Pero obviamente las sumas anteriores, bien de triángulos o rectángulos, no son más que una aproximación del área de la región considerada. No obstante, gracias al cálculo infinitesimal, haciendo un paso al límite podremos realizar un cálculo exacto.

#### 3.2. Definición de integral definida. La integral de Riemann.

La integral definida de una función $f(x)$ en un intervalo $[a, b]$ se denota $\int_{a}^{b} f(x) \space dx$ y se define así:

$$\int_{a}^{b} f(x) \space dx = \lim_{\left\| P \right\| \space \to{\space 0}}\sum_{n=1}^{N} {f(\xi_{n}) (x_{n} - x_{n-1})}$$

donde $P$ es una partición de $[a, b]$ formada por $N+1$ puntos: $a = x_{0} \lt x_{1} \lt \cdots \lt x_{N} = b $, cuyo diámetro ($ m \acute{a} x |x_{n} - x_{n-1}| $) tiende a cero, y $\xi_{n}$ es un punto en el intervalo $[x_{n-1}, x_n]$.

En la escena puede observarse que $f(\xi_{n}) (x_{n} - x_{n-1})$ se corresponde con el área del $n$-ésimo rectángulo de base el intervalo $[x_{n-1}, x_n]$ y altura $f(\xi_{n})$. La integral definida es la suma de infinitos rectángulos y en el caso de que ésta exista, es decir, que sea un número real entonces diremos que $f(x)$ es integrable Riemann en $[a, b]$. Pero hay que precisar que según la definición de $f(x)$, $f(\xi_{n})$ puede ser positivo, nulo o negativo y consecuentemente la integral definida será un número también positivo, nulo o negativo. Sólo cuando $f(x) \ge 0 \space \forall x \in [a, b]$ dicho valor coincide con el área del trapecio curvilíneo delimitado por $f(x)$, el eje de abscisas y las rectas $x = a$ y $x = b$.