Primero, debemos calcular $f_x(x, y)$ y $f_y(x, y)$ , luego usa la ecuación 4.24 con $x_0 = 2$ y $y_0 = −1$ :
$$\begin{aligned} f_x(x, y) &= 4x − 3y + 2\\ f_y(x, y) &= −3x + 16y − 4\\ f(2, −1) &= 2(2)^2 − 3(2)(−1) + 8(−1)^2 + 2(2) − 4(−1) + 4 = 34\\ f_x(2, −1) &= 4(2) − 3(−1) + 2 = 13\\ f_y(2, −1) &= −3(2) + 16(−1) − 4 = −26 \end{aligned}$$Entonces la ecuación 4.24 se convierte en
$$\begin{aligned} z &= f(x_0, y_0) + f_x(x_0, y_0)(x − x_0) + f_y(x_0, y_0)(y − y_0)\\ z &= 34 + 13(x − 2) − 26\big(y − (−1)\big)\\ z &= 34 + 13x − 26 − 26y − 26\\ z &= 13x − 26y − 18. \end{aligned}$$(Ver la siguiente figura).

Figura 4.28 Cálculo de la ecuación de un plano tangente a una superficie dada en un punto dado.