Solución

Primero, calculamos $f(x_0, y_0), f_x(x_0, y_0)$ y $f_y(x_0, y_0)$ usando $x_0 = 2$ e $y_0 = −3$, luego usamos la ecuación 4.26:

$$\begin{aligned} f(2, −3) &= 2(2)^2 − 4(−3) = 8 + 12 = 20\\ f_x (2, −3) &= 4(2) = 8\\ f_y (2, −3) &= −4. \end{aligned}$$

Por lo tanto, $m_1 = 8$ y $m_2 = −4$, y la ecuación 4.26 se convierte en

$$\begin{aligned} f(x, y) &= f(2, −3) + f_x(2, −3)(x − 2) + f_y(2, −3)(y + 3) + E(x, y)\\ 2x^2 − 4y &= 20 + 8(x − 2) − 4(y + 3) + E(x, y)\\ 2x^2 − 4y &= 20 + 8x − 16 − 4y − 12 + E(x, y)\\ 2x^2 − 4y &= 8x − 4y − 8 + E(x, y)\\ E(x, y) &= 2x^2 -8x + 8 \end{aligned}$$

A continuación, calculamos el límite

$$\begin{aligned} \lim\limits_{(x, y) \to (x_0, y_0)}\frac{E(x, y)}{\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}} &= \lim\limits_{(x, y) \to (2, -3)}\frac{2x^2 -8x + 8}{\sqrt{(x - 2)^2 + (y + 3)^2}}\\ &= \lim\limits_{(x, y) \to (2, -3)}\frac{2(x^2 -4x + 4)}{\sqrt{(x - 2)^2 + (y + 3)^2}}\\ &= \lim\limits_{(x, y) \to (2, -3)}\frac{2(x - 2)^2}{\sqrt{(x - 2)^2 + (y + 3)^2}}\\ &\le \lim\limits_{(x, y) \to (2, -3)}\frac{2\bigg((x - 2)^2 + (y + 3)^2\bigg)}{\sqrt{(x - 2)^2 + (y + 3)^2}}\\ &= \lim\limits_{(x, y) \to (2, -3)}2\sqrt{(x - 2)^2 + (y + 3)^2}\\ &= 0 \end{aligned}$$

Como $E(x, y) \ge 0$ para cualquier valor de $x$ o $y$, el límite original debe ser igual a cero. Por lo tanto, $f(x, y) = 2x^2−4y$ es diferenciable en el punto $(2, −3)$.