Título de la obra
Estadística, Probabilidad e Inferencia

Juan Jesús Cañas Escamilla
José R. Galo Sánchez
Primera edición: 2017

Diseño del libro: Juan Guillermo Rivera Berrío
Diseño de cubierta: Diana María Velásquez García
Librería turn.js: Emmanuel García
Herramienta de edición: DescartesJS
Fuente: Amaranth

Fondo Editorial Pascual Bravo
Calle 73 73A-226
PBX: (574) 4480520
Apartado 6564
Medellín, Colombia
www.pascualbravo.edu.co
ISBN: 978-958-58510-9-2

Esta obra está bajo una licencia Creative Commons 4.0 internacional: Reconocimiento-No Comercial-Compartir Igual. Todos los objetos interactivos y los contenidos de esta obra colectiva están protegidos por la Ley de Propiedad Intelectual.

2.2. Tabulación de una variable bidimensional.91

2.3. Diagrama de dispersión.93

2.4. Correlación.95

2.4.1. Covarianza.99

2.4.2. Coeficiente de correlación lineal.102

2.5. Concepto de regresión. Método de los mínimos cuadrados.105

2.5.1. Rectas de Regresión.106

2.5.2. Estimaciones.112

2.6. Problemas resueltos.114

Créditos del capítulo.115

3. Combinatoria.117

3.1 Introducción.118

3.2. Principio general de recuento.122

3.3. Variaciones sin repetición.124

3.4. Variaciones con repetición.127

3.5 Permutaciones sin repetición.130

3.6 Permutaciones con repetición.134

3.7 Combinaciones sin repetición.138

3.8 Combinaciones con repetición.144

3.9. Resumen.149

3.10. Problemas resueltos.152

Créditos del capítulo.153

4. Probabilidad.155

4.1. Introducción.156

4.2. Experimentos aleatorios y deterministas.159

iv

5.4.2. Distribución de Poisson.228

5.4.3. Distribución Geométrica.232

5.4.4. Distribución binomial negativa.236

5.4.5. Distribución uniforme.240

5.5. Problemas resueltos.242

Créditos del capítulo.243

6. Distribución normal.245

6.1. Introducción.246

6.1.1. Idea intuitiva de función de densidad.246

6.1.2. Definición de función de densidad.248

6.2. La distribución normal.250

6.2.1. La distribución normal cero uno.254

6.2.2. Tipificación.256

6.3. Manejo de la tabla de la N(0,1).261

6.3.1. Probabilidad (p (Z < a)). Barrido a la izquierda.263

6.3.2. Probabilidad (p (Z > a)). Barrido a la derecha.264

6.3.3. Franja entre dos valores.265

6.4. Manejo inverso de la tabla de la N(0,1).268

6.4.1. Calculo del valor z_a tal que (p(z < z_a) = k).269

6.4.2. Calculo del valor z_a tal que (p(z > z_a) = k)).271

6.4.3. Calculo del valor z_a tal que (p(-z_a < z < z_a) = k)).274

6.5. Aproximación de una binomial por una normal.277

6.6. Problemas resueltos.284

Créditos del capítulo.285

7. Inferencia estadística - Muestreo.287

vi

1.1 Introducción

Vivimos en un mundo que cambia de forma acelerada. Todos formamos parte de una monumental gran base de datos a la que continuamente acceden y utilizan desde los estados y grandes multinacionales hasta el negocio más pequeño o el individuo más alejado de la última aldea de cualquier país. Ya nada es ajeno a nadie. Lo que ocurre en cualquier lugar del mundo es presentado por los medios de comunicación prácticamente en directo en los salones de las casas o en los teléfonos inteligentes de cada individuo, estableciéndose así multitud de interrelaciones que avivan la interdependencia de todos y todo termina por influir de un modo u otro en el resto. Esta nueva situación de aldea global proporciona a la estadística un nuevo y mayor protagonismo en prácticamente todos los aspectos de la vida.

Todas las ciencias, animadas por las nuevas posibilidades que permiten el manejo y la rápida transmisión de imponentes bases de datos utilizan a la estadística como herramienta básica de su espectacular desarrollo.
Este nuevo contexto nos sitúa en un punto de partida inicial motivante para iniciar nuestro curso.

Como ya se ha mencionado, el primer contacto que se suele tener con la Estadística suele ser a través de los medios de comunicación. La lectura rápida de cualquier periódico enfoca nuestra atención en los titulares y en la imagen de portada. Es aquí donde se suelen presentar las tablas y gráficos estadísticos que tienen la gran virtud de actuar como elemento acaparador de atención, aunando tanto una capacidad importante de información como una gran facilidad y sencillez a la hora del descifrado de la misma.

Esta primera idea que todos tenemos puede suponer un aceptable punto de partida inicial para comenzar nuestro curso.

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En muchos monumentos egipcios se encontraron interesantes estelas, jeroglíficos, en una palabra, “documentos” en los que se puede interpretar una gran organización y administración estatal en lo que se refiere a contabilización de riqueza agrícola, ganadera e industrial, así como a movimientos poblacionales, censos, etc.

En la cultura asiria o mesopotámica se conservan tablillas con inscripciones cuneiformes sobre importantes datos estadísticos referentes a producciones agrícolas, ganaderas, así como también datos sobre contabilidad, medicina, astronomía, etc.

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Grecia, la cuna del pensamiento occidental, también tuvo importantes observaciones estadísticas en lo que refiere a distribución de terreno, servicio militar, etc.
Es en Roma donde puede decirse que la Estadística adquiere un gran desarrollo. La burocracia romana utiliza la Estadística como instrumento de apoyo a la gran capacidad organizativa política, jurídica y administrativa del imperio. Una muestra es el Census que se realizaba cada 5 años y que tenía por objeto no sólo saber el número de habitantes, sino también su cantidad de bienes. El propio origen de la cultura cristiana está ligado a uno de los censos romanos

La Iglesia, después del Concilio de Trento estableció la obligación de la inscripción de nacimientos, matrimonio y defunciones de la población cristiana, con lo que se erige como creadora y también custodia de una impresionante base de datos de los cuales se han servido posteriormente las ciencias sociales para la elaboración de multitud de estudios.

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Siguiendo los pasos de Galton, Ronald Fisher (1890 – 1962), en su publicación Métodos estadísticos para investigadores establece los fundamentos de la metodología estadística actual.

Con la aparición de los ordenadores, en la segunda mitad del siglo XX, la estadística entra en una nueva era en la que metodología gira hacia técnicas de computación rápidas e iterativas que permiten actuar sobre grandes bases de datos en muy poco tiempo. Los paquetes estadísticos se popularizan y su aplicación en las distintas ciencias también.

Así pues, la estadística aparece a lo largo de la historia como un poderoso instrumento utilizado por gobiernos e instituciones así como tambien elemento auxiliar de las distintas ciencias, ayudando a estas a desentrañar las grandes preguntas que la curiosidad del ser humano siempre ha perseguido; es decir: qué variables intervienen en un fenómeno, que leyes permiten el comportamiento de las mismas y qué relación de dependencia hay entre ellas.

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1.1.2. Definición de Estadística

La estadística, en general, es la ciencia que trata de la recopilación, organización presentación, análisis e interpretación de datos que intervienen en un fenómeno, con el fin de realizar una perfecta descripción y en gran parte inferir resultados o tomar decisiones.

Dentro de la estadística se distinguen dos ramas fundamentales,

• Estadística Descriptiva: Puede decirse que la estadística descriptiva trata fundamentalmente la presentación de datos en forma de tablas y gráficas. El cálculo de parámetros definidores y transcriptores de muchas de las características de la población estudiada. Mediante la Estadística Descriptiva emprendemos actividades relacionadas con la presentación y diseño de gráficos que resumen e implementan la información pero sin factores adicionales que vayan más allá de la propia descripción
• Estadística Inferencial: Teniendo como origen el estudio de las muestras, la estadística inferencial trata de deducir a partir de ellas aspectos generales de la población. Como consecuencia dedicará un énfasis especial al estudio de los métodos que permitirán la realización de dichas generalizaciones así como al grado de fiabilidad de las mismas.

En la siguiente escena interactiva tienes una introducción a la Estadística.

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1.2. Conceptos generales

A continuación recordamos algunos de los conceptos generales relacionados con la estadística.

Es obvio que todo estudio estadístico ha de estar referido a un conjunto o colección de objetos. Este conjunto de personas o cosas es lo que denominaremos población.
Cada uno de estos objetos que forman parte de la población se denominan elemento o individuo. En sentido estadístico un individuo puede ser algo con existencia real, como un automóvil o una casa, o algo mucho más abstracto como la temperatura, una opinión, un voto, un sentimiento o un intervalo de tiempo.

A su vez, cada elemento de la población tiene una serie de características que pueden ser objeto del estudio estadístico (carácter). Así, por ejemplo, si consideramos como elemento a una persona, podemos distinguir en ella multitud de caracteres como el sexo, la edad, estatura, peso, color de pelo, nivel de estudios, etc.

Normalmente en un estudio estadístico hay muchos condicionantes y de distinta naturaleza que impiden trabajar con todos los elementos de la población, por tanto, se suele recurrir a un subconjunto de la misma.

Una muestra es cualquier subconjunto de una población. Cuando los elementos que componen la muestra están elegidos aleatoriamente y todos los elementos tienen la misma probabilidad de ser elegidos diremos que la muestra es aleatoria simple.

Al conjunto de valores que puede tomar un carácter cuantitativo lo denominamos variable estadística.

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• Variables Cuantitativas. Son las que pueden ser descritas por medio de números.
  
  Dentro de éstas a su vez se pueden destacar:
  
  
  • Cuantitativas discretas. Aquellas a las que se les puede asociar un número entero, es decir, aquellas que por su naturaleza no admiten un fraccionamiento de la unidad, por ejemplo número de hermanos, páginas de un libro, etc.
    
  • Cuantitativas continuas. Aquellas que no se pueden expresar solamente mediante un número entero, es decir, aquellas que por su naturaleza admiten que entre dos valores cualesquiera la variable pueda tomar cualquier valor intermedio, por ejemplo peso, tiempo. etc…
    
  No obstante, en muchos casos el tratamiento estadístico hace que variables discretas sean tratadas como si fuesen continuas. Esto ocurre por ejemplo en casos en los que la variable toma un gran número distinto de valores enteros.

En las siguientes escenas del subproyecto ED@D (Educación Digital con Descartes) de la RED Descartes podrás practicar un poco con los conceptos anteriores.

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1.3. Tabulación y gráficos estadísticos

El paso siguiente a la recogida de datos en un trabajo de campo es una primera presentación de los mismos de manera que dicha representación sea fácil de visualizar, sencilla de interpretar y directa. Estas cualidades se reflejan bastante bien en las tablas estadísticas. Las listas, boletines y actas de notas, clasificación de equipos con puntuaciones, detalles de los goles, todo son en realidad tabulaciones de datos.
Con bastante frecuencia y como complemento a las tablas se recurre a los gráficos estadísticos. La mayor parte de la información que recibimos hoy en día proviene fundamentalmente de los medios de comunicación de masas. En prensa, internet y televisión fundamentalmente, y también en las ciencias sociales, se recurre de manera muy habitual a los gráficos estadísticos (pictogramas, climogramas, pirámides de población, diagramas de barras, de sectores) como elementos aglutinadores de la información a la par que fáciles de descifrar. Los gráficos estadísticos por tanto, constituyen también una herramienta fundamental en lo que se refiere a una primera información sencilla y rápida de las características más elementales de una distribución estadística.

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1.3.1. Tabulación de datos y gráficos estadísticos

Cualquier estudio estadístico comienza con la recogida de datos. Esta recogida puede ser física y directa o virtual mediante la importación de ficheros procedentes de distintas instituciones u organismos.
El segundo paso es la presentación de estos datos de forma sencilla, coherente y a ser posible atractiva para el lector. En este sentido, la estadística dispone los datos generalmente en tablas y se ayuda, a su vez, en muchas ocasiones de gráficos que resumen o aclaran aspectos reseñables de la distribución.
La forma más sencilla de tabular una variable estadística es mediante columnas. En la primera se proponen los distintos valores, generalmente ordenados, de la variable estadística o del correspondiente atributo. En la segunda, la cuantificación de esos valores en nuestro estudio, esto es las frecuencias absolutas. De esta forma efectuamos una tabulación mínima.
Desde el punto de vista didáctico, la tabulación se completa con varias columnas más en las que se anotan también las frecuencias relativas, y las acumuladas, tanto absolutas como relativas.

Generalmente las tablas que nos encontraremos reunirán la información mínima necesaria para la representación gráfica y el cálculo de parámetros estadísticos fundamentales en una distribución.

Para el caso de un carácter cualitativo:

• En la primera columna aparecen las distintas modalidades del caracter.
• En la segunda las correspondientes frecuencias absolutas.
• Puede aparecer una tercera columna reservada para las frecuencias relativas o si se desea para los porcentajes.

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Para el caso de una variable discreta:

• En la primera columna aparecen los valores de la variable
• En la segunda columna las frecuencias absolutas.
• En la tercera el producto de valores de la variable por sus correspondientes frecuencias absolutas. Esta columna sirve para el cálculo de la media aritmética.
• En la cuarta columna el producto de los cuadrados de los valores de la variable por sus respectivas frecuencias. Esta columna nos permite calcular la varianza y desviación típica.
• En la quinta columna aparecen los valores de las frecuencias acumuladas. Esta columna interviene en el cálculo de todas las medidas de posición; mediana, cuartiles, percentiles...

Observa una tabulación mínima en la siguiente imagen:

Y ahora realiza algunos ejercicios de tabulación en la escena interactiva presentada en la siguiente página.

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Observa una tabulación mínima en la siguiente imagen:

Y ahora realiza algunos ejercicios de tabulación en la siguiente escena interactiva.

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Y ahora practica realizando tú los gráficos.

Diagrama de sectores

Tiene la misma filosofía de construcción que el diagrama de barras pero la representación en sectores circulares, figuradamente trozos de tarta. Requiere previamente que mediante proporcionalidaad directa asignemos a cada fecuencia absoluta un determinado ángulo.

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Histograma

Este tipo de gráfico es el que se utiliza con más frecuencia en el caso de variables cuantitativas continuas. Los datos se representan mediante rectángulos de base igual a la amplitud del intervalo y altura igual a la frecuencia absoluta si todos los intervalos tienen la misma amplitud. Si no se cumple esta premisa de igualdad de amplitud, las alturas de los rectángulos serán calculadas de tal manera que el área total de cada rectángulo represente o sea proporcional a la correspondiente frecuencia absoluta, esto habitualmente se conoce con el nombre de normalidar las frecuencias, (dividir cada frecuencia entre la amplitud del intervalo).

Si se unen los centros de los segmentos superiores de cada rectángulo, se obtiene una figura poligonal conocida como Polígono de frecuencias.

Cuando realizamos los gráficos anteriores utilizando las frecuencias acumuladas obtenemos el denominado histograma de frecuencias acumuladas y el polígono de fecuencias acumuladas.

En la escena de la siguiente página, puedes generar datos, hacer el recuento y ver el histograma correspondiente. También se traza el histograma de las frecuencias acumuladas, en cada dato se acumula la frecuencia de los datos anteriores.

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1.4. Medidas de centralización y de posición

Todos sabemos lo que significa la nota media de los exámenes de un curso, o el hermano mediano en una familia o seguir la moda en cuanto a determinada tendencia. En estadística vamos a estudiar ciertos valores que resuman la tendencia habitual o central de los datos de una distribución. A los parámetros o medidas estadísticas que informan sobre la tendencia habitual o central de los datos de una distribución se les denomina en estadística medidas de tendencia central. Las más utilizadas son la media aritmética, la mediana y la moda.

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De la propia definición de media aritmética se desprenden algunas características y comentarios acerca de este parámetro, como por ejemplo:

• El sumatorio de las restas de cada término respecto de la media es igual a cero.
• Si todos los datos de una distribución son iguales, la media aritmética coincide con dicho dato.
  La media no tiene porqué ser un valor propio de la variable.
• Es muy sensible a cambios y valores extremos en los datos.
• Se comporta de forma natural en relación a las operaciones aritméticas suma y producto por un escalar; es decir si a todos los datos de una distribución se les suma una misma cantidad, la media resultante sería la anterior más dicha cantidad. Si multiplicamos (dividimos) todos los datos de una distribución por una cantidad distinta de cero, la media resultante sería la anterior multiplicada (dividida) por dicha cantidad. En resumen:
  
  
  

Para el caso de variable continua, solamente tenemos que sustituir xi por ci, siendo ésta última la marca de clase de cada intervalo; es decir, el punto medio o valor central de cada intervalo. Por abuso de lenguaje se suele utilizar indistintamente también para variables continuas el símbolo xi para las marcas de clase

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En esta otra escena puedes ver más ejemplos.

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Estamos ante un parámetro que prioriza más la posición que ocupa el dato en cuestión que el propio valor en sí mismo.

Supongamos tres hermanos de 2, 7 y 10 años respectivamente. La mediana en este caso es 7. Si otra familia también tiene tres hijos de 6, 7 y 15 años, la mediana también es 7. Hemos cambiado los datos extremos y sin embargo la mediana no ha variado. Se define la mediana como aquel valor de la variable estadística que deja el 50% de observaciones inferiores a él; así pues, la mediana divide en dos partes iguales a la distribución estadística. A partir de la definición se pueden extraer unas primeras propiedades de la mediana:

• Como medida descriptiva no se ve afectada tanto como la media por la presencia de valores extremos.
• Es de cálculo rápido, al menos en el caso discreto, y de fácil interpretación.
• Como inconveniente también hay que decir que tiene propiedades matemáticas complicadas que hacen que se utilice poco en inferencia estadística.

En el caso continuo se puede razonar exactamente igual identificando en este caso el intervalo mediana.

Si queremos asociar a la mediana un valor representativo del intervalo, muchos autores señalan simplemente la marca de clase de dicho intervalo y otros están de acuerdo en utilizar una fórmula que interpola linealmente el valor en el intervalo en el que se encuentre la mediana.

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En la siguiente escena puedes realizar ejercicios de cálculo de la mediana para caso discreto y del intervalo mediana para el caso continuo.

Nota: Para realizar ejercicios con la calculadora pasa al apartado número 6 de este tema.

1.4.3. Moda

Cuando alguien nos dice que determinada cosa está de moda, por ejemplo un equipo de fútbol, una canción, una prenda de vestir, un oficio, una tendencia u opinión política, etc., entendemos que ese algo es muy frecuente en nuestro entorno y que por tanto nos lo vamos a encontrar con mucha frecuencia.

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En la siguiente escena puedes practicar con el cálculo de la moda para variable discreta. También puedes relacionar el valor modal con el diagrama de barras en cada ejercicio que realices.

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En las siguientes escenas puedes practicar con el cálculo de la moda y resto de parámetros para variables discretas, continuas y también continuas con intervalos de diferente amplitud. Es conveniente que realices algunos ejercicios de forma manual y que compruebes los resultados con los que se obtienen en la escena.

Variable discreta

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1.4.4 Cuartiles

Hay ciertos valores en una distribución estadística que si se sobrepasan por exceso o por defecto pueden ser signo de alguna disfunción. Pensemos en el caso de los controles de crecimiento del feto en el embarazo o en los valores de seguridad de azúcar o colesterol en sangre.

Estos valores en estadística están relacionados con los parámetros de posición.

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En las escenas de cálculo de la moda, para variables discreta o continua, del apartado anterior, puedes introducir datos y calcular, además de los cuartiles y percentiles, los demás parámetros estadísticos. Si lo deseas, haz clic en una de las imágenes para abrir una de esas escenas.

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Ahora puedes experimentar cómo los valores atípicos influyen sensiblemente en la media y en los cuartiles, y esa influencia es menor para la mediana.

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Para empezar, en la siguiente escena puedes construir el diagrama con unos pocos datos.

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Ahora puedes practicar y comprobar si has comprendido el significado y los elementos de los diagramas de cajas y bigotes.

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Veamos otro ejemplo:

Supongamos que en una clase se pregunta por el número de hermanos que tienen los alumnos y se distribuyen los datos en la siguiente tabla. Nos preguntamos si alguno de los datos de la tabla puede considerarse atípico o aislado.

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1.5. Medidas de dispersión

Un alumno tiene tres exámenes con notas 6, 5 y 4 y otro alumno con notas 1, 5 y 9. Las notas medias de ambos es 5 y la mediana también 5, sin embargo estos parámetros no describen las características de ambas distribuciones puesto que se observa claramente que las notas del primer alumno son más homogéneas que las del segundo.

Por lo general, las medidas de centralización no detectan ciertas circunstancias de la distribución que son muy importantes y que deben tenerse en cuenta en lo que respecta a la descripción de dicha distribución. Las medidas de dispersión indican si los datos están más o menos agrupados respecto de las medidas de centralización. Fundamentalmente respecto a la media aritmética.

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En este sentido encontramos la variación media que nos sirve para calcular cuánto se desvían en promedio los datos de la media aritmética. Se define como la media de los valores absolutos de las diferencias entre la media aritmética y los diferentes datos. No es una de las medidas de dispersión más usuales.

En la siguiente escena puedes practicar con el cálculo del rango y la desviación media de variable tanto discreta como continua.

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Algunas propiedades de la varianza:

• La varianza es un valor siempre positivo.
  
• Si a todos los datos se les suma una constante, la varianza de esos datos sigue siendo la misma.
  
• Si todos los datos se multiplican por una constante, la varianza queda multiplicada por el cuadrado de la constante.
  
  
• Las dos propiedades anteriores suelen resumirse de la siguiente forma:
  
• Si se disponen de dos variables independientes
  
  

A partir de la definición de la varianza, si se desarrolla la expresión y simplificando los resultados se obtiene otra expresión para la varianza que permite un cálculo más directo y sencillo.

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La desviación típica es una medida del grado de dispersión de las observaciones alrededor de su valor medio, se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza. Tiene el mismo cometido que ésta y además la ventaja de que las unidades en las que se mide son las mismas que las de los datos de la distribución. Puede considerarse la medida de dispersión por excelencia y aparece como tecla o función directa en cualquier calculadora o programa estadístico.

Si partimos de la definición de varianza, la fórmula para el cálculo de la desviación típica sería:

De la misma forma que en el apartado anterior, si desarrollamos y simplificamos la expresión anterior se llega a otra mucho más simple que es la que se utiliza en la práctica y cuya expresión es:

Obviamente, cuanto mayor sea la desviación típica, mayor será la dispersión de los valores de la distribución respecto a la media aritmética y, por tanto, bajará el nivel de representatividad de ésta con respecto a las observaciones.

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1.5.4 Coeficiente de variación de Pearson.

Qué es más homogénea, una población de perros con desviación típica 2 Kg u otra de vacas de desviación típica 5 Kg?

Si se realiza un estudio estadístico en dos poblaciones diferentes, y queremos comparar resultados, no se puede acudir simplemente al valor de la desviación típica para ver la mayor o menor homogeneidad de los datos, es decir, el valor numérico por sí solo no nos indicará que distribución de datos está más o menos dispersa.

Recurrimos para ello a otro parámetro, llamado coeficiente de variación y que se define como el cociente entre la desviación típica y la media de una población. Es un coeficiente carente de unidades y sirve para comparar la dispersión de dos poblaciones distintas, correspondiendo a la población más homogénea un coeficiente de variación menor y a la menos homogénea un coeficiente de variación mayor.

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Estas puntuaciones típicas son valores que resultan de dividir la diferencia de cada valor menos la media entre la desviación típica de la población. A este proceso también se le suele denominar tipificación. Una vez efectuada la tipificación obtendremos una variable estadística cuya media aritmética es cero y cuya desviación típica es uno.

Las puntuaciones típicas son el resultado de dividir las puntuaciones diferenciales entre la desviación típica. Este proceso se llama tipificación.

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1.6. Manejo de calculadora.

La utilización de calculadoras en ejercicios de estadística es obviamente fundamental, tanto si se hacen manualmente, (utilización de la calculadora para largas operaciones elementales habituales en este tipo de ejercicios), o si se quieren aprovechar otras ventajas directas del modo estadístico. Cualquier calculadora científica ofrece de forma directa el cálculo de los parámetros estadísticos más usuales.

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• Una vez pulsada esta tecla aparece otra pantalla con el título "Cálculos estadísticos".
  
   
  
• Para la introducción de datos se procede insertando en la primera fila los valores de la variable separados por coma. Posteriormente en la segunda fila introduciremos sus respectivas frecuencias absolutas, también separadas por coma.
  
• Una vez que compruebas que los datos son correctos, pulsando el botón "Calcula" y aparecerá la pantalla de resultados.
  
  
  
  

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Variable discreta

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1.7. Problemas resueltos

A continuación tienes el enunciado de diferentes problemas. Trabájalos y una vez los hayas resuelto puedes hacer clic sobre el botón para ver la solución.

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2.1. Introducción. Variable estadística bidimensional.

• Los agricultores suelen anticipar como va a ir la cosecha teniendo en cuenta la evolución de las precipitaciones en determinados días del año, son las denominadas cabañuelas. Están analizando por tanto la aparente estrecha relación existente entre esas dos variables.
• La nota de un alumno de segundo de bachillerato en una asignatura y la que obtiene después en selectividad en la misma materia también suelen guardar una “estrecha relación”.
• La estatura y el peso de una población de individuos suelen estar bastante relacionadas.
• Las horas de estudio y la nota final obtenida en un examen por supuesto suelen estar muy relacionadas de forma directa.
• Lo que ocurre con las cotizaciones de ciertos valores en la bolsa de Tokio y lo que después pasa en las bolsas europeas.
• Las horas de entrenamiento de un atleta y las marcas obtenidas también están muy relacionadas.
• Los médicos están hartos de alertarnos de la altísima relación entre el consumo de tabaco y la incidencia del cáncer de pulmón.
• Las notas obtenidas por un alumno en las materias de Matmáticas y Física, históricamente están muy relacionadas.
• Una persona supersticiosa relaciona constantemente aunque de forma irracional variables causa efecto en muchas circunstancias de su vida.

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EJEMPLO 1

Las notas de 10 alumnos en Matemáticas y en Lengua vienen dadas en la siguiente tabla:

Los pares de valores {(2,2), (4,2), (5,5), ..., (8,7), (9,10)}, forman la distribución bidimensional.

EJEMPLO 2

Vamos a estudiar en los últimos doce años las precipitaciones medias en nuestro país, en litros por metro cuadrado y la producción de aceite en miles de toneladas métricas. Los datos aparecen reflejados en la siguiente tabla:

EJEMPLO 3

En una clase de 30 alumnos y alumnas se ha realizado un estudio sobre el número de horas diarias de estudio X y el número de asignaturas suspensas al final de curso Se obtuvieron los siguientes datos:

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Estas dos distribuciones reciben el nombre de distribuciones marginales. En la última celda aparecerá el total de la última fila y de la última columna, es decir, el número total de elementos estudiados (N).

Además, en esta tabla puede resultar de interés estudiar distribuciones unidimensionales correspondientes a un valor determinado de alguna de las variables, llamadas distribuciones condicionadas.

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Representamos tres ejes (igual que representamos los ejes x, y, z). En el eje vertical representamos las frecuencias y en los otros los valores de las variables X e Y. Para cada par de valores (xi,yj), representamos un prisma o una barra vertical de altura igual a su frecuencia. Este gráfico no se utiliza apenas porque su interpretación suele ser complicada.

Nota: Como alternativa al prismograma, se puede utilizar un diagrama de puntos en los que de forma “artesanal” se disponga en las coordenadas de cada valor, tantos puntos como indique su frecuencia absoluta.

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• Correlación curvilínea. La nube de puntos del diagrama de dispersión están situados alrededor de una línea curva.
  
  
  
  
• Correlación lineal. La nube de puntos del diagrama de dispersión están situados alrededor de una línea recta.
  
  
  
  
• Correlación lineal positiva. El caso especial de correlación lineal en el que al crecer una variable, crece también la otra.
  
  
  
  

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• El sentido mide la variación de los valores de una variable con respecto a la otra. En el caso de correlación lineal, si al crecer los valores de la primera, lo hacen también los de la segunda, la relación es directa (pendiente positiva); si al crecer los valores de A disminuyen los de B, la relación es inversa (pendiente negativa).

A continuación tenemos un vídeo que nos introduce en la idea general de relación entre variables o correlación.

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En el caso de la calculadora Descartes, la introducción de datos es muy simple:

• Teclea el botón "STD2"" y directamente te llevará a una pantalla con la opción de "INTRODUCIÓN DE DATOS".
• Se abren tres espacios; uno para X, otro para Y y otro para las frecuencias. Deberás introducir los datos correspondientes separados por una coma. Si no hay frecuencias es que todas valen uno.
  
• Una vez introducidos los datos, elige la opción "ESCOGE TIPO DE AJUSTE". En nuestro caso el "Modelo lineal".
• Ahora solamente tienenes que teclear "VER RESULTADOS". Aquí aparecerán todos los parámetros que necesitas, entre ellos la covarianza.

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2.4.2. Coeficiente de correlación lineal.

Se define este coeficiente como el cociente entre la covarianza y el producto de las desviaciones típicas de ambas variables, es decir:

	Karl Pearson

Este coeficiente tomará siempre valores comprendidos entre -1 y 1. Según los valores que tome, podremos deducir que:

• Si r = 1, existe dependencia funcional, todos los puntos del diagrama de dispersión están situados en una línea recta creciente.
• Si 0 < r < 1, la correlación es positiva y será más fuerte según se aproxime a 1
• Si r = 0 o próximo a cero, no existe correlación lineal, pero puede existir correlación curvilínea.
  • Si -1 < r < 0, la correlación es negativa y será más fuerte según se aproxime a -1.

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A continuación tenemos en un vídeo una clase de la Universidad de Salamanca sobre la correlación lineal.

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La mayoría de las evaluaciones fueron inútiles y el único cálculo suficientemente preciso que permitió a Franz Xaver von Zach, astrónomo alemán, reencontrar al final de ese año a Ceres fue el de Carl Friedrich Gauss. Gauss por entonces era un joven de 24 años, pero los fundamentos de su enfoque ya los había planteado en 1795, cuando tenía 18 años. Sin embargo, su método de mínimos cuadrados no se publicó sino hasta 1809 en el segundo volumen de su trabajo sobre mecánica celeste, "Theoria Motus Corporum Coelestium in sectionibus conicis solem ambientium"". El francés Adrien-Marie Legendre desarrolló el mismo método de forma independiente en 1805.

Gauss

Rumbo a Ceres Vídeo enlazado desde YouTube, licencia de YouTube estándar

2.5.1. Rectas de Regresión.

Como se ha mencionado anteriormente, en los casos en los que se observe cierto grado de correlación lineal, intentaremos aproximar la nube de puntos mediante una recta. A estas líneas se les llaman rectas de regresión. Dependiendo del procedimiento de minimización de distancias que se emplee, bien sean verticales u horizontales, y utilizando el procedimiento de mínimos cuadrados obtendremos dos tipos de recta:

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Es importante que practiques y construyas tablas tú mismo y que la escena te sirva de apoyo y comprobación de resultados. También convendría que supieras utilizar tu calculadora y usarla en los problemas prácticos. En este sentido, ten en cuenta que lo que puede variar en cada calculadora es la introducción de los datos.

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En la siguiente escena puedes manipular la nube de puntos y observar como varía el ajuste por mínimos cuadrados y como cambian las rectas de regresión.

Una de las primeras acciones que se realizan en cualquier estudio estadístico es la depuración de los datos, localizando y decidiendo si los elementos anómalos que se denominan en la literatura científica como "outliers" o valores atípicos, deben tenerse en cuenta en la realización del estudio o no.

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2.5.2. Estimaciones.

Una vez que conocemos la mayor o menor relación entre las variables mediante el coeficiente de correlación lineal y que hemos calculado las rectas de regresión, podemos utilizarlas para predecir el valor de una de las variables a partir de la otra. La fiabilidad de la estimación depende fundamentalmente de dos consideraciones:

• La primera que exista correlación lineal entre ambas variables. El dato será tanto más fiable cuanto más se aproxime el coeficiente de correlación lineal a 1 o a -1.
• La segunda que las rectas de regresión se han obtenido para unos valores concretos de X y de Y. Aunque exista una correlación lineal fuerte, si intentamos hacer predicciones para valores de las variables lejanos a los estudiados, las estimaciones tampoco serán fiables y podemos llevarnos sorpresas.
  
  • Si se quiere estimar Y para un determinado valor de X emplearemos la recta de regresión de Y sobre X.
  • Si se quiere estimar X para un determinado valor de Y emplearemos la recta de regresión de X sobre Y.

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2.6. Problemas resueltos

A continuación tienes el enunciado de diferentes problemas. Trabájalos y una vez los hayas resuelto puedes hacer clic sobre el botón para ver la solución.

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3.1 Introducción

En muchas ocasiones, en la vida real nos vemos en la necesidad de contar. Esta acción aparentemente sencilla puede llegar a ser muy complicada. El hecho de contar objetos presentes y observables directamente es muy simple, pero pensemos en situaciones donde la simple observación no basta. Imagina como contar todas las matrículas de automovil que pueden construirse con tres letras y cuatro números, imagina que necesitas conocer todos los signos de 5 elementos que se pueden formar con un punto y una raya, o todas las posibles bandras de tres franjas horizontales de distintos colores, ...

Como ves las situaciones son incontables y como ves también la expresión que continuamente aparece en este tipo de contexto es ¿CUÁNTOS...?

La parte de las matemáticas que se dedica al estudio de este tipo de situaciones es la Combinatoria. Está teoría nos proporcionará las técnicas y fórmulas que nos permitan encontrar respuestas a muchos problemas como los anteriores. En combinatoria las cuestiones planteadas se analizan fundamentalmente atendiendo a las siguientes preguntas:

• Elementos de que disponemos para formar los grupos.
• Elementos que debe contener cada grupo.
• Posibilidad de repetir elementos (o no) en los grupos.
• La importancia o indiferencia en cuanto al orden en que aparecen los elementos en las agrupaciones.

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3.2. Principio general de recuento

Las estafas piramidales, la extensión de rumores, las visitas a una página web,..., a menudo manejan o conducen a números escandalosamente grandes. Las circunstancias anteriores y muchas otras tienen como motor de transmisión algo tan simple como el "boca a boca", de manera que números pequeños conducen al final a situaciones inabarcables como resultado del principio general de recuento. También la base sobre la que se apoya el edificio de la teoría combinatoria es el principio general de recuento que a su vez es el mismo principio de cardinalidad del producto cartesiano en la teoría de conjuntos.

Si un experimento puede realizarse de n formas diferentes y un segundo experimento puede hacerlo de m formas diferentes; entonces los dos experimentos juntos se pueden realizar de nxm formas diferentes.

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Observa el siguiente vídeo sobre el principio general de recuento:

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3.3. Variaciones sin repetición

Supongamos que a un concurso literario en el que se conceden tres premios distintos, se presentan ocho escritores. Nos preguntamos por las distintas formas en las que se pueden conceder estos premios.
Este problema sin duda se puede resolver sin necesidad de conocimientos previos sobre combinatoria.

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El número de variaciones ordinarias lo representamos Vn,m y se calcula:

En la siguiente escena puedes practicar con la formación de algunas variaciones sin repetición. A medida que practicas irás descubriendo como se van construyendo, sus características y la idea que permite calcular el número total de variaciones sin repetición.

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Piensa también por ejemplo en:

• Un entrenador de fútbol dispone en la plantilla de su equipo de 7 delanteros de la misma calidad y que pueden actuar indistintamente en los tres puestos de ataque del equipo. ¿Cuántas delanteras distintas podría confeccionar?
• ¿De cuántas maneras diferentes se pueden repartir tres premios distintos entre Juan, Pedro, María, Alicia y Pilar?

En combinatoria denominamos variaciones con repetición de n elementos tomados de m en m, (obsérvese que no hay restricción alguna en cuanto a los valores de n y m), a los distintos grupos de m elementos, repetidos o no, que se pueden formar. Considerando:

• En cada grupo hay m elementos repetidos o no.
  
• Dos agrupaciones son diferentes si difieren en algún elemento o en el orden de colocación.

Al número de variaciones con repetición lo denotaremos, VRn,m y se calcula:

En la siguiente escena puedes practicar con la formación de algunas variaciones con repetición. A medida que practicas irás descubriendo cómo se van construyendo, sus características y la idea que permite calcular el número total de variaciones con repetición.

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3.5 Permutaciones sin repetición

Imaginemos cuatro amigos que deciden fotografiarse juntos en una fiesta para conservar el momento. Si deciden que la fotografía sea de los cuatros en línea. ¿De cuántas formas diferentes podrán realizar la fotografía?.

Un primer análisis de la situación nos sitúa el problema al mismo nivel del que se resolvió en el epígrafe correspondiente a las variaciones sin repetición. En realidad se trata del mismo razonamiento. La primera posición la pueden ocupar cualquiera de los cuatro amigos. La segunda la pueden ocupar cualquiera menos el que ocupó la primera, es decir tres posibilidades , y así seguiremos hasta la cuarta posición que podrá ser ocupada por una persona. Aplicando ahora el principio general de recuento al conjunto (B1 x B2 x B3 x B4), el número de posibles agrupaciones sería 4 x 3 x 2 x 1 = 24 resultados distintos. En la imagen se presentan algunas de las posibilidades:

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Denominamos permutaciones ordinarias o sin repetición de n elementos, a cada uno de los distintos grupos que pueden formarse de manera que:

• En cada grupo entran todos los n elementos.
  
• Un grupo se diferencia de otro únicamente en el orden de colocación de los elementos.

Al número de permutaciones ordinarias de n elementos lo representaremos por Pn y se calcula:

a este número se le denomina factorial de n y se representa como n! Se utiliza tanto, que aparece como tecla directa en todas las calculadoras científicas.

a este número se le denomina factorial de n y se representa como n! Se utiliza tanto, que aparece como tecla directa en todas las calculadoras científicas.

En la siguiente escena puedes practicar con la formación de algunas permutaciones sin repetición. A medida que practicas irás descubriendo como se van construyendo, sus características y la idea que permite calcular el número total de permutaciones sin repetición.

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3.6 Permutaciones con repetición

Supongamos que disponemos de 3 vasos azules iguales, 2 vasos iguales amarillos y 1 naranja. Si quisiéramos ponerlos en línea recta en una estantería. ¿De cuántas formas distintas lo podríamos hacer?

Para ayudar a contar todos los casos y ayudándonos de que conocemos las permutaciones sin repetición, vamos a pegar en la parte opuesta, la que no vemos, etiquetas que identifiquen y distingan como distintos a todos los vasos. De esta forma disponemos de 6 vasos distintos que se pueden ordenar de 6! formas distintas.

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A continuación puedes observar como se irían confeccionando algunas de las permutaciones con repetición de 6 elementos de los que uno se repite tres veces, otro dos veces y otro una vez:

Denominamos permutaciones con repetición de n elementos en los que uno de ellos se repite "a" veces, otro "b" veces y así hasta el último que se repite "k" veces, donde(a+b+c+....k = n) a todas las ordenaciones posibles de estos n elementos. Consideramos dos ordenaciones distintas si difieren en el orden de colocación de algún elemento (distinguible).
Denotaremos a este tipo de permutación como:

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3.7 Combinaciones sin repetición

Existen muchas situaciones en las que el orden deja de ser determinante. Pensemos en un pintor que dispone de cinco colores, rojo, azul, verde, negro y blanco. Desea conseguir nuevos colores mezclando cantidades iguales de tres colores diferentes de los cinco que dispone en su paleta. El orden en que mezcle los colores seleccionados no es determinante, es decir, el resultado de mezclar rojo, blanco y verde es exactamente el mismo que el de mezclar verde, blanco y rojo.

Así pues, todas las permutaciones de estos tres colores se deberían analizar como una sola agrupación. Por tanto, para localizar todos los posibles colores resultantes de la mezcla de tres de los cinco de que disponemos, V5,3 entre las P3.

A este tipo de agrupación la denominaremos Combinación sin repetición

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En el siguiente video podemos observar el planteamiento de un problema que requiere de la combinatoria y su solución.

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Propiedades de los números combinatorios

Los números combinatorios aparecen muy frecuentemente en multitud de situaciones en Matemáticas, Física, Biología, etc...Figuran como tecla directa en cualquier calculadora científica. Como propiedades más interesantes merecen destacarse:

Cuando no existían calculadoras científicas, el cálculo de números combinatorios requería de un trabajo complicado. El triángulo de Pascal permitía de una forma recurrente y muy fácil calcular cualquier número combinatorio, aunque es verdad que para cantidades elevadas también era bastante engorroso.

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Binomio de Newton

Una de las aplicaciones más interesantes desde el punto de vista algebraico para los matemáticos, constituye el desarrollo de las distintas potencias de un binomio. Conocido como binomio de Newton, utiliza los números combinatorios y sus propiedades para desarrollar de forma fácil y directa la potencia natural de cualquier expresión del tipo:

3.8. Combinaciones con repetición

Supongamos que un amigo nos invita a merendar a su casa. Como a las seis personas que estaremos en la merienda nos gustan los pasteles, quiero llevar media docena que compraré en la pastelería de la esquina. Al entrar en el establecimiento, la oferta es impresionante. Hay mucha variedad, piononos de Rute, piononos de Santa fé, milhojas, brazo de gitano, bizcotelas, borrachos, etc. En total la oferta es de 20 variedades de pasteles diferentes. ¿De cuántas formas puedo hacer mi compra?

Analizando un poco el problema, en realidad no importa el orden en que aparezcan los pastelitos en mi bandeja. Observamos también que pueden repetirse pasteles, incluso se podría comprar una bandeja de seis dulces iguales.

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Para explicar la fórmula anterior vamos a desarrollar un método de codificación que nos ayude sobre un ejemplo concreto y que sea un poco más fácil que el de al principio.
Supongamos que en un restaurante se ofrecen cuatro posibilidades de menús; digamos A, B, C y D. Si un grupo de 6 amigos decide hacer un pedido, calculemos todos los casos distintos que podrían realizarse. Desde el punto de vista combinatorio, estamos ante combinaciones con repetición de cuatro elementos tomados de seis en seis.

En primer lugar utilizamos tres líneas (rayas) para separar las cuatro posibles opciones de los distintos menús. También utilizaremos el símbolo(.) (punto) para significar el pedido de cada persona. De esta forma, el pedido de por ejemplo cuatro menús A y dos menús B lo codificaríamos:

Es decir, el código del pedido sería:

Si por ejemplo quisiéramos codificar el pedido de seis menús D su codificación sería la siguiente:

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También conviene saber que a menudo los problemas de este tipo no son puros, es decir no se trata de combinaciones puras o variaciones puras,sino que tendremos que aplicar las técnicas de recuento y también la lógica y la particular creatividad que requiera la situación. En este sentido la siguiente escena te ayudará a manejar este tipo de situaciones en las que está involucrada la combinatoria.

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3.10. Problemas resueltos

A continuación tienes el enunciado de diferentes problemas. Trabájalos y una vez los hayas resuelto puedes hacer clic sobre el botón para ver la solución.

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4.1. Introducción

La innata curiosidad del ser humano, ha hecho que desde siempre el hombre se haya interesado tanto por el motivo por el que ocurren los fenómenos como por adivinar lo que deparará el futuro. Para ello ha recurrido a todo, astrólogos, profetas, adivinadores, brujos…, utilizando los métodos más inverosímiles; desde la superstición, la observación e interpretación de los vuelos de aves, la lectura de vísceras de animales sacrificados, la magia y rituales sacerdotales hasta las más sofisticadas formulaciones en las teorías más recientes.

En muchas ocasiones el éxito ha sido completo de manera que ante unas determinadas condiciones iniciales se pueden concluir unos resultados determinados completos y precisos. Sin embargo existen experiencias que escapan al determinismo, es como si no se pudieran someter a las leyes que el hombre ha descubierto y que por tanto imposibilitan ante una determinada situación o experiencia concluir un resultado determinado. Estamos en un contexto tan difícil y extraño en el que las reglas dependen de tantos parámetros que hacen inviable la predicción o quizás ni siquiera existan estas reglas. Estamos en el territorio del azar Se dice que el origen de la probabilidad es un tanto accidental y fruto de las disquisiciones sobre una determinada jugada de dados que obsesionaba a un antiguo escritor y jugador francés del siglo XVII, Antoine Gombaud, conocido por Chevalier de Mère, amigo del matemático también francés Blaise Pascal al cuál pedía consejo respecto a las garantías de éxito que ofrecía dicha jugada.

Chevalier de Mère Blaise Pascal

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Posteriormente es el matemático Christian Huygens quien publica en 1656 el primer libro impreso sobre probabilidad, De ratiociniis in ludo aleae. Es sobre todo en el siglo siguiente cuando el matemático francés Abraham de Moivre profundiza e impulsa profundamente el estudio de la probabilidad con la introducción de importantes conceptos como el de la normal.

En el siguiente vídeo podemos ver una visión de la probabilidad en el programa REDES

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En este tema vamos a utilizar un vocabulario bastante específico con algunos conceptos que seguramente ya conoces de cursos anteriores pero que convienerecordar.

En el siguiente enlace puedes informarte sobre alguno de los más importantes matemáticos que trabajaron sobre el tema así como de sus contribuciones.

4.2.1. Espacio muestral

En cualquier experimento aleatorio la primera cosa que nos preguntamos es sobre lo que puede pasar. ¿Qué resultados puede ofrecer y cuáles no?
Sería muy interesante disponer de todo el abanico de posibles resultados. En este sentido, al conjunto formado por todos los posibles resultados elementales de un experimento aleatorio se le denomina espacio muestral de dicho experimento. Dependiendo de como sea este conjunto, los espacios muestrales pueden ser:

• Espacio muestral discreto finito. Consta de un número finito de elementos, por ejemplo lanzar un dado.
• Espacio muestral discreto infinito. Consta de un número infinito numerable de elementos, por ejemplo lanzar un dado hasta que salga un cinco.
• Espacio muestral continuo.Consta de un número infinito no numerable de elementos, por ejemplo todas las medidas posibles de espárragos extraidos aleatoriamente de una población.

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Los ejemplos que podrían exponerse son innumerables y seguro que ya estás pensando en diversas situaciones. No obstante, de partida, queremos que te fijes y pienses en lo que te vamos a exponer. Observa el ejemplo (1) y el (4), el espacio muestral es el mismo, pero ¿puede considerarse el mismo?, esto es, los sucesos que aparecen sí son los mismos pero la ocurrencia de cada suceso en el experimento (1) no tiene el mismo comportamiento que la ocurrencia de cada suceso en el experimento (4) ¿No te parece?

En la siguiente escena puedes observar algunos ejemplos de experimentos aleatorios, sus espacios muestrales y cómo construirlos.

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En la escena siguiente puedes observar algunos ejemplos de un suceso y del suceso contrario o complementario.

4.3. Operaciones con sucesos

Desde el punto de vista matemático es importantísimo definir en este conjunto de todos los sucesos asociados a un experimento aleatorio, operaciones matemáticas que permitan la manipulación e interacción entre ellos.

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Intersección de sucesos

A Juan le gusta el fútbol, el baloncesto, las películas de aventuras, la música clásica y los documentales de viajes. A su amiga Irene le van las películas románticas, el tenis, la música disco y los documentales de viajes. ¡Qué pocas cosas tenemos en común! exclamó Irene. Sin embargo podríamos quedar para ver algún documental de viajes. Efectivamente es algo que ambos adoramos. Es nuestra INTERSECCIÓN agregó Juan.

El suceso intersección de A y B, es el suceso que ocurre cuando ocurre A y ocurre B. Está formado por los resultados comunes a los sucesos A y B. Lo indicamos así:

Resta de sucesos

El lunes Manuel salió con sus amigos Miguel, Pablo, María , Laura y Sofía y se le ocurrió contar una ocurrencia muy graciosa que le paso en su último viaje. Fue muy divertido y a todos les entusiasmó.

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En relación con las operaciones unión e intersección surgen también dos importantes tipos de sucesos.

• Cuando se verifica que la intersección es vacía; (= Ø), se dice que los sucesos A y B son dos sucesos incompatibles.
• Cuando se verifica que la intersección es distinta del vacío; ( ≠ Ø ), se dice que los sucesos A y B son dos sucesos compatibles.

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Una tercera consecuencia son las leyes de Morgan, que son muy útiles en la práctica, ya que en muchas situaciones se podrán calcular probabilidades de un suceso a partir de las probabilidades de otros más fáciles o bien que se den como datos. Recuerda por tanto:

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4.4. Concepto de probabilidad

La idea de probabilidad es uno de esos conceptos que cualquier ser humano tiene preaprendiido. Todos tenemos conocimiento intuitivo de lo que supone que una cosa sea muy difícil que ocurra (acertar en la lotería) o de algo que sea más fácil que ocurra (lanzar una moneda y que salga cara). Otra cosa es la definición matemática. Desde el punto de vista formal, el concepto de probabilidad se puede abordar desde tres puntos de vista diferentes.

4.4.1 Definición de Bernoulli

La probabilidad de un suceso A de un experimento aleatorio se puede definir como el número al que se aproximan las frecuencias relativas de dicho suceso cuando el experimento se repite un número indefinido de veces.

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Como primeras consecuencias y propiedades de la definición axiomática tenemos:

Que se expresan como: • La probabilidad del suceso contrario a A es uno menos la probabilidad de A. • La probabilidad del suceso imposible es cero. • La probabilidad de dos sucesos compatibles es la suma de las probabilidades de cada uno menos la de la intersección. Esta propiedad se puede generalizar a más de dos sucesos.

En el siguiente vídeo puedes recabar algunas ideas sobre la probabilidad.

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4.5. Probabilidad condicionada

- Entonces, ¿estas seguro de que vendrás?
- Te digo que sí, llueva o no llueva allí estaré.

Este final de conversación entre dos amigos nos indica que la cita se va a producir INDEPENDIENTEMENTE de lo que ocurra con las posibles inclemencias del tiempo. Sin embargo, existen muchas situaciones en las que la ocurrencia de un suceso influye en la ocurrencia o no de otro.

Así por ejemplo en medicina, el hecho de que una mujer sea portadora de cierta enfermedad influye en que el próximo hijo que tenga adquiera dicha enfermedad, o por ejemplo si una persona es fumadora el riesgo de padecer hipertensión es mucho mayor que en un no fumador.

En el siguiente esquema se ofrece una idea intuitiva del concepto de probabilidad condicionada

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4.5.1. Concepto de probabilidad condicionada

El concepto de probabilidad condicionada va ligado siempre a sucesos compuestos, en el sentido de que la ocurrencia o no de uno de ellos influya o no en la ocurrencia o no del otro. Imagina que sabemos que en una urna hay sobres blancos y azules. Los sobres blancos, casi todos tienen premio. Los sobres azules casi ninguno tiene premio. Evidentemente si me dicen que el sobre que he elegido es blanco, eso aumedntará mis expectativas de haber conseguido premio. Por el contrario si me dicen que el sobre elegido es azul, mis expectativas de premio serán mucho peores.

Siempre que tenga sentido, se denomina probabilidad condicionada del suceso A respecto del suceso B, (probabilidad de A condicionado a B) y se representa p(A/B) al cociente:

De la misma forma se puede definir la probabilidad del suceso B condicionado al suceso A como:

De las definiciones anteriores se obtiene la fórmula general para la probabilidad de la intersección de sucesos. En realidad se trata de la formulación general para la probabilidad de la intersección de sucesos.

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La fórmula anterior se puede generalizar para cualquier número de sucesos:

4.5.2. Criterio de independencia de sucesos

Imagina que vamos a sacar dos cartas de una baraja. Realizamos el experimento sacando en primer lugar una de las cartas, anotamos su valor, la devolvemos a la baraja, mezclamos bien y extraemos la segunda carta. ¿Influye lo que ocurrió en la primera extracción en lo que ocurirá en la segunda?

En muchas situaciones en la que la probabilidad aparece ligada a sucesos compuestos, la ocurrencia de un suceso no influye en nada en la ocurrencia o no del otro. Por así decirlo, no existe nada adicional que modifique las posibilidades de ocurrencia del segundo suceso cuando se sabe que ha ocurrido el primero; esto es si el primero no hubiera ocurrido, las posibilidades del segundo seguirían siendo exactamente las mismas. En estos casos, se habla de Independencia de los sucesos.
Cuando se cumpla que p(B/A) coincida con p(B) se dice que los sucesos A y B son independientes. En este caso la probabilidad de la intersección obtenida en el epígrafe anterior quedaría simplemente como el producto de las probabilidades de cada suceso.

La fórmula anterior se conoce con el nombre de criterio de independencia y es lo que en la práctica nos lleva a calificar sucesos como independientes.

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4.6. Teorema de la probabilidad total

Mediante este resultado, se hace presente la clásica afirmación "divide y vencerás". Nos preguntamos globalmente por la probabilidad de que ocurra un suceso y contestamos a partir del conocimiento que tenemos de las distintas probabilidades de que ocurra dicho suceso cuando han ocurrido otros que en realidad completan todo el espacio muestral.
Formalmente; supongamos que A1, A2, A3, .....An, constituyen un sistema completo de sucesos para el espacio muestral E asociado al experimento aleatorio considerado. Supongamos también que B es un suceso cualquiera de l espacio E, para el cuál se conocen las probabilidades p(B/Ai).

En estas condiciones podemos deducir que:

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En la siguiente escena puedes practicar con la probabilidad condicionada y aplicar el Teorema de la probabilidad total.

4.7. Teorema de Bayes

¡Ha ocurrido el suceso B!, nos preguntamos cuál sería la probabilidad de que ocurra Ai sabiendo de antemano que ha ocurrido B. Si nos fijamos lo directo es conocer lo contrario, es decir, las probabilidades de B condicionadas a los diferentes Ai. Por ejemplo:

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En estas condiciones podemos deducir que:

También puede expresarse:

En el siguiente vídeo puedes recabar algunas ideas sobre el Teorema de Bayes.

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En la siguiente escena interactiva puedes prácticar con el Teorema de Bayes.

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Créditos del capítulo

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5.1 Introducción

Concepto de variable aleatoria.

El concepto de variable aleatoria viene a dotar de una mayor potencia matemática y de un mejor manejo y utilización del heterodoxo mundo de los espacios muestrales ya que traslada el experimento a función y la ocurrencia o no de un suceso con la posibilidad de que la función tome o no unos determinados valores numéricos.
Como veremos más adelante existirán también modelos de variables aleatorias teóricos que podrán adaptarse perfectamente a multitud de problemas prácticos y que simplificarán mucho el tratamiento y solución de dichas situaciones. En este sentido veremos la importancia sobre todo de la distribución binomial.

Supongamos que lanzamos dos dados cúbicos. El espacio muestral formado por los posibles resultados estaría compuesto por:

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Además se puede asociar a cada valor de la variable la probabilidad de que tome dicho valor;
Se define una variable aleatoria como una función que asocia a cada suceso de un espacio muestral un número real.

Según sean los valores del recorrido de esta función, (X(A)), podemos clasificar las variables aleatorias en:

• DISCRETAS: Cuando el recorrido toma valores aislados.
• CONTINUAS: Cuando el recorrido puede tomar al menos teóricamente cualquier valor de un intervalo de la recta real.

Una variable aleatoria continua es aquella que toma valores en un conjunto continuo (en toda la recta real, en un intervalo o en una unión de intervalos)
Si dado un gran número de observaciones se construye un histograma con intervalos de clase de longitud pequeña, se obtiene una gráfica que intuitivamente tiende a una curva cada vez que aumenta el número de observaciones, reduciendo la longitud de las clases del histograma.

• Supongamos que se nos ocurre el experimento aleatorio consistente en preguntar a los alumnos de un determinado instituto por el tiempo que tardan en desplazarse desde su casa al centro. La variable aleatoria en este caso vendría determinada por un intervalo de tiempo en el que al menos teóricamente podría tomar cualquier valor entre 0 y 25 minutos aproximadamente.

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PARÁMETROS ASOCIADOS

Se denominan así a ciertos valores numéricos de alguna manera resumen los datos y carácterísticas de la variable aleatoria.

• Media aritmética o esperanza matemática
  
  
• Varianza
  

Para el cálculo práctico de la varianza en problemas concretos se suele recurrir a esta otra fórmula a la que se llega desarrollando el cuadrado de la anterior y que resulta mucho más sencilla para el cálculo directo.


• Desviación típica
  

A partir de la fórmula de la varianza y para solventar el problema de que el parámetro venga dado en las mismas unidades de medida que los datos de la variable se define la desviación típica como:

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EJEMPLO 1:

Consideramos el experimento consistente en lanzar dos dados y observar las caras superiores. En este experimento la variable aleatoria que definimos sería la que asigna a cada suceso la suma de las puntuaciones de las caras superiores.

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EJEMPLO 3:

Consideramos el experimento consistente en lanzar dos dados y la variable que asigna a cada suceso la mayor de las puntuaciones obtenidas.

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En la siguiente escena aparecen el diagrama de barras para frecuencias relativas del lanzamiento de dos dados un total de veces que puedes modificar mediante el control "nº de veces". Puedes manipular dicho control y observar qué ocurre cuando se aumenta o disminuye, además puedes hacer la comparación con el modelo teórico de su función de probabilidad, representada de forma gráfica. Intenta extraer tus propias conclusiones.

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Para la simulación de modelos de probabilidad como por ejemplo el modelo de una distribución binomial existe un artefacto muy simple y con bastantes aplicaciones didácticas como es el aparato de Galton.

Un aparato de Galton está constituido por un conjunto variable de pisos huecos con topes. En el primer piso hay un sólo tope, en el segundo dos, en el tercero tres y así sucesivamente. Si dejamos que una bola caiga desde el primer piso, al chocar con cada tope puede ir a la derecha o a la izquierda. En principio si no se hace nada especial en el tope, la probabilidad de ir a la izquierda es la misma que la de ir a la derecha.

Observa el vídeo que se presenta en la página siguiente

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Manipula la siguiente escena cambiando los controles, conjeturando y comprobando sobre los canales de más o menos probabilidad. Cambia también el control que en principio aparece con valor por defecto de 1/2. Podrías simular modelos para el lanzamiento de dados, cartas, o cualquier otra experiencia en la que aparezcan solamente dos resultados posibles: éxito (bola que va a la derecha) y fracaso (bola que va a la izquierda).

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5.3.1. Función de probabilidad de la distribución binomial

La distribución binomial constituye un modelo de probabilidad teórico al que se adaptan multitud de situaciones y problemas de la vida real. Conviene por tanto profundizar en este modelo teórico para así poder transferir los resultados a las distintas situaciones concretas.

En este sentido se puede deducir la función de probabilidad asociada a una distribución binomial. Si consideramos una distribución B(n,p). En la que denominamos:

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En general, la expresión para todos los casos en los que se pueden presentar "r" éxitos y "n-r" fracasos sería:

Teniendo en cuenta que la probabilidad de éxito es "p" y la de fracaso "(1-p)" y la independencia de cada prueba, deducimos que la función que nos permite calcular la probabilidad de que la variable aleatoria X (número de éxitos obtenidos en n pruebas), sería:

En la siguiente escena puedes observar las representaciones gráficas de distintas distribuciones binomiales. Puedes cambiar los valores de la binomial que coinciden con los controles "n" y "p".

Observa cómo cambia la forma de la gráfica y extrae tus propias conclusiones.

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5.3.2. Parámetros de la distribución binomial

Esperanza matemática, varianza y desviación típica de la binomial

Consideramos la variable aleatoria X que sigue una binomial B(n,p). Recordamos que la variable aleatoria X expresa el número de éxitos que se obtienen al realizar "n" pruebas o ensayos independientes de Bernouilli con probabilidad "p" de éxito y "(1-p)" de fracaso. Esta variable puede interpretarse perfectamente como suma de "n" variables de Bernouilli, una por cada uno de los ensayos realizados. En consecuencia, para deducir la esperanza matemática y la varianza de la binomial B(n,p) podemos calcular la esperanza matemática y varianza de la variable correspondiente a un ensayo y después aplicar las propiedades generales de dichos parámetros con respecto a la suma de variables independientes. Para un ensayo:

Por tanto:

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Existen tablas muy extensas para las binomiales. La más popular era la que condensaba en una página todas las binomiales de hasta n=10 y distintas probabilidades comprendidas entre un valor mínimo 0,01 y un máximo de 0,5 con paso de 0,05. Aquí puedes ver dicha tabla.

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En el siguiente vídeo podemos asistir a una clase sobre la distribución binomial:

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Por ejemplo:

• En los grandes macroexámenes que se dan con cierta frecuencia en este país. Dichos exámenes suelen constar de varias pruebas eliminatorias que se celebran en un cierto intervalo de tiempo. Si del histórico de otros años se conservan porcentajes de personas que se presentan al primero y de los que van "sobreviviendo" a las distintas pruebas, sería muy interesante observar si el comportamiento de este tipo de pruebas se parece al modelo teórico de una binomial de ciertos parámetros.
• La asistencias a urgencias en un hospital a lo largo de las horas de una determinada noche.
• Pensemos en las colas en las ventanillas de cierto ministerio a lo largo de las horas de una mañana.
• Fallos en la manufactura de piezas en una cadena de montaje.
• Gente en la parada de cierta estación de metro a lo largo de un intervalo horario.

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5.4. Otras distribuciones discretas

La distribución binomial es sin duda la más importante de las distribuciones de probabilidad discreta. Sin embargo existen situaciones que no pueden ser interpretadas mediante está distribución. Imagina por ejemplo una población de 100 personas en las que hay por ejemplo 5 con cierta característica especial. Si se van escogiendo personas una tras otra sin reemplazamiento, considerando éxito si la persona tiene dicha característica y fracaso el que no la tenga. Esta experiencia no se ajusta a una binomial ya que la probabilidad de éxito no se mantiene constante en cada extracción.

Existen bastantes situaciones interesantes que no se pueden enfocar bajo la óptica directa de la binomial. En los siguientes epígrafes se estudiarán algunas distribuciones teóricas discretas clásicas con las que se pueden abordar un gran número de problemas concretos.
		Familia uniforme
		Familia hipergeométrica
		Familia de Poisson

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La distribución hipergeométrica es especialmente útil en todos aquellos casos en los que se extraigan muestras o se realicen experiencias repetidas sin devolución del elemento extraído o sin retornar a la situación experimental inicial.

Es una distribución fundamental en el estudio de muestras pequeñas de poblaciones pequeñas y en el cálculo de probabilidades de juegos de azar. Tiene grandes aplicaciones en el control de calidad para procesos experimentales en los que no es posible retornar a la situación de partida.

Las consideraciones a tener en cuenta en una distribución hipergeométrica:

• El proceso consta de "n" pruebas, separadas o separables de entre un conjunto de "N" pruebas posibles.
• Cada una de las pruebas puede dar únicamente dos resultados mutuamente excluyentes.
• El número de individuos que presentan la característica A (éxito) es "k".
• En la primera prueba las probabilidades son: P(A)= p y P(A)= q; con p+q=1.

En estas condiciones, se define la variable aleatoria X = “nº de éxitos obtenidos”. La función de probabilidad de esta variable sería:

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EJEMPLO 2:

De cada 20 piezas fabricadas por una máquina, hay 2 que son defectuosas. Para realizar un control de calidad, se observan 15 elementos y se rechaza el lote si hay alguna que sea defectuoso. Vamos a calcular la probabilidad de que el lote sea rechazado.

Cuando N es muy grande, como criterio se suele considerar N > 10n, la distribución hipergeométrica se puede aproximar por la binomial B( n, p ) con p = k/N.

En la siguiente escena puedes observar la función de probabilidad de la distribución hipergeométrica. Puedes cambiar los diferentes parámetros que configuran dicha distribución y observar como cambia esta función a medida que se varía alguno de ellos. Extrae tus propias conclusiones. Así mismo, puedes utilizar también la escena como calculadora directa que permite resolver situaciones concretas que se puedan plantear en problemas específicos. Lógicamente hay un límite para los valores de la población de manera que la escena funcione con fluidez (valores menores de 200).

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5.4.2. Distribución de Poisson

Hay ocasiones en las que un proceso que podría encuadrarse dentro de lo que conocemos como distribución binomial, ofrece dificultades que en ocasiones incluso hacen inviable la resolución de un problema. En este sentido, pensemos el caso en que la constante “p”, probabilidad de éxito de un experimento de Bernouilli sea muy pequeña; (lo que habitualmente se denominan casos muy raros), o bien el caso en que los cálculos que se derivan de la fórmula de la binomial sean tan farragosos que saquen de rango nuestra calculadora. Sería importante disponer de otra alternativa más interesante.

Por otro lado, pensemos también en situaciones en las que los elementos de la población pueden considerarse extraordinariamente numerosos, (coches que pasan durante un tiempo por una autopista, metros de tela de una producción en una fábrica, individuos de un país susceptibles de padecer cierta enfermedad, entre otros ejemplos posibles. Un proceso de Poisson se presenta en relación con un acontecimiento (éxito) durante un periodo de tiempo o espacio. Se conoce que el número de éxitos en la unidad de estudio, instante temporal o espacial determinado es

y a su vez este es independiente del número de éxitos en otro instante o espacio. Si llamamos X = “nº de éxitos obtenidos en un determinado periodo ”. Diremos que X sigue una distribución de Poisson.

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EJEMPLO 2:

En una carretera se producen un promedio de 2 accidentes anuales. Calcula la probabilidad de que este año se produzcan más de 3 accidentes.

En el siguiente vídeo podemos asistir a una clase sobre la distribución de Poisson:

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5.4.3. Distribución Geométrica

Consideramos una sucesión de variables aleatorias independientes de Bernouilli. Es decir una sucesión de pruebas independientes con dos posibles resultados y con probabilidad de éxito constante e idéntica en cada prueba. X1, X2, ..., X1, ... donde Xi → Bernoulli de probabilidad (p) Esta sucesión como tal, al menos teóricamente, puede ser infinita.

Si consideramos la variable aleatoria X = “nº de experiencias realizadas hasta obtener el primer éxito”, diremos que sigue una distribución geométrica.

De acuerdo con la definición anterior, la variable X puede tomar valores desde uno en adelante. De este modo tenemos que la función de probabilidad para X, que es fácil de deducir puesto que los primeros k-1 son fracasos y el k-ésimo éxito, sería:

En algunos textos se considera la variable “nº de fracasos obtenidos hasta el primer éxito”. En este caso el valor más pequeño que puede tomar la variable es cero y la formulación cambia un poco.

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La variable puede seguir tomando valores indefinidamente puesto que es posible encontrar a un jugador cuya “mala suerte“ haga que NUNCA obtenga el dichoso 5.
Estaríamos ante el caso de una distribución geométrica de parámetro 1/6.

EJEMPLO 2:

Un matrimonio quiere tener una hija, y por ello deciden tener hijos hasta el nacimiento de la esperada hija. Calcular el número esperado de hijos (entre varones y hembras) que tendrá el matrimonio. Calcular la probabilidad de que la pareja acabe teniendo tres hijos o más.

En la siguiente escena puedes observar la función de probabilidad de la distribución Geométrica. Puedes cambiar los diferentes parámetros que configuran dicha distribución y observar como cambia esta función a medida que se varía alguno de ellos. Extrae tus propias consecuencias. Así mismo puedes utilizar también la escena como calculadora directa que permite resolver situaciones particulares que se puedan plantear en problemas concretos.

234

5.4.4. Distribución binomial negativa

Imagina una persona que está jugando al baloncesto con sus amigos y que al finalizar el partido comienza a lanzar tiros libres. A uno de ellos, especialmente desacertado, se le ocurre comentar: ¡No pienso irme de aquí hasta conseguir anotar cinco canastas! Esta situación puede ilustrar bastante bien el problema que resuelve la distribución binomial negativa. Una distribución binomial negativa de parámetros "r" y "p" surge como una secuencia infinita de intentos de tipo Bernoulli en los que:

• Cada secuencia es independiente de las otras.
• En cada intento solamente son posibles dos resultados (éxito o fracaso).
• La probabilidad de éxito es constante en cada secuencia.
• Los intentos continúan hasta que se consigan r éxitos.

Si llamamos X = “número de experimentos realizados hasta obtener el r-ésimo éxito”, diremos que la variable X sigue una distribución binomial negativa de parámetros r, p.

Es fácil deducir que la función de probabilidad de esta variable será:

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EJEMPLO 2:

Se sabe que la probabilidad de que un niño expuesto a una enfermedad contagiosa la contraiga es de 0,4. Calcula la probabilidad de que el décimo niño estudiado sea el tercero en contraer la enfermedad.

Podemos enfocar el problema como una binomial negativa de parámetros X = 10, k=3 y p=0,4

En la siguiente escena puedes observar la función de probabilidad de la distribución Binomial negativa. Puedes cambiar los diferentes parámetros que configuran dicha distribución y observar como cambia esta función a medida que se varía alguno de ellos. Extrae tus propias conclusiones. Así mismo, puedes utilizar también la escena como calculadora directa que permite resolver situaciones particulares que se puedan plantear en problemas concretos.

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5.4.5. Distribución uniforme

Supongamos un experimento aleatorio en el que los resultados posibles pueden tomar un conjunto de “n” valores discretos y donde cualquiera de estos valores puede obtenerse con igual probabilidad. Es una distribución muy sencilla que asigna probabilidades iguales a un conjunto finito de puntos del espacio. Modeliza fenómenos en los que tenemos un conjunto de n sucesos posibles, cada uno de los cuales con la misma probabilidad de ocurrir.

Si consideramos la variable aleatoria que asigna cada uno de esos sucesos a un número natural desde 1 a “n”, obtenemos lo que se denomina una distribución uniforme. El único parámetro de la distribución es “n” de ahí que se suela representar por:

Por ejemplo el lanzamiento de un dado correspondería a una distribución uniforme con n=6. La función de probabilidad de una distribución uniforme viene dada por:

Los parámetros media, varianza y desviación típica de una distribución uniforme no son difíciles de obtener:

240

5.5. Problemas resueltos

A continuación tienes el enunciado de diferentes problemas. Trabájalos y una vez los hayas resuelto puedes hacer clic sobre el botón para ver la solución.

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6.1. Introducción.

6.1.1. Idea intuitiva de función de densidad.

Las distribuciones de probabilidad de una variable aleatoria continua pueden imaginarse como idealizaciones del polígono de frecuencias, asociado al histograma de frecuencias relativas, cuando se aumenta indefinidamente el número de datos y se disminuye paulatinamente la amplitud de los intervalos. Este proceso “límite” proporciona una primera idea de función asociada a dicha variable continua.

Las distribuciones de probabilidad de una variable continua se definen a partir de una función particular a la que llamaremos función de densidad.
Consideremos inicialmente un ejemplo:

En un instituto se decide estudiar el tiempo, llamémosle X, que emplean los alumnos en desplazarse desde su casa hasta él. Se trata de una variable estadística que al menos teóricamente puede tomar cualquier valor dentro de un determinado intervalo (entre 0 y 20 minutos por ejemplo).
Este tipo de variable se suele representar gráficamente mediante un histograma que consiste en levantar un rectángulo sobre cada uno de los intervalos (clases) donde toma sus valores. La base del rectángulo es la amplitud del intervalo. Si variamos las bases de los intervalos, evidentemente cambia la forma del histograma.

Si el número de alumnos a los que controlamos el tiempo fuese suficientemente grande y vamos aumentando el número de intervalos (o lo que es lo mismo, consideramos clases cada vez más pequeñas), la línea poligonal que forman los puntos medios de los lados superiores de los rectángulos, llamada poligonal de frecuencias tiende a una curva que recibe el nombre de Función de Densidad de la variable X.

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En la siguiente imagen puedes observar el resultado que ofrece la escena anterior para el caso de una población de 50000 elementos y una partición de 1000 intervalos

6.1.2. Definición de Función de densidad

Una función f(x) se admite como función de densidad de una variable aleatoria continua X si verifica:

• La función f(x) es positiva o nula en todo el dominio de definición
• El área limitada por la gráfica de la función y el eje de abscisas (OX) es igual a la unidad.

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La media o esperanza matemática es el valor más representativo de todos los que toma la variable continua X, puede imaginarse como el punto sobre el eje de abscisas en el cuál la superficie generada por la función y el eje permanecerían en equilibrio. El cálculo matemático se haría:

La desviación típica se define como una medida de la dispersión de los valores de la variable X con respecto a la media. Mientras más pequeña sea la desviación más estrecha será la gráfica de f(x) respecto a la media. Su cálculo se haría:

6.2. La distribución normal

La distribución normal es sin duda la más importante de las distribuciones continuas tanto en la teoría como en la práctica estadística. Puede decirse que en este universo, la mayoría de los fenómenos naturales se comporta básicamente de forma normal o “gaussiana”. En estadística inferencial, el teorema central del límite y las pruebas de normalidad sobre una serie de datos, van a ser básicas en el desarrollo moderno de la estadística.

Aunque fue reconocida por primera vez por el francés Abraham de Moivre (1667-1754), posteriormente, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) elaboró desarrollos más profundos y formuló la ecuación de la curva. Se suele conocer popularmente como la "campana de Gauss".

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Las principales características (propiedades) de esta función son:

En la siguiente escena puedes manipular los controles para observar el comportamiento de la gráfica de la distribución normal cuando cambias la media y la desviación típica de la misma.

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6.2.1. La distribución normal cero uno

Entre la familia de las distribuciones normales, la que tienen por media cero y por desviación típica uno es sin duda la más importante de todas. Esta distribución aparece totalmente tabulada y como veremos más adelante permitirá el cálculo de cualquier tipo de probabilidad en cualquier tipo de distribución normal.

La notación que emplearemos para referirnos a esta normal será N(0,1).

Su función de densidad viene dada por la fórmula:

Como ya se ha mencionado al principio del tema, el cálculo de probabilidades en variable continua se asocia al cálculo de áreas. En el caso particular de la distribución N(0,1)

Si queremos calcular el valor de que la variable tome un valor menor o menor o igual que "z", tendríamos que calcular un área mediante el proceso de integración indefinida, con la dificultad añadida de que la función a integrar no admite una primitiva en términos de función elemental.

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Detalle de la tabulación de la N(0,1). Ejemplo de cáculo de una probabilidad (aréa correspondiente al barrido a la izquierda de la función)

6.2.2. Tipificación

La tipificación es el procedimiento que permite pasar de cualquier distribución normal a la distribución N(0,1). En cualquier distribución continua, si efectuamos el cambio de variable:

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Cálculo de probabilidades a la izquierda mediante tipificación

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Cálculo de probabilidades entre dos valores mediante tipificación

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Ejemplo de tabulación de la N(0,1)

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6.3.2. Probabilidad (p (Z > a)). Barrido a la derecha

Como ya se ha dicho anteriormente los valores de la tabla de la N(0,1) corresponden directamente a barridos a la izquierda. En consecuencia, no existen de forma directa valores que correspondan a barridos a la derecha. Vamos a distinguir entre valores positivos y negativos.
-  Para el caso p ( z > a )  siendo "a" un valor positivo.

- Para el caso p ( z > -a )  siendo "-a" un valor negativo.

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- Para el caso p (- a < z <- b ), siendo "-a" y "-b" valores negativos.

- Para el caso p (- a < z < b ), siendo "-a" negativo y "b" positivo.

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6.4. Manejo inverso de la tabla de la N(0,1)

Existen muchas ocasiones en las que nos interesa saber cuál es el valor de una determinada distribución que deja a su izquierda o derecha una probabilidad determinada. Pensemos por ejemplo en una nota de corte para acceso a una determinada titulación, o en los valores de perímetro craneal que determinan que un feto se encuentre entre los percentiles 25 y 75. También se verá en temas posteriores la importancia del cálculo de los denominados "zeta sub alfa medios y zeta sub alfa", tan importantes en intervalos de confianza y contraste de hipótesis. En definitiva, conviene tener cierta habilidad en la utilización de la tabla de la N(0,1) en el sentido expuesto anteriormente. Recordemos también la propia limitación de la tabla en cuanto a que presenta únicamente valores entre 0 y como mucho 4 y, además, que las probabilidades correspondientes son únicamente de lo que denominamos barridos a la izquierda.

En la siguiente imagen se muestra la localización del valor de la variable en la N(0,1) que deja a la izquierda una probabilidad de 0.776 (haz clic sobre la imagen para ampliarla).

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En la siguiente escena puedes calcular directamente y sin necesidad de utilizar ninguna tabla los valores que dejan una probabilidad a la izquierda de lo que quieras. Basta con que introduzcas el valor deseado en el control <<probabilidad>>. No obstante, puedes practicar el cálculo de este tipo de valores con la tabla de la N(0,1). También, puedes utilizar la escena para comprobar el error que se comete al realizar los cálculos de forma manual (con la tabla), o de forma directa en la escena.

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En la siguiente escena puedes calcular directamente y sin necesidad de utilizar ninguna tabla los valores que dejan una probabilidad a la derecha de lo que quieras. Basta con que introduzcas el valor deseado en el control <<probabilidad>>. No obstante, puedes practicar el cálculo de este tipo de valores con la tabla de la N(0,1). También puedes utilizar la escena para comprobar el error que se comete al realizar los cálculos de forma manual, (con la tabla) o de forma directa en la escena.

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6.4.3. Calculo del valor z_a tal que (p(-z_a < z < z_a) = k))

Se trata de calcular el valor de la distribución N(0,1) que llamaremos z_ay que proporciona una probabilidad central de valor "k", es decir, tal que p(-z_a < z < z_a )= k.
En este caso, teniendo en cuenta que los valores de la tabla de la Normal N(0,1) corresponden únicamente a barridos de probabilidad a la izquierda, debemos razonar un poco más.

• Si p(-z_a < z < z_a )= k, teniendo en cuenta que el área total es 1 y la simetría de la distribución, se tiene que p( z < z_a ) = 0.5+ k/2.
  
• El valor "0.5+ k/2" habitualmente no coincidirá exactamente con uno de los que aparece en la tabla, por tanto debemos considerar el más proximo. En el caso en el que haya dos o más que estén a la misma distancia de "k", lo habitual es considerar como valor de z_a la media aritmética de los calculados.

Por ejemplo, supongamos que nos interesa conocer los valores de la distribución N(0,1) que encierren una probabilidad central del 0.9; es decir, los valores z_a y -z_a tal que
p(-z_a <  z < z_a )= 0.9

• Si p(-z_a < z < z_a )= 0.9, entonces p( z < z_a)= 0.5+0.45 = 0.95. El valor no coincide con ningún valor de la tabla, por tanto, consideramos el más próximo. En este caso, hay dos que están a la misma distancia: 0.9495 y 0.9505, extrapolando los dos valores corresponderían a z_a = 1.64 y z_a = 1.65.
• Consideramos la media aritmética de los dos valores, por tanto z_a = 1.645.

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Teorema de Moivre

Este resultado establece las condiciones en las que una distribución discreta como la binomial puede aproximarse por una distribución normal, proporcionando además los parámetros media o esperanza y desviación típica de dicha distribución normal. La sencillez de las condiciones que establece el teorema, el ahorro operacional que proporciona y la calidad de la aproximación hace que sea uno de los resultados más utilizados en estadística.

Supongamos una distribución binomial B( n , p ) en la que se cumplan simultáneamente las condiciones:

Entonces:

En la siguiente escena puedes practicar un poco con las condiciones y tesis del teorema de Moivre. Si pulsas el botón de dibujar la normal, observarás la poca diferencia que ofrece la aproximación.

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CORRECCIÓN POR CONTINUIDAD (Corrección de Yates):

La distribución binomial es una variable discreta y por tanto tiene sentido el preguntarnos tanto por probabilidades puntuales, como por probabilidades en las que sí tenga importancia saber si el primer o último valor entra o no entra en las posibilidades del problema. Sin embargo, cuando efectuamos la aproximación por una distribución normal, por tanto continua, las consideraciones anteriores dejan de ser determinantes, ya que la primera no tendría sentido y la segunda no ofrecería diferencia alguna.

Para aclarar y diferenciar este tipo de situaciones se ha adoptado, como norma general, realizar correcciones que vienen a solucionar ese matiz diferenciador en las distribuciones discretas, que se “difumina” en la aproximación mediante una distribución continua. En este sentido, convenimos efectuar las siguientes"correcciones" sobre los valores, conocida popularmente como correciones de Yates

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6.6. Problemas resueltos

A continuación tienes el enunciado de diferentes problemas. Trabájalos y una vez los hayas resuelto puedes hacer clic sobre el botón para ver la solución.

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7.1 Inferencia estadística

Hasta ahora, con la estadística descriptiva, se han ido estudiando las características de una población a partir de ciertos parámetros obtenidos de la misma, realizando una labor primoldialmente descriptiva de los aspectos principales de dicha población.

Diremos que se ha realizado un estudio exhaustivo o censo, cuando lo hayamos realizado sobre todos los elementos de una población. En el caso en el que la investigación se haga sobre una muestra, diremos que se ha realizado un estudio por muestreo.

A diferencia de la estadística descriptiva, la estadística inferencial tiene otros objetivos:

La Inferencia estadística persigue la obtención de conclusiones sobre distintos aspectos de una población, a partir de los datos obtenidos en una muestra de dicha población. También intenta medir su significación, es decir, la confianza que nos merecen dichas conclusiones.

Por ejemplo:

• Inferir la altura media de los jóvenes cordobeses a partir de los datos obtenidos en una muestra de los mismos extraída en un centro de secundaria.
• Inferir la proporción de personas favorables a cierto político a partir de los datos obtenidos en una muestra realizada telefónicamente.
• Inferir el porcentaje de concentración de cierta sustancia en un lago a partir de los datos obtenidos con una pequeña muestra.

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7.2. Muestreo probabilístico. Tipos de muestreo.

El estudio de determinadas características de una población se efectúa a través de las diversas muestras que pueden extraerse de ella. Los métodos de muestreo probabilístico son aquellos que se basan fundamentalmente en el principio de equiprobabilidad; es decir: aquellos en los que todos los individuos tienen la misma probabilidad de ser elegidos para formar parte de una muestra. Este aspecto es crucial con respecto a la representatividad de las muestras y debe tratarse con mucho cuidado ya que procedimientos que en principio parecen aleatorios muchas veces no lo son. Pensemos en una macroencuesta a nivel mudial. Imaginemos que deseamos realizar un estudio sobre hábitos alimenticios y para ello elegimos de forma aleatoria números de teléfono en los distintos países y realizamos llamadas para contactar con los individuos de nuestra muestra. ¿Estamos seguros de que todos los individuos de la población han tenido la misma probabilidad de ser elegidos? En principio el procedimiento es aleatorio pero todavía en algunos países el teléfono es un artículo de lujo al que una gran parte de la población aún no tiene acceso. En consecuencia esos individuos no tendrían ninguna posibilidad de ser elegidos con nuestro procedimiento.

Representatividad de las muestras - Muestreo aleatorio

La característica más importante de una muestra es su representatividad respecto al estudio estadístico que se esté haciendo. Si la muestra no es representativa diremos que está sesgada.

El proceso mediante el cual se elige una muestra se llama muestreo, y para que nos proporcione una muestra representativa debe ser aleatorio. Un muestreo es aleatorio cuando los individuos de la muestra se eligen al azar, de forma que todos tienen la misma probabilidad de ser elegidos.

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Dentro de los métodos de muestreo probabilísticos pueden destacarse los siguientes:

7.2.1. Muestreo aleatorio simple

Para la realización de este tipo de muestreo, se asigna un número a cada individuo de la población y a través de algún procedimiento aleatorio, con reemplazamiento, como sorteo, tabla de números aleatorios, función ran# de la calculadora, etc., y se eligen tantos sujetos como sea necesario para completar el tamaño de muestra.

7.2.2. Muestreo aleatorio sistemático

Este tipo de procedimiento exige, como el anterior, numerar todos los elementos de la población, pero en lugar de extraer “n” números aleatorios sólo se extrae uno. Se parte de ese número aleatorio  y a partir de él se seleccionan los lugares múltiplos de un número “k” obtenido previamente. Por ejemplo supongamos un control de tráfico en el que se decide parar a partir de un momento dado a los vehículos que ocupen el lugar 20, 40, 60,...

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7.2.3. Muestreo aleatorio estratificado

Consiste en considerar categorías típicas diferentes entre sí (estratos) que poseen gran homogeneidad respecto a alguna modalidad. Se puede estratificar, por ejemplo, según la profesión, el municipio de residencia, el sexo, el estado civil, etc. Lo que se pretende con este tipo de muestreo es asegurarse de que todos los estratos de interés estén representados adecuadamente en la muestra.

La distribución de la muestra en función de los diferentes estratos se denomina afijación, y puede ser de diferentes tipos:

• Afijación Simple: A cada estrato le corresponde igual número de elementos
  
  
• Afijación Proporcional: La distribución se hace de acuerdo con el peso (tamaño) de la población en cada estrato.
  

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Representatividad de las muestras - Muestreo estratificado

En ocasiones cuando la población objeto de estudio, pertenece a distintos grupos o estratos conviene elegir la muestra de forma que todos ellos queden representados. Este tipo de muestreo, escogiendo un reparto proporcional a los estratos, se llama estratificado.

En este caso la variable a estudiar es el color preferido, y se ha decidido hacerlo por niveles: 1º-2º ESO, 3º-4º ESO y Bachillerato.

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7.2.4. Muestreo aleatorio por conglomerados

En el muestreo por conglomerados, la muestra seleccionada es todo un grupo de elementos de la población que forman en sí una unidad compacta, a esta unidad es a la que llamamos conglomerado. Este tipo de muestreo consiste en seleccionar aleatoriamente un cierto número de conglomerados y en investigar después todos los elementos de los mismos. Las unidades hospitalarias, los departamentos universitarios, una caja de determinado producto, etc., son conglomerados naturales. En otras ocasiones se pueden utilizar conglomerados no naturales como, por ejemplo, las urnas electorales. Cuando los conglomerados son áreas geográficas suele hablarse de "muestreo por áreas".

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7.2.5. Muestreo no aleatorio

En ocasiones la naturaleza del estudio, las necesidades económicas, las características de una determinada población u otra razón, obligan a recurrir a métodos de obtención de muestras que no son aleatorias. Este tipo de muestreo tienen como principal inconveniente su dificultad de representatividad respecto de la población de partida. Se pueden mencionar como algunos de los métodos de muestreo no aleatorio más utilizados:

• Muestras erráticas o casuales. Por ejemplo encuestas a pie de urna o encuestas a la salida o entrada de un evento deportivo.
  
• Muestras intencionadas o racionales. Selección consciente de los elementos de la muestra. Para un estudio académico el profesor elige intencionadamente a los alumnos con la información que ya tiene de ellos de forma que la muestra englobe las características de la población.
• Muestras por cuotas. Criterios previos de selección como individuo de entre 30 y 40 con trabajo, divorciado y deportista.
  
• Muestras bola de nieve. Colectivos difíciles de encontrar como, por ejemplo, un estudio sobre el perfil de personas aficionadas al comic antiguo en España. En este tipo de muestreo es dificil de conseguir a los individuos aunque sí es relativamente fácil que un individuo concreto conozca a otros de su perfil y que por tanto a partir de uos cuantos, se genere como una bola de nieve, una muestra aceptable.

finalmente, puedes profundizar un poco más con algunos vídeos, que puedes accederlos haciendo clic en las imágenes de la siguiente página.

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7.3. Distribución en el muestreo de la proporción

Supongamos una población de la que conocemos la proporción “p” de individuos que cumple cierta característica. Si de esta población extraemos muestras de tamaño “n”, y en cada muestra a su vez estudiamos la proporción de individuos que cumple la característica estudiada, obtendremos diferentes proporciones muestrales:

De manera que si llamamos

a la ariable aleatoria formada por los distintos valores que toman las proporciones muestrales. Esta variable aleatoria como tal tiene las siguientes características:

• La media o esperanza matemática de la variable "proporciones muestrales" es la proporción poblacional “p”
  

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En la siguiente escena puedes observar el comportamiento de la distribución de las proporciones muestrales cuando cambias el tamaño de la población. También puedes cambiar la proporción poblacional y el tamaño de la misma, observando la aproximación de la binomial a la normal cuando se cumplen las condiciones del teorema de Moivre.

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Llamamos a la variable aleatoria que toma los distintos valores de las medias muestrales de tamaño "n"

Las características principales de esta variable aleatoria son:

• La media es la misma que la de la población.
  
  
• La desviación típica es la misma que la de la población dividida entre la raíz de n;
  
  

Además, a medida que el tamaño de la muestra crece, la distribución de la variable medias muestrales de tamaño n, se aproxima cada vez más a la distribución normal, esto es:

En el siguiente vídeo podemos observar los conceptos generales de distribuciones en el muestreo.

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En la siguiente escena puedes observar como se distribuyen las medias muestrales. Puedes manipular el control <<Tamaño muestral>> y observar como influye en el reagrupamiento o dispersión de datos en la distribución normal. Para el caso en que la población de partida no sea normal, puedes observar las escenas finales del siguiente epígrafe, (Teorema central del límite).

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En el siguiente vídeo podemos observar Una clase sobre teorema central del límite.

En las siguientes escenas puedes comprobar la tesis del teorema central del límite en tres casos de distribuciónes de partida. El primer caso sobre una población de partida normal, el segundo con una distribución de partida no normal sesgada a la derecha y en el tercer caso partiendo de una distribución uniforme.
Comprueba como a medida que se aumenta el  control tamaño muestral y se afina la partición, la tendencia hacia la normalidad de la distribución de las medias muestrales.

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Teorema central del límite en una distribución de partida no normal, sesgada a la derecha

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7.6. Problemas resueltos

A continuación tienes el enunciado de diferentes problemas. Trabájalos y una vez los hayas resuelto puedes hacer clic sobre el botón para ver la solución.

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8.1 Introducción

En la unidad anterior,(teoría del muestreo), se obtenía información de los estadísticos, (fundamentalmente media, proporcion y desviación típica), obtenidos en las muestras extraídas al azar de poblaciones cuyos parámetros eran conocidos considerando a equellos como variables aleatorias. En este sentido eran estudiadas las distribuciones en el muestreo de las medias muestrales o las proporciones muestrales a partir de la media poblacional y la proporción poblacional.

Sin embargo lo realmente interesante es el proceso contrario; esto es, pretender conocer información, en la medida de lo posible, de ciertos parámetros de la población (desconocidos) a partir de la información que proporcionan los estadísticos de muestras extraídas de forma aleatoria.

Por ejemplo: deseamos conocer la proporción de personas de la ciudad de Barcelona (6 millones de habitantes) que utilizan habitualmente internet. Para ello realizamos una encuesta sobre 1200 habitantes elegidos aleatoriamente en los que resultó que el 75% de ellos sí usaban con frecuencia internet. Podríamos inferir por tanto como una primera aproximación del parámetro poblacional buscado, el valor del estadístico que se ha obtenido en la muestra. Por tanto podemos decir que hemos estimado el parámetro proporción poblacional de manera puntual por el valor del estadístico proporción obtenido en la muestra.

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En los estudios estadísticos se pueden utilizar diferentes estimadores para un mismo parámetro. Dos de las características principales que poseen los estimadores son el sesgo y la eficiencia.

• Un estimador se denomina insesgado o centrado, si su media coincide con el valor del parámetro poblacional que se va a estimar
• Un estimador se dice eficiente cuando su varianza es mínima

Por ejemplo, para estimar una media poblacional se pueden elegir entre los estadísticos: media aritmética muestral, mediana muestral o moda muestral. La pregunta que nos haríamos es cuál de ellos sería el “mejor”. Tanto la media muestral como la mediana muestral son estimadores insesgados, sin embargo, la varianza de la media muestral es menor que la de la mediana muestral. Los estimadores centrados o insesgados más precisos son aquellos que tienen menor desviación típica.
Existe toda una teoría en estadística que aborda el tema de la estimación puntual y que excede los objetivos de este estudio. Nuestro objetivo se centra en otro tipo de estimación. La estimación por intervalos.

Supongamos que para realizar una estimación de un parámetro poblacional, un profesor encarga la tarea a un grupo de diez alumnos. Estos a su vez seleccionan diez muestras aleatorias sobre las que calculan los correspondientes estadísticos muestrales. Evidentemente estos estadísticos no tienen por qué coincidir. Nuestro problema consiste ahora en elegir de entre los diez el que “creamos” mejor como estimador del parámetro poblacional. ¿Cómo actuamos?¿Cuál elegimos?
La estimación puntual es poco útil como aproximación del parámetro poblacional que se desea estimar ya que solamente proporciona un valor concreto, el cual además varía con cada elección de la muestra. Desde el punto de vista estadístico, es mucho más interesante no concretar un valor sino obtener un intervalo dentro del cuál se tiene cierta confianza de que se encuentre el parámetro poblacional desconocido y objeto principal de nuestra estimación.

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• Nivel de significación o de riesgo: Es la diferencia entre la certeza y el nivel de confianza deseado, es decir
  
  
• Valor crítico: Es el valor de la abscisa que deja a su derecha un área igual a la mitad del nivel de significación. Se representa habitualmente mediante
  
  
  
• Margen de error: Es la diferencia entre los extremos superior e inferior de un intervalo de confianza.
• Error máximo admisible: Radio del intervalo de confianza
  

8.3. Intervalos de confianza

La idea global de la estimación mediante un intervalo de confianza es la siguiente. Supongamos que quiero estimar un parámetro poblacional, generalmente la media poblacional o la proporción poblacional desconocidos ambos. La población global es inabordable por diversos motivos logísticos, por ejemplo puede ser muy numerosa o que económicamente el proceso sea muy caro. Consideramos por tanto la extracción de una muestra aleatoria, por ahora que creamos lo suficientemente grande como para que los parámetros obtenidos en dicha muestra sean parecidos a lo que debería ocurrir en la población. Un intervalo de confianza es considerar dos valores de manera que se tenga cierto nivel de certeza (confianza) de que el verdadero valor del parámetro poblacional se encuentre entre los que determinan nuestro intervalo.

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83.1. Intervalo de confianza para la proporción poblacional

Supongamos una población en la que queremos estimar la proporción “p” desconocida (por ejemplo la proporción de personas que van al cine habitualmente en una determinada ciudad). Supongamos también que extraemos una muestra aleatoria simple de tamaño “n” en la que obtenemos un valor concreto para la proporción, llamémosle

Sabemos que la distribución en el muestreo de las proporciones muestrales, sigue una normal de parámetros

en los casos en que se cumplan las hipótesis sobre normalidad que estipula el teorema de Moivre. Esto quiere decir que si tipificamos

Si queremos calcular los valores

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De forma más o menos intuitiva podemos decir que:

EJEMPLO:En una muestra de 100 personas extraida de una población, 20 de ellas son portadoras de cierta enfermedad. Estima un intervalo de confianza a un nivel del 95% para la proporción de personas portadoras de la enfermedad.

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Intervalos de confianza, estimación de una proporción poblacional

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Simplemente mirando y deduciendo en la tabla de la normal N(0,1)

EJEMPLO RESUELTO: En una muestra de 400 bolsas de frutos secos de los que habitualmente se venden en el mercado, se obtuvo que el peso medio de las mismas fue de 102 gramos. Se sabe de otros estudios que la desviación típica poblacional del peso de este tipo de artículo es de 2 gramos. Estima un intervalo de confianza a un nivel del 90% para la media poblacional del peso de la bolsa de frutos secos.

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En la siguiente escena puedes observar cómo los intervalos de confianza que se calculan van cubriendo o no a la verdadera media poblacional. Puedes cambiar el tamaño de la muestra y el nivel de confianza modificando los respectivos controles.

Intervalos de confianza, estimación de media poblacional

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Ampliar

Razonando de la misma forma que en el caso anterior, una vez hecha la sustitución de:

En esta distribución pueden calcularse los valores que encierran una probabilidad de

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En la siguiente escena al pulsar <<genera muestra>> se selecciona una muestra aleatoria de la población tomando como parámetros el tamaño y nivel de confianza indicados en los campos de texto así etiquetados y se dibuja el intervalo de confianza indicando sus extremos. Si se cambia el tamaño de la muestra, ésta es completamente nueva y consecuentemente se observa como el intervalo cambia significativamente. Si lo que cambiamos es el nivel de confianza la muestra no varía y lo que acontece es una ligera variación en la longitud del intervalo, los cambios son menos significativos.

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8.4. Error máximo admisible

Vamos a imaginarnos un juego. Supongamos que hay situada una linea en el suelo que se encuentra a cierta distancia de nosotros. El juego consiste en lanzar un palo que puede ser de disitintas longitudes y tratar de que alguna de las partes de nuestro palito toque a la línea dibujada en el suelo.

Por lógica mientras más pequeño sea el palo que lanzamos más difícil será tocar la línea y al contrario, con uno más largo la dificultad será menor. Evidentemente los jugadores mejores en este juego necesitarán un longitud de palo más pequeño que los peores. Las reglas del juego deben fijar por tanto una longitud máxima para los palitos, algo parecido a lo que en intervalos de confianza llamaremos error máximo admisible.

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Para el caso del tamaño muestral, al estar en un denominador, cuando aumenta disminuye el radio del intervalo. por tanto ganamos precisión.

En la siguiente escena puedes observar como varía el error máximo admisible, es decir el radio del intervalo y por tanto la longitud del mismo cuando cambiamos los controles correspondientes al nivel de confianza y al tamaño de las muestras consideradas. Puedes plantearte varias situaciones y extraer tus propias conclusiones.

340

8.4.2. Error máximo admisible (media poblacional)

El intervalo de confianza para el caso de la estimación de una media poblacional es un entorno centrado en la media muestral y cuyo radio depende fundamentalmente de el valor crítico asociado al nivel de confianza y del tamaño de la muestra considerada.

Se denomina error máximo admisible al valor de este radio; esto es:

• Para el caso de desviación típica poblacional conocida:
  
  
  
• Para el caso de desviación típica poblacional desconocida:
  
  
  

De la expresión anterior se deduce fácilmente que al aumentar el nivel de confianza, aumentan también los valores críticos asociados y por tanto el radio del intervalo. Por tanto puede decirse que perdemos precisión en la estimación cuando intentamos aumentar la fiabilidad.

Para el caso del tamaño muestral, al estar en un denominador, cuando aumenta disminuye el radio del intervalo. Por tanto ganamos precisión.

342

Intervalo de confianza para la media poblacional Conocida la desviación típica de la población

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8.5.1. Tamaño muestral para la proporción

Como ya se ha mencionado antes, una pregunta interesante de investigar sería cuál tiene que ser el tamaño de la muestra que se debería considerar para que el intervalo de confianza de una proporción cumpliera determinadas condiciones de amplitud. Por ejemplo:

• Supongamos que se quiere estimar la proporción de individuos de una ciudad que tienen más de 60 años. Para realizar el trabajo debemos seleccionar de forma aleatoria una muestra de tamaño "n". La pregunta que nos hacemos es cuál debe ser el valor mínimo de muestra que debe considerarse para garantizar que con un nivel de con fianza del 95% el error de estimación, radio de nuestro intervalo de confianza, no supere el 2%. Como en este caso no disponemos de información alguna sobre posibles valores aproximados de proporción, debemos suponer el caso más desfavorable que sería p = 0,5.
• Supongamos que tenemos un dado ligeramente cargado del que sospechamos que la proporción de salir cinco es 2/6. ¿Cuántas veces debemos lanzarlo y anotar el resultado para que con un nivel de confianza del 99% el error de nuestra estimación no supere el 5%?

Existen otras muchas situaciones en las que es importante la localización de un tamaño muestral mínimo a partir del cual se cumplan determinadas condiciones en nuestra estimación.

De la propia formulación del intervalo se observa que el tamaño que debe exigirse para una muestra depende fundamentalmente del nivel de confianza que se desee para los resultados y de la amplitud del intervalo de confianza, (error máximo), que se esté dispuesto a admitir.

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Llegamos a la siguiente expresión para el tamaño mínimo de muestra en el caso de estimación de una proporción

Por ejemplo, los dos ejemplos planteados al inicio de esta sección se resolverían directamente aplicando la fórmula anterior:

En la siguiente escena puedes calcular diversos tamaños muestrales variando los controles correspondientes al nivel de confianza, al error máximo admisible y para utilizar también en posibles ejercicios prácticos, para distintas proporciones.

La escena también dispone de la posibilidad de ver el cálculo de los valores críticos asociados al nivel de confianza y también del cálculo práctico de distintos casos de intervalos de confianza para que observes como en la práctica se cumple la acotación del error máximo admisible.

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8.5.1. Tamaño muestral mínimo para la estimación de la media.

Consideremos dos nuevas situaciones:

• Se conoce de estudios anteriores, que el tiempo de reacción de los conductores se distribuye de forma normal con una desviación típica de 0,045 segundos. Si se quiere estimar el tiempo de reacción medio con un error máximo admisible de 0,01 segundos con un nivel de confianza del 90% . ¿Qué tamaño mínimo debería tener la muestra aleatoria sobre la que tendríamos que trabajar?
• Las notas de selectividad de una signatura se distribuyen de forma normal con una desviación típica de 0,45. Supongamos que después de realizar un intervalo de confianza para estimar la nota media en selectividad de los alumnos de una ciudad se obtuvo que este intervalo era (6,975, 7,875) con un nivel de confianza del 95%. Si consideramos que el margen de error del intervalo es demasiado grande y nos interesaría reducirlo a la mitad. ¿Cuántos individuos debería tener la nueva muestra aleatoria aleatoria para reducir a la mitad el error máximo admisible manteniendo el mismo nivel de confianza?

Estas situaciones y otras muchas que se podrían plantear conducen al cálculo de un tamaño mínimo de muestra a partir del cual se cumplan determinadas condiciones en nuestra estimación de un parámetro poblacional como la media.

De la propia formulación del intervalo se observa que el tamaño que debe exigirse para una muestra depende fundamentalmente del nivel de confianza que se desee para los resultados, de la amplitud del intervalo de confianza o error máximo que se esté dispuesto a admitir y de la desviación típica poblacional o de la cuasi-desviación típica de la muestra en caso de que no se conozca aquella. Fijados estos, simplemente despejando algebraicamente en las fórmulas, podemos calcular el tamaño mínimo de la muestra que debe utilizarse para cumplir con las premisas estipuladas.

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Deduciendo de la fórmula correspondiente al error máximo admisible en el caso de la estimación de media poblacional con deviación típica poblacional desconocida:

Llegamos a la siguiente expresión para el tamaño mínimo de muestra en el caso de estimación de una media poblacional con desviación típica poblacional desconocida

La solución a cada uno de los dos ejemplos planteados al inicio de esta sección sería:

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354

8.6. Formulario resumen

El tema de la estimación mediante intervalos de confianza tiene un recorrido práctico muy diverso. Fundamentalmente se trata de ejercicios de carácter muy técnico y que en la mayoría de los casos pasa por la utilización de una fórmula concreta y directa. Es bueno disponer por tanto de un formulario resumen y sencillo al que acudir cuando se tiene alguna duda en cuanto a la fórmula a utilizar o en la expresión de la misma.

El siguiente cuadro resume todo el tema. Se han sombreado en color rosa las dos fórmulas fundamentales y en verde las que se deducen de las fundamentales.

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Créditos del capítulo

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9.1. Introducción.

• Hace ya algunos años, (década de los ochenta), se decía que la estatura media de los jóvenes españoles de entre 20 y 21 años era de 172 cm. Los datos se extraían de las tallas que se obtenían de los entonces llamados “quintos”, jóvenes que ingresarían en el ejército para cumplir el servicio militar obligatorio. Sin embargo hoy en día, siglo XXI, se observa en cualquier muestra como en una cola de un cine, en un supermercado, en uan clase de bachillerato o en una fiesta que los jóvenes parecen significativamente más altos, con lo que deberíamos revisar el parámetro media poblacional, ya que seguramente habrá cambiado. REVISAR LA HIPÓTESIS DE QUE LA MEDIA DE LOS JÓVENES ESPAÑOLES ES DE 172 CM.
• En cierta ciudad se observó que el 70% de la población era favorable a que una determinada persona ejerciera como alcalde de la misma. Después de varios años de controvertida gestión el descontento es evidente y parece lógico revisar el porcentaje de aceptación. REVISAR LA HIPÓTESIS DE QUE LA PROPORCIÓN DE GENTE FAVORABLE AL ALCALDE SE MANTIENE EN EL 70%.

Para decidir si cierta información relativa a un parámetro poblacional se puede considerar como cierta, en estadística se suelen utilizar los contrastes de hipótesis. Un contraste de hipótesis proporcionará unos criterios universales para valorar si la hipótesis que planteamos es cierta.

IDEA SOBRE UNA REGLA DE DECISIÓN

Cualquier persona a lo largo de su vida utiliza reglas de decisión ante situaciones concretas. Incluso esas reglas a veces son irracionales e incluso disparatadas.

• Para saber si me irá bien con la decisión tomada consulto con un adivino y su bola de cristal.

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En estadística para decidir sobre dos situaciones competitivas, complementarias y excluyentes recurriremos al procedimiento conocido por el nombre de Contraste de Hipótesis.

Un ejemplo sencillo. Pensemos en una moneda de la que sospechamos sobre su autenticidad. A simple vista no se diferencia en nada de una auténtica. Podríamos realizar la experiencia de lanzar al aire dicha moneda y contabilizar el número de caras o cruces que se obtienen. Nuestra experiencia nos dice que la probabilidad de obtener cara en una moneda normal es 0,5, pero, ¿y si sospechamos que no es así? Evidentemente en este caso la probabilidad de que salga cara deberá de ser muy diferente a 0,5. Al primer planteamiento, suponer que la probabilidad de que salga cara es 0,5 , le llamamos hipótesis nula (H0 ) y al segundo planteamiento, hipótesis alternativa (H1).

Para aceptar o rechazar una de las hipótesis, necesitamos realizar un experimento y establecer unas reglas que nos ayuden a decidir si se acepta (H0 ) o no. En el ejemplo de la moneda, el experimento podría ser lanzar la moneda 15 veces y observar los resultados. Las reglas tendrán en cuenta el posible error asociado a cada decisión y dependerán de los riesgos que estemos dispuestos a asumir. Un ejemplo de regla de decisión conservadora:

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Por ejemplo:

• Sospechamos que las bolsas de frutos secos de 100 gramos, realmente no pesan 100 gramos. Para contrastar esta hipótesis planteariamos:
  
  
• Pensamos que la proporción de gente que votó al partido A en las elecciones (35%) ahora es inferior ya que no lo han hecho muy bien. Para contrastar esta hipótesis:
  
  
• Estaría contento de comprobar que no pueden demostrar que mi media de notas ha bajado de 7,785 como parecen indicar los últimos exámenes. Para contrastar esta hipótesis:
  
  

Normalmente cuando queremos plantear las hipótesis de una determinada situación debemos tener en cuenta que aquello que queramos demostrar irá siempre a la hipótesis alternativa ya que el error que cometemos cuando rechazamos H0  lo podemos medir (está fijado de antemano por el nivel de significación).

Piensa en los ambientes judiciales. La labor del fiscal pasa por demostrar que alguien ha cometido un delito. Es decir que trabajaría como hipótesis alternativa.

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• Unilateral derecho: llamamos contraste unilateral derecho a aquél en el que la hipótesis nula se formula en términos de menor o igual y la alternativa en términos de mayor. En estos casos la región de aceptación sería el área que deja a su izquierda el valor crítico que previamente determina el nivel de significación.
  
• Unilateral izquierdo: llamamos contraste unilateral izquierdo a aquél en el que la hipótesis nula se formula en términos de mayor o igual y la alternativa en términos de menor. En estos casos la región de aceptación sería el área que deja a su derecha el valor crítico que previamente determina el nivel de significación.
  

En los ejemplos planteados al principio, el primero sería un contraste bilateral, el segundo y tercero unilaterales izquierdos.

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2. Elección del estadístico de contraste ( en nuestro caso media o proporción muestral).
   
   Algunos autores prefieren considerar intervalos de confianza o semirectas de confianza para los parámetros a contrastar e investigar, es deci, si los valores obtenidos en las muestras están o no en dichos intervalos (semirectas), pero nosotros vamos a definir unos estadísticos que simplemente proceden de la tipificación de variables en el muestreo cuyas distribuciones son perfectamente conocidas y que por tanto al tipificarse seguirán una distribución normal de media cero y desviación típica uno. Una vez calculado el valor de estos estadísticos se observará si quedan dentro o fuera de las regiones determinadas (según sea el tipo de contraste) por el nivel de significación.
   
• Estadístico de contraste para el caso de una proporción.
  
  
  
  
  
  
• Estadístico de contraste para el caso de ua media con desviación típica poblacional conocida.
  
  
  
  
  
  

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La escena te lo proporciona directamente aunque te recomendamos que utilices la tabla de la normal y después compares tus resultados con los que ofrece la escena.

• Región de aceptación y rechazo en un contraste unilateral derecho
  
  A partir del nivel de significación y haciendo uso de la tabla de la normal cero uno, a través de la estrategia conveniente se puede localizar el valor crítico, que deja a su derecha una probabilidad igual al nivel de significación de la misma forma que se hizo en el tema de la distribución normal.
  

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• Región de aceptación y rechazo en un contraste unilateral izquierdo.
  
  A partir del nivel de significación y haciendo uso de la tabla de la normal cero uno, a través de la estrategia conveniente se puede localizar el valor crítico, que deja a su izquierda una probabilidad igual al nivel de significación de la misma forma que se hizo en el tema de la distribución normal.
  
  
  
  
  En la siguiente escena puedes practicar con la localización de la región crítica en contrastes bilaterales. La escena te lo proporciona directamente aunque te recomendamos que utilices la tabla de la normal y después compares tus resultados con los que ofrece la escena.

374

  El valor en este caso del estadístico de contraste sería:

5. Aceptación o rechazo de la hipótesis nula
   
   La aceptación o rechazo de la hipótesis nula depende de si el valor del estadístico de contraste calculado en nuestra muestra está dento o fuera de la zona de aceptación.
   
   

6. Interpretación de la decisión tomada.
   
   Existen muchas formas de redactar las conclusiones a las que se llega cuando aceptamos o rechazamos la hipótesis nula en un contraste. Aquí sugerimos una muy sencilla.
• Para el caso de aceptación de la hipótesis nula.
  Simplemente decir que: "A partir de los datos estadísticos obtenidos en la muestra, se acepta con un nivel de significación (...) aquello que diga la hipótesis nula" o también "A partir de los datos estadísticos obtenidos en la muestra no existen evidencias estadísticamente significativas a nivel (...) que permitan afirmar o demostrar aquello que diga la hipótesis alternativa".
  

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El valor de la media muestral 128 sí está dentro del intervalo (región de aceptación)

El aceptar la hipótesis nula significa que puede aceptarse que el precio medio de los billetes es de 120 euros. No hay indicios suficientes para decir que no sea cierto que la media de los billetes sea de 120 euros y que las diferencias obtenidas con nuestra muestra pueden considerarse debidas al azar.

Para terminar este epígrafe, observa los siguientes vídeos.

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9.3.1. Contraste de hipótesis para una proporción.

Vamos a partir de un ejemplo: Se conoce que el 75% de los alumnos de un centro de enseñanza realizan correctamente un test psicotécnico que lleva utilizándose mucho tiempo. Para tratar de mejorar este resultado, se modificó la redacción del test, y se propuso para realizar el experimento a un grupo de 120 alumnos de ese centro, elegidos al azar. De los 120 alumnos a los que se le pasó el nuevo test, lo realizaron correctamente 107. ¿Podemos afirmar que la nueva redacción del test ha aumentado la proporción de respuestas correctas, a un nivel de significación = 0,025?

La pregunta que se hace en el problema anterior, está formulada en términos de se puede "afirmar o demostrar", por tanto esto lo llevaremos a la hipótesis alternativa. es decir el planteamiento de contraste que consideramos idóneo para esta situación sería:

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En las siguientes escenas se ofrece una esquematización de los pasos a dar en un contraste de hipótesis para una proporción para los casos de contraste bilateral, unilateral derecho o unilateral izquierdo. En dichas escenas se pueden variar si se quiere manualmente los controles correspondientes a la proporción y al nivel de significación. Puedes practicar tanto como desees. Es recomendable observar lo que ocurre con un contraste de una proporción para distintos niveles de significación.

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Contraste de hipótesis unilateral derecho para una proporción

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9.3.2. Contraste de hipótesis de una media

Existen muchas situaciones en las que se pretende dilucidar si el parámetro media poblacional ha cambiado por algún motivo ocasional o inducido. En estadística inferencial el barómetro universal que cuantifica si el cambio observado es fruto de las fluctuaciones propias del azar o bien se trata de un cambio mucho más importante o significativo es el contraste de hipótesis para la media. Partamos de un ejemplo:

Con el fín de aumentar el consumo medio de los clientes, unos grandes almacenes deciden realizar una campaña de publicidad. La campaña consistirá en anuncios diarios en el periódico local y en la emisión de varias cuñas radiofónicas. Antes de la campaña, los datos de la gerencia del centro comercial reflejaban un consumo medio por cliente y día de 23,75 euros con una desviación típica poblacional de 4,875 euros. Después de la campaña se escogió una muestra aleatoria de 121 clientes obteniéndose una media muestral de 25,34 euros. ¿Puede afirmarse con un nivel de significación del 4,5% que la campaña ha sido efectiva y que el consumo medio efectivamente ha aumentado?

De nuevo en la pregunta que se hace se menciona la palabra "afirmar o demostrar", por tanto, aquello que queremos demostrar lo llevamos a la hipótesis alternativa.

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En la siguiente tabla se resumen de forma muy concisa toda la formulación necesaria para la realización de un problema de cualquier tipo de contraste para una media.

En las siguientes escenas se ofrece una esquematización de los pasos a dar en un contraste de hipótesis para una media en los s casos de contraste bilateral, unilateral derecho o unilateral izquierdo. En dichas escenas se pueden variar si se quiere manualmente los controles correspondientes a la media, al nivel de significación y también se puede elegir en el menú de opciones los casos de desviación típica poblacional conocida o desconocida.

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Contraste de hipótesis unilateral derecho para la media

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Contraste de hipótesis unilateral izquierdo para la media

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9.4. Error en un contraste de hipótesis.

Todo lo que tiene relación con la Estadística Inferencial está acompañado de forma natural por el error. En los contrastes de hipótesis esto se pone mucho más de manifiesto ya que debemos elegir entre dos proposiciones antagónicas a partir de los datos que se reflejan en una determinada muestra aleatoria. Asumiendo que la elección está en gran parte supeditada a estos valores concretos escogidos de una muestra específica, el error se antoja como algo natural y por tanto consustancial al propio proceso del contraste de hipótesis. Puesto que el error es protagonista irrenunciable, aprendamos a convivir con él, estudiarlo, acotarlo y por supuesto utilizarlo.

Lo primero de lo que podemos darnos cuenta es que existen dos tipos de errores que pueden ocurrir en el contraste y que uno de ellos es más fácil de manejar que el otro. Pensemos en el ejemplo de la moneda que no sabemos si está cargada o no. Si la prueba que realizamos para comprobar si esta moneda es buena o no es realizar por ejemplo 10 lanzamientos y nuestra regla de decisión es que si salen entre 1 y 9 caras la consideramos buena y si por el contrario salen 0 caras o 10 caras la consideramos cargada. pensemos en lo que puede ocurrir.

• Una moneda buena la lanzo 10 veces y sí existe la posibilidad de que me salgan 0 caras o 10 caras. Por tanto hay posibilidad de considerar cargada una moneda buena. Ahora bien; la probabilidad de que eso ocurra se puede calcular perfectamente mediante un ejercicio muy simple con una binomial B(10 ; 0.5). Estamos controlando pues el error que se comete. Por cierto ¿cuál es la probabilidad de que al lanzar una moneda normal me salgan 0 caras o 10 caras?
• Una moneda cargada que lanzamos al aire tiene bastante probabilidad de que los resultados obtenidos estén en el margen de 1 y 9 caras de nuestra regla de decisión y que por tanto nuestra prueba no la detecte como mala.

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En la siguiente tabla se resumen todas las situaciones y errores posibles al realizar una prueba de contraste de hipótesis.

9.4.1. Error tipo I. (error alfa)

Como ya se ha mencionado antes, el error tipo I se comete cuando rechazamos la hipótesis nula pero en realidad no tendríamos que haberlo hecho puesto que era cierta. La probabilidad de que esto ocurra es el nivel de significación. Este valor lo podemos controlar de antemano puesto que aparece en las premisas del contraste. Es interesante de que sea un valor pequeño y que a su vez lleve a un equilibrio de todo el proceso, puesto que un valor exageradamente pequeño de este nivel de significación conducirá prácticamente siempre al mismo resultado de aceptación de hipótesis nula del contraste.

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• Cuando el problema pide explícitamente que seamos nosotros quienes planteemos las hipótesis, para decidir qué poner en H0 y qué en H1, se pueden tener en cuenta las siguientes indicaciones:
  
• En H1 siempre debemos colocar lo que realmente queremos investigar con seguridad o demostrar ya que, repetimos que el error α, el que fijamos de antemano se controla y se comete cuando optamos por H1 y nos equivocamos.
  
• También por convenio, en la hipótesis H0 los signos siempre deben ser : = (igual) o ≤ (menor o igual que) o ≥ (mayor o igual que).
  
• En caso de duda, siempre elegir un test con dos colas, sólo cuando el planteamiento es muy claro se elige un test de una cola.

En las siguientes escenas puedes aclararte un poco con el concepto de error tipo I. Hay una escena por cada tipo de contraste, bilateral, unilateral izquierdo y unilateral derecho. Puedes cambiar los controles con los valores que desees. Trata de interpretar las distintas situaciones que van apareciendo. Quizás el control más determinante sea el de las "medias muestrales". A medida que este control aumenta o disminuye, el valor del estadístico "z" sale o entra en la región crítica. Observa también que la imagen que aparece pequeña en la parte superior derecha de la escena, cambia en el momento en el que "z" sale o entra en la región crítica. Intenta dar una explicación a dicho cambio.

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Situación general de error tipo I en contraste unilateral izquierdo

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9.4.2. Error tipo II. (error beta)

Cuando no se rechaza H0, siendo falsa, se puede cometer el error denominado error tipo II. (también denominado error beta). Pero ¿cuál es beta? De hecho, sería una información ciertamente relevante poder comunicar en un estudio de contraste el valor de este tipo de error. En los paquetes estadísticos no se da información de este error ya que sería necesario concretar el valor de H1. Sin embargo si que se puede especular un poco con el error tipo II haciendo alguna suposición más o menos dirigida.

Supongamos que queremos demostrar que la edad media de los asistentes a cierto concierto es más de  18 años con un nivel de significación del 4,5%. Se sabe que la desviación típica poblacional es 3,6 años. Para ello se consideró una muestra de 36 individuos para la que se obtuvo una media de 19.

Planteando el problema, se tendrá:

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La siguiente imagen ilustra la situación típica para el error de tipo II

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Situación general de error tipo II en contraste unilateral izquierdo

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9.5. Problemas resueltos

A continuación tienes el enunciado de diferentes problemas. Trabájalos y una vez los hayas resuelto puedes hacer clic sobre el botón para ver la solución.

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Bibliografía

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Calot, G. (1974). Curso de Estadística Descriptiva. Madrid: Ed. Paraninfo.

García Pérez A. (1992). Estadística Aplicada: conceptos básicos. Madrid: Ed. Universidad Nacional de Educación a Distancia.

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Taylor, S.J. & Bogdan, R. (1987) Introducción a los métodos cualitativos de investigación. Barcelona: Ed. Paidós, SAICF.

Tucker, H. (1966) Introducción a la teoría matemática de las probabilidades y a la estadística. Ed. Vicens Vives.

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