En el capítulo anterior se resolvieron algunas indeterminaciones del tipo $0/0$ y $\infty / \infty$, ahora vamos a ver un resultado que permite un método general de resolución en estos casos, la Regla de L'Hôpital.

Sean $f$ y $g$ dos funciones derivables en un entorno de $a$ y tales que $\lim\limits_{x \to a} {f(x)} = 0$ y $\lim\limits_{x \to a} {g(x)} = 0$. Si existe $\lim\limits_{x \to a} \dfrac {f'(x)}{g'(x)}$, entonces existe $\lim\limits_{x \to a} \dfrac {f(x)}{g(x)}$ y es $\lim\limits_{x \to a} \dfrac {f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \to a} \dfrac {f'(x)}{g'(x)}$

La demostración de este resultado en el caso más general es complicada, pero si tomamos $f$ y $g$ de forma que $f'$ y $g'$ sean continuas en $a$ y $g'(a)\text{ } \cancel {=} \text{ }0$ la justificación es sencilla.

Como $f$ y $g$ son derivables en $a$, son continuas en $a$ y $\lim\limits_{x \to a} {f(x)} = \lim\limits_{x \to a} {g(x)} = 0 \Rightarrow f(a) = g(a) = 0$

Entonces tenemos:

$\lim\limits_{x \to a} \dfrac {f(x)}{g(x)}$ = $f(a) = g(a) = 0$ $ \lim\limits_{x \to a} \dfrac {f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}$ = $\lim\limits_{x \to a} \dfrac {\dfrac {f(x)-f(a)}{x-a}} {\dfrac {g(x)-g(a)}{x-a}}$ = $\dfrac {\lim\limits_{x \to a} {\dfrac {f(x)-f(a)}{x-a}}} {\lim\limits_{x \to a}{\dfrac {g(x)-g(a)}{x-a}}}$ = $f$ y $g$ derivables en $a$$\dfrac {f'(a)}{g'(a)}$ = $f'$ y $g'$ continuas en $a$ $\lim\limits_{x \to a} \dfrac {f'(x)}{g'(x)}$

La aplicación de la regla como se ve es fácil, una vez comprobado que se cumplen las hipótesis, se derivan por separado numerador y denominador y se vuelve a tomar límites. Si de nuevo se obtiene la indeterminación, se repite el proceso, y así las veces que sean necesarias. Aunque no es habitual puede ocurrir que al aplicar L'Hôpital, se complique cada vez más la expresión resultante, en ese caso habría que recurrir a otros métodos.