# Livro Digital Interativo
um exemplo con Trigonometria

# Eduardo Alejandro Flores Araya

LIVRO DIGITAL INTERATIVO
UM EXEMPLO COM TRIGONOMETRIA

Eduardo Alejandro Flores Araya

Professor Orientador: Dr. Fábio de Castro.

Trabalho de Conclusão do Mestrado
PROFMAT-UFES
Vitória

Fondo Editorial RED Descartes

Córdoba (España)
2021

Título
Livro Digital Interativo: Um exemplo em Trigonometria.
Eduardo Alejandro Flores Araya

Desenho do livro: Juan Guillermo Rivera Berrío
Livraria turn.js: Emmanuel García
Código JavaScript para o livro: Joel Espinosa Longi, IMATE, UNAM.

Desenho e construção dos Interativos: Eduardo Alejandro Flores Araya
Desenho da capa: Eduardo Alejandro Flores Araya
Ferramenta de edição: DescartesJS

Red Educativa Digital Descartes
Córdoba (España)
descartes@proyectodescartes.org https://proyectodescartes.org
Proyecto iCartesiLibri
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/index.htm
ISBN: 978-84-18834-13-4

by-nc-sa/4.0/es by-nc-sa/4.0/pt_BR
Esta obra está bajo una licencia Creative Commons 4.0 internacional: Reconocimiento-No Comercial-Compartir Igual.
Todos los objetos interactivos y los contenidos de esta obra colectiva están protegidos por la Ley de Propiedad Intelectual.
Este obra está licenciado com uma Licença Creative Commons Atribuição-NãoComercial-CompartilhaIgual 4.0 Internacional.

## Conteúdos

Prefácio vii

Introdução xi

I.- Unidades de medida de ângulos 1

1. Medição de ângulos2

2. Sistema sexagesimal6

3. Sistema centesimal8

4. Sistema radial10

5. Transformação de unidades13

6. Reduzir ângulos à primeira Volta14

II.- Triângulo retângulo 17

1. Definições18

2. Identificar catetos e hipotenusa19

3. Teorema de Pitágoras20

4. Aplicações do teorema de Pitágoras22

III.- Razões trigonométricas no triângulo retângulo 23

1. Calcular as razões trigonométricas num triângulo retângulo26

2. Utilizar as razões trigonométricas para completar triângulos28

3. Reconhecer os inversos multiplicativos das razões trigonométricas (secante, cossecante e cotangente)29

4. Calcular todas as razões trigonométricas a partir de uma delas30

5. Razões trigonométricas dos ângulos notáveis33

6. Simplificação de expressões trigonométricas34

7. Aplicações36

### iii

IV.- Círculo trigonométrico 39

1. Arcos no círculo trigonométrico40

2. Relações trigonométricas no círculo43

3. Redução das relações trigonométrica ao primeiro quadrante46

V.- Identidades trigonométricas 49

1. Identidades fundamentais50

2. Lei dos senos52

3. Lei dos cossenos54

4. Completar triângulos usando a lei dos senos e cossenos56

5. Razões trigonométricas de soma e diferença de ângulos58

6. Razões trigonométricas do arco duplo e arco metade60

VI.- Equações trigonométricas 63

1. Identificar uma equação trigonométrica64

2. Resolvendo equações trigonométricas66

3. Identificar inequações trigonométricas68

4. Resolvendo inequações trigonométricas69

VII.- As funções trigonométricas 71

1. Funções trigonométricas72

1.1. Função seno73

1.2. Função cosseno76

1.3. Senoides79

1.4. Função tangente84

1.5. Função cossecante88

1.6. Função secante91

1.7. Função cotangente94

### iv

VIII.- As funções trigonométricas inversas 99

1. Definição100

2. Arco seno102

3. Arco cosseno104

4. Arco tangente106

IX.- Algumas aplicações em outras áreas 111

1. Introdução112

2. Eletromagnetismo113

3. Modelos atômicos114

4. Matrizes115

5. Divisão do cubo em três pirâmides114

BIBLIOGRAFíA 118

### v

Para ver as instruções do livro,
clique no ícone
no canto superior direito

### vi

## Prefácio

Este livro foi realizado como TCC do mestrado profissional em matemática PROFMAT na UFES. Nele foi utilizado o programa DescartesJS em JavaScript produzido inicialmente pelo Ministério de Educação da Espanha, o qual ficou obsoleto com as atualizações do Java que deixou de ser visualizado na versão 7, em 2013 começa a ser atualizado para o HTML5.
No decorrer do curso de mestrado, pensando no que fazer como TCC que fosse uma ajuda para professores e alunos no processo de aprendizado, escolhi fazer um livro interativo utilizando o NIPPES Descartes (Núcleo Interativo para programas Educativos) com o qual já tinha trabalhado (versão anterior) na minha tese da Graduação no Chile. Decidimos mostrar esta aplicação que não é conhecida no Brasil e que pode ajudar no processo de ensino-aprendizagem pela interatividade que ela apresenta.
Foi escolhida a trigonometria como tema, por ser uma das áreas que tive muita dificuldade no início dos meus estudos, e ser uma das áreas mais complicada, dentro da matemática, para a maioria dos estudantes.
Sem querer fazer um livro inédito, muito pelo contrário, utilizar aquilo que já está escrito e adicionar a interatividade, por esse motivo foi utilizado muito texto de outros livros e artigos, sempre com a correspondente referência.
Este livro tenta ser uma amostra do que pode ser feito com o NIPPES Descartes, também foi escrito um texto explicativo como pequeno manual em português para aqueles que se sintam motivados a criar suas próprias aplicações (cenas) ou simplesmente traduzir o material que já está feito em espanhol, pois este material pode ser utilizado, traduzido ou modificado por qualquer pessoa da “aldeia global” sem custo, sempre que seja sem fins lucrativos.
Aqui encontrarás um curso de Trigonometria com muitas aplicações interativas para ajudar o estudante, na prática dos exercícios e fixar a teoria. Na parte superior esquerda pode acessar a lista de conteúdos, no canto superior direito tem um ícone para imprimir diretamente a página que se está mostrando na tela, um ícone que abre uma calculadora e um ícone de informação que recomendamos ler antes de começar a utilizar este livro.
O livro está dividido em oito capítulos de trigonometria e um nono capítulo que mostra algumas aplicações de cenas interativas de outras áreas que foram criadas por diferentes professores de vários lugares do mundo hispano falante.

### vii

## Comentários

O mundo está passando por uma evolução digital na educação, a tecnologia passou a fazer parte do cotidiano do ser humano e o mesmo passou a aprender por meio da TDIC (Tecnologias Digitais de Informação e Comunicação). A informação evoluiu por meio da internet, no início era texto, passou a utilizar imagens, evoluiu com o som e hoje pessoas do mundo todo disponibilizam vídeos.
As novas gerações são consideradas nativas digitais. Em meio a este contexto, o ensino da matemática tem evoluído e passou a utilizar diversos recursos tecnológicos.
O professor Eduardo Alejandro Flores Araya mergulhou no processo de aprendizagem digital ao disponibilizar um livro totalmente interativo e lúdico. Este livro utiliza recursos de texto, imagem, som e vídeo para entregar ao estudante o melhor da trigonometria. Dividido em 9 capítulos, este livro fantástico aborda a teoria e a prática de forma digital. Aproveite ao máximo este conteúdo, bons estudos!

Renan Osório Rios, Professor do Ifes Campus Colatina.
Graduado em Sistemas de Informação, Doutor em Educação.

### viii

### ix

Para ver as instruções do livro,
clique no ícone
no canto superior direito

### x

# Introdução

Desde os alvores da humanidade, o ser humano vem tentando compreender e utilizar a Natureza para melhorar a sua vida. Mediante a observação desta, ele tem conseguido obter padrões que permitem utilizar os fenômenos naturais a seu favor. Para isso, tem se visto obrigado a criar formas de medir os diferentes fenômenos naturais e poder prever e manipular esses fenômenos. A medição da Terra, os objetos e suas caraterísticas surgem como uma necessidade, criando a “Geometria” e, dentro desta, uma parte muito importante como a Trigonometria (do grego trigōnon "triângulo" + metron "medida").

A origem da trigonometria é incerta. Entretanto, pode-se dizer que o início do desenvolvimento da trigonometria se deu principalmente devido aos problemas gerados pela Astronomia, Agrimensura e Navegações, por volta do século IV ou V a.C., com os egípcios e babilônios. É possível encontrar problemas envolvendo a cotangente no Papiro Rhind e também uma notável tábua de secantes na tábula cuneiforme babilônica Plimpton 3221.

Aqui temos um interessante vídeo sobre a história da Trigonometria, feito pela BBC.

### xi

# parte i

# Unidades de Medida
de Ângulos

# Trigonometria

## 1. Medição de Ângulos.

O estudo dos ângulos é fundamental para compreender conceitos ligados à geometria e à trigonometria, entre outros ramos da Ciência. O estudo dos ângulos é um dos responsáveis pelos avanços que possuímos atualmente em várias áreas, como a navegação e a astronomia. Um exemplo notável é o astrolábio náutico (inventado pelo grego Hiparco) usado para medir ângulos.
Nos séculos V e VI, os navegadores construíram esse instrumento para medir a elevação das estrelas e do sol com o intuito de localizar suas embarcações. Mais tarde, o astrolábio deu origem ao sextante, mais simplificado, mas que cumpria a mesma função. 2

Numa calculadora científica podemos ver que existem três “modos” de unidades de ângulos (Deg, Rad e Gra). ‘Deg’ representa os graus (Sistema Sexagesimal), ‘Rad’ representa os radianos (sistema Radial) e ‘Gra’ representa os Grados (Sistema Centesimal). Muitos de nós conhecemos bem os graus e suas divisões, alguns compreendemos e utilizamos os radianos, mas muito poucas pessoas conhecem os grados e seu uso. Neste Módulo estudaremos os três sistemas para compreendermos melhor de onde vêm e suas funcionalidades.

Antes de continuarmos precisamos definir o conceito de quadrante, veja a cena na página seguinte.

### 2

## Definição de Quadrante.

### 3

## Coordenadas retangulares de um ponto.

### 4

Na seguinte cena interativa temos os três sistemas de unidades representados.

Clique em “Animar” e enquanto observa pode escutar uma pequena explicação de cada um dos sistemas de medição de ângulos.

### 5

## 2. Sistema Sexagesimal.

Um pouco de historia3
O grau é originário da Babilônia. Para estabelecerem o grau, os babilônios dividiram o círculo em 360 partes iguais, pois acreditavam que essa era a quantidade de dias referente ao período de um ano, e porque seu sistema de numeração era de base sessenta ou sexagesimal. Outra herança dos babilônios é a divisão das horas em minutos e os minutos em segundos.

### 6

É bom poder identificar uma medida aproximada de um ângulo a partir de sua visualização geométrica.

Na seguinte cena interativa você deve identificar o valor do ângulo em graus e indicar no quadro de texto.

### 7

## 3. Sistema Centesimal (Sistema Francês)

No Sistema Centesimal a unidade de medida é o grado (g) também chamado gon.

Um gon (1g) equivale a de uma circunferência, ou seja, 1g corresponde a uma das 400 partes em que a circunferência foi dividida. A circunferência fica dividida em quatro quadrantes com 100g cada um. Neste sistema o ângulo reto mede 100g.

As equivalências com relação ao sistema Sexagesimal são:

##### ... 0º = 0g .. . . . . . . . . . . . . . . 45° = 50g. . . . . . . . . . . . . 90° = 100g

##### 180° = 200g . . . . . . . . . . . . .270° = 300g . . . . . . . . . . .360° = 400g

Um pouco de historia4
O termo grado tem origem no termo francês grade e foi proposto para uso em conjunto com o sistema métrico. Foram feitas tentativas para a introdução generalizada do grado como unidade de ângulo plano, mas a unidade foi adoptada apenas por alguns países e em áreas especializadas, como a topografia e a artilharia. A artilharia francesa usa o grado há décadas. Uma vantagem do grado como unidade é tornar o ângulo reto fácil de somar e subtrair na aritmética mental. Outra vantagem, decorre da definição original do metro, de 1889, que estabelecia que 1 metro é o comprimento equivalente a décima milionésima parte de um quarto do meridiano terrestre. Portanto, 1 grado, quando medido sobre um círculo máximo terrestre, equivale a aproximadamente 100 km sobre a superfície da Terra, pelo que 1 centigrado do arco terrestre equivale a 1 km

### 8

Para transformar qualquer ângulo de graus para grados ou de grados para graus utilizamos uma regra de três simples como mostra na seguinte cena interativa.

Na seguinte cena interativa determine o valor do ângulo em grados (Sistema Centesimal) que está marcado na circunferência.

### 9

## 4. Sistema Radial.

No Sistema Radial a unidade é o radiano (rad, mas neste livro usaremos também ( r )). A ideia era utilizar o raio da circunferência como unidade de medição de ângulo, então um radiano ( 1r ou 1 rad) corresponde a um ângulo formado por um arco de tamanho igual ao raio, determinado numa circunferência.
A circunferência, completa uma volta em 360°, como vimos anteriormente, e o arco da volta completa mede 2π radianos (se multiplicamos 2π pelo raio (r) obtêm-se o perímetro de dita circunferência 2π• r). Dessa forma podemos deduzir que a metade da circunferência mede π radianos. Geralmente as medidas de ângulos em radianos se escrevem como frações de π, por exemplo, 30° equivale a rad.

As equivalências dos ângulos notáveis entre o sistema Sexagesimal e o Radial são:

Um pouco de historia5
O termo radiano (radian) aparece impresso pela primeira vez no dia 5 de junho de 1873, em exames de James Thonson na faculdade de Queens, nos Estados Unidos. Em 1871, Thomas Muir da Universidade de Andrew, também nos Estados Unidos, já tinha hesitado entre rad, radial e radian (radiano). Em 1874, Muir adotou radian depois de uma consulta a Thonson. Os termos acima descritos provavelmente são inspirados pela palavra radius (raio). A proposta de radiano, como nos é apresentada hoje, é a de usar o raio como unidade de medida comum para o arco e meia corda.

### 10

Para transformarmos medidas de ângulos do sistema Sexagesimal para o Sistema Radial utilizamos uma regra de três simples como mostra a seguinte cena interativa.

No seguinte interativo você deve responder a fração reduzida de .

### 11

<

### 12

## 5. Transformar Unidades

Nas seguintes cenas interativas temos algumas aplicações nas quais podemos praticar as transformações de unidades.

Se ainda tem dificuldades para transformar os ângulos podem voltar na página anterior e usar a cena interativa.

### 13

## 6.Reduzir ângulos à Primeira Volta.

Já vimos que a circunferência completa corresponde a 360° ou 2rad. Quando temos ângulos maiores que 360° ou 2 rad, descontamos as voltas completas na circunferência e obtemos um ângulo entre 0 e 360° ou entre 0 e 2 π rad. Para isso dividimos o ângulo por 360 e o resto da divisão será o correspondente na primeira volta (menor determinação positiva do arco). Veja os exemplos na seguinte cena interativa.

Quando o arco está dado em fração de radianos, basta fazer o mesmo processo, só que com o denominador da fração, como mostra a seguinte cena.

### 14

Agora vamos exercitar.

### 15

###

# parte ii

# Triângulo Retângulo

# Trigonometria

## 1. Definições.

O triângulo retângulo tem um ângulo reto (90°), o lado oposto a ele se chama hipotenusa e os lados que formam o ângulo reto recebem o nome de catetos.

Na seguinte cena interativa podemos ver algumas definições.

(Cena do Proyecto Descartes, traduzida por nós)6.

### 18

## 2. Identificar Catetos e Hipotenusa.

Na seguinte cena interativa praticaremos um pouco sobre reconhecer os lados do triângulo retângulo.

### 19

## 3. Teorema de Pitágoras.

O teorema de Pitágoras é uma das relações métricas mais importantes no triângulo retângulo.

Um pouco de história7
O Teorema de Pitágoras é um dos teoremas mais conhecidos, importantes e utilizados na matemática. Ele é imprescindível na resolução de problemas da geometria analítica, geometria plana, geometria espacial e trigonometria. Pitágoras de Samos, (570 a.C. - 495 a.C.) foi um filósofo e matemático grego, que fundou a Escola Pitagórica. Também chamada de Sociedade Pitagórica, incluía estudos de Matemática, Astronomia e Música. Acredita-se que a primeira demonstração do teorema tenha sido feita pelos integrantes dessa escola, os chamados Pitagóricos, por isso o nome dado a esse teorema.

### 20

Na seguinte cena interativa temos uma das muitas demonstrações do Teorema de Pitágoras.

Pratiquemos um pouco. Nesta cena interativa determine o valor do lado faltante.

### 21

## 4. Aplicações do Teorema de Pitágoras.

Duas das aplicações do Teorema de Pitágoras são o cálculo da diagonal de um quadrado e da altura do triângulo equilátero. Estes resultados são muito utilizados, por isso é recomendável ter sempre presente e poder realizá-los com muita rapidez.

Na seguinte cena interativa temos os cálculos dos valores da diagonal do quadrado e a altura do triângulo equilátero.

### 22

### 23

###

# parte iii

# Razões trigonométricas

# no triângulo

# retângulo.

# Trigonometria

## 1. Calcular as razões trigonométricas num triângulo retângulo

As relações trigonométricas são razões entre as medidas dos lados de um triângulo retângulo.

São elas: seno8, cosseno, tangente, secante, cossecante e cotangente.

Elas dependem somente da medida do ângulo α, e não do tamanho do triângulo.

### 26

Aqui temos as definições das razões trigonométricas seno, cosseno e tangente.

Agora pratiquemos um pouco.

### 27

## 2. Utilizar as razões trigonométricas para completar triângulos.

Completar um triângulo retângulo é determinar todos seus elementos principais, ou seja, calcular seus ângulos agudos e seus lados. Para obtermos todos esses elementos necessitamos de dois deles, sendo um deles, pelo menos, um dos seus lados, ou algum segmento ligado ao triângulo (lado, mediana, mediatriz, etc).

Agora pratiquemos um pouco.

### 28

## 3. Reconhecer os inversos multiplicativos das razões trigonométricas.

### 29

##

## 4. Calcular todas as razões trigonométricas a partir de uma delas.

Na seguinte cena interativa temos exemplos e exercícios de como calcular o cosseno e a tangente, sabendo o valor do seno.

Na seguinte cena interativa temos exemplos e exercícios de como calcular o seno e a tangente, sabendo o valor do cosseno.

### 30

Agora calcularemos o seno e cosseno quando temos a tangente.

Aqui podemos assumir o valor que desejarmos a um dos lados, pois as razões trigonométricas são sempre as mesmas em triângulos semelhantes. Como mostra a cena da página 24.

### 31

Calcular o cosseno e a tangente quando temos o seno em fração.

### 32

## 5. Razões trigonométricas dos ângulos notáveis.

Os ângulos de 30°, 45° e 60° são chamados ângulos notáveis por causa da frequência com que surgem em problemas e da grande importância para a Trigonometria.

Para obtermos as razões trigonométricas deles, utilizaremos o triângulo equilátero e o quadrado.

### 33

## 6. Expressões Trigonométricas e Simplificação.

'Expressão numérica': "Uma expressão numérica é uma sequência de números que aparecem associados por operações que devem ser efetuadas obedecendo-se a seguinte ordem:".9

1. Potenciações e radiciações (se houver);
2. Multiplicações e divisões (se houver).
3. Adições e subtrações.

Se procurarmos no Google por 'Expressões algébricas' Teremos como primeiro resultado a seguinte definição: "São expressões matemáticas que apresentam números, letras e operações. As expressões desse tipo são usadas com frequência em fórmulas e equações. As letras que aparecem em uma expressão algébrica são chamadas de variáveis e representam um valor desconhecido".10

Então, poderíamos dizer que uma Expressão Trigonométrica é uma expressão matemática que contém números, letras, operações e relações trigonométricas. Uma expressão pode ser uma equação, uma identidade ou representar um número.

### 34

Simplificaremos algumas expressões trigonométricas.

### 35

## 7. Aplicações

### 36

### 37

###

# parte iv

# Círculo Trigonométrico.

# Trigonometria

## 1. Arcos no Círculo Trigonométrico.
Arcos.11

### 40

### 41

Arcos simétricos12
São aqueles que possuem mesma abscissa ou mesma ordenada (do sistema de coordenadas), ou seja, são diametralmente opostos.
Assim, qualquer arco do círculo trigonométrico possui um simétrico nos outros quadrantes. Esses 4 arcos simétricos serão representados pelos vértices de um retângulo e, seus valores, são determinados a partir dos arcos de 0, 180°, 360° e seus arcos côngruos.

### 42

## 2. Relações trigonométricas no Círculo.

## Seno.

### 43

## Cosseno.

### 44

## Tangente.

### 45

## 3. Redução das relações Trigonométrica ao Primeiro Quadrante.

Quando estamos trabalhando com Trigonometria e nos deparamos com um ângulo que não se encontra no primeiro quadrante, sempre podemos reduzi-lo de forma a encontrar o ângulo correspondente a esse que esteja justamente no 1° quadrante. Isso é possível graças à simetria presente no ciclo trigonométrico. Mas precisamos nos atentar para o que ocorre com os sinais das funções trigonométricas em cada quadrante. Vejamos a seguir algumas formas de trabalhar a mudança de quadrante no ciclo trigonométrico.13

### 46

Vamos fazer alguns exercícios. Sem utilizar calculadora reduzir o ângulo ao primeiro quadrante e resolver.
Aproveite e tente lembrar do seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis (30º, 45º e 60º).

### 47

###

# parte v

# Identidades

# Trigonométricas

# Trigonometria

## 1. Identidades Fundamentais.

Identidade. Refere-se a uma igualdade que permanece sempre verdadeira, independente do valor das variáveis que estejam envolvidas.
A principal identidade trigonométrica diz.

Para todo x pertencente aos reais se verifica a relação
sen2(x) + cos2 (x) = 1 de fato.

Na seguinte cena interativa temos a demonstração da identidade fundamental. Notemos que esta construção não se aplica para ângulos múltiplos de 90º, porque não há triângulo. Mas basta saber que se seno de um múltiplo de 90º é 1 então o cosseno é zero, ou vice-versa, portanto a relação se verifica.

### 50

Na seguinte cena interativa temos a demonstração de mais duas identidades.

A técnica para resolver identidades consiste em tentar levar todas as razões trigonométricas a seno e cosseno e utilizar as identidades antes resolvidas e álgebra básica.

Tente resolver as seguintes identidades.

### 51

## 2. Lei dos Senos.

### 52

Demonstração. Utilize a setinha para ir no seguinte passo.

### 53

## 3. Lei dos Cossenos.15

### 54

## Teorema.

Demonstração. Utilize a setinha para ir no seguinte passo.

### 55

## 4. Completar triângulos usando lei dos senos e cossenos.

Aplicações de completar triângulos utilizando as leis dos senos e dos cossenos.

### 56

Vamos resolver algumas aplicações.

### 57

## 5. Razões Trigonométricas de Soma e Diferença de Ângulos.

### 58

### 59

## 6. Razões Trigonométricas do Arco Duplo e Arco Metade.

Desde a Antiguidade, vários matemáticos elaboraram tabelas de cordas. Essas tabelas forneciam o comprimento de cada corda de uma circunferência (em geral com raio 60) em função do ângulo central de 0º a 180º. No século II, Claudio Ptolomeu (90-168), astrônomo grego que viveu em Alexandria (Egito), publicou uma obra chamada Almagesto (que significa O grande tratado) sobre Astronomia. O primeiro dos 15 livros dessa obra é dedicado à natureza do Universo e à teoria trigonométrica; é por ele que sabemos o que se conhecia de trigonometria naquela época. O Almagesto foi escrito em grego, mas foi logo traduzido para várias línguas, sendo um dos textos científicos mais influentes de todos os tempos. Os hindus começaram a calcular as razões entre lados de um triângulo retângulo por volta do século VIII; utilizar essas razões mostrou-se mais eficiente do que consultar as tabelas de cordas.17

### 60

Abul al-Wafa Muhammad ibn Muhammad ibn Yahya ibn Ismail al-Buzjani nasceu em Nishapur (Irã), entretanto, ficou conhecido como um grande matemático e astrônomo em Bagdá (antiga capital do império árabe e atual capital do Iraque) durante o século X. Al-Wafa fez importantes contribuições à geometria e à aritmética e foi o primeiro a estudar as identidades trigonométricas sistematicamente. O estudo das identidades foi importante porque, pelo estabelecimento de relações entre as somas e diferenças de ângulos, cálculos astronômicos mais eficientes puderam ser realizados e tabelas mais precisas puderam ser construídas. Em seu trabalho, Al-Wafa reuniu e estabeleceu pela primeira vez as relações entre as seis funções trigonométricas. Também foi o primeiro a utilizar R = 1 para o raio da circunferência básica. 18

### 61

###

# parte vi

# Equações

# Trigonométricas

# Trigonometria

## 1. Identificar uma Equação Trigonométrica.

### 64

### 65

## 2. Resolvendo Equações Trigonométricas.

### 66

### 67

## 3. Identificar uma Inequação Trigonométrica.

Inequações trigonométricas são desigualdades que possuem pelo menos uma razão trigonométrica envolvendo um ângulo desconhecido. Dessa maneira, a solução de uma inequação trigonométrica é um conjunto de ângulos, geralmente apresentados na forma de arco, em radianos. Para encontrar essa solução, é necessário usar alguns conhecimentos básicos a respeito de ciclo trigonométrico, que serão discutidos a seguir.20

### 68

## 4. Resolvendo Inequações Trigonométricas.

### 69

###

# parte vii

# As Funções

# Trigonométricas

# Trigonometria

## 1. Funções Trigonométricas no Círculo.

As funções trigonométricas são funções angulares, importantes no estudo dos triângulos e na modelagem de fenômenos periódicos. Podem ser definidas como razões entre dois lados de um triângulo retângulo em função de um ângulo, ou, de forma mais geral, como razões de coordenadas de pontos no círculo unitário. Na análise matemática, estas funções recebem definições ainda mais gerais, na forma de séries infinitas ou como soluções para certas equações diferenciais. Neste último caso, as funções trigonométricas estão definidas não só para ângulos reais como também para ângulos complexos.
Existem seis funções trigonométricas básicas em uso, cada uma com a sua abreviatura notacional padrão conforme tabela abaixo. As inversas destas funções são chamadas de função de arco ou funções trigonométricas inversas. A nomenclatura é feita através do prefixo "arco-", ou seja, arco seno, arco cosseno, etc. Matematicamente, são designadas por "arcfunção", isto é, arcsen, arccos, etc.; a notação usando-se −1 como na notação da função inversa não é recomendada, pois causa confusão com o inverso multiplicativo, como em sen-1 e cos-1. O resultado da função inversa é o ângulo que corresponde ao parâmetro da função. Por exemplo:17

### 72

## 1.1 Função Senos.

As funções trigonométricas são funções periódicas, quer dizer, que se caracterizam pela repetição de um padrão.
Define-se uma função periódica como:

### 73

A função seno é uma função ímpar, ou seja, ∀ x ∈ ℜ, sen(−x) = −sen(x).

Para fazermos o gráfico do seno utilizaremos a seguinte tabela.

### 74

Foi representado no gráfico somente um período, mas ele continua para esquerda do 0 e para a direita de 2π, pois o domínio da função seno é ℜ. A Cada 2π teremos cópias do gráfico representado acima. Na sequência temos a representação do gráfico do seno com mais períodos.

### 75

## 1.2 Função Cossenos.

A função cosseno é uma função par, ou seja, ∀ x ∈ ℜ, cos(−x) = cos(x).

Para fazermos o gráfico do cosseno, utilizaremos a seguinte tabela.

### 76

Foi representado no gráfico somente um período, mas ele continua para esquerda do zero e para a direita de 2π, pois o domínio da função cosseno é ℜ. A cada 2π teremos cópias do gráfico representado acima. Na seguinte cena temos a representação do gráfico do cosseno com mais períodos.

### 77

### 78

## 1.3 Senoides (Alterações no Gráfico).

### 79

Aqui termos uma cena interativa onde podemos ver e modificar todos os parâmetros na função seno.

### 80

Aqui temos uma cena interativa onde podemos ver e modificar todos os parâmetros na função cosseno.

### 81

Nesta cena interativa podemos ingressar a função desejada e visualizar o gráfico.

### 82

Aqui temos alguns exercícios utilizando a função seno.

### 83

## 1.4 Função Tangente.

### 84

### 85

### 86

### 87

## 1.5 Função Cossecante.

### 88

### 89

### 90

## 1.6 Função Secante.

### 91

### 92

### 93

## 1.7 Função Cotangente.

### 94

### 95

### 96

### 97

###

# parte viii

# As Funções

# Trigonométricas

# Inversas

# Trigonometria

## 1. Definição.

### 100

Para comprovarmos, graficamente, se a função é injetora, desenhamos no gráfico retas paralelas ao eixo x (eixo das abscissas). Se existir uma que tenha mais de um ponto em comum com o gráfico da função então função não é injetora. Como podemos verificar nos gráficos seguintes.

### 101

## 2. Arco Seno24.

### 102

### 103

## 3. Arco Cosseno25.

### 104

### 105

## 4. Arco Tangente26.

### 106

### 107

br>

### 108

### 109

###

# parte ix

# Outras

# Aplicações

# do Programa

## 1. Introdução.

O objetivo deste capítulo é mostrar a versatilidade do programa (pois não é muito conhecido no Brasil) e que não é utilizado somente para o ensino da matemática, se não que em quase todas as áreas e níveis da educação. Para isso mostramos 4 aplicações que não são de trigonometria, algumas de estas aplicações não foram traduzidas completamente, pois acreditamos que não era necessário, para o objetivo que é somente mostrá-las.
Acreditamos que o uso de Projeto Descartes pode ser uma boa opção na educação à distância e na melhora da qualidade na utilização das TIC nos processos educativos.

Primeiramente colocamos uma das poucas aplicações da trigonometria em 3D que é a propagação das ondas eletromagnéticas e com deslocamento horizontal de 90º entre o campo magnético e e o campo elétrico.

Os outros três exemplos não foram criados por mim, foram tomados das aplicações já criadas em espanhol e que se encontram no portal dos administradores do projeto https://proyectodescartes.org/.

O primeiro desses três é uma aplicação de química, o modelo atômico de Rutherford.

O seguinte uma aplicação explicando a multiplicação de matrizes.

Por último, a divisão do cubo em três pirâmides.

### 112

## 2. Eletromagnetismo.

Representação das ondas do Campo Elétrico e Campo Magnético.

Propagação de Onda Eletromagnética Plana Uniforme. Os gráficos mostram os campos Elétrico Ez(x, t) e Magnético Hy(x, t)(em função de x e t).

### 113

## 3. Modelo Atômico de Rutherford.

Cena Interativa do Projeto Descartes28. (Tradução nossa)

### 114

## 4. Matrizes.

Cena Interativa do Projeto Descartes29.

### 115

## 5. Divisão do cubo em três pirâmides.

Cena Interativa do Projeto Descartes30.

### 116

###

BIBLIOGRAFíA.

- BEZERRA, Juliana. Pitágoras. TodaMatéria, 2019. Disponível em:
  < https://www.todamateria.com.br/pitagoras >. Acesso em 8 de julho, 2019.
- BIANCHINI, Edwaldo; PACCOLA, Herval. Matemática 1. São Paulo: Editora Moderna, [2010?]. 434 p.
- DIAS, Diogo Lopes. O que é modelo de Rutherford?; Brasil Escola. Disponível em: < https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/quimica/o-que-e-modelo-rutherford.htm >. Acesso em 23 de maio de 2020.
- DUARTE, Daniel. Ângulos; InfoEscola, [2016?]. Disponível em: < https://www.infoescola.com/matematica/angulos/ >. Acesso em: 17 janeiro, 2020.
- E–CÁLCULO, USP. . História da Trigonometria; [S.I][2009?]. Disponível em: < http://ecalculo.if.usp.br/historia/historia_trigonometria.htm >. Acesso em 16 janeiro, 2020.
- ENEMEX. Arcos simétricos. [S.I][2018?]. Disponível em:
  < http://enemex-matematica.com.br/estudos/geometria/trigonometria/aula-3-simetria >. Acesso em 3 de outubro, 2019.
- GALO, José R. Partición de un cubo en tres pirámides cuadradas iguales. Proyecto Descartes [2018?]. Disponível em: <
  https://proyectodescartes.org/miscelanea/materiales_didacticos/Cubo3PiramidesCuadradas-JS/index.html >. Acesso em 2 de junho, 2020.
- GARCÍA, María José Cebrian. Los números complejos.Universidad Pascual Bravo. Medellín, 2017. Disponível em: <
  https://proyectodescartes.org/descartescms/matematicas/icartisilibri/item/3173-los-numeros-complejos>. Acesso em 6 de junho, 2019.

### 118

- GARCÍA, María José Cebrian. Matrices, Determinantes y Sistemas de ecuaciones.Universidad Pascual Bravo. Medellín, 2020. Disponível em: <
  https://proyectodescartes.org/descartescms/matematicas/icartisilibri/item/3551-matrices-determinantes-y-sistemas-de-ecuaciones >. Acesso em 2 de junho, 2020.
- GOUVEIA, Rosimar. Expressões Algébricas. TodaMatéria, 2019. Disponível em: <
  https://www.todamateria.com.br/expressoes-algebrica/ >. Acesso em: 15 de janeiro, 2020.
- GOUVEIA, Rosimar. Expressões Numéricas. TodaMatéria, 2019. Disponível em: <
  https://www.todamateria.com.br/teorema-de-pitagoras/ >. Acesso em: 22 de novembro, 2019.
- GOUVEIA, Rosimar. Teorema de Pitágoras. TodaMatéria, 2019. Disponível em: <
  https://www.todamateria.com.br/expressoes-numericas/ >. Acesso em: 15 de janeiro, 2020.
- IEZZI, Gelson. Matemática : Ciência e Aplicações : ensino médio, volume 1 / [et. al.] . – 9. ed. – São Paulo : Saraiva, 2016.
- IEZZI, Gelson. Matemática : Ciência e Aplicações : ensino médio, volume 2 / [et. al.] . – 9. ed. – São Paulo : Saraiva, 2016.
- IEZZI, Gelson. Matemática : Fundamentos de Matemática Elementar 3: Trigonometria – São Paulo : Atual Editora, 1977.
- IEZZI, Gelson. Matemática : Fundamentos de Matemática Elementar 3: Trigonometria – São Paulo : Atual Editora, 2013.
- IEZZI, Gelson. Matemática : Fundamentos de Matemática Elementar 7: Geometria Analítica. – 6. ed. - São Paulo : Atual Editora, 2013.

### 119

- LIMA, Elon Lages. Teorema de Pitágoras. RPM-08. Rio de Janeiro 1986. Disponível em: <
  < http://www.rpm.org.br/cdrpm/8/3.htm >. Acesso em: 23 de novembro, 2019.
- PRADO, Julio. Trigonometria. Adaptación a DescartesJS: Juan G. Rivera B. e José R. Galo S. (2016). Tradução de Eduardo Alejandro F. Araya. Disponível em: <
  < https://proyectodescartes.org/descartescms/matematicas/item/2039-trigonometria >. Acesso em: 20 de novembro, 2019.
- QUINTANEIRO, W. ;GIRALDO, V. ; PINTO, M. De onde vem a unidade radiano e por que seu uso é necessário?. [2010?]. Disponível em: < https://www.academia.edu/1630196/DE_ONDE_VEM_A_UNIDADE_RADIANO_E_POR_QUE_ SEU_USO_É_NECESSÁRIO >. Acesso em: 22 de janeiro, 2020.
- RAMOS, Danielle de Miranda. Funções trigonométricas do arco duplo. Brasil Escola. Disponível em: < https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcoes-trigonometricas-arco-duplo.htm>. Acesso em: 6 de outubro, 2019.
- RECIO, Joaquín Miñarro. " Estructura del átomo y enlaces químicos. Proyecto Edad, 2017. Disponível em: < https://proyectodescartes.org/descartescms/fisica-y-quimica/item/2815-estructura-del-atomo-y-enlaces-quimicos>. Acesso em: 23 de maio de 2020.
- RIBEIRO, Amanda G. Redução ao primeiro quadrante no ciclo trigonométrico, Brasil Escola. Disponível em: < https://brasilescola.uol.com.br/matematica/reducao-ao-primeiro-quadrante-no-ciclo-trigonometrico.htm>. Acesso em: 5 de outubro, 2019.
- RIVERA, Juan G. B. ; ESPINOSA, Joel L. ; RADILLO, Alejandro D. Capacitación DescartesJS Nivel I, iCartesiLibri. Medellin, 2018. Disponível em: < https://proyectodescartes.org/descartescms/matematicas/icartisilibri/item/3316-descartes-js-nivel-i>. Acesso em: 1 de junho, 2019.

### 120

- RIVERA, Juan G. B. ; ESPINOSA, Joel L. ; RADILLO, Alejandro D. Capacitación DescartesJS Nivel II, iCartesiLibri. Medellin, 2019. Disponível em: < https://proyectodescartes.org/descartescms/matematicas/icartisilibri/item/3362-descartes-js-nivel-ii>. Acesso em: 10 de junho, 2019.
- SARTIM, Ademir, “Matemática Básica | Volume 2,” Vitória: EDUFES, 2018.
- SILVA, Luiz P. M. Ângulos Notáveis, Brasil Escola. Disponível em: < https://brasilescola.uol.com.br/matematica/angulos-notaveis.htm>. Acesso em: 24 de julho de 2019.
- SILVA, Luiz P. M. Inequações trigonométricas: cosx < k , Mundo Educação. Disponível em: < https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/inequacoes-trigonometricas-cosx.htm >. Acesso em: 12 de outubro, 2019.
- WIKILIVROS. Equações e inequações envolvendo funções trigonométricas, 2017. Disponível em: < https://pt.wikibooks.org/wiki/Matemática_elementar/Trigonometria/Equações_e_ inequações_envolvendo_funções_trigonométricas>. Acesso em: 9 de outubro, 2019.
- WIKIPÉDIA. Função trigonométrica,[S.I]. 2019. Disponível em: < https://pt.wikipedia.org/wiki/Função_trigonométrica >. Acesso em: 21 de outubro, 2019.
- WIKIPÉDIA. . Grado (ângulo),[S.I]. [2018?]. Disponível em: < https://pt.wikipedia.org/wiki/Grado_(ângulo) >. Acesso em: 21 de janeiro, 2020.
- WIKIPÉDIA. . Grau (geometria),[S.I]. [2018?]. Disponível em: < https://pt.wikipedia.org/wiki/Grau_(geometria) >. Acesso em: 19 de janeiro, 2020.
- WIKIPÉDIA. . Triângulo,[S.I], 2011. Disponível em: < https://pt.wikipedia.org/wiki/Triângulo>. Acesso em: 16 de julho, 2019.

### 121

###

###