Solución

Primero, debemos calcular $f(x_0, y_0), f_x(x_0, y_0)$ y $f_y(x_0, y_0)$ usando $x_0 = 2$ e $y_0 = −3$:

$$\begin{aligned} f(x_0, y_0) &= f(2, −3) = 3(2)^2 − 2(2)(−3) + (−3)^2 = 12 + 12 + 9 = 33\\ f_x(x, y) &= 6x − 2y\\ f_y(x, y) &= −2x + 2y\\ f_x(x_0, y_0) &= f_x(2, −3) = 6(2) − 2(−3) = 12 + 6 = 18\\ f_y(x_0, y_0) &= f_y(2, −3) = −2(2) + 2(−3) = −4 − 6 = −10. \end{aligned}$$

Luego, sustituimos estas cantidades en la Ecuación 4.27:

$$\begin{aligned} dz &= f_x(x_0, y_0)dx + f_y(x_0, y_0)dy\\ dz &= 18(0.1) − 10(−0.05) = 1.8 + 0.5 = 2.3 \end{aligned}$$

Esta es la aproximación a $\Delta z = f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)$

El valor exacto de $\Delta z$ viene dado por

$$\begin{aligned} \Delta z &= f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) − f(x_0, y_0)\\ &= f(2 + 0.1, −3 − 0.05) − f(2, −3)\\ &= f(2.1, −3.05) − f(2, −3)\\ &= 2.3425 \end{aligned}$$