### Ejemplo 1

Hallar la intersección entre las rectas:

\[{r_1}:\left( {x,y,z} \right) = \left( { - 2,1,3} \right) + \alpha \left( {1,4,5} \right)\]

\[{r_2}:\left( {x,y,z} \right) = \left( {1,0, - 2} \right) + \beta \left( {0,3, - 1} \right)\]

\[ \vec{v_1} \; \nparallel \; \vec {v_2} \; \Rightarrow \; r_1 \; \nparallel \; r_2\]

Para buscar la intersección, escribimos las ecuaciones paramétricas de las rectas y luego igualamos:

\[{r_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2 + \alpha }\\{y = 1 + 4\alpha }\\{z = 3 + 5\alpha }\end{array}} \right.\;,\;\;\;\;\;\;\;{r_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y = 3\beta }\\{z = - 2 - \beta }\end{array}} \right.\]

\[ \Rightarrow \;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2 + \alpha = 1}\\{1 + 4\alpha = 3\beta }\\{3 + 5\alpha = - 2 - \beta }\end{array}} \right.\]

Nos queda un sistema de tres ecuaciones y dos incógnitas.

De la primera ecuación se obtiene: \(\alpha = 3\)

Reemplazando \(\alpha = 3\) en la segunda ecuación, resulta: \(\beta = \dfrac{{13}}{3}\)

Pero si sustituimos ambos valores en la tercera ecuación:

\[3 + 5.3 = - 2 -\frac{{13}}{3}\]

\[18 = - \frac{{19}}{3}\]

Como esto es falso, el sistema es incompatible. Habíamos descartado paralelismo, por lo tanto podemos afirmar que las rectas son alabeadas.

Observación: Los sistemas que tienen más ecuaciones que incógnitas se denominan sobredeterminados y en general son incompatibles.

### Ejemplo 2

Hallar la intersección entre las rectas:

\[{r_1}:\left( {x,y,z} \right) = \lambda \left( {1,0,1} \right)\]

\[{r_2}:\left( {x,y,z} \right) = \beta \left( { - 1,1,0} \right) + \left( {0,1,1} \right)\]

Observemos que los vectores directores de las rectas no son paralelos, luego las rectas no pueden ser paralelas. Podrían intersecarse o ser alabeadas.

Escribimos las ecuaciones paramétricas de las rectas e igualamos:

\[{r_1}:\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \lambda }\\{y = 0}\\{z = \lambda }\end{array}} \right.\;\;\;\;\;\;,\;\;\;\;\;{r_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - \beta }\\{y = \beta + 1}\\{z = 1}\end{array}} \right.\]

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\lambda = - \beta }\\{0 = \beta + 1}\\{\lambda = 1}\end{array}} \right.\;\;\; \Rightarrow \;\lambda = 1\; \wedge \;\beta = - 1\]

Como el sistema tiene solución, podemos afirmar que las rectas se intersecan, o sea son concurrentes. Para averiguar en qué punto se cortan, podemos reemplazar \(\lambda = 1\) en las ecuaciones paramétricas de \({r_1}\) o \(\beta = - 1\) en las ecuaciones paramétricas de \({r_2}\). Así obtenemos el punto de intersección \(\;P\left( {1,0,1} \right).\)

Observación: En este ejemplo, las rectas se cortan en el punto \(P\left( {1,0,1} \right)\). En \({r_1}\), el punto \(P\) se corresponde con \(\lambda = 1\). En cambio en \({r_2}\), \(P\) se corresponde con \(\beta = - 1\). Por lo tanto, cuando buscamos la intersección entre dos rectas debemos utilizar letras diferentes para indicar los respectivos parámetros. Noten que si hubiéramos utilizado el parámetro \(\lambda \) para las dos rectas, habríamos obtenido un absurdo: \(\lambda = 1\;\;y\;\;\lambda = \; - 1\) y esto nos habría inducido a error.