# Análisis matemático para Bachillerato

# INTERACTIVO

Análisis matemático para Bachillerato
INTERACTIVO

José Román Galo Sánchez
María José García Cebrian
Red Educativa Digital Descartes, España

Fondo Editorial Pascual Bravo

Medellín

Título de la obra
Análisis matemático para Bachillerato

Autores:
José R. Galo Sánchez
María José García Cebrian

Diseño del libro: Juan Guillermo Rivera Berrío
Código JavaScript para el libro: Joel Espinosa Longi, IMATE, UNAM.
Fórmulas matemáticas:
Diseño de cubierta: Margarita Patiño Jaramillo
Librería turn.js: Emmanuel García
Herramienta de edición: DescartesJS
Fuente: Amaranth

Fondo Editorial Pascual Bravo
Calle 73 73A-226
PBX: (574) 4480520
Apartado 6564
Medellín, Colombia
www.pascualbravo.edu.co
ISBN: 978-958-52963-7-4

Esta obra está bajo una licencia Creative Commons 4.0 internacional: Reconocimiento-No Comercial-Compartir Igual. Sin obras derivadas. Todos los objetos interactivos y los contenidos de esta obra colectiva están protegidos por la Ley de Propiedad Intelectual.

## Tabla de contenido

Prólogo vii

PARTE I: Funciones: Límites y Continuidad 1

1. Funciones reales de variable real3

2. Límite de una función en un punto.4

2.1. Idea intuitiva de límite.5

2.2. Definición formal de límite.5

2.3. Límites infinitos y en el infinito6

2.4. Propiedades de los límites8

3. Cálculo de límites9

3.1. Indeterminaciones11

3.2. Infinitésimos15

4. Asíntotas16

5. Continuidad18

5.1. Función continua en un punto y en un intervalo18

5.2. Propiedades de las funciones continuas19

5.3. Tipos de discontinuidad20

6. Teoremas en funciones continuas21

6.1. Teorema de Bolzano21

6.2. Propiedad de Darboux22

6.3. Funciones acotadas. Teorema de Weierstrass22

Ejercicios para practicar24

Autoevaluación25

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PARTE II: Derivadas 27

1. Derivadas29

1.1. El problema de la recta tangente.29

1.2. La derivada de una función en un punto.30

1.3. Derivabilidad y continuidad.31

1.4. Función derivada y derivadas sucesivas.33

1.5. Aproximación lineal y diferencial de una función en un punto39

Ejercicios para practicar41

Autoevaluación42

PARTE III: Aplicaciones de la derivada 45

1. Teoremas en funciones derivables.47

1.1. Teorema de Rolle.47

1.2. Teorema del valor medio de Lagrange.48

1.3. Regla de L'Hôpital.49

2. Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos.51

2.1. Crecimiento y decrecimiento.51

2.2. Máximos y mínimos.52

2.3. Problemas de optimización.53

3. Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión.54

4. Representación gráfica de funciones.56

4.1. Funciones polinómicas.58

4.2. Funciones racionales.59

4.3. Funciones irracionales.60

4.4. Funciones exponenciales.61

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4.5. Funciones logarítmicas.62

4.6. Funciones trigonométricas.63

4.7. Representa más funciones.64

Ejercicios para practicar65

Autoevaluación66

PARTE IV: Integrales 69

1. Integral indefinida 71

1.1. Primitiva, antiderivada o integral indefinida71

1.2. Integrales inmediatas72

1.3. Condiciones iniciales y soluciones particulares73

2. Métodos de integración74

2.1. Linealidad de la integración, método de descomposición74

2.2. Integrales cuasi inmediatas75

2.3. Sustitución o cambio de variable76

2.4. Integración por partes78

2.5. Integración de funciones racionales80

2.6. Ampliación del método de sustitución o cambio de variable83

3. Integral definida85

3.1. Cálculo de áreas85

3.2. Definición de integral definida86

3.3. Teorema Fundamental del Cálculo88

3.4. Aplicaciones del calculo integral89

Ejercicios para practicar91

Autoevaluación92

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Apéndice 95

Problemas de selectividad97

Prólogo

Esta obra interactiva está dirigida al alumnado que cursa las materias de Matemáticas II o Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II en las correspondientes modalidades del bachillerato de España (16-18 años) y, concretamente, para el bloque de contenidos dedicados al Análisis aunque, obviamente, puede emplearse en estudios equivalentes de otros sistemas educativos.

Nuestro alumnado, durante su proceso de aprendizaje en etapas anteriores, conoce e identifica distintas ramas de las matemáticas como la Aritmética, el Álgebra, la Geometría o la Estadística. Sin embargo, a pesar de haber tomado contacto con algunos conceptos funcionales básicos, se sorprende al saber de la existencia del Análisis, y más aún le lleva a realizar una interpretación errónea originada por la semántica. Por ello, a esta edad llega el momento de conocer una de las ramas más recientes de las Matemáticas, que tiene por objeto el estudio de las funciones, su clasificación y propiedades, el concepto de límite, la continuidad, la derivación de funciones, los métodos de integración y sus diversas aplicaciones en las ciencias de la naturaleza, las ciencias sociales, las ingenierías, las nuevas tecnologías y las distintas ramas del saber.

La obra se compone de cuatro capítulos o partes que abarcan el desarrollo curricular del bloque, a saber, funciones, límites y continuidad, derivadas, aplicaciones de las derivadas e integrales y concluye con un apéndice que contiene una selección de problemas de Análisis propuestos en la Prueba de Evaluación de Bachillerato para el acceso a la Universidad. A su vez, cada capítulo dispone de un módulo final con ejercicios para practicar y consolidar los contenidos tratados y una autoevaluación, como elemento clave que permite al alumnado valorar sus logros y reflexionar sobre sus fortalezas y debilidades.

La interactividad permanente convierte la obra en un auténtico “laboratorio de matemáticas”, permitiendo al alumnado realizar de manera cómoda cuantos experimentos necesite en sus investigaciones, autónomas o dirigidas por el profesorado, anotar los resultados, cotejarlos, conjeturar en base a los mismos o encontrar contraejemplos para, finalmente, rechazar o aceptar que su conjetura se convierta en un descubrimiento, participando, en todo momento, de un aprendizaje activo.

Como docentes, sabemos de la importancia de seleccionar, elaborar, adaptar y utilizar recursos didácticos para facilitar el desarrollo de las actividades formativas, utilizando habitualmente recursos tecnológicos. Además, el profesorado y su alumnado, tienen acceso gratuito a esta obra a través de internet, obra publicada bajo licencia Creative Commons, con la posibilidad de descargar el archivo editable para su adaptación y reutilización en los términos establecidos en la licencia, es decir, una

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obra catalogada como recurso educativo abierto. Una obra pensada para cualquier modalidad de enseñanza y que presenta un valor añadido en las circunstancias actuales de semipresencialidad o confinamiento, donde nuestro alumnado, no solo requiere de atención inmediata para saber si su aprendizaje autónomo se produce en la vía correcta, sino que necesita de una retroalimentación in situ que le permita conocer la ejecución técnica o desarrollo de un ejercicio acompañado de su correspondiente planteamiento razonado.

La autora y el autor de la obra son docentes con más de treinta años de experiencia impartiendo estas materias y expertos en el diseño y generación de recursos educativos interactivos con la herramienta de autor Descartes JS.

Para finalizar, no podemos olvidar que la historia de las Matemáticas es un recurso fundamental para conocer y comprender la evolución de los conceptos que deben aprender nuestros alumnos y alumnas. Así, los fundamentos modernos del Análisis Matemático, se establecen en Europa en el s. XVII con la invención o descubrimiento del cálculo diferencial y cálculo integral, precisamente en una época de confinamiento social. Por ello, recomendamos el vídeo titulado “Sobre hombros de gigantes; Newton y Leibnitz”, de la serie Universo Matemático, coordinado y presentado por el catedrático de Matemáticas y gran divulgador, Antonio Pérez Sanz.

José Antonio Salgueiro González

Secretario de Red Educativa Digital Descartes (España)
Profesor de Matemáticas en el IES Bajo Guadalquivir de Lebrija (Sevilla) durante treinta años

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# Parte I

# Funciones. Límites y continuidad

María José García Cebrian

## 1. Funciones reales de variable real

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## 2. Límite de una función en un punto

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#### 2.2. Definición formal de límite

### 5

#### 2.3. Límites infinitos y en el infinito

Límites infinitos

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Límites en el infinito

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#### 2.4. Propiedades de los límites

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## 3. Cálculo de límites

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#### 3.1. Indeterminaciones

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#### 3.2. Infinitésimos

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## 4. Asíntotas

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## 5. Continuidad

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#### 5.2. Propiedades de las funciones continuas

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#### 5.3. Tipos de discontinuidad

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## 6. Teoremas en funciones continuas

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#### 6.2. Propiedad de Darboux

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Ejercicios para practicar

A continuación se presentan más ejercicios para practicar. Puedes elegir en el menú el tipo que prefieras para empezar. De todos ellos se ofrece la solución.

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# Autoevaluación

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# Parte II

# Derivadas

José R. Galo Sánchez

## 1. Derivadas

#### 1.1. El problema de la recta tangente

El Cálculo y con él el concepto de derivada, o viceversa, surgió en el siglo XVII ligado a varios problemas: la determinación de la recta tangente, el estudio de la velocidad y aceleración o relación de cambio, el localizar máximos y mínimos y el cálculo de áreas. Descartes, Barrow, Newton y Leibniz, entre otros gigantes, contribuyeron a precisar la respuesta.

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#### 1.2. La derivada de una función en un punto

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Apliquemos los conceptos anteriores en algunos ejercicios:

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#### 1.4. Función derivada y derivadas sucesivas

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En base a los resultados anteriores podemos construir la siguiente tabla de derivadas de las funciones elementales y de las funciones compuestas basadas en ellas.

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#### 1.5. Aproximación lineal y diferencial de una función en un punto

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Ejercicios para practicar

A continuación se presentan más ejercicios para practicar. Puedes elegir en el menú el tipo que prefieras para empezar. De todos ellos se ofrece la solución.

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# Autoevaluación

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# Parte III

# Aplicaciones de la derivada

María José García Cebrian

## 1. Teoremas en funciones derivables

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#### 1.2. Teorema del valor medio de Lagrange

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#### 1.3. Regla de L'Hôpital

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## 2. Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos

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#### 2.2. Máximos y mínimos relativos

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#### 2.3. Problemas de optimización

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## 3. Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión.

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### 55

## 4. Representación gráfica de funciones

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#### 4.1. Funciones polinómicas

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#### 4.2. Funciones racionales

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#### 4.3. Funciones irracionales

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#### 4.4. Funciones exponenciales

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#### 4.5. Funciones logarítmicas

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#### 4.6. Funciones trigonométricas

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#### 4.7. Representa más funciones

En este apartado se presentan más ejemplos de gráficas de funciones. Te recomendamos que hagas los correspondientes cálculos y después los compruebes. También puede emplearse la escena para representar otras funciones, para ello basta escribirlas con la notación adecuada en el campo de texto.

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Ejercicios para practicar

A continuación se presentan más ejercicios para practicar. Puedes elegir en el menú el tipo que prefieras para empezar. De todos ellos se ofrece la solución.

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# Autoevaluación

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# Parte IV

# Integrales

José R. Galo Sánchez

## 1. Integral indefinida

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#### 1.2. Integrales inmediatas

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#### 1.3. Condiciones iniciales y soluciones particulares

Si se fija una condición adicional como puede ser que la primitiva buscada pase por un determinado punto (condición inicial), entonces puede obtenerse una solución que se dice particular.

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## 2. Métodos de integración

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#### 2.2. Integrales cuasi inmediatas

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#### 2.4. Integración por partes

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#### 2.5. Integración de funciones racionales

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#### 2.6. Ampliación del método de sustitución o cambio de variable

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## 3. Integral definida

#### 3.1. Cálculo de áreas

La medición de terrenos, cálculos de áreas, es un problema clásico y con soluciones que se remontan a las más antiguas civilizaciones. Eudoxo (390 a.C.- 337 a. C.) aborda el cálculo del área delimitada por cualquier curva cerrada mediante el cálculo de áreas de triángulos5, método utilizado por Euclides y sistemáticamente usado por Arquímedes. Es conocido como "método de exhaución" o "método exhaustivo".

O en una relectura, ubicada en el ámbito de las funciones, puede plantearse como suma de áreas de rectángulos.

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Propiedades de la integral definida

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#### 3.3. Teorema Fundamental del Cálculo

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#### 3.4. Aplicaciones del cálculo integral

3.4.1. Área delimitada por una función en un intervalo

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3.4.2. Área delimitada por dos funciones

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Ejercicios para practicar

A continuación se presentan más ejercicios para practicar. Puedes elegir en el menú el tipo que prefieras para empezar. De todos ellos se ofrece la solución.

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# Autoevaluación

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# Apéndice

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María José García Cebrian

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Problemas de Selectividad

A continuación se presentan los problemas de Análisis propuestos en la Evaluación de Bachillerato para el acceso a la Universidad del año 2019, en cada distrito universitario de España.

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