array}} \right)\]

### Ejercicio 2

Dados los vectores de \({\mathbb{R}^2}\), y sus coordenadas en la base \(B\):

\[u = \left( {5,2} \right)\;\;,\;\;\;v = \left( {7,1} \right)\]

\[{\left[ u \right]_B} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}3\\2\end{array}} \right)\;\;,\;\;\;\;{\left[ v \right]_B} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}5\\3\end{array}} \right)\]

Hallar, si es posible, la base \(B\).

### Resolución

Una base \(B\) de \({\mathbb{R}^2}\) tiene dos vectores:

\[B = \left\{ {{v_1},{v_2}} \right\}\]

\[{\left[ u \right]_B} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}3\\2\end{array}} \right)\;\; \Rightarrow \;\;\;3{v_1} + 2{v_2} = \left( {5,2} \right)\]

\[{\left[ v \right]_B} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}5\\3\end{array}} \right)\; \Rightarrow \;\;\;5{v_1} + 3{v_2} = \left( {7,1} \right)\]

Entonces podemos resolverlo como un sistema de ecuaciones vectorial:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\;3{v_1} + 2{v_2} = \left( {5,2} \right)}\\{5{v_1} + 3{v_2} = \left( {7,1} \right)}\end{array}\;\;\; \Rightarrow \;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{15{v_1} + 10{v_2} = \left( {25,10} \right)}\\{15{v_1} + 9{v_2} = \left( {21,3} \right)}\end{array}} \right.} \right.\]

Restando las ecuaciones, se obtiene:

\[{v_2} = \left( {4,7} \right)\]

Sustituyendo y despejando, resulta: \({v_1} = \left( { – 1, – 4} \right)\).

Entonces

\[B = \left\{ {\left( { – 1, – 4} \right),\left( {4,7} \right)} \right\}\]