FÍSICA
VOLUMEN III
INTERACTIVO

Juan Guillermo Rivera Berrío
Institución Universitaria Pascual Bravo

Obra derivada del libro

University Physics
Volumen III

Samuel J. Ling
Truman State University

Jeff Sanny
Loyola Marymount University

Bill Moebs

Fondo Editorial Pascual Bravo

Medellín

Tabla de contenido

1. Temperatura y calor13

Introducción15

1.1 Temperatura y equilibrio térmico16

1.2 Termómetros y escalas de temperatura18

1.3 Expansión térmica25

1.4 Transferencia de calor, calor específico y calorimetría38

1.5 Cambios de fase57

1.6 Mecanismos de transferencia de calor75

1.7 Preguntas y respuestas - Capítulo I119

2. La teoría cinética de los gases121

Introducción123

2.1 Modelo molecular de un gas ideal124

2.2 Presión, temperatura y velocidad RMS150

2.3 Capacidad de calor y equipartición de energía173

2.4 Distribución de velocidades moleculares 185

2.5 Preguntas y respuestas - Capítulo II195

3. La primera ley de la termodinámica197

Introducción199

3.1 Sistemas termodinámicos200

3.2 Trabajo, calor y energía interna205

3.3 Primera ley de la termodinámica215

3.4 Procesos termodinámicos229

3.5 Capacidades de calor de un gas ideal239

iii

6.1 Flujo eléctrico416

6.2 Explicando la ley de Gauss435

6.3 Aplicación de la ley de Gauss448

6.4 Conductores en equilibrio electrostático477

6.5 Preguntas y respuestas - Capítulo VI 495

7. Potencial eléctrico497

Introducción499

7.1 Energía potencial eléctrica500

7.2 Potencial eléctrico y diferencia de potencial517

7.3 Cálculos del potencial eléctrico543

7.4 Determinación del campo del potencial568

7.5 Superficies equipotenciales y conductores575

7.6 Aplicaciones de la Electrostática597

7.7 Preguntas y respuestas - Capítulo VII607

8. Capacitancia609

Introducción611

8.1 Condensadores y capacitancia612

8.2 Condensadores en serie y en paralelo635

8.3 Energía almacenada en un condensador649

8.4 Condensador con un dieléctrico656

8.5 Modelo molecular de un dieléctrico663

8.6 Preguntas y respuestas - Capítulo VIII677

9. Corriente y resistencia679

Introducción681

v

Prefacio

Este libro digital interactivo se ha diseñado con fundamento en la filosofía del Proyecto Descartes: "Trabajando altruistamente por la comunidad educativa de la aldea global", que sólo busca desarrollar contenidos educativos para el provecho de la comunidad académica, esperando únicamente como retribución el uso y difusión de estos contenidos. El contenido del libro, al igual que los objetos interactivos se han diseñado de tal forma que se puedan leer en ordenadores y dispositivos móviles sin necesidad de instalar ningún programa o plugin. El libro se puede descargar para su uso en local sin dependencia con la red, a excepción de los ocho vídeos incluidos en el texto. Algunos de los objetos interactivos se han diseñado con el Editor DescartesJS.

El contenido del libro se basa en un recurso de OpenStax, organización sin fines de lucro de la Universidad de Rice, cuya misión, similar a la nuestra, es mejorar el acceso de los estudiantes a la educación. El libro ha sido desarrollado para cumplir con el alcance y la secuencia de la mayoría de los cursos de física universitarios y proporciona una base para una carrera en matemáticas, ciencias o ingeniería.

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El texto original, desarrollado por Ling, Sanny y Moebs, ha sido publicado en versiones html y pdf. Esta nueva versión, diseñada por Rivera, presenta las siguientes aportaciones: traducción al español, diseño en formato flipbook, incorporación de 48 objetos interactivos de aprendizaje, 31 de ellos diseñados con el editor DescartesJS. Para evitar, al máximo, la dependencia con la conectividad en la red, las expresiones matemáticas se han construido recurriendo al diseño de algunas clases en la hoja de estilos (style.css) y, en algunos casos, al editor DescartesJS.

Se ha conservado la propuesta pedagógica en los ejemplos presentados en cada uno de los capítulos, los cuales incluyen: formulación del problema, estrategia de solución, solución, explicación o sentido de los resultados obtenidos y, en la mayoría de los ejemplos, un problema propuesto, denominado "Comprueba tu aprendizaje". Al final de cada capítulo se han incluido tanto los problemas propuestos como las respuestas.

Evaluaciones que refuerzan conceptos clave

Los ejemplos del capítulo generalmente siguen un formato de tres partes de Estrategia, Solución y Significado para enfatizar cómo abordar un problema, cómo trabajar con las ecuaciones y cómo verificar y generalizar el resultado. Los ejemplos son a menudo seguidos por las preguntas y respuestas de "Comprueba tu aprendizaje" para ayudar a reforzar a los estudiantes las ideas importantes de los ejemplos. Las estrategias de resolución de problemas en cada capítulo desglosan los métodos para abordar diversos tipos de problemas en pasos que los estudiantes pueden seguir para obtener orientación. El libro también incluye ejercicios al final de cada capítulo para que los estudiantes puedan practicar lo que aprendieron. Las preguntas conceptuales no requieren cálculos, pero evalúan el aprendizaje de los conceptos clave por parte del alumno. Los problemas clasificados por sección evalúan las habilidades de resolución de problemas del estudiante y la capacidad de aplicar ideas a la práctica.

Capítulo i

Temperatura y calor

1. Temperatura y calor

Introducción

Figura 1.1 Estos rastreadores de nieve en Mount Hood (Oregón) están disfrutando el flujo de calor y la luz causada por la alta temperatura. Los tres mecanismos de transferencia de calor son relevantes para esta imagen. El calor que fluye del fuego también convierte la nieve sólida en agua y vapor (crédito: modificación del trabajo por "Mt. Hood Territory" / Flickr).

El calor y la temperatura son conceptos importantes para cada uno de nosotros, todos los días. Cómo nos vestimos por la mañana depende de si el día está frío o caliente, y la mayoría de lo que hacemos requiere energía que en última instancia proviene del sol. El estudio del calor y la temperatura es parte de un área de la física conocida como termodinámica. Las leyes de la termodinámica rigen el flujo de energía en todo el universo. Se estudian en todas las áreas de la ciencia y la ingeniería, desde la química hasta la biología y la ciencia ambiental.

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Como veremos en detalle en el siguiente capítulo, la temperatura es proporcional a la energía cinética promedio de la traslación, un hecho que proporciona una definición más física. Las diferencias de temperatura mantienen la transferencia de calor en todo el universo. La transferencia de calor es el movimiento de energía de un lugar o material a otro como resultado de una diferencia de temperatura.

Equilibrio térmico

Un concepto importante relacionado con la temperatura es el equilibrio térmico. Dos objetos están en equilibrio térmico si están en contacto cercano que les permite obtener energía del otro, pero sin embargo, no se transfiere energía neta entre ellos. Incluso cuando no están en contacto, están en equilibrio térmico si, cuando se ponen en contacto, no se transfiere energía neta entre ellos. Si dos objetos permanecen en contacto durante un tiempo prolongado, normalmente llegan al equilibrio. En otras palabras, dos objetos en equilibrio térmico no intercambian energía.

Experimentalmente, si el objeto A está en equilibrio con el objeto B, y el objeto B está en equilibrio con el objeto C, entonces (como ya habrás adivinado) el objeto A está en equilibrio con el objeto C. Esa declaración de transitividad se llama ley zeroth de la termodinámica (El número "zeroth" o "cero-ésimo" fue sugerido por el físico británico Ralph Fowler en la década de 1930. La primera, segunda y tercera leyes de la termodinámica ya estaban nombradas y numeradas. La ley zeroth rara vez se había establecido, pero debe discutirse antes de la otros, así que Fowler le dio un número más pequeño). Considera el caso donde A es un termómetro. La ley zeroth nos dice que si A lee cierta temperatura cuando está en equilibrio con B, y luego se pone en contacto con C, no intercambiará energía con C; por lo tanto, su lectura de temperatura seguirá siendo la misma (Figura 1.2). En otras palabras, si dos objetos están en equilibrio térmico, tienen la misma temperatura.

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Por ejemplo, el volumen aumenta con la temperatura para la mayoría de las sustancias. Esta propiedad es la base para el termómetro de alcohol común y los termómetros originales de mercurio. Otras propiedades utilizadas para medir la temperatura incluyen la resistencia eléctrica, el color y la emisión de radiación infrarroja (Figura 1.3).

Figura 1.3 La variedad de termómetros es notable. (a) En este tipo común de termómetro, el alcohol, que contiene un tinte rojo, se expande más rápidamente que el vidrio que lo recubre. Cuando la temperatura del termómetro aumenta, el líquido del bulbo se introduce en el tubo estrecho, produciendo un gran cambio en la longitud de la columna para un pequeño cambio de temperatura. (b) Cada uno de los seis cuadrados en este termómetro de plástico (cristal líquido) contiene una película de un material diferente de cristal líquido sensible al calor. Por debajo de 95 °F, los seis cuadrados son negros. Cuando el termómetro de plástico está expuesto a una temperatura de 95 °F, el primer cuadrado de cristal líquido cambia de color. Cuando la temperatura alcanza más de 96.8 °F, el segundo cuadrado de cristal líquido también cambia de color, y así sucesivamente. (c) Un bombero usa un pirómetro para verificar la temperatura del sistema de ventilación de un portaaviones. El pirómetro mide la radiación infrarroja (cuya emisión varía con la temperatura) de la ventilación y produce rápidamente una lectura de temperatura. Los termómetros infrarrojos también se usan con frecuencia para medir la temperatura corporal colocándolos suavemente en el canal auditivo. Tales termómetros son más precisos que los termómetros de alcohol colocados debajo de la lengua o en la axila. (crédito b: modificación del trabajo de Tess Watson, crédito c: modificación del trabajo de Lamel J. Hinton.)

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Por lo tanto 0 K es cero absoluto. Los puntos de congelación y ebullición del agua son 273.15 K y 373.15 K, respectivamente. Por lo tanto, las diferencias de temperatura son las mismas en unidades de kelvins y grados Celsius, o ΔT_C = ΔT_K. Las relaciones entre las tres escalas de temperatura comunes se muestran en la Figura 1.4. Las temperaturas en estas escalas se pueden convertir usando las ecuaciones en la Tabla 1.1.

Figura 1.4 Se muestran las relaciones entre las escalas de temperatura Fahrenheit, Celsius y Kelvin. Los tamaños relativos de las escalas también se muestran.

Ejemplo 1.1

Conversión entre escalas de temperatura: temperatura ambiente

La "temperatura ambiente" que generalmente se define en física es de 25 °C. (a) ¿Cuál es la temperatura ambiente en °F? (b) ¿Cuál es en K?

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Del mismo modo, encontramos que T_K = T_C + 273.15 = 298K.

Existen otras escalas. En la siguiente escena interactiva, diseñada por José Luis San Emeterio Peña, vemos la equivalencia entre la escala Celsius y las escalas Fahrenheit (de uso extendido en los países anglosajones) y Réaumur (casi en desuso).

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1.3 Expansión térmica

La expansión del alcohol en un termómetro es uno de los muchos ejemplos comúnmente encontrados de expansión térmica, que es el cambio en el tamaño o el volumen de un sistema dado, a medida que cambia la temperatura. El ejemplo más visible es la expansión del aire caliente. Cuando el aire se calienta, se expande y se vuelve menos denso que el aire circundante, que luego ejerce una fuerza (hacia arriba) sobre el aire caliente y eleva el vapor y el humo, los globos de aire caliente flotan. El mismo comportamiento ocurre en todos los líquidos y gases, impulsando la transferencia de calor natural hacia arriba en los hogares, los océanos y los sistemas meteorológicos, como veremos en una próxima sección. Los sólidos también experimentan expansión térmica. Las vías y puentes ferroviarios, por ejemplo, tienen juntas de expansión que les permiten expandirse y contraerse libremente con los cambios de temperatura, como se muestra en la Figura 1.5.

Figura 1.5 (a) Juntas de dilatación térmica como estas en (b) Auckland Harbour Bridge en Nueva Zelanda permiten que los puentes cambien de longitud sin pandeo (crédito: modificación de obras por "ŠJů" / Wikimedia Commons).

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Nota que la barrera se mueve poco a poco a medida que presionas el botón, utiliza diferentes aberturas y observa que cuando es muy pequeña pero suficientemente grande para dejar que ciertas moléculas cambien de sección, el equilibrio térmico tardará en lograrse y que las moléculas con mayor rapidez tienen también mayor probabilidad de entrar a la sección con las moléculas de menor rapidez.

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Tabla 1.2 Coeficientes de expansión térmica

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Estrategia

Usa la ecuación para la expansión térmica lineal ΔL = αLΔT para calcular el cambio en la longitud, ΔL. Utiliza el coeficiente de expansión lineal α para el acero de la Tabla 1.2, y ten en cuenta que el cambio en la temperatura ΔT es de 55 °C.

Solución

Sustituye todos los valores conocidos en la ecuación para hallar ΔL:

ΔL = αLΔT = (12 × 10^-6 °C) (1275 m) (55 °C) = 0.84m.

Explicación

Aunque no es grande en comparación con la longitud del puente, este cambio de longitud es observable. Generalmente se extiende sobre muchas juntas de expansión, por lo que la expansión en cada unión es pequeña.

Expansión térmica en dos y tres dimensiones

Los objetos no restringidos se expanden en todas las dimensiones, como se ilustra en la Figura 1.7. Es decir, sus áreas y volúmenes, así como sus longitudes, aumentan con la temperatura. Debido a que las proporciones permanecen iguales, los agujeros y los volúmenes de los contenedores también aumentan con la temperatura. Si cortas un orificio en una placa de metal, el material restante se expandirá exactamente como lo haría si la pieza que retiras todavía estuviera en su lugar. La pieza se haría más grande, por lo que el agujero también debería agrandarse.

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Por lo tanto, la Tabla 1.2 muestra los valores de los líquidos de β pero no de α.

En general, los objetos se expanden al aumentar la temperatura. El agua es la excepción más importante a esta regla. El agua se expande al aumentar la temperatura (su densidad disminuye) a temperaturas superiores a 4 °C (40 °F). Sin embargo, es más denso a +4 °C y se expande con una temperatura decreciente entre + 4 °C y 0 °C (40 °F a 32 °F), como se muestra en la Figura 1.8. Un efecto sorprendente de este fenómeno es la congelación de agua en un estanque. Cuando el agua cerca de la superficie se enfría a 4 °C, es más densa que el agua restante y, por lo tanto, se hunde hasta el fondo. Esta "renovación" deja una capa de agua más caliente cerca de la superficie, que luego se enfría. Sin embargo, si la temperatura en la capa de superficie cae por debajo de 4 °C, esa agua es menos densa que el agua de abajo, y por lo tanto permanece cerca de la parte superior.

Como resultado, la superficie del estanque puede congelarse. La capa de hielo aísla el agua líquida debajo de ella de las bajas temperaturas del aire. Los peces y otras formas de vida acuática pueden sobrevivir en agua a 4 °C bajo el hielo, debido a esta característica inusual del agua.

33

Estrategia

El tanque y la gasolina aumentan de volumen, pero la gasolina aumenta más, por lo que la cantidad derramada es la diferencia en sus cambios de volumen. Podemos usar la ecuación para la expansión de volumen para calcular el cambio en el volumen de la gasolina y del tanque (El tanque de gasolina puede tratarse como acero sólido).

Solución

1. Usa la ecuación para la expansión de volumen para calcular el aumento en el volumen del tanque de acero:

   ΔV_s = β_sV_sΔT.

2. El aumento en el volumen de la gasolina está dado por esta ecuación:

ΔV_gas = β_gasV_gasΔT.

3. Encuentra la diferencia en el volumen para determinar la cantidad derramada

V_derramado = ΔV_gas - ΔV_s.

Alternativamente, podemos combinar estas tres ecuaciones en una sola ecuación (Ten en cuenta que los volúmenes originales son iguales).

V_derramado = (β_gas - β_s)VΔT = [(950 - 35) × 10^-6 /°C](60.0L) (20.0 °C) = 1.10L.

Explicación

Esta cantidad es significativa, particularmente para un tanque de 60.0 l.

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Por ejemplo, en las carreteras, se dejan huecos deliberadamente entre los bloques para evitar que se desarrolle el esfuerzo térmico. Cuando no se pueden dejar huecos, los ingenieros deben considerar el esfuerzo térmico en sus diseños. Por lo tanto, las varillas de refuerzo en el concreto están hechas de acero porque el coeficiente de expansión lineal del acero es casi igual al del concreto.

Para calcular el esfuerzo térmico en una varilla cuyos extremos están fijados rígidamente, podemos pensar que la tensión se desarrolla en dos pasos. Primero, deja que los extremos se expandan (o contraigan) y encuentre la expansión (o contracción). Segundo, encuentra el esfuerzo necesario para comprimir (o extender) la varilla a su longitud original mediante los métodos que estudisate en "Equilibrio estático y Elasticidad". En otras palabras, el ΔL de la expansión térmica es igual al ΔL de la distorsión elástica (excepto que los signos son opuestos).

Ejemplo 1.4

Cálculo del esfuerzo térmico

Los bloques de concreto están dispuestos uno al lado del otro en una carretera sin ningún espacio entre ellos, por lo que no pueden expandirse. El equipo de construcción hizo el trabajo en un día de invierno cuando la temperatura era de 5 °C. Encuentra el esfuerzo en los bloques en un día caluroso de verano cuando la temperatura es de 38° C. El módulo de Young de compresión del hormigón es Y = 20 × 10⁹ N/m².

Estrategia

El esfuerzo F/A viene dado por

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1.4 Transferencia de calor, calor específico y calorimetría

Hemos visto en capítulos anteriores que la energía es uno de los conceptos fundamentales de la física. El calor es un tipo de transferencia de energía causada por una diferencia de temperatura y puede cambiar la temperatura de un objeto. Como aprendimos anteriormente en este capítulo, la transferencia de calor es el movimiento de la energía de un lugar o material a otro como resultado de una diferencia de temperatura. La transferencia de calor es fundamental para actividades cotidianas como la calefacción y la cocina domésticas, así como para muchos procesos industriales. También forma una base para los temas en el resto de este capítulo.

También presentamos el concepto de energía interna, que se puede aumentar o disminuir mediante la transferencia de calor. Discutimos otra forma de cambiar la energía interna de un sistema, es decir, trabajar en él. Por lo tanto, estamos comenzando el estudio de la relación del calor y el trabajo, que es la base de los motores y refrigeradores y el tema central (y el origen del nombre) de la termodinámica.

Energía interna y calor

Un sistema térmico tiene energía interna (también llamada energía térmica), que es la suma de las energías mecánicas de sus moléculas. La energía interna de un sistema es proporcional a su temperatura. Como vimos anteriormente en este capítulo, si dos objetos a diferentes temperaturas entran en contacto entre sí, la energía se transfiere del objeto más caliente al más frío hasta que los cuerpos alcanzan el equilibrio térmico (es decir, están a la misma temperatura). Ningún objeto es hecho por ninguno de los objetos porque ninguna fuerza actúa a distancia (como discutimos en Trabajo y Energía cinética).

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También es común el uso de la kilocaloría (kcal), que es la energía necesaria para cambiar la temperatura de 1.00 kg de agua por 1.00 °C. Como la masa se especifica con mayor frecuencia en kilogramos, la kilocaloría es conveniente. Confusamente, las calorías de los alimentos (abreviadas Cal) son en realidad kilocalorías, un hecho que no se determina fácilmente a partir del etiquetado del paquete.

Equivalente mecánico de calor

También es posible cambiar la temperatura de una sustancia haciendo trabajo, que transfiere energía hacia o desde un sistema. Esta comprensión ayudó a establecer que el calor es una forma de energía. James Prescott Joule (1818-1889) realizó muchos experimentos para establecer el equivalente mecánico del calor, el trabajo necesario para producir los mismos efectos que la transferencia de calor. En las unidades utilizadas para estas dos cantidades, el valor de esta equivalencia es

1,000 kcal = 4186 J.

Consideramos que esta ecuación representa la conversión entre dos unidades de energía (Otros números que puedes ver se refieren a calorías definidas para rangos de temperatura que no sean de 14.5 °C a 15.5 °C).

La Figura 1.10 muestra una de las configuraciones experimentales más famosas de Joule para demostrar que el trabajo y el calor pueden producir los mismos efectos y medir el equivalente mecánico del calor. Ayudó a establecer el principio de la conservación de la energía. La energía potencial gravitacional (U) se convirtió en energía cinética (K), y luego se aleatorizó mediante la viscosidad y la turbulencia en un aumento de la energía cinética media de los átomos y moléculas en el sistema, produciendo un aumento de la temperatura.

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El aumento de la energía interna por transferencia de calor da el mismo resultado que aumentarlo haciendo el trabajo. Por lo tanto, aunque un sistema tiene una energía interna bien definida, no podemos decir que tiene un cierto "contenido de calor" o "contenido de trabajo". Una cantidad bien definida que depende únicamente del estado actual del sistema, en lugar de la historia de ese sistema, se conoce como una variable de estado. La temperatura y la energía interna son variables de estado. Para resumir este párrafo, el calor y el trabajo no son variables de estado.

Incidentalmente, aumentar la energía interna de un sistema no necesariamente aumenta su temperatura. Como veremos en la siguiente sección, la temperatura no cambia cuando una sustancia cambia de una fase a otra. Un ejemplo es la fusión del hielo, que se puede lograr mediante la adición de calor o haciendo un trabajo de fricción, como cuando un cubo de hielo se frota contra una superficie rugosa.

Cambio de temperatura y capacidad de calor

Hemos notado que la transferencia de calor a menudo causa un cambio de temperatura. Los experimentos muestran que sin cambio de fase y sin trabajo realizado en o por el sistema, el calor transferido es típicamente directamente proporcional al cambio de temperatura y a la masa del sistema, en una buena aproximación (A continuación mostramos cómo manejar situaciones en las que la aproximación no es válida). La constante de proporcionalidad depende de la sustancia y su fase, que puede ser gaseosa, líquida o sólida. Omitimos la discusión de la cuarta fase, plasma, porque aunque es la fase más común en el universo, es rara y de corta duración en la Tierra.

Podemos entender los hechos experimentales al notar que el calor transferido es el cambio en la energía interna, que es la energía total de las moléculas.

43

Supón que el bloque absorbe todo el calor del calentador (el tiempo se da en minutos y la temperatura en grados Celsius)). No es sorprendente que un calentador de mayor potencia (la cantidad de calor entregado/segundo) resulte en una temperatura más alta de la masa azul durante el mismo intervalo de tiempo. Ten en cuenta que a medida que cambia la masa del objeto, el cambio de temperatura es diferente (para una potencia dada del horno). La descripción cuantitativa de esto viene dada por la ecuación Q = mc(T_f - T_i).

Ten en cuenta que si duplicas la masa, para el mismo calor total entregado, el cambio de temperatura se reducirá a la mitad.

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45

Tabla 1.3b Calores específicos de líquidos y gases. Los valores de líquidos están en volumen constante y 25 °C.

En general, el calor específico también depende de la temperatura. Por lo tanto, debe darse una definición precisa de c para una sustancia en términos de un cambio infinitesimal en la temperatura. Para hacer esto, notamos que c = 1/mΔQ/ΔT, reemplazando Δ por d: c = 1/mdQ/dT

A excepción de los gases, la dependencia de la temperatura y el volumen del calor específico de la mayoría de las sustancias es débil a temperaturas normales.

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3. Calcula el calor transferido al agua. Usa el calor específico del agua en la Tabla 1.3:

Q_w = m_wc_wΔT = (0.250 kg)(4186 J/kg °C)(60.0 °C) = 62.8 kJ.

4. Calcula el calor transferido al aluminio. Use el calor específico para aluminio en la Tabla 1.3:

Q_Al = m_Alc_AlΔT = (0.500 kg)(900 J/kg °C)(60.0 °C) = 27.0 kJ.

5. Encuentra el calor transferido total:

Q_Total = Q_w + Q_Al = 89.8 kJ.

Explicación

En este ejemplo, el calor transferido al contenedor es una fracción significativa del calor total transferido. Aunque la masa de la sartén es el doble que la del agua, el calor específico del agua es más de cuatro veces mayor que el del aluminio. Por lo tanto, se necesita un poco más de dos veces más calor para lograr el cambio de temperatura dado para el agua y para la bandeja de aluminio.

El ejemplo 1.6 ilustra un aumento de temperatura causado por el trabajo (El resultado es el mismo que si se hubiera agregado la misma cantidad de energía con un soplete en vez de mecánicamente).

49

Estrategia

Calculamos la energía potencial gravitacional (Mgh) que todo el camión pierde en su descenso, lo equiparamos con el aumento en la energía interna de los frenos, y luego encontramos el aumento de temperatura producido solo en el material del freno.

Solución

Primero calculamos el cambio en la energía potencial gravitatoria a medida que el camión va cuesta abajo:

Mgh = (10,000 kg)(9.80 m/s²)(75.0 m) = 7.35 × 10⁶ J.

Debido a que la energía cinética del camión no cambia, la conservación de la energía nos dice que la energía potencial perdida se disipa, y suponemos que el 10% de ella se transfiere a la energía interna de los frenos, por lo tanto, toma Q = Mgh/10. Luego calculamos el cambio de temperatura del calor transferido, usando

ΔT = Q/mc

donde m es la masa del material de freno. reemplaza los valores dados para encontrar:

ΔT = 7.35 × 10⁵ J/(10 kg)(800 J/kg°C) = 92 °C.

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Ejemplo 1.7

Cálculo de la temperatura final en calorimetría

Supón que viertes 0.250 kg de agua a 20.0 °C (aproximadamente una taza) en una bandeja de aluminio de 0.500 kg fuera de la estufa a una temperatura de 150 °C. Supón que no se produce ninguna transferencia de calor a otra cosa: la bandeja se coloca en una almohadilla aislada, y la transferencia de calor al aire se desprecia en el corto tiempo necesario para alcanzar el equilibrio. Por lo tanto, este es un problema de calorimetría, aunque no se especifica ningún contenedor de aislamiento. También asume que una cantidad despreciable de agua hierve. ¿Cuál es la temperatura cuando el agua y la sartén alcanzan el equilibrio térmico?

Estrategia

Originalmente, la bandeja y el agua no están en equilibrio térmico: la bandeja está a una temperatura más alta que el agua. La transferencia de calor restablece el equilibrio térmico una vez que el agua y el recipiente están en contacto; se detiene una vez que se logra el equilibrio térmico entre la bandeja y el agua. El calor perdido por la sartén es igual al calor ganado por el agua, ese es el principio básico de la calorimetría.

Solución

1. Usa la ecuación para transferencia de calor Q = mcΔT para expresar el calor perdido por la bandeja de aluminio en términos de la masa de la bandeja, el calor específico del aluminio, la temperatura inicial de la bandeja y la temperatura final:

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Explicación

¿Por qué la temperatura final está mucho más cerca de 20.0 °C que a 150 °C? La razón es que el agua tiene un calor específico mayor que la mayoría de las sustancias comunes y, por lo tanto, sufre un cambio de temperatura menor para una transferencia de calor determinada. Un gran cuerpo de agua, como un lago, requiere una gran cantidad de calor para aumentar su temperatura de manera apreciable. Esto explica por qué la temperatura de un lago se mantiene relativamente constante durante el día, incluso cuando el cambio de temperatura del aire es grande. Sin embargo, la temperatura del agua cambia en tiempos más largos (por ejemplo, de verano a invierno).

Comprueba tu aprendizaje 1.3

Ejemplo 1.8

Capacidad de calor dependiente de la temperatura

A bajas temperaturas, los calores específicos de sólidos son típicamente proporcionales a T³. La primera comprensión de este comportamiento se debió al físico holandés Peter Debye, quien en 1912, trató las oscilaciones atómicas con la teoría cuántica que Max Planck había utilizado recientemente para la radiación.

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1.5 Cambios de fase

Las transiciones de fase desempeñan un importante papel teórico y práctico en el estudio del flujo de calor. En la fundición (o "fusión"), un sólido se convierte en líquido; el proceso opuesto es congelante. En la evaporación, un líquido se convierte en un gas; el proceso opuesto es condensación.

Una sustancia se derrite o se congela a una temperatura llamada su punto de fusión, y hierve (se evapora rápidamente) o se condensa en su punto de ebullición. Estas temperaturas dependen de la presión. La alta presión favorece la forma más densa, por lo que típicamente, la alta presión aumenta el punto de fusión y el punto de ebullición, y la baja presión los reduce. Por ejemplo, el punto de ebullición del agua es 100 °C a 1.00 atm. A una presión más alta, el punto de ebullición es más alto, y a una presión más baja, es más bajo.

Diagramas de fase

La fase de una sustancia dada depende de la presión y la temperatura. Por lo tanto, las gráficas de presión frente a la temperatura que muestran la fase en cada región proporcionan una visión considerable de las propiedades térmicas de las sustancias. Tal gráfico pT se llama diagrama de fase.

La Figura 1.12 muestra el diagrama de fase para el agua. Usando el gráfico, si conoces la presión y la temperatura, puedes determinar la fase del agua. Las curvas sólidas (límites entre fases) indican transiciones de fase, es decir, temperaturas y presiones a las que coexisten las fases. Por ejemplo, el punto de ebullición del agua es 100 °C a 1.00 atm. A medida que aumenta la presión, la temperatura de ebullición aumenta gradualmente a 374 °C a una presión de 218 atm.

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A una presión suficientemente alta por encima del punto crítico, el gas tiene la densidad de un líquido pero no se condensa. El dióxido de carbono, por ejemplo, es supercrítico a todas las temperaturas superiores a 31,0 °C. La presión crítica es la presión del punto crítico.

De manera similar, la curva entre las regiones sólida y líquida de la Figura 1.12 proporciona la temperatura de fusión a varias presiones. Por ejemplo, el punto de fusión es 0 °C a 1.00 atm, como se esperaba. El agua tiene la propiedad inusual de que el hielo es menos denso que el agua líquida en el punto de fusión, por lo que a una temperatura fija, puede cambiar la fase de sólido (hielo) a líquido (agua) aumentando la presión. Es decir, la temperatura de fusión del hielo disminuye al aumentar la presión, como lo muestra el diagrama de fases. Por ejemplo, cuando un automóvil se conduce sobre la nieve, la mayor presión de los neumáticos derrite los copos de nieve; luego, el agua se vuelve a congelar y forma una capa de hielo.

Como aprendiste en la sección anterior sobre termómetros y escalas de temperatura, el punto triple es la combinación de temperatura y presión a la que el hielo, el agua líquida y el vapor de agua pueden coexistir de manera estable, es decir, las tres fases existen en equilibrio. Para el agua, el punto triple ocurre a 273.16 K (0.01 °C) y 611.2 Pa; esa es una temperatura de calibración más precisa que el punto de fusión del agua a 1.00 atm, o 273.15 K (0.0 °C).

En el siguiente objeto interactivo de PhET Simulaciones Calienta, enfría y comprime los átomos y las moléculas y oberva cómo cambian entre sólido, líquido y fases gaseosas.

El objeto interactivo: Describe las características de los tres estados de la materia: sólido, líquido y gaseoso; Predice cómo al variar la temperatura o la presión cambia el comportamiento de las partículas; Compara las partículas en las tres fases diferentes.

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A presiones inferiores a la del punto triple, no hay fase líquida; la sustancia puede existir como gas o sólido. Para el agua, no hay fase líquida a presiones por debajo de 0.00600 atm. El cambio de fase de sólido a gas se llama sublimación. Es posible que hayas notado que la nieve puede desaparecer en el aire sin un rastro de agua líquida, o que los cubitos de hielo pueden desaparecer en un congelador. Ambos son ejemplos de sublimación. También ocurre lo contrario: la escarcha se puede formar en ventanas muy frías sin pasar por la fase líquida. La Figura 1.13 muestra el resultado, así como también muestra un ejemplo familiar de sublimación. El dióxido de carbono no tiene fase líquida a la presión atmosférica.

Figura 1.13 Las transiciones directas entre el sólido y el vapor son comunes, a veces útiles, e incluso hermosas. (a) El hielo seco se sublima directamente al gas de dióxido de carbono. El "humo" visible consiste en gotitas de agua que se condensan en el aire enfriado por el hielo seco. (b) La escarcha forma patrones en una ventana muy fría, un ejemplo de un sólido formado directamente de un vapor (crédito a: modificación del trabajo por Windell Oskay; crédito b: modificación del trabajo por Liz West)

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Si una sustancia se encuentra en un recipiente cerrado en el punto de ebullición, entonces el líquido está hirviendo y el gas se está condensando a la misma velocidad sin un cambio neto en sus cantidades.

Figura 1.14 Equilibrio entre líquido y gas en dos puntos de ebullición diferentes dentro de un contenedor cerrado. (a) Las velocidades de ebullición y condensación son iguales en esta combinación de temperatura y presión, por lo que las fases líquida y gaseosa están en equilibrio. (b) A una temperatura más alta, la velocidad de ebullición es más rápida, es decir, la velocidad a la que las moléculas salen del líquido y entran en el gas es más rápida. Esto aumenta el número de moléculas en el gas, lo que aumenta la presión del gas, que a su vez aumenta la velocidad a la que las moléculas de gas se condensan y entran en el líquido. La presión deja de aumentar cuando alcanza el punto donde la velocidad de ebullición y la tasa de condensación son iguales. El gas y el líquido están en equilibrio nuevamente a esta temperatura y presión más altas.

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Una vez a esta temperatura, el hielo comienza a derretirse y continúa hasta que se haya derretido completamente, absorbiendo 333 kJ/kg de calor. La temperatura permanece constante a 0 °C durante este cambio de fase. Una vez que todo el hielo se ha derretido, la temperatura del agua líquida aumenta, absorbiendo calor a una nueva tasa constante de 4186 J/kg•ºC. A 100 °C, el agua comienza a hervir.

Figura 1.15 Temperatura versus calor. El sistema está construido de modo que no se evapore el vapor mientras el hielo se calienta para convertirse en agua líquida, y de modo que, cuando se produce la vaporización, el vapor permanece en el sistema. Los tramos largos de temperaturas constantes a 0 °C y 100 °C reflejan las grandes cantidades de calor necesarias para provocar la fusión y la vaporización, respectivamente. La temperatura nuevamente permanece constante durante este cambio de fase, mientras que el agua absorbe 2256 kJ/kg de calor y se convierte en vapor.

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Figura 1.16 La condensación se forma en este vaso de té helado porque la temperatura del aire cercano se reduce. El aire no puede contener tanta agua como lo hacía a temperatura ambiente, por lo que el agua se condensa. La energía se libera cuando el agua se condensa, acelerando la fusión del hielo en el vidrio. (crédito: Jenny Downing)

Figura 1.17 El hielo en estos árboles liberaba grandes cantidades de energía cuando se congelaba, lo que ayudaba a evitar que la temperatura de los árboles cayera por debajo de 0 ° C. El agua se rocía intencionalmente en los huertos para ayudar a prevenir las heladas fuertes. (crédito: Hermann Hammer)

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Figura 1.18 (a) Se requiere energía para superar parcialmente las fuerzas de atracción (modeladas como resortes) entre moléculas en un sólido para formar un líquido. Esa misma energía debe eliminarse del líquido para que se produzca la congelación. (b) Las moléculas se separan a grandes distancias cuando pasan de líquido a vapor, lo que requiere una energía significativa para superar por completo la atracción molecular. La misma energía debe eliminarse del vapor para que tenga lugar la condensación.

Tabla 1.4a Calores de fusión y vaporización

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Por ejemplo, la temperatura del aire en climas húmedos raramente supera los 38.0 °C porque la mayor transferencia de calor se produce al evaporar el agua al aire. De forma similar, las temperaturas en tiempo húmedo rara vez caen por debajo del punto de rocío, la temperatura en que se produce la condensación dada la concentración de vapor de agua en el aire, porque se libera tanto calor cuando se condensa el vapor de agua.

Se necesita más energía para evaporar el agua por debajo del punto de ebullición que en el punto de ebullición, porque la energía cinética de las moléculas de agua a temperaturas inferiores a 100 °C es menor que a 100 °C, por lo que se dispone de menos energía de movimientos térmicos aleatorios. Por ejemplo, a la temperatura corporal, la evaporación del sudor de la piel requiere una entrada de calor de 2428 kJ/kg, que es aproximadamente un 10% más alta que el calor latente de vaporización a 100 °C. Este calor proviene de la piel, y este efecto de enfriamiento por evaporación de la sudoración ayuda a reducir la temperatura corporal en climas cálidos. Sin embargo, la alta humedad inhibe la evaporación, por lo que la temperatura corporal puede aumentar, mientras que el sudor no evaporado puede quedar en la frente.

Ejemplo 1.9

Cálculo de la temperatura final a partir del cambio de fase

Se usan tres cubitos de hielo para enfriar una gaseosa a 20 °C con masa m_soda = 0.25 kg. El hielo está a 0 °C y cada cubito de hielo tiene una masa de 6.0 g. Supón que la gaseosa se guarda en un recipiente de espuma para que la pérdida de calor pueda despreciarse y que la gaseosa tenga el mismo calor específico que el agua. Encuentra la temperatura final cuando todo el hielo se haya derretido.

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Solución

Primero identificamos las cantidades conocidas. La masa de hielo es m_hielo = 3 × 6,0 g = 0,018 kg y la masa de soda es m_soda = 0,25 kg. Luego calculamos la temperatura final:

T_f = 20,930 J − 6012 J/1122 J/°C = 13 °C

Explicación

Este ejemplo ilustra las grandes energías involucradas durante un cambio de fase. La masa de hielo es aproximadamente el 7% de la masa de la soda, pero conduce a un cambio notable en la temperatura de la soda. Aunque supusimos que el hielo estaba a la temperatura de congelación, esto no es realista para el hielo recién salido del congelador: la temperatura típica es de -6 °C. Sin embargo, esta corrección no cambia significativamente el resultado que encontramos. ¿Puedes explicar porque?

Al igual que las transiciones sólido-líquido y líquido-vapor, las transiciones directas de vapor sólido o sublimaciones implican calor. La energía transferida viene dada por la ecuación Q = mL_s, donde L_s es el calor de sublimación, análogo a L_f y L_v. El calor de la sublimación a una temperatura dada es igual al calor de fusión más el calor de vaporización a esa temperatura.

Ahora podemos calcular cualquier cantidad de efectos relacionados con la temperatura y el cambio de fase. En cada caso, es necesario identificar qué cambios de temperatura y fase están teniendo lugar. Ten en cuenta que la transferencia de calor y el trabajo pueden causar cambios de temperatura y fase.

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Comprueba tu aprendizaje 1.5

1.6 Mecanismos de transferencia de calor

Tan interesante como los efectos de la transferencia de calor en un sistema son los métodos por los cuales ocurre. Cada vez que hay una diferencia de temperatura, se produce transferencia de calor. Puede ocurrir rápidamente, como a través de una bandeja de cocina, o lentamente, como a través de las paredes de un cofre de picnic helado. Tantos procesos implican transferencia de calor que es difícil imaginar una situación donde no se prodzca. Sin embargo, cada transferencia de calor se lleva a cabo por solo tres métodos:

1. La conducción. es la transferencia de calor a través de la materia estacionaria por contacto físico (La materia está estacionaria en una escala macroscópica; sabemos que el movimiento térmico de los átomos y las moléculas ocurre a cualquier temperatura superior al cero absoluto). El calor transferido del quemador de una estufa a través del fondo de una sartén a la comida en la sartén se transfiere por conducción.

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Figura 1.19 En una chimenea, la transferencia de calor ocurre por los tres métodos: conducción, convección y radiación. La radiación es responsable de la mayor parte del calor transferido a la habitación. La transferencia de calor también ocurre a través de la conducción hacia la sala, pero mucho más lento. La transferencia de calor por convección también ocurre a través del aire frío que ingresa a la habitación alrededor de las ventanas y el aire caliente que sale de la habitación al elevarse por la chimenea.

Conducción

Mientras caminas descalzo por la alfombra de la sala de estar en una casa fría y luego pisas el piso de la cocina, tus pies se sienten más fríos sobre la losa. Este resultado es intrigante, ya que la alfombra y el piso de baldosas están a la misma temperatura.

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La energía cinética promedio de una molécula en el cuerpo caliente es más alta que en el cuerpo más frío. Si dos moléculas colisionan, la energía se transfiere de la molécula de alta energía a la de baja energía. En un metal, la imagen también incluiría electrones de valencia libres colisionando entre sí y con átomos, transfiriendo energía de la misma manera.

Figura 1.21 Las moléculas en dos cuerpos a diferentes temperaturas tienen diferentes energías cinéticas. Las colisiones que ocurren en la superficie de contacto tienden a transferir energía de regiones de alta temperatura a regiones de baja temperatura. En esta ilustración, una molécula en la región de temperatura más baja (lado derecho) tiene poca energía antes de la colisión, pero su energía aumenta después de colisionar con una molécula de alta energía en la superficie de contacto. Por el contrario, una molécula en la región de temperatura más alta (lado izquierdo) tiene mucha energía antes de la colisión, pero su energía disminuye después de colisionar con una molécula de baja energía en la superficie de contacto.

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Estas cuatro cantidades aparecen en una ecuación simple deducida y confirmada por experimentos. La tasa de transferencia de calor conductivo a través de una losa de material, como la de la Figura 1.22, viene dada por

(1.9)

donde P es la potencia o tasa de transferencia de calor en vatios o en kilocalorías por segundo, A y d son el área de la superficie y el espesor, como se muestra en la Figura 1.22, T_h - T_c es la diferencia de temperatura a través de la losa, y k es la conductividad térmica del material. La Tabla 1.5 da los valores representativos de conductividad térmica.

Más generalmente, podemos escribir

P = -kAdT/dx

donde x es la coordenada en la dirección del flujo de calor. Como en la Figura 1.22, la potencia y el área son constantes, dT/dx es constante y la temperatura disminuye linealmente de TT_h a TT_c.

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Estrategia

Esta pregunta involucra tanto calor para un cambio de fase (fusión del hielo) como la transferencia de calor por conducción. Para encontrar la cantidad de hielo derretido, debemos encontrar el calor neto transferido. Este valor se puede obtener calculando la tasa de transferencia de calor por conducción y multiplicando por el tiempo.

Solución

Primero identificamos los datos conocidos.

k = 0.010 W/m • °C para espuma de poliestireno; A = 0.950 m²; d = 2,50 cm = 0,0250 m; T_c = 0 °C; T_h = 35,0 °C; t = 1 día = 24 horas = 84,400 s.

Luego identificamos las incógnitas. Necesitamos hallar la masa del hielo, m. También necesitamos hallar el calor neto transferido para derretir el hielo, Q. La tasa de transferencia de calor por conducción está dada por

P = dQ/dT = kA(T_h - T_c)/d

El calor utilizado para derretir el hielo es Q = mL_f. Sustituímos los valores conocidos:

P = (0.010 W/m•°C)(0.950 m²)(35.0 °C − 0 °C)/0.0250 m = 13.3 W

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Desafortunadamente, en los Estados Unidos, R sigue estando en unidades no métricas de ft²•°F•h/Btu, aunque la unidad generalmente no se expresa [1 unidad térmica británica (Btu) es la cantidad de energía necesaria para cambiar la temperatura de 1.0 lb de agua por 1.0 °F, que es 1055.1 J]. Un par de valores representativos son un factor R de 11 para las piezas de fibra de vidrio de aislamiento de 3,5 pulgadas de grosor, y un factor R de 19 para las piezas de fibra de vidrio de 6.5 pulgadas de grosor (Figura 1.23). En los Estados Unidos, las paredes suelen estar aisladas con bloques de 3,5 pulgadas, mientras que los techos suelen estar aislados con bloques de 6,5 pulgadas. En climas fríos, se pueden usar bloques más gruesos.

Figura 1.22 La pieza de fibra de vidrio se utiliza para aislar paredes y techos para evitar la transferencia de calor entre el interior del edificio y el entorno exterior. (crédito: Tracey Nicholls)

85

Solución

1. Identifica los datos conocidos y conviértelos a unidades SI.
   
   La longitud de cada varilla es L_Al = L_acero = 0.25 m, el área de sección transversal de cada varilla es A_Al = A_acero = 7.85 × 10^-5 m², la conductividad térmica del aluminio es k_Al = 220 W/m • °C, la conductividad térmica de acero es k_acero = 80 W/m • °C, la temperatura en el extremo caliente es T = 100 °C, y la temperatura en el extremo frío es T = 20 °C.


2. Calcula la tasa de conducción de calor a través de la varilla de acero y la velocidad de conducción de calor a través de la varilla de aluminio en términos de la temperatura desconocida T en la unión:

   P_acero = k_aceroA_aceroΔT_acero/L_acero = (80 W/m•°C)(7.85 × 10^-5 m²)(100 °C − T)/0.25 m = (0.0251 W/°C)(100 °C − T)

   P_Al = k_AlA_AlΔT_Al/L_Al = (220 W/m•°C)(7.85 × 10^-5 m²)(T - 20 °C)/0.25 m = (0.0691 W/°C)(T - 20 °C)



3. Iguala las dos tasas y halla la temperatura desconocida:

   (0.0691 W/°C)(T − 20 °C) = (0.0251 W/°C)(100 °C − T)

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5. Determina ΔT para la varilla de aluminio (o para la varilla de acero) y úsalo para encontrar T en la unión.

   ΔT_Al = PR_Al/A = (1.47 W)(1.14 × 10⁻³ m²•°C/W)/7.85 × 10⁻⁵ m² = 21.3 °C

   entonces, T = 20 °C + 21.3 °C = 41.3 °C, como en la Solución anterior.


6. Si lo deseas, verifica determinando ΔT para la otra varilla.

Explicación

En la práctica, es común agregar valores R, como en el cálculo del valor R de una pared aislada. En la situación análoga en electrónica, la resistencia corresponde a AR en este problema y es aditiva incluso cuando las áreas son desiguales, como es común en la electrónica. Nuestra ecuación para la conducción de calor puede usarse solo cuando las áreas son iguales; de lo contrario, tendríamos un problema en el flujo de calor tridimensional, que está más allá de nuestro alcance.

Comprueba tu aprendizaje 1.7

La conducción es causada por el movimiento aleatorio de átomos y moléculas. Como tal, es un mecanismo ineficaz para el transporte de calor sobre distancias macroscópicas y tiempos cortos.

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En la siguiente escena interactiva, selecciona el material entre aluminio, madera, plata y acero y luego inicia la simulación para cómo se realiza la conducción a lo largo de la cuchara.

Para observar mejor la escena, puedes hacer clic en el botón "Ampliar"

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91

Convección

En la convección, la energía térmica es transportada por el flujo de materia a gran escala. Se puede dividir en dos tipos. En la convección forzada, el flujo es impulsado por ventiladores, bombas y similares. Un ejemplo simple es un ventilador que sopla aire en los alrededores calientes y lo refresca reemplazando el aire calentado por su cuerpo con aire más frío. Un ejemplo más complicado es el sistema de enfriamiento de un automóvil típico, en el que una bomba mueve refrigerante a través del radiador y el motor para enfriar el motor y un ventilador sopla aire para enfriar el radiador.

En la convección libre o natural, el flujo es impulsado por fuerzas de flotación: el fluido caliente se eleva y el fluido frío se hunde porque la densidad disminuye a medida que aumenta la temperatura. La casa de la Figura 1.24 se mantiene caliente por convección natural, al igual que la olla de agua en la estufa de la Figura 1.25. Las corrientes oceánicas y la circulación atmosférica a gran escala, que resultan de la flotabilidad del aire caliente y el agua, transfieren el aire caliente de los trópicos hacia los polos y el aire frío desde los polos hacia los trópicos (La rotación de la Tierra interactúa con esos flujos, causando el flujo de aire observado hacia el este en las zonas templadas).

La convección suele ser más complicada que la conducción. Además de notar que la tasa de convección es a menudo aproximadamente proporcional a la diferencia de temperatura, no haremos ningún trabajo cuantitativo comparable a la fórmula para la conducción. Sin embargo, podemos describir la convección cualitativamente y relacionar las tasas de convección con el calor y el tiempo. Sin embargo, el aire es un mal conductor. Por lo tanto, la convección domina la transferencia de calor por aire, y la cantidad de espacio disponible para el flujo de aire determina si el aire transfiere calor rápidamente o lentamente. Hay poca transferencia de calor en un espacio lleno de aire con una pequeña cantidad de otro material que impide el flujo.

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Figura 1.25 La convección natural juega un papel importante en la transferencia de calor dentro de esta olla de agua. Una vez conducido al interior, la transferencia de calor a otras partes de la olla es principalmente por convección. El agua más caliente se expande, disminuye su densidad y aumenta para transferir calor a otras regiones del agua, mientras que el agua más fría se hunde hasta el fondo. Este proceso se sigue repitiendo.

La piel, la tela y la fibra de vidrio también aprovechan la baja conductividad del aire al atraparlo en espacios demasiado pequeños para soportar la convección (Figura 1.26).

Algunos fenómenos interesantes ocurren cuando la convección va acompañada de un cambio de fase. La combinación nos permite refrescarnos sudando incluso si la temperatura del aire circundante excede la temperatura corporal. Se requiere calor de la piel para que el sudor se evapore de la piel, pero sin flujo de aire, el aire se satura y la evaporación se detiene. El flujo de aire causado por la convección reemplaza el aire saturado por aire seco y la evaporación continúa.

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(Por simplicidad, suponemos que esta evaporación ocurre cuando una persona está sentada a la sombra y las temperaturas circundantes son las mismas que la temperatura de la piel, eliminando la transferencia de calor por otros métodos).

Estrategia

Se necesita energía para este cambio de fase (Q = mL_v). Por lo tanto, la pérdida de energía por unidad de tiempo es

Q/t = mL_v/t = 120 W = 120 J/s

Dividimos ambos lados de la ecuación por L_v para encontrar que la masa evaporada por unidad de tiempo

m/t = 120 J/s/L_v

Solución

Inserta el valor del calor latente de la Tabla 1.4, L_v = 2430 kJ/kg = 2430 J/g. Esto produce

m/t = 120 J/s/2430 J/g = 0.0494 g/s = 2.96g/min.

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Figura 1.27 Las nubes cúmulos son causadas por vapor de agua que se eleva debido a la convección. El aumento de las nubes está impulsado por un mecanismo de retroalimentación positiva. (crédito: "Amada44" / Wikimedia Commons)

Las escenas interactivas de las páginas siguientes, hacen parte del proyecto @prende.mx, dirigido por el Dr. José Luis Abreu León

La primera escena, presenta algunos ejemplos de transmisión de calor por convección.

La segunda escena, permite explorar la transmisión de calor por convección, especialmente en corrientes de agua, tanto en la tierra como en el aire.

La tercera escena es un test de falso y verdadero, para probar tu aprendizaje hasta este punto.

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En esta escena interactiva, presta atención a la simulación que muestra cómo las moléculas de agua se mueven hacia arriba y hacia abajo del recipiente según su temperatura. Explora cómo funciona la corriente por convección.

Haz clic en el botón "Siguiente" para observar la simulación.

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101

Radiación

Puedes sentir la transferencia de calor del sol. El espacio entre la Tierra y el Sol está en gran parte vacío, por lo que el Sol nos calienta sin posibilidad de transferencia de calor por convección o conducción. De manera similar, a veces se puede decir que el horno está caliente sin tocar su puerta ni mirar adentro; puede que te caliente cuando pasas caminando. En estos ejemplos, el calor se transfiere por radiación (Figura 1.28). Es decir, el cuerpo caliente emite ondas electromagnéticas que son absorbidas por la piel. No se requiere medio para que las ondas electromagnéticas se propaguen. Los nombres diferentes se usan para ondas electromagnéticas de diferentes longitudes de onda: ondas de radio, microondas, radiación infrarroja, luz visible, radiación ultravioleta, rayos X y rayos gamma.

Figura 1.28 La mayor parte de la transferencia de calor de este fuego a los observadores ocurre a través de la radiación infrarroja. La luz visible, aunque dramática, transfiere relativamente poca energía térmica. La convección transfiere energía lejos de los observadores a medida que aumenta el aire caliente, mientras que la conducción aquí es insignificante. La piel es muy sensible a la radiación infrarroja, por lo que puede detectar la presencia de un incendio sin mirarlo directamente. (crédito: Daniel O'Neil)

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Por ejemplo, un elemento de calefacción eléctrica en una estufa brilla de rojo a naranja, mientras que el acero de mayor temperatura en un alto horno se ilumina de amarillo a blanco. La radiación infrarroja es la forma predominante radiada por objetos más fríos que el elemento eléctrico y el acero. La energía radiada en función de la longitud de onda depende de su intensidad, que se representa en la Figura 1.29 por la altura de la distribución.

La tasa de transferencia de calor por radiación también depende del color del objeto. El negro es el más efectivo, y el blanco es el menos efectivo. En un día claro de verano, el asfalto negro en un estacionamiento es más caliente que la acera gris adyacente, porque el negro absorbe mejor que el gris (Figura 1.30).

Figura 1.30 El pavimento más oscuro es más caliente que el pavimento más ligero (mucho más hielo se ha derretido a la derecha), aunque ambos han estado en la luz del sol por el mismo tiempo. Las conductividades térmicas de los pavimentos son las mismas.

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Sabemos por experiencia que se mantendrán en equilibrio (el resultado de un principio que se discutirá detalladamente en la Segunda Ley de la Termodinámica). Para que la temperatura del objeto negro permanezca constante, debe emitir tanta radiación como absorbe, por lo que debe ser tan buena tanto radiante como absorbente. Consideraciones similares muestran que el objeto plateado debe irradiar tan poco como absorbe. Por lo tanto, una propiedad, la emisividad, controla tanto la radiación como la absorción.

Finalmente, el calor irradiado es proporcional al área superficial del objeto, ya que cada parte de la superficie se irradia. Si separas los carbones de un incendio, la radiación aumenta notablemente debido a un aumento en el área de superficie radiante.

La tasa de transferencia de calor emitida por la radiación se describe en la ley de radiación de Stefan-Boltzmann:

P = σAeT⁴

donde σ = 5.67 × 10^-8J/s • m² • K⁴ es la constante de Stefan-Boltzmann, una combinación de constantes fundamentales de la naturaleza, A es el área de superficie del objeto, y T es su temperatura en kelvins.

La proporcionalidad a la cuarta potencia de la temperatura absoluta es una dependencia de temperatura notablemente fuerte. Permite la detección de incluso pequeñas variaciones de temperatura. Las imágenes llamadas termógrafos se pueden usar médicamente para detectar regiones de temperatura anormalmente altas en el cuerpo, lo que puede indicar una enfermedad.

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(1.10)

donde e es la emisividad del objeto solo. En otras palabras, no importa si el entorno es blanco, gris o negro: el equilibrio de radiación dentro y fuera del objeto depende de qué tan bien emite y absorbe la radiación. Cuando T₂ > T₁, la cantidad de P_neta es positiva, es decir, la transferencia de calor neta es de caliente a fría.

Antes de dar un ejemplo, tenemos una complicación para discutir: diferentes emisividades en diferentes longitudes de onda. Si la fracción de radiación incidente que refleja un objeto es la misma en todas las longitudes de onda visibles, el objeto es gris; si la fracción depende de la longitud de onda, el objeto tiene algún otro color. Por ejemplo, un objeto rojo o rojizo refleja la luz roja con más fuerza que otras longitudes de onda visibles. Como absorbe menos rojo, irradia menos rojo cuando está caliente. La reflexión diferencial y la absorción de longitudes de onda fuera del rango visible no tienen ningún efecto sobre lo que vemos, pero pueden tener efectos físicos importantes. La piel es un muy buen absorbente y emisor de radiación infrarroja, que tiene una emisividad de 0.97 en el espectro infrarrojo. Por lo tanto, a pesar de las variaciones obvias en el color de la piel, todos somos casi negros en el infrarrojo. Esta alta emisividad de infrarrojos es la razón por la cual podemos sentir fácilmente la radiación en nuestra piel. También es la base para la efectividad de los alcances de visión nocturna utilizados por las fuerzas del orden público y el ejército para detectar a los seres humanos.

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Explicación

Este valor es una tasa significativa de transferencia de calor al medio ambiente (ten en cuenta el signo menos), teniendo en cuenta que una persona en reposo puede producir energía a razón de 125 W y que la conducción y la convección también transfieren energía al medio ambiente. De hecho, probablemente esperaríamos que esta persona tenga frío. La ropa reduce significativamente la transferencia de calor al medio ambiente por todos los mecanismos, ya que la ropa ralentiza la conducción y la convección, y tiene una emisividad menor que la piel (especialmente si es de color claro).

La temperatura promedio de la Tierra es el tema de mucha discusión actual. La Tierra está en contacto radiativo tanto con el Sol como con el espacio oscuro, por lo que no podemos usar la ecuación para un ambiente a una temperatura uniforme. La Tierra recibe casi toda su energía de la radiación del Sol y refleja parte de ella en el espacio exterior. Por el contrario, el espacio oscuro es muy frío, alrededor de 3 K, por lo que la Tierra irradia energía hacia el cielo oscuro. La tasa de transferencia de calor del suelo y las hierbas puede ser tan rápida que las heladas pueden ocurrir en las tardes de verano, incluso en latitudes cálidas.

La temperatura promedio de la Tierra está determinada por su balance de energía. Para una primera aproximación, es la temperatura a la cual la Tierra irradia calor al espacio tan rápido como recibe energía del Sol.

Un parámetro importante en el cálculo de la temperatura de la Tierra es su emisividad (e). En promedio, es aproximadamente 0,65, pero el cálculo de este valor se complica por la gran variación diaria en la cobertura de nubes altamente reflectante.

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Figura 1.33 El efecto invernadero es el nombre dado al aumento de la temperatura de la Tierra debido a la absorción de radiación en la atmósfera. La atmósfera es transparente a la radiación visible entrante y a la mayor parte del infrarrojo del Sol. La Tierra absorbe esa energía y la vuelve a emitir. Dado que la temperatura de la Tierra es mucho más baja que la del Sol, re-emite la energía a longitudes de onda mucho más largas, en el infrarrojo. La atmósfera absorbe gran parte de esa radiación infrarroja e irradia aproximadamente la mitad de la energía hacia abajo, manteniendo la Tierra más caliente de lo que sería de otra manera. La cantidad de capturas depende de las concentraciones de gases traza, como el dióxido de carbono, y un aumento en la concentración de estos gases aumenta la temperatura de la superficie de la Tierra.

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La luz del Sol y la de una lámpara son ejemplos de radiación. Cuando la radiación incide en un cuerpo, éste la absorbe y se calienta, es decir, aumenta su temperatura. No toda la radiación es luz visible. Cuando nos acercamos a un cuerpo muy caliente, aún sin tocarlo sentimos su calor. Observa algunos ejemplos de transmisión del calor por radiación.

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115

Comprueba tu aprendizaje - Test de Falso y Verdadero

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117

1.7 Preguntas y respuestas - Capítulo I

Respuestas

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119

Capítulo ii

La teoría cinética de los gases

Introducción

Figura 2.1 Una erupción volcánica libera toneladas de gas y polvo a la atmósfera. La mayor parte del gas es vapor de agua, pero otros gases son comunes, incluidos los gases de efecto invernadero como el dióxido de carbono y los contaminantes ácidos como el dióxido de azufre. Sin embargo, la emisión de gas volcánico no es del todo mala: muchos geólogos creen que en las primeras etapas de la formación de la Tierra, las emisiones volcánicas formaron la atmósfera primitiva. (crédito: modificación del trabajo por "Boaworm" / Wikimedia Commons)

Los gases están literalmente a nuestro alrededor: el aire que respiramos es una mezcla de gases. Otros gases incluyen los que hacen que los panes y las tortas sean blandos, los que hacen que las bebidas sean gaseosas, y los que se queman para calentar muchas casas. Los motores y los refrigeradores dependen del comportamiento de los gases, como veremos en capítulos posteriores.

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¿Cómo se diferencian los gases de los sólidos y líquidos? En condiciones normales, como las del aire que nos rodea, la diferencia es que las moléculas de los gases están mucho más separadas que las de los sólidos y líquidos. Debido a que las distancias típicas entre las moléculas son grandes en comparación con el tamaño de una molécula, como se ilustra en la Figura 2.2, las fuerzas entre ellas se consideran insignificantes, excepto cuando entran en contacto entre sí durante las colisiones. Además, a temperaturas muy superiores a la temperatura de ebullición, el movimiento de las moléculas es rápido y los gases se expanden rápidamente para ocupar todo el volumen accesible. Por el contrario, en líquidos y sólidos, las moléculas están más juntas, y el comportamiento de las moléculas en líquidos y sólidos está muy restringido por las interacciones de las moléculas entre sí. Las propiedades macroscópicas de tales sustancias dependen fuertemente de las fuerzas entre las moléculas, y dado que muchas moléculas están interactuando, los "problemas de muchos cuerpos" resultantes pueden ser extremadamente complicados.

Figura 2.1 Los átomos y moléculas en un gas generalmente están ampliamente separados. Debido a que las fuerzas entre ellos son bastante débiles a estas distancias, las propiedades de un gas dependen más del número de átomos por unidad de volumen y de la temperatura que del tipo de átomo.

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Las leyes de los gases

En el capítulo anterior, vimos una consecuencia del gran espaciado intermolecular en los gases: los gases se comprimen fácilmente. La Tabla 1.2 muestra que los gases tienen mayores coeficientes de expansión de volumen que los sólidos o líquidos. Estos grandes coeficientes significan que los gases se expanden y contraen muy rápidamente con los cambios de temperatura. También vimos (en la sección de expansión térmica) que la mayoría de los gases se expanden a la misma velocidad o tienen el mismo coeficiente de expansión de volumen, β. Esto plantea una pregunta: ¿por qué todos los gases actúan casi de la misma manera, cuando todos los diversos líquidos y sólidos tienen tasas de expansión muy variables?

Figura 2.3 (a) Cuando se bombea aire a un neumático desinflado, su volumen primero aumenta sin mucho aumento de presión. (b) Cuando el neumático se llena hasta cierto punto, las paredes del neumático resisten una mayor expansión, y la presión aumenta con más aire. (c) Una vez que el neumático está inflado, su presión aumenta con la temperatura.

Para estudiar cómo se relacionan la presión, la temperatura y el volumen de un gas, ten en cuenta lo que sucede cuando bombeas aire a un neumático desinflado (Figura 2.3). El volumen del neumático primero aumenta en proporción directa a la cantidad de aire inyectado, sin mucho aumento en la presión del neumático.

127

La Figura 2.4 muestra datos de los experimentos de Robert Boyle (1627-1691), que ilustran lo que ahora se llama la ley de Boyle: a temperatura constante y número de moléculas, la presión absoluta de un gas y su volumen son inversamente proporcionales. (Recuerda por Mecánica de Fluidos que la presión absoluta es la verdadera presión y la presión manométrica es la presión absoluta menos la presión ambiente, típicamente la presión atmosférica). El gráfico de la Figura 2.4 muestra esta relación como una proporcionalidad inversa de volumen a presión.

La Figura 2.5 muestra datos experimentales que ilustran lo que se conoce como la ley de Charles, creada por Jacques Charles (1746-1823). La ley de Charles establece que a presión constante y número de moléculas, el volumen de un gas es proporcional a su temperatura absoluta.

Similar es la ley de Amonton o ley de Gay-Lussac, que establece que a un volumen y cantidad constante de moléculas, la presión es proporcional a la temperatura. Esa ley es la base del termómetro de gas de volumen constante, discutido en el capítulo anterior (Las historias de estas leyes y el crédito apropiado para ellas son más complicadas de lo que se puede discutir aquí).

Se sabe experimentalmente que para los gases a baja densidad (de modo que sus moléculas ocupan una fracción insignificante del volumen total) y a temperaturas muy superiores al punto de ebullición, estas proporciones se mantienen en una buena aproximación. No es de sorprender que, con las otras cantidades mantenidas constantes, la presión o el volumen sean proporcionales al número de moléculas. Más sorprendentemente, cuando las proporcionalidades se combinan en una sola ecuación, la constante de proporcionalidad es independiente de la composición del gas. La ecuación resultante para todos los gases se aplica en el límite de baja densidad y alta temperatura; es lo mismo para el oxígeno que para el helio o el hexafluoruro de uranio.

129

(2.1)

La constante k_B se llama la constante de Boltzmann en honor del físico austríaco Ludwig Boltzmann (1844-1906) y tiene el valor

k_B = 1,38 × 10^-23 J/K.

La ley de los gases ideales describe el comportamiento de cualquier gas real cuando su densidad es lo suficientemente baja o su temperatura lo suficientemente alta como para estar lejos de la licuefacción. Esto abarca muchas situaciones prácticas. En la siguiente sección, veremos por qué es independiente del tipo de gas.

En muchas situaciones, la ley de los gases ideales se aplica a una muestra de gas con un número constante de moléculas; por ejemplo, el gas puede estar en un contenedor sellado. Si N es constante, resolver para N muestra que pV/T es constante. Podemos escribir ese hecho en una forma conveniente:

(2.2)

131

p_f/T_f = p₀/T₀

Podemos reorganizar esto para hallar p_f:

p_f = p₀T_f/T₀

donde la temperatura debe estar en Kelvin.

Solución

1. Convierte las temperaturas de grados Celsius a Kelvin

T₀ = (18.0 + 273) K = 291 K,

T_f = (35.0 + 273) K = 30 8K.

2. Sustituye los valores conocidos en la ecuación,

p_f = p₀T_f/T₀ = 7.00 × 10⁵ Pa(308 K/291 K) = 7.41 × 10⁵ Pa

133

2. Sustituye los valores conocidos en la ecuación y halla N.

N = pV/k_BT = (1.01 × 10⁵ Pa)(5 × 10^-4 m³)/(1.38 × 10⁻²³ J/K)(273 K) = 1.34 × 10²² moléculas

Explicación

N es enorme, incluso en pequeños volúmenes. Por ejemplo, 1 cm³ de un gas en STP contiene 2,68 × 10¹⁹ moléculas. Una vez más, ten en cuenta que nuestro resultado para N es el mismo para todos los tipos de gases, incluidas las mezclas.

Según la mecánica de fluidos, los pascales son N/m², entonces Pa • m³ = N • m = J. Por lo tanto, nuestro resultado para N es adimensional, un número puro que podría obtenerse contando (en principio) en lugar de medir. Como es el número de moléculas, ponemos "moléculas" después del número, teniendo en cuenta que es una ayuda para la comunicación en lugar de una unidad.

Moles y el número de Avogadro

A menudo es conveniente medir la cantidad de sustancia con una unidad en una escala más humana que las moléculas. La unidad del SI para este fin fue desarrollada por el científico italiano Amedeo Avogadro (1776-1856). (Trabajó a partir de la hipótesis de que volúmenes iguales de gas a igual presión y temperatura contienen el mismo número de moléculas, independientemente del tipo de gas. Como se mencionó anteriormente, esta hipótesis se ha confirmado cuando se aplica la aproximación del gas ideal).

135

Figura 2.6 ¿Qué tan grande es una mol? A nivel macroscópico, el número de Avogrado en bolas de tenis de mesa cubriría la Tierra a una profundidad de unos 40 km.

Comprueba tu aprendizaje 2.1

Comprueba tu aprendizaje 2.2

137

R = N_Ak_B = (6.02 × 10²³ mol^-1)(1.38 × 10^-23 J/K) = 8.31 J/mol • K.

En otras unidades

R = 1.99 cal/mol • K = 0.0821 L • atm/mol • K

Puedes usar el valor de R que sea más conveniente para un problema en particular.

Ejemplo 2.3

Densidad del aire en STP y en un globo de aire caliente

Calcula la densidad del aire seco (a) en condiciones estándar y (b) en un globo de aire caliente a una temperatura de 120 ºC. El aire seco es aproximadamente 78% de N₂, 21% de O₂ y 1% de A_r.

Estrategia y solución

a. Se nos pide que encontremos la densidad, o masa por metro cúbico. Podemos comenzar encontrando la masa molar. Si tenemos cien moléculas, de las cuales 78 son nitrógeno, 21 son oxígeno y 1 es argón, la masa molecular promedio es (78 m_N2 + 21m_O2 + m_Ar)/100, o la masa de cada componente se multiplica por su porcentaje. Lo mismo se aplica a la masa molar, que por lo tanto es

139

ρ₂ = T₁/T₂ρ₁ = 273 K/393 K(1.29 kg/m³) = 0.896 kg/m³.

Explicación

Utilizando los métodos del Principio de la Flotabilidad de Arquímedes, podemos encontrar que la fuerza neta en 2200 m³ de aire a 120 °C es F_b - F_g = ρ_atmósferaV_g - ρ_{aire caliente}V_g = 8.49 × 10³ N, o lo suficiente para levantar unos 867 kg. La densidad de masa y la densidad molar del aire en STP, que se encuentran arriba, son a menudo números útiles. A partir de la densidad molar, podemos determinar fácilmente otro número útil, el volumen de un mol de cualquier gas ideal en STP, que es 22.4 L.

Comprueba tu aprendizaje 2.3

La ley de los gases ideales está estrechamente relacionada con la energía: las unidades en ambos lados de la ecuación son joules. El lado derecho de la ecuación de ley de gas ideal es Nk_BT. Este término es aproximadamente la energía cinética de traslación total (que, cuando se habla de gases, se refiere a la energía de la traslación de una molécula, no la de la vibración de sus átomos o rotación) de N moléculas a una temperatura absoluta T, como veremos formalmente en la siguiente sección.

141

La ecuación de estado de Van der Waals

Hemos observado repetidamente que la ley de los gases ideales es una aproximación. ¿Cómo se puede mejorar? La ecuación de estado de van der Waals (llamada así por el físico holandés Johannes van der Waals, 1837-1923) la mejora al tomar en cuenta dos factores. Primero, las fuerzas de atracción entre las moléculas, que son más fuertes a mayor densidad y reducen la presión, se toman en cuenta al agregar a la presión un término igual al cuadrado de la densidad molar multiplicado por un coeficiente positivo a. En segundo lugar, el volumen de las moléculas está representado por una constante positiva b, que puede considerarse como el volumen de una mol de moléculas. Esto se resta del volumen total para dar el volumen restante en el que las moléculas pueden moverse. Las constantes a y b se determinan experimentalmente para cada gas. La ecuación resultante es

143

A altas temperaturas, las curvas son aproximadamente hipérbolas, lo que representa un comportamiento aproximadamente ideal a varias temperaturas fijas. A temperaturas más bajas, las curvas se parecen cada vez menos a hipérbolas; es decir, el gas no se comporta de manera ideal. Hay una temperatura crítica T_c en la que la curva tiene un punto con pendiente cero. Por debajo de esa temperatura, las curvas no disminuyen monótonamente; en cambio, cada uno tiene una "joroba", lo que significa que para un cierto rango de volumen, aumentar el volumen aumenta la presión.

Figura 2.7 Diagrama pV para un gas Van der Waals a varias temperaturas. Las curvas rojas se calculan a temperaturas superiores a la temperatura crítica y las curvas azules a temperaturas inferiores. Las curvas azules tienen una oscilación en la que el volumen (V) aumenta al aumentar la temperatura (T), una situación imposible, por lo que deben corregirse como en la Figura 2.8. (crédito: "Eman" / Wikimedia Commons)

145

Figura 2.8 muestra isotermas similares que son más realistas que las basadas en la ecuación de van der Waals. Las partes empinadas de las curvas a la izquierda de la región de transición muestran la fase líquida, que es casi incompresible: una ligera disminución en el volumen requiere un gran aumento en la presión. Las partes planas muestran la transición líquido-gas; las regiones azules que definen representan combinaciones de presión y volumen donde el líquido y el gas pueden coexistir.

Tabla 2.1 Temperaturas y presiones críticas para diversas sustancias

Las isotermas superiores a T_c no pasan por la transición de gas líquido. Por lo tanto, el líquido no puede existir por encima de esa temperatura, que es la temperatura crítica (que se describe en el capítulo sobre temperatura y calor). A una presión suficientemente baja por encima de esa temperatura, el gas tiene la densidad de un líquido pero no se condensa; el gas se dice que es supercrítico. A mayor presión, es sólido.

147

4. Explicación de la equivalencia de la presión externa e interna del gas mediante el ejemplo de una jeringa, cuya boca se tapa para comprimir el aire dentro.
5. Regreso a la compresión adiabática para inferir la ley general de los gases (PV = knT), mediante un modelo interactivo con valores de P, V y T manipulables.
6. Aplicación de la ley general al caso particular de la olla a presión (V = constante), para formular la ley de Gay-Lussac.
7. Reflexiona sobre el funcionamiento de las ollas express e intenta explicarlo.

Ampliar

149

Las colisiones entre moléculas no aparecen en la derivación de la ley de los gases ideales. Tampoco perturban la derivación, ya que las colisiones entre moléculas que se mueven con velocidades aleatorias dan nuevas velocidades aleatorias. Además, si las velocidades de las moléculas de gas en un contenedor inicialmente no son aleatorias e isótropas, las colisiones moleculares son las que las hacen aleatorias e isótropas.

Hacemos más suposiciones que simplifican los cálculos pero no afectan el resultado. Primero, dejamos que el contenedor sea una caja rectangular. En segundo lugar, comenzamos considerando los gases monoatómicos, aquellos cuyas moléculas consisten en átomos individuales, como el helio. Entonces, podemos suponer que los átomos no tienen energía, excepto su energía cinética de traslación; por ejemplo, no tienen energía rotacional ni vibratoria. (Más tarde, discutimos la validez de esta suposición para los gases monatómicos reales y prescindimos de ella para considerar los gases diatómicos y poliatómicos).

La Figura 2.9 muestra una colisión de una molécula de gas con la pared de un contenedor, de modo que ejerce una fuerza sobre la pared (según la tercera ley de Newton). Estas colisiones son la fuente de presión en un gas. A medida que aumenta el número de moléculas, aumenta el número de colisiones y, por lo tanto, la presión. De manera similar, si la velocidad promedio de las moléculas es mayor, la presión del gas es mayor.

En una muestra de gas en un contenedor, la aleatoriedad del movimiento molecular hace que el número de colisiones de moléculas con cualquier parte de la pared fluctúe en un momento dado. Sin embargo, debido a que un gran número de moléculas colisionan con la pared en poco tiempo, el número de colisiones en las escalas de tiempo y espacio que medimos fluctúa solo por una fracción pequeña, generalmente no observable, del promedio.

151

Un cálculo de la fuerza promedio ejercida por las moléculas en las paredes de la caja nos lleva a la ley de los gases ideales y a la conexión entre la temperatura y la energía cinética molecular (de hecho, tomaremos dos promedios: uno a lo largo del tiempo para obtener la fuerza promedio ejercida por una molécula con una velocidad determinada, y luego otra media sobre las moléculas con diferentes velocidades). Este enfoque fue desarrollado por Daniel Bernoulli (1700-1782) , que es mejor conocido en física por su trabajo en el flujo de fluidos (hidrodinámica). Sorprendentemente, Bernoulli hizo este trabajo antes de que Dalton estableciera la visión de la materia como compuesta de átomos.

La Figura 2.10 muestra un contenedor lleno de gas y una vista ampliada de una colisión elástica de una molécula de gas con una pared del contenedor, dividida en componentes. Hemos supuesto que una molécula es pequeña en comparación con la separación de moléculas en el gas, y que su interacción con otras moléculas puede ignorarse. Bajo estas condiciones, la ley de los gases ideales es experimentalmente válida. Debido a que también hemos asumido que la pared es rígida y las partículas son puntos, la colisión es elástica. Por lo tanto, la energía cinética de la molécula permanece constante, y por lo tanto, su velocidad y la magnitud de su momento también permanecen constantes. Esta suposición no siempre es válida, pero los resultados en el resto de este módulo también se obtienen en modelos que permiten a las moléculas intercambiar energía y momento con la pared.

153

F_i = Δp_i/Δt = 2mv_ix/Δt

(En esta ecuación sola, p representa el momento, no la presión.) No hay fuerza entre la pared y la molécula, excepto cuando la molécula toca la pared. Durante el corto tiempo de la colisión, la fuerza entre la molécula y la pared es relativamente grande, pero esa no es la fuerza que estamos buscando. Estamos buscando la fuerza promedio, por lo que tomamos Δt como el tiempo promedio entre las colisiones de la molécula dada con esta pared, que es el tiempo en el que esperamos encontrar una colisión. Si l representa la longitud de la caja en la dirección x, entonces Δt es el tiempo que la molécula tomaría para cruzar la caja y volver, una distancia de 2l, a una velocidad de v_x. Por lo tanto, Δt = 2l/v_x, y la expresión de la fuerza se convierte en

2mv_ix/2l/v_ix = mv_ix²/l

Esta fuerza se debe a una molécula. Para encontrar la fuerza total en la pared, F, necesitamos agregar las contribuciones de todas las N moléculas:

F = ∑_i=1NF_i = ∑_i=1Nmv_ix²/l = ∑_i=1Nm/lv_ix²

Ahora usamos la definición del promedio, que denotamos con una barra, para encontrar la fuerza:

155

(2.5)

La combinación de esta ecuación con pV = Nk_BT da

1/3Nmv²_ = Nk_BT

Podemos obtener la energía cinética promedio de una molécula, 1/2mv²_, del lado izquierdo de la ecuación dividiendo N y multiplicando por 3/2.

(2.6)

La ecuación K_ = 3/2k_BT es la energía cinética promedio por molécula. Nótese en particular que nada en esta ecuación depende de la masa molecular (o de cualquier otra propiedad) del gas, la presión o cualquier otra cosa que no sea la temperatura.

157

(2.8)

La velocidad rms no es la velocidad media o la velocidad más probable de las moléculas, pero proporciona una estimación calculada fácilmente de la velocidad de las moléculas que está relacionada con su energía cinética. Nuevamente podemos escribir esta ecuación en términos de la constante de gas R y la masa molar M en kg/mol:

(2.9)

Hacemos una digresión por un momento para responder a una pregunta que se te puede haber ocurrido: cuando aplicamos el modelo a átomos en lugar de partículas puntuales teóricas, ¿la energía cinética de rotación cambia nuestros resultados? Para responder a esta pregunta, debemos apelar a la mecánica cuántica. En la mecánica cuántica, la energía cinética de rotación no puede asumir ningún valor; está limitado a un conjunto discreto de valores, y el valor más pequeño es inversamente proporcional a la inercia de rotación. La inercia rotacional de un átomo es pequeña porque casi toda su masa se encuentra en el núcleo, que generalmente tiene un radio inferior a 10^-14 m.

159

pero primero debemos encontrar la masa de una molécula de nitrógeno. Obteniendo la masa molar de nitrógeno N₂ de la tabla periódica, encontramos

m = M/N_A = 2(14.0067) × 10⁻³ kg/mol)/6.02 × 10²³ mol⁻¹

Solución

a. La temperatura sola es suficiente para nosotros para encontrar la energía cinética de traslación promedio. Sustituyendo la temperatura en la ecuación de energía cinética de traslación, obtenemos:

K_ = 3/2k_BT = 3/2(1.38 × 10⁻²³ J/K)(293 K) = 6.07 × 10⁻²¹ J

b. Sustituyendo esta masa y el valor de _B en la ecuación para vrms

v_rms = √3k_BT/m/ = √3(1.38 × 10⁻²³ J/K)(293 K)/(4.65 × 10⁻²⁶ kg)/ = 511 m/s

Explicación

Ten en cuenta que la energía cinética promedio de la molécula es independiente del tipo de molécula. La energía cinética de traslación promedio depende solo de la temperatura absoluta. La energía cinética es muy pequeña en comparación con las energías macroscópicas, por lo que no sentimos cuando una molécula de aire golpea nuestra piel.

161

Ejemplo 2.5

Cálculo de temperatura: velocidad de escape de los átomos de helio

Para escapar de la gravedad de la Tierra, un objeto cerca de la parte superior de la atmósfera (a una altitud de 100 km) debe alejarse de la Tierra a 11.1 km/s. Esta velocidad se llama velocidad de escape. ¿A qué temperatura los átomos de helio tendrán una velocidad rms igual a la velocidad de escape?

Estrategia

Identifica los datos conocidos y las incógnitas y determina qué ecuaciones usar para resolver el problema.

Solución

1. Identifica los los datos conocidos: v es la velocidad de escape, 11.1 km/s.
2. Identifica las incógnitas: Necesitamos hallar la temperatura, T. También necesitamos hallar la masa m del átomo de helio.
3. Determina qué ecuaciones son necesarias.
• Para obtener la masa m del átomo de helio, podemos usar la información de la tabla periódica:

m = M/N_A

• Para hallar la temperatura T, podemos reorganizar

163

La posibilidad es lo suficientemente alta como para que durante la vida de la Tierra, casi todos los átomos de helio que han estado en la atmósfera hayan alcanzado la velocidad de escape a grandes altitudes y escapado de la atracción gravitacional de la Tierra. Las moléculas más pesadas, como el oxígeno, el nitrógeno y el agua, tienen velocidades rms más pequeñas, por lo que es mucho menos probable que cualquiera de ellas tenga velocidades mayores que la velocidad de escape. De hecho, la probabilidad es tan pequeña que se requieren miles de millones de años para perder cantidades significativas de moléculas más pesadas de la atmósfera. La Figura 2.12 muestra el efecto de la falta de una atmósfera en la Luna. Debido a que la atracción gravitatoria de la Luna es mucho más débil, ha perdido casi toda su atmósfera.

Figura 2.12 Esta fotografía del Comandante del Apolo 17 Eugenio Cernan conduciendo el vehículo lunar en la Luna en 1972 parece que fue tomada de noche con un gran foco de luz. De hecho, la luz proviene del sol. Debido a que la aceleración de la gravedad en la Luna es muy baja (aproximadamente 1/6 de la de la Tierra), la velocidad de escape de la Luna es mucho menor. Como resultado, las moléculas de gas escapan muy fácilmente de la Luna, dejándola prácticamente sin atmósfera. Incluso durante el día, el cielo es negro porque no hay gas para dispersar la luz del sol. (crédito: Harrison H. Schmitt / NASA)

165

Este resultado se sigue de aplicar la ley de los gases ideales a cada uno en la forma p/n = RT/V. Debido a que el lado derecho es el mismo para cualquier gas a una temperatura dada en un contenedor de un volumen dado, el lado izquierdo también es el mismo.

• La presión parcial es la presión que crearía un gas si existiera solo.
• La ley de Dalton establece que la presión total es la suma de las presiones parciales de todos los gases presentes.
• Para cualquier dos gases (etiquetados 1 y 2) en equilibrio en un contenedor,
  p₁/n₁ = p₂/n₂.

Una aplicación importante de la presión parcial es que, en química, funciona como la concentración de un gas para determinar la velocidad de una reacción. Aquí, solo mencionamos que la presión parcial de oxígeno en los pulmones de una persona es crucial para la vida y la salud. Respirar aire que tiene una presión parcial de oxígeno por debajo de 0.16 atm puede afectar la coordinación y el juicio, especialmente en personas que no están aclimatadas a una elevación alta. Las presiones parciales más bajas de O₂ tienen efectos más serios; las presiones parciales inferiores a 0.06 atm pueden ser rápidamente fatales, y es probable que se produzca un daño permanente incluso si la persona es rescatada. Sin embargo, la sensación de necesitar respirar, como cuando se contiene la respiración, es causada mucho más por las altas concentraciones de dióxido de carbono en la sangre que por bajas concentraciones de oxígeno. Por lo tanto, si una habitación pequeña o clóset está llena de aire con baja concentración de oxígeno, tal vez porque se almacena allí un cilindro de algún gas comprimido, una persona no sentirá ninguna sensación de "asfixia" y puede entrar en convulsiones o perder el conocimiento sin notar nada mal. Los ingenieros de seguridad prestan considerable atención a este peligro.

167

Las presiones de vapor de agua a algunas temperaturas de interés para la meteorología se dan en la Tabla 2.2

La humedad relativa (RH) a una temperatura T se define por

R.H. = Presión parcial del vapor de agua en T/Presión del vapor de agua en T × 100%.

Una humedad relativa del 100% significa que la presión parcial del agua es igual a la presión de vapor; en otras palabras, el aire está saturado de agua.

Ejemplo 2.6

Cálculo de la humedad relativa

¿Cuál es la humedad relativa cuando la temperatura del aire es de 25 ºC y el punto de rocío es de 15 ºC?

Estrategia

Simplemente buscamos la presión de vapor a la temperatura dada y la del punto de rocío y buscamos la relación.

Solución

R.H. = Presión parcial del vapor de agua en 15 ºC/Presión del vapor de agua en 25 ºC × 100% = 1705 Pa/3167 Pa = 53.8%

169

λ = V/4πr²N

Tener en cuenta el movimiento de todas las moléculas hace que el cálculo sea mucho más difícil, pero el único cambio es un factor de √2. El resultado es

(2.10)

En un gas ideal, podemos sustituir V/N = k_BT/p para obtener

(2.11)

El tiempo libre medio τ es simplemente el camino libre medio dividido por la velocidad típica, y la opción habitual es la velocidad rms. Entonces

(2.12)

171

Explicación

Difícilmente podemos comparar este resultado con nuestra intuición sobre las moléculas de gas, pero nos da una imagen de las moléculas que colisionan con una frecuencia extremadamente alta.

Comprueba tu aprendizaje 2.5

2.3 Capacidad de calor y equipartición de energía

En el capítulo sobre temperatura y calor, definimos la capacidad de calor específica con la ecuación Q = mcΔT, o c = (1/m)Q/ΔT. Sin embargo, las propiedades de un gas ideal dependen directamente del número de moles en una muestra, por lo que aquí definimos la capacidad de calor específica en términos del número de moles, no de la masa. Además, cuando hablamos de sólidos y líquidos, ignoramos cualquier cambio en el volumen y la presión con los cambios de temperatura, una buena aproximación para sólidos y líquidos, pero para los gases, tenemos que condicionar el volumen o los cambios de presión. Aquí, nos enfocamos en la capacidad de calor con el volumen constante. Podemos calcularlo para un gas ideal.

173

Ejemplo 2.8

Cálculo de temperatura

Una muestra de 0.125 kg de xenón está contenida en un cilindro de metal rígido, lo suficientemente grande como para que el xenón se pueda modelar como un gas ideal, a una temperatura de 20.0 °C. El cilindro se mueve afuera en un caluroso día de verano. Cuando el xenón entra en equilibrio al alcanzar la temperatura de su entorno, se le conducen 180 J de calor a través de las paredes del cilindro. ¿Cuál es la temperatura de equilibrio? Desprecia la expansión del cilindro de metal.

Solución

1. Identifica los datos conocidos: Sabemos que la temperatura inicial T₁ es de 20.0 °C, el calor Q es 180 J y la masa m del xenón es 0.125 kg.
2. Identifica la incognita. Necesitamos la temperatura final, por lo que necesitaremos ΔT.
3. Determina qué ecuaciones son necesarias. Debido a que el gas de xenón es monoatómico, podemos usar Q = 3nRΔT/2. Entonces necesitamos el número de moles, n = m/M.
4. Sustituye los valores conocidos en las ecuaciones y halla las incógnitas.
   
   La masa molar de xenón es 131.3 g, entonces obtenemos:

   n = 125 g/131.3 g/mol = 0.952 mol

175

Grados de libertad

En la sección anterior, encontramos que 1/2mv²_ = 3/2k_BT y v²_ = 3v_x²_, de lo cual se deduce que 1/2mv_x²_ = 3/2k_BT. La misma ecuación vale para 1/2mv_y²_ y para 1/2mv_z²_. Por lo tanto, podemos ver nuestra energía de 3/2k_BT como la suma de las contribuciones de 1/2k_BT de cada una de las tres dimensiones del movimiento traslacional. Cambiando al gas como un todo, vemos que el 3 en la fórmula C_V = 3/2R también refleja esas tres dimensiones. Definimos un grado de libertad como un movimiento posible independiente de la molécula, como cada una de las tres dimensiones de la traslación. Entonces, dejando que d represente el número de grados de libertad, la capacidad de calor molar a volumen constante de un gas ideal monoatómico es C_V = d/2R, donde d = 3.

(2.14)

177

Desde aproximadamente temperatura ambiente (un poco menos de 300 K) hasta 600 K, la rotación en los grados de libertad están completamente activos, pero los vibratorios no, y d = 5. Luego, finalmente, por encima de aproximadamente 3000 K, los grados de libertad vibratorios están completamente activos, y d = 7 como predijo la teoría clásica.

Figura 2.13 La capacidad de calor molar del hidrógeno en función de la temperatura (en una escala logarítmica). Los tres "pasos" o "mesetas" muestran diferentes números de grados de libertad que las energías típicas de las moléculas deben alcanzar para activarse. La energía cinética de traslación corresponde a tres grados de libertad, rotacional a otros dos y vibratoria a otros dos.

Las moléculas poliatómicas tienen típicamente un grado de libertad rotacional adicional a temperatura ambiente, ya que tienen momentos de inercia comparables alrededor de cualquier eje.

179

Capacidad de calor molar de elementos sólidos

La idea de la equipartición conduce a una estimación de la capacidad de calor molar de los elementos sólidos a temperaturas ordinarias. Podemos modelar los átomos de un sólido como unidos a los átomos vecinos por resortes (Figura 2.14).

Figura 2.14 En un modelo simple de un elemento sólido, cada átomo está unido a los demás por seis resortes, dos para cada movimiento posible: x, y y z. Cada uno de los tres movimientos corresponde a dos grados de libertad, uno para la energía cinética y el otro para la energía potencial. Por lo tanto d = 6.

Análogamente a la discusión de la vibración en el módulo anterior, cada átomo tiene seis grados de libertad: una cinética y uno potencial para cada una de las direcciones x, y, y z. En consecuencia, el calor específico molar de un metal debe ser 3R.

181

Con base a esos datos, ¿cuál es el calor de fusión del galio? Supón que el volumen del aire no cambia y que no hay otras transferencias de calor.

Estrategia

Usaremos la ecuación Q_caliente + Q_frío = 0. Como parte del galio no se derrite, sabemos que la temperatura final sigue siendo el punto de fusión. Entonces, el único Q_caliente es el calor perdido a medida que el aire se enfría, Q_caliente = n_aireC_VΔT, donde C_V = 5R/2. El único Q_frío es el calor latente de fusión del galio, Q_frío = m_GaL_f. Es positivo porque el calor fluye al galio.

Solución

1. Configura la ecuación:

n_aireC_VΔT + m_GaL_f = 0.

Sustituye los valores conocidos y halla:

(12.0 mol)(5/2)(8.31 Jmol • ° C)(30.0 °C - 95.0 °C) + (0.202 kg)Lf = 0.

Resolvemos para encontrar que el calor de fusión del galio es 80.2 kJ/kg.

183

2.4 Distribución de velocidades moleculares

Las partículas en un gas ideal viajan a velocidades relativamente altas, pero no viajan a la misma velocidad. La velocidad rms es un tipo de promedio, pero muchas partículas se mueven más rápido y muchas se mueven más despacio. La distribución real de velocidades tiene varias implicaciones interesantes para otras áreas de la física, como veremos en capítulos posteriores.

La distribución de Maxwell-Boltzmann

El movimiento de las moléculas en un gas es aleatorio en magnitud y dirección para moléculas individuales, pero un gas de muchas moléculas tiene una distribución predecible de velocidades moleculares. Esta distribución predecible de velocidades moleculares se conoce como la distribución de Maxwell-Boltzmann, después de sus originadores, quienes la calcularon basándose en la teoría cinética, y desde entonces se ha confirmado experimentalmente (Figura 2.15).

Para entender esta figura, debemos definir una función de distribución de velocidades moleculares, ya que con un número finito de moléculas, la probabilidad de que una molécula tenga exactamente una velocidad dada es 0. Definimos la función de distribución f(v) diciendo que el número esperado N(v₁, v₂) de partículas con velocidades entre v₁ y v₂ está dado por

N(v₁, v₂) = N∫_v1v2f(v)dv

[Dado que N es adimensional, la unidad de f(v) es segundos por metro]. Podemos escribir esta ecuación convenientemente en forma diferencial: dN = Nf(v)dv.

185

(2.15)

Los factores antes de v² son constantes de normalización; se aseguran de que
N(0, ∞) = N asegurándose que

∫_0∞f(v)dv = 1.
Centrémonos en la dependencia de v. El factor de v² significa que f(0) = 0 y para v pequeña, la curva se parece a una parábola. El factor de e^{-m₀v2/2k_BT} significa que
limv → ∞f(v) = 0 y el gráfico tiene una cola exponencial, lo que indica que algunas

moléculas pueden moverse varias veces a la velocidad rms. La interacción de estos factores da la forma de una función de un solo pico que se muestra en la figura.

Ejemplo 2.10

Cálculo de la relación de números de moléculas a velocidades cercanas

En una muestra de nitrógeno (N₂, con una masa molar de 28.0 g/mol) a una temperatura de 273 °C, encuentra la relación del número de moléculas con una velocidad muy cercana a 300 m/s, con la velocidad muy cercana de 100 m/s.

187

La Figura 2.16 muestra que la curva se desplaza a velocidades más altas a temperaturas más altas, con un rango más amplio de velocidades.

Figura 2.16 La distribución de Maxwell-Boltzmann se desplaza a velocidades más altas y se amplía a temperaturas más altas.

189

que es menos que v_{rm/sub>s. De hecho, la velocidad rms es mayor que la velocidad más probable y la velocidad promedio.}

La velocidad máxima proporciona una forma a veces más conveniente para escribir la función de distribución de Maxwell-Boltzmann:

En el factor e^-mv2/2k_BT, es fácil reconocer la energía cinética de la traslación. Por lo tanto, esa expresión es igual a e^-K/k_BT. La distribución f(v) se puede transformar en una distribución de energía cinética al requerir que f(K)dK = f(v)dv. Boltzmann demostró que la fórmula resultante es mucho más aplicable en general si reemplazamos la energía cinética de la traslación con la energía mecánica total. El resultado de E. Boltzmann es

La primera parte de esta ecuación, con la exponencial negativa, es la forma habitual de escribirla. Damos la segunda parte solo para observar que e^E/k_BT en el denominador es omnipresente tanto en la mecánica estadística cuántica como en la clásica.

191

¿Por qué esos elementos son tan raros en nuestra atmósfera? La respuesta es que las moléculas de gas que alcanzan velocidades superiores a la velocidad de escape de la Tierra, de aproximadamente 11 km/s, pueden escapar de la atmósfera hacia el espacio. Debido a la menor masa de moléculas de hidrógeno y helio, se mueven a velocidades más altas que otras moléculas de gas, como el nitrógeno y el oxígeno. Solo unos pocos superan la velocidad de escape, pero muchas menos moléculas pesadas lo hacen. Por lo tanto, durante los miles de millones de años que la Tierra ha existido, muchas más moléculas de hidrógeno y helio han escapado de la atmósfera que otras moléculas, y casi ninguna de las dos está presente.

También podemos echar un vistazo al enfriamiento por evaporación, que discutimos en el capítulo sobre temperatura y calor. Los líquidos, como los gases, tienen una distribución de energías moleculares. Las moléculas de mayor energía son aquellas que pueden escapar de las atracciones intermoleculares del líquido. Por lo tanto, cuando se evapora algo de líquido, las moléculas que se quedan tienen una energía promedio menor y el líquido tiene una temperatura más baja.

Para terminar este capítulo, te dejamos una interesante tabla periódica, diseñada por Keith Enevoldsen (Seattle, USA). Además del nombre, el símbolo y el número atómico del elemento, cada cuadro de elemento contiene una descripción textual de las propiedades físicas del elemento y una lista de varios de sus usos humanos y/o ocurrencias naturales. La tabla tiene un código de colores para mostrar los grupos químicos, y cada grupo se describe en un panel del mismo color. Otros paneles de información describen la estructura atómica, los enlaces químicos y la radioactividad.

Recuerda que en la barra de harramientas puedes abrir otra tabla periódica, diseñada por Juan Guillermo Rivera Berrío

193

2.5 Preguntas y respuestas - Capítulo II

Respuestas

Ampliar

195

Capítulo iii

La primera ley de la termodinámica

Introducción

Figura 3.1 Un frente frío y débil del aire empuja todo el smog en el noreste de China a una capa de humo sobre el Mar Amarillo, capturado por el satélite Terra de la NASA en 2012. Para comprender los cambios climáticos y el clima, como el evento que se muestra aquí, necesitas un conocimiento completo de termodinámica. (crédito: modificación del trabajo por la NASA)

Los gases están literalmente a nuestro alrededor: el aire que respiramos es una mezcla de gases. Otros gases incluyen los que hacen que los panes y las tortas sean blandos, los que hacen que las bebidas sean gaseosas, y los que se queman para calentar muchas casas. Los motores y los refrigeradores dependen del comportamiento de los gases, como veremos en capítulos posteriores.

El calor es la transferencia de energía debido a una diferencia de temperatura entre dos sistemas. El calor describe el proceso de conversión de una forma de energía a otra.

199

La frontera, entonces, consiste en las superficies internas del cilindro y el pistón.

Figura 3.2 (a) Un sistema, que puede incluir cualquier proceso o valor relevante, es autónomo en un área. Los alrededores también pueden tener información relevante; sin embargo, los alrededores son importantes para estudiar solo si la situación es un sistema abierto. (b) La gasolina que se quema en el cilindro del motor de un automóvil es un ejemplo de un sistema termodinámico.

Normalmente, un sistema debe tener algunas interacciones con su entorno. Un sistema se denomina sistema aislado o cerrado si está completamente separado de su entorno, por ejemplo, un gas que está rodeado por paredes inamovibles y térmicamente aislantes. En realidad, un sistema cerrado no existe a menos que el universo entero se trate como el sistema, o se use como un modelo para un sistema real que tenga interacciones mínimas con su entorno.

201

Podrías tener, por ejemplo, un gradiente de temperatura en todo el sistema. Sin embargo, cuando discutimos un sistema termodinámico en este capítulo, estudiamos aquellos que tienen propiedades uniformes en todo el sistema.

Antes de que podamos llevar a cabo cualquier estudio sobre un sistema termodinámico, necesitamos una caracterización fundamental del sistema. Cuando estudiamos un sistema mecánico, nos enfocamos en las fuerzas y pares en el sistema, y ​​el equilibrio mecánico del sistema. De manera similar, deberíamos examinar la transferencia de calor entre un sistema termodinámico y su entorno o entre las diferentes partes del sistema, y ​​su equilibrio térmico. Intuitivamente, dicho equilibrio se alcanza si la temperatura se vuelve igual para diferentes objetos o partes del sistema en contacto térmico, y la transferencia neta de calor a lo largo del tiempo se vuelve cero.

Por lo tanto, cuando decimos que dos objetos (un sistema termodinámico y su entorno, por ejemplo) están en equilibrio térmico, queremos decir que están a la misma temperatura. Consideremos tres objetos a temperaturas T₁, T₂ y T₃, respectivamente. ¿Cómo sabemos si están en equilibrio térmico? El principio rector aquí es la ley zeroth (Ley Cero-ésima) de la termodinámica:

Si el objeto 1 está en equilibrio térmico con los objetos 2 y 3, respectivamente, entonces los objetos 2 y 3 también deben estar en equilibrio térmico.

Matemáticamente, podemos simplemente escribir la ley zeroth de la termodinámica

Si T₁ = T₂ y T₁ = T₃, entonces T₂ = T₃.

(3.1)

203

Podemos separar estas cantidades en dos categorías genéricas. La cantidad asociada con una cantidad de materia es una variable extensa, como el volumen y el número de moles. Las otras propiedades de un sistema son variables intensivas, como la presión y la temperatura. Una variable extensa dobla su valor si la cantidad de materia en el sistema se duplica, siempre que todas las variables intensivas permanezcan iguales. Por ejemplo, el volumen o la energía total del sistema se duplica si duplicamos la cantidad de materia en el sistema mientras mantenemos sin cambios la temperatura y la presión del sistema.

3.2 Trabajo, calor y energía interna

Discutimos los conceptos de trabajo y energía anteriormente en mecánica. Los ejemplos y problemas relacionados de transferencia de calor entre diferentes objetos también se han discutido en los capítulos anteriores. Aquí, queremos expandir estos conceptos a un sistema termodinámico y su entorno, queremos entender cómo se hace el trabajo por o para un sistema termodinámico; cómo se transfiere el calor entre un sistema y su entorno; y cómo la energía total del sistema cambia bajo la influencia del trabajo realizado y la transferencia de calor.

Trabajo realizado por un sistema

Una fuerza creada desde cualquier fuente puede hacer el trabajo moviendo un objeto a través de un desplazamiento. Entonces, ¿cómo funciona un sistema termodinámico? La Figura 3.4 muestra un gas confinado a un cilindro que tiene un pistón móvil en un extremo. Si el gas se expande contra el pistón, ejerce una fuerza a lo largo de una distancia y funciona sobre el pistón. Si el pistón comprime el gas cuando se mueve hacia adentro, también se trabaja, en este caso, en el gas.

205

(3.4)

Esta integral solo es significativa para un proceso cuasiestático, lo que significa un proceso que tiene lugar en pasos infinitesimalmente pequeños, manteniendo el sistema en equilibrio térmico (Examinaremos esta idea con más detalle más adelante en este capítulo). Solo entonces existe una relación matemática bien definida (la ecuación de estado) entre la presión y el volumen. Esta relación se puede trazar en un diagrama pV de presión versus volumen, donde la curva es el cambio de estado. Podemos aproximar tal proceso como uno que ocurre lentamente, a través de una serie de estados de equilibrio. La integral se interpreta gráficamente como el área bajo la curva pV (el área sombreada de la Figura 3.5). El trabajo realizado por el gas es positivo para la expansión y negativo para la compresión.

Figura 3.5 Cuando un gas se expande lentamente desde V₁ a V₂, el trabajo realizado por el sistema está representado por el área sombreada bajo la curva pV.

207

W = nRT∫_V1V2dV/V = nRTlnV₂/V₁

Observa que si V₂ >V₁ (expansión), W es positivo, como se esperaba.

Las líneas rectas de A a B y luego de B a C representan un proceso diferente. Aquí, un gas a una presión p₁ primero se expande isobáricamente (presión constante) y cuasi-estáticamente desde V₁ a V₂, después de lo cual se enfría cuasi-estáticamente en el volumen constante V₂ hasta que su presión cae a p₂. De A a B, la presión es constante en p, por lo que el trabajo en esta parte de la trayectoria es

W = ∫_V1V2pdV = p₁∫_V1V2dV = p₁(V₂ − V₁)

De B a C, no hay cambio en el volumen y, por lo tanto, no se realiza ningún trabajo. El trabajo neto sobre el camino ABC es entonces

W = p₁(V₂ - V₁) + 0 = p₁(V₂ - V₁).

Una comparación de las expresiones del trabajo realizado por el gas en los dos procesos de la Figura 3.6 muestra que son bastante diferentes. Esto ilustra una propiedad muy importante del trabajo termodinámico: depende de la ruta o trayectoria. No podemos determinar el trabajo realizado por un sistema, ya que va de un estado de equilibrio a otro a menos que sepamos su camino termodinámico. Diferentes valores del trabajo están asociados con diferentes caminos.

209

p = RT/V - b - a/V²

Debido a que T es constante bajo la condición isotérmica, el trabajo realizado por 1 mol de un gas de van der Waals al expandirse de un volumen V₁ a un volumen V₂ es por lo tanto

W = ∫_V1V2RT/V - b - a/V² = RTln(V − b) + a/V|, evaluada entre V₁ y V₂

= RTln(V₂ - b/V₁ - b) + a(1/V₂ - 1/V₁)

Explicación

Al tomar en cuenta el volumen de las moléculas, la expresión para el trabajo es mucho más compleja. Sin embargo, si establecemos a = 0 y b = 0, vemos que la expresión de trabajo coincide exactamente con el trabajo realizado por un proceso isotérmico para una mol de un gas ideal.

Comprueba tu aprendizaje 3.1

211

E_int = ∑_iK_i_ = ∑_i1/2m_iv_i²_

De la discusión en el capítulo anterior, sabemos que la energía cinética promedio de una molécula en un gas monoatómico ideal es

1/2m_iv_i²_ = 3/2k_BT

donde T es la temperatura en grados Kelvin del gas. En consecuencia, la energía mecánica promedio por molécula de un gas monoatómico ideal es también de 3k_BT/2, es decir,

K_i + U_i_____ K_i_ = 3/2k_BT

La energía interna es solo el número de moléculas multiplicado por la energía mecánica promedio por molécula. Por lo tanto, para n moles de un gas monoatómico ideal,

(3.6)

Ten en cuenta que la energía interna de una cantidad dada de un gas monoatómico ideal depende de la temperatura y es completamente independiente de la presión y el volumen del gas. Para otros sistemas, la energía interna no se puede expresar de manera tan simple.

213

Sin embargo, un aumento en la energía interna a menudo puede asociarse con un aumento de la temperatura.

Sabemos por la ley zeroth de la termodinámica que cuando dos sistemas se colocan en contacto térmico, eventualmente alcanzan el equilibrio térmico, en cuyo punto se encuentran a la misma temperatura. Como ejemplo, supongamos que mezclamos dos gases monatómicos ideales. Ahora, la energía por molécula de un gas monatómico ideal es proporcional a su temperatura. Por lo tanto, cuando los dos gases se mezclan, las moléculas del gas más caliente deben perder energía y las moléculas del gas más frío deben ganar energía. Esto continúa hasta que se alcanza el equilibrio térmico, en cuyo punto, la temperatura y, por lo tanto, la energía cinética de traslación promedio por molécula, es la misma para ambos gases. El enfoque del equilibrio para los sistemas reales es algo más complicado que para un gas monoatómico ideal. Sin embargo, aún podemos decir que la energía se intercambia entre los sistemas hasta que sus temperaturas sean las mismas.

3.3 Primera ley de la termodinámica

Ahora que hemos visto cómo calcular la energía interna, el calor y el trabajo realizado para un sistema termodinámico que experimenta cambios durante algún proceso, podemos ver cómo estas cantidades interactúan para afectar la cantidad de cambio que puede ocurrir. Esta interacción está dada por la primera ley de la termodinámica. Al científico y novelista británico C. P. Snow (1905-1980) se le atribuye una broma sobre las cuatro leyes de la termodinámica. Su declaración humorística de la primera ley de la termodinámica se afirma "no se puede ganar", o en otras palabras, no se puede obtener más energía de un sistema de lo que se pone en ella. Veremos en este capítulo cómo la energía interna, el calor y el trabajo juegan un papel en la primera ley de la termodinámica.

215

Tabla 3.1 Convenciones de signos termodinámicos para el calor y el trabajo.

Aunque Q y W dependen de la trayectoria termodinámica tomada entre dos estados de equilibrio, su diferencia Q - W no lo hace. La Figura 3.7 muestra el diagrama pV de un sistema que está haciendo la transición de A a B repetidamente a lo largo de diferentes trayectorias termodinámicas. A lo largo de la ruta 1, el sistema absorbe calor Q₁ y funciona W₁; a lo largo de la ruta 2, absorbe calor Q₂ y funciona W₂, y así sucesivamente. Los valores de Q_i y W_i pueden variar de una trayectoria a otra, pero tenemos

Q₁ − W₁ = Q₂ − W₂ = ··· = Q_i − W_i = ···,

o

ΔE_int1 = ΔE_int2 = ··· = Δ_inti = ···.

Es decir, el cambio en la energía interna del sistema entre A y B es independiente de la trayectoria. En el capítulo sobre la energía potencial y la conservación de la energía, nos encontramos con otra cantidad independiente de la trayectoria: el cambio en la energía potencial entre dos puntos arbitrarios en el espacio.

217

Aquí dE_int es un cambio infinitesimal en la energía interna cuando se intercambia una cantidad infinitesimal de calor dQ con el sistema y una cantidad infinitesimal de trabajo dW se realiza (signo positivo) o se da (signo negativo) al sistema.

Ejemplo 3.2

Cambios de estado y la primera ley

Durante un proceso termodinámico, un sistema pasa del estado A al estado B, se suministra con 400 J de calor y realiza 100 J de trabajo. (a) Para esta transición, ¿cuál es el cambio del sistema en la energía interna? (b) Si el sistema luego se mueve del estado B al estado A, ¿cuál es su cambio en la energía interna? (c) Si al pasar de A a B a lo largo de una trayectoria diferente, W'_AB = 400 J de trabajo realizado en el sistema, ¿cuánto calor absorbe?

Estrategia

La primera ley de la termodinámica relaciona el cambio de energía interno, el trabajo realizado por el sistema y el calor transferido al sistema en una ecuación simple. La energía interna es una función del estado y, por lo tanto, se fija en cualquier punto dado independientemente de cómo el sistema llegue al estado.

Solución

a. Desde la primera ley, el cambio en la energía interna del sistema es

ΔE_intAB = Q_AB − W_AB = 400 J − 100 J = 300 J.

219

Explicación

Cuando se considera un ciclo cerrado para la primera ley de la termodinámica, el cambio en la energía interna en todo la trayectoria es igual a cero. Si la fricción desempeñara un papel en este ejemplo, se obtendría menos trabajo de este calor agregado. El ejemplo 3.3 tiene en cuenta lo que sucede si la fricción desempeña un papel.

Observa que en el Ejemplo 3.2, no asumimos que las transiciones sean casi estáticas. Esto se debe a que la primera ley no está sujeta a dicha restricción. Describe las transiciones entre los estados de equilibrio, pero no se ocupa de los estados intermedios. El sistema no tiene que pasar solo por estados de equilibrio. Por ejemplo, si se hace explotar un gas en un recipiente de acero a una temperatura y presión bien definidas por medio de una chispa, parte del gas puede condensarse, diferentes moléculas de gas pueden combinarse para formar nuevos compuestos, y puede haber todo tipo de turbulencia en el contenedor, pero eventualmente, el sistema se establecerá en un nuevo estado de equilibrio. Este sistema claramente no está en equilibrio durante su transición; sin embargo, su comportamiento todavía se rige por la primera ley porque el proceso comienza y termina con el sistema en estados de equilibrio.

Ejemplo 3.3

Pulido de un accesorio

Un maquinista pule un accesorio de cobre de 0,50 kg con un trozo de tela de esmeril durante 2,0 minutos. Mueve la tela a través del accesorio a una velocidad constante de 1.0 m/s aplicando una fuerza de 20 N tangente a la superficie del accesorio.

221

c. Como ΔE_int es independiente de la trayectoria, el efecto de 2.4 × 10³ J de trabajo es el mismo que si se suministrara a la presión atmosférica mediante una transferencia de calor. Así,

2.4 × 10³ J = mcΔT = (0.50 kg)(3.9×10² J/kg • °C)ΔT,

y el aumento en la temperatura del accesorio es

ΔT = 12 °C,

donde hemos usado el valor para el calor específico del cobre, c = 3.9 × 10² J/kg • °C.

Explicación

Si se liberara calor, el cambio en la energía interna sería menor y causaría un cambio de temperatura menor que el calculado en el problema.

Comprueba tu aprendizaje 3.2

223

Solución

Para la trayectoria ABC, el calor agregado es Q_ABC = 515J y el trabajo realizado por el gas es el área bajo la trayectoria en el diagrama pV, que es

W_ABC = p₁(V₂ − V₁) = 473 J.

A lo largo de ADC, el trabajo realizado por el gas vuelve a ser el área bajo la trayectoria:

W_ADC = p₂(V₂ − V₁) = 236 J.

Luego, utilizando la estrategia que acabamos de describir, tenemos

Q_ADC − Q_ABC = W_ADC − W_ABC,

lo que lleva a

Q_ADC = Q_ABC + W_ADC − W_ABC = (515 + 236 − 473) J = 278 J.

Explicación

Los cálculos de trabajo en este problema se simplifican ya que no se realiza ningún trabajo a lo largo de AD y BC y a lo largo de AB y DC; la presión es constante durante el cambio de volumen, por lo que el trabajo realizado es simplemente pΔV. También se podría haber usado una línea isotérmica, ya que hemos derivado el trabajo para un proceso isotérmico como W = nRTln(V₂/V₁).

225

W = (1.00 mol)(8.314 J/K•mol)(300 K)(ln3) = 2.74 × 10³ J.

c. Con los resultados de las partes (a) y (b), podemos usar la primera ley para determinar el calor agregado:

ΔE_int = Q - W = 0,

lo que lleva a

Q = W = 2,74 × 10³ J.

Explicación

Un proceso isotérmico no tiene cambios en la energía interna. Basado en eso, la primera ley de la termodinámica se reduce a Q = W.

Comprueba tu aprendizaje 3.3

227

c. Desde la primera ley, la energía térmica del agua durante su vaporización cambia por

ΔE_int = Q - W = 2.26 × 10³ J - 169 J = 2.09 × 10³ J.

Explicación

Notamos que en la parte (c), vemos un cambio en la energía interna, sin embargo, no hay cambio en la temperatura. Los gases ideales que no están experimentando cambios de fase tienen la energía interna proporcional a la temperatura. La energía interna, en general, es la suma de toda la energía en el sistema.

Comprueba tu aprendizaje 3.4

3.4 Procesos termodinámicos

Al resolver problemas mecánicos, aislamos el cuerpo bajo consideración, analizamos las fuerzas externas que actúan sobre él y luego usamos las leyes de Newton para predecir su comportamiento.

229

Por ejemplo, imagina calentar 1 kg de agua desde una temperatura de 20 °C a 21 °C a una presión constante de 1 atmósfera. Para calentar el agua muy lentamente, podemos imaginar colocar el recipiente con agua en un baño María que pueda calentarse lentamente de modo que la temperatura del baño pueda elevarse infinitesimalmente lentamente de 20 °C a 21 °C. Si ponemos 1 kg de agua a 20 °C directamente en un baño a 21 °C, la temperatura del agua aumentará rápidamente a 21 °C de una manera no cuasi estática.

Los procesos cuasiestáticos se realizan con la suficiente lentitud para que el sistema permanezca en equilibrio termodinámico en cada instante, a pesar de que el sistema cambia con el tiempo. El equilibrio termodinámico del sistema es necesario para que el sistema tenga valores bien definidos de propiedades macroscópicas tales como la temperatura y la presión del sistema en cada instante del proceso. Por lo tanto, los procesos cuasiestáticos pueden mostrarse como rutas bien definidas en el espacio de estados del sistema.

Dado que los procesos cuasiestáticos no se pueden realizar por completo para cualquier cambio finito del sistema, todos los procesos en la naturaleza son no cuasiestáticos. Ejemplos de procesos cuasiestáticos y no cuasiestáticos se muestran en la Figura 3.8. A pesar del hecho de que todos los cambios finitos deben ocurrir esencialmente no cuasi-estáticamente en alguna etapa del cambio, podemos imaginar realizar infinitamente muchos procesos cuasiestáticos correspondientes a cada proceso cuasiestático. Dado que los procesos cuasi-estáticos se pueden analizar analíticamente, en su mayoría estudiamos procesos cuasiestáticos en este libro. Ya hemos visto que en un proceso cuasiestático el trabajo por un gas viene dado por pdV.

231

Como ilustración de un proceso isotérmico, considere un cilindro de gas con un pistón móvil sumergido en un gran tanque de agua cuya temperatura se mantiene constante. Dado que el pistón se puede mover libremente, la presión dentro de P_in se equilibra con la presión fuera de P_out por algunos pesos en el pistón, como en la Figura 3.9

Figura 3.9 Expandiendo un sistema a una temperatura constante. La eliminación de pesos en el pistón conduce a un desequilibrio de fuerzas en el pistón, lo que hace que el pistón se mueva hacia arriba. A medida que el pistón se mueve hacia arriba, la temperatura se reduce momentáneamente, lo que hace que el calor fluya desde el baño de calor al sistema. La energía para mover el pistón finalmente proviene del baño de calor.

A medida que se eliminan los pesos en el pistón, se desarrolla un desequilibrio de fuerzas en el pistón. La fuerza neta no nula en el pistón haría que el pistón se acelere, lo que da como resultado un aumento en el volumen. La expansión del gas enfría el gas a una temperatura más baja, lo que hace posible que el calor ingrese desde el baño de calor al sistema hasta que la temperatura del gas se reinicie a la temperatura del baño de calor.

233

Otros procesos cuasiestáticos de interés para los gases son los procesos isobáricos e isocóricos. Un proceso isobárico es un proceso donde la presión del sistema no cambia, mientras que un proceso isocórico es un proceso donde el volumen del sistema no cambia.

Procesos adiabáticos

En un proceso adiabático, el sistema está aislado de su entorno, de modo que, aunque el estado del sistema cambia, no se permite que el calor entre o salga del sistema, como se ve en la Figura 3.11. Se puede llevar a cabo un proceso adiabático de forma cuasiestática o no cuasiestática. Cuando un sistema se expande adiabáticamente, debe funcionar contra el mundo exterior y, por lo tanto, su energía disminuye, lo que se refleja en la disminución de la temperatura del sistema. Una expansión adiabática conduce a una disminución de la temperatura, y una compresión adiabática conduce a un aumento de la temperatura.

Procesos cíclicos

Decimos que un sistema pasa por un proceso cíclico si el estado del sistema al final es el mismo que el estado al principio. Por lo tanto, las propiedades de estado como temperatura, presión, volumen y energía interna del sistema no cambian en un ciclo completo:

ΔE_int = 0.

235

Por ejemplo, si ocurriera fricción entre el pistón y las paredes del cilindro que contiene el gas, la energía perdida por fricción nos impediría reproducir los estados originales del sistema.

Consideramos varios procesos termodinámicos:

1. Un proceso isotérmico, durante el cual la temperatura del sistema permanece constante
2. Un proceso adiabático, durante el cual no se transfiere calor hacia o desde el sistema
3. Un proceso isobárico, durante el cual la presión del sistema no cambia
4. Un proceso isocórico, durante el cual el volumen del sistema no cambia

También se producen muchos otros procesos que no encajan en ninguna de estas cuatro categorías.

En la siguiente escena interactiva, diseñada por Juan Guillermo Rivera Berrío, puedes configurar tu propio proceso en un diagrama pV. Observa si puedes calcular los valores predichos por la simulación para el calor, el trabajo y el cambio en la energía interna.

237

3.5 Capacidades de calor de un gas ideal

Aprendimos sobre el calor específico y la capacidad de calor molar en el apartado de temperatura y calor; sin embargo, no hemos considerado un proceso en el que se agregue calor. Hacemos eso en esta sección. Primero, examinamos un proceso donde el sistema tiene un volumen constante, luego lo contrastamos con un sistema a presión constante y mostramos cómo se relacionan sus calores específicos.

Comencemos mirando la Figura 3.12, que muestra dos recipientes A y B, cada uno con 1 mol del mismo tipo de gas ideal a una temperatura T y un volumen V. La única diferencia entre los dos recipientes es que el pistón en la parte superior de A es fijo, mientras que el que está en la parte superior de B es libre de moverse contra una presión externa constante p. Ahora consideramos qué ocurre cuando la temperatura del gas en cada recipiente aumenta lentamente a T + dT con la adición de calor.

Figura 3.12 Dos recipientes son idénticos, excepto que el pistón en la parte superior de A está fijo, mientras que en la parte superior B puede moverse libremente contra una presión externa constante p.

239

d(pV) = d(RT)

se convierte

pdV = RdT.

Finalmente, insertando las expresiones para dQ y pdV en la primera ley, obtenemos

dE_int = dQ - pdV = (C_p - R)dT.

Hemos encontrado una marca para ambos procesos isocóricos y isobáricos. Debido a que la energía interna de un gas ideal depende solo de la temperatura, dE_int debe ser el mismo para ambos procesos. Así,

C_VdT = (C_p - R)dT,

y

(3.10)

La derivación de la Ecuación 3.10 se basó solo en la ley de los gases ideales. En consecuencia, esta relación es aproximadamente válida para todos los gases diluidos, ya sean monoatómicos como el He, diatómicos como el O₂ o poliatómicos como el CO₂ o el NH₃.

241

3.6 Procesos adiabáticos para un gas ideal

Cuando un gas ideal se comprime adiabáticamente (Q = 0), el trabajo está hecho y su temperatura aumenta, en una expansión adiabática, el gas trabaja y su temperatura baja. En realidad, las compresiones adiabáticas se producen en los cilindros de un automóvil, donde las compresiones de la mezcla de gas y aire tienen lugar tan rápidamente que no hay tiempo para que la mezcla intercambie calor con su entorno. Sin embargo, debido a que se trabaja en la mezcla durante la compresión, su temperatura aumenta significativamente. De hecho, los aumentos de temperatura pueden ser tan grandes que la mezcla puede explotar sin la adición de una chispa. Dichas explosiones, dado que no están cronometradas, hacen que el automóvil funcione mal, por lo general "golpea". Debido a que la temperatura de ignición aumenta con el octano de gasolina, una forma de superar este problema es usar gasolina de alto octanaje.

Otro proceso adiabático interesante es la expansión libre de un gas. La Figura 3.13 muestra un gas confinado por una membrana a un lado de un contenedor con aislamiento térmico de dos compartimentos. Cuando se pincha la membrana, el gas se precipita en el lado vacío del contenedor, expandiéndose así libremente. Debido a que el gas se expande "contra un vacío" (p = 0), no trabaqja, y debido a que el recipiente está aislado térmicamente, la expansión es adiabática. Con Q = 0 y W = 0 en la primera ley, ΔE_int = 0, entonces E_{int i} = E_{int f} para la expansión libre.

Si el gas es ideal, la energía interna depende solo de la temperatura. Por lo tanto, cuando un gas ideal se expande libremente, su temperatura no cambia.

En la Figura 3.14 se representa una expansión adiabática cuasiestática de un gas ideal, que muestra un cilindro aislado que contiene 1 mol de un gas ideal.

243

Figura 3.14 Cuando la arena se extrae del pistón de un grano a la vez, el gas se expande adiabática y cuasi-estáticamente en el recipiente aislado.

así que

pdV + Vdp = RdT

y

dT = pdV + Vdp/R.

245

Obtenemos:

lnp + γlnV = constante.

Finalmente, usando ln(A^x) = xlnA y lnAB = lnA + lnB, podemos escribir

(3.12)

Esta ecuación es la condición que debe ser obedecida por un gas ideal en un proceso adiabático cuasiestático. Por ejemplo, si un gas ideal realiza una transición adiabática cuasiestática desde un estado con presión y volumen p₁ y V₁ a un estado con p₂ y V₂, entonces debe ser cierto que p₁V₁^γ = p₂V₂^γ.

La condición adiabática de la Ecuación 3.12 puede escribirse en términos de otros pares de variables termodinámicas combinándola con la ley de los gases ideales. Al hacer esto, encontramos que

p^1−γT^γ = constante

(3.13)

y

TV^γ-1

(3.14)

En el diagrama pV de la Figura 3.15 se representa una expansión adiabática reversible de un gas ideal. La pendiente de la curva en cualquier punto es

247

Ejemplo 3.7

Compresión de un gas ideal en un motor de automóvil

El vapor de gasolina se inyecta en el cilindro de un motor de automóvil cuando el pistón está en su posición expandida. La temperatura, presión y volumen de la mezcla de gas-aire resultante son 20 °C, 1.00 × 10⁵ N/m² y 240 cm³, respectivamente. La mezcla se comprime adiabáticamente a un volumen de 40 cm³. Ten en cuenta que en la operación real de un motor de automóvil, la compresión no es cuasiestática, aunque estamos haciendo esa suposición aquí. (a) ¿Cuál es la presión y la temperatura de la mezcla después de la compresión? (b) ¿Cuánto trabajo realiza la mezcla durante la compresión?

Estrategia

Debido a que estamos modelando el proceso como una compresión adiabática cuasiestática de un gas ideal, tenemos pV^γ = constante y pV = nRT. El trabajo necesario se puede evaluar con

W = ∫_V1V2pdV.

Solución

a. Para una compresión adiabática tenemos

p₂ = p₁(V₁/V₂)^γ

249

= K/1-γ(1/V₂^γ-1 - 1/V₁^γ-1)

= 1/1-γ(p_V2^γ/V₂^γ-1 - p_V1^γ/V₁^γ-1)

= 1/1-γ(p₂V₂ − p₁V₁)

= 1/1 - 1.40[(1.23 × 10⁶ N/m²)(40 × 10^-6 m³)

−(1.00 × 10⁵ N/m²)(240 × 10^-6 m³)]

= −63 J.

Explicación

El signo negativo en el trabajo realizado indica que el pistón trabaja en la mezcla de gas y aire. El motor no trabajaría si la mezcla de gas y aire trabajara en el pistón.

En la siguiente escena interactiva, diseñada por Juan Guillermo Rivera Berrío, se presenta un proceso adiabático, donde la presión y el volumen están relacionados por la ecuación PV^5/3 = constante.

251

3.7 Preguntas y respuestas - Capítulo III

Respuestas

Ampliar

253

Capítulo iv

La segunda ley de la termodinámica

Introducción

Figura 4.1 Un motor de iones de xenón del Laboratorio de Propulsión a Chorro muestra el tenue resplandor azul de los átomos cargados emitidos por el motor. El motor de propulsión iónica es la primera propulsión no química que se utilizará como el medio principal para propulsar una nave espacial. (crédito: modificación del trabajo por NASA / JPL)

De acuerdo con la primera ley de la termodinámica, los únicos procesos que pueden ocurrir son los que conservan energía. Pero esta no puede ser la única restricción impuesta por la naturaleza, porque muchos procesos termodinámicos aparentemente posibles que conservarían energía no ocurren. Por ejemplo, cuando dos cuerpos están en contacto térmico, el calor nunca fluye del cuerpo más frío al más cálido, aunque esto no está prohibido por la primera ley. Entonces, algunos otros principios termodinámicos deben controlar el comportamiento de los sistemas físicos.

257

Figura 4.2 Un gas que se expande de la mitad de un contenedor a todo el contenedor (a) antes y (b) después de que se retira la pared en el medio.

Si el contenedor está aislado térmicamente del resto del entorno, tampoco esperamos ninguna transferencia de calor al sistema, por lo que Q = 0. Entonces, la primera ley de la termodinámica conduce al cambio de la energía interna del sistema,

ΔE_int = Q - W = 0.

Para un gas ideal, si la energía interna no cambia, entonces la temperatura permanece igual. Por lo tanto, la ecuación de estado del gas ideal nos da la presión final del gas, p = nRT/V = p₀/2, donde p₀ es la presión del gas antes de la expansión. El volumen se duplica y la presión se reduce a la mitad, pero nada más parece haber cambiado durante la expansión.

Toda esta discusión se basa en lo que hemos aprendido hasta ahora y tiene sentido. Esto es lo que nos desconcierta: ¿pueden todas las moléculas retroceder a la mitad original del contenedor en algún momento futuro?

259

Pero este no es el caso, en términos prácticos, en un sistema macroscópico con más de 1023 partículas o moléculas, donde numerosas colisiones entre estas moléculas tienden a borrar cualquier rastro de memoria de la trayectoria inicial de cada una de las partículas. Por ejemplo, podemos estimar la posibilidad de que todas las partículas en el gas expandido vuelvan a la mitad original del contenedor, pero la edad actual del universo todavía no es lo suficientemente larga como para que ocurra ni siquiera una vez.

Un proceso irreversible es lo que encontramos en la realidad casi todo el tiempo. El sistema y su entorno no se pueden restaurar a sus estados originales al mismo tiempo. Porque esto es lo que sucede en la naturaleza, también se llama un proceso natural. El signo de un proceso irreversible proviene del gradiente finito entre los estados que ocurren en el proceso real. Por ejemplo, cuando el calor fluye de un objeto a otro, hay una diferencia de temperatura finita (gradiente) entre los dos objetos. Más importante aún, en cualquier momento dado del proceso, el sistema probablemente no esté en equilibrio o en un estado bien definido. Este fenómeno se llama irreversibilidad.

Veamos otro ejemplo de irreversibilidad en los procesos térmicos. Considera dos objetos en contacto térmico: uno a temperatura T₁ y el otro a temperatura T₂ > T₁, como se muestra en la Figura 4.3.

Sabemos por experiencia personal común que el calor fluye de un objeto más caliente a uno más frío. Por ejemplo, cuando sostenemos algunos pedazos de hielo en nuestras manos, sentimos frío porque el calor ha dejado nuestras manos en el hielo. Lo opuesto es cierto cuando sostenemos un extremo de una varilla de metal mientras mantenemos el otro extremo sobre el fuego. En base a todos los experimentos que se han realizado sobre la transferencia de calor espontánea, la siguiente declaración resume el principio rector:

261

Los procesos isotérmicos y adiabáticos bosquejados en un gráfico pV (discutido en La primera ley de la termodinámica) son reversibles en principio porque el sistema está siempre en un estado de equilibrio en cualquier punto de los procesos y puede avanzar o retroceder a lo largo de las curvas dadas. Otros procesos idealizados pueden representarse mediante curvas pV. La Tabla 4.1 resume los procesos reversibles más comunes.

Tabla 4.1 Resumen de procesos termodinámicos simples.

4.2 Máquinas térmicas o de Calor

Una máquina térmica es un dispositivo utilizado para extraer calor de una fuente y luego convertirlo en un trabajo mecánico que se utiliza para todo tipo de aplicaciones. Por ejemplo, una máquina de vapor en un tren antiguo puede producir el trabajo necesario para conducir el tren. Varias preguntas surgen de la construcción y aplicación de máquinas térmicas. Por ejemplo, ¿cuál es el porcentaje máximo del calor extraído que se puede usar para hacer el trabajo? Esto resulta ser una pregunta que solo puede ser respondida a través de la segunda ley de la termodinámica.

La segunda ley de la termodinámica se puede establecer formalmente de varias maneras.

263

En el diálogo, analizarás las distintas etapas del ciclo de la máquina de calor: compresión adiabática, calentamiento isóbaro, expansión adiabática y enfriamiento isóbaro. Tendrás que hacer una serie de predicciones con base en tu conocimiento. Al final entenderás cómo es que la máquina convierte calor en trabajo, y que no se pierde energía en ninguna etapa del ciclo de la misma.

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265

Figura 4.4 Una representación esquemática de una máquina de calor. La energía fluye del depósito caliente al depósito frío mientras se trabaja.

Figura 4.4b Motor de combustión de cuatro tiempos. Los números junto a la máquina indican cada uno de los cuatro tiempos del motor.

267

Supongamos que el motor de la Figura 4.4 pasa por un ciclo completo y que Q_h, Q_c y W representan los calores intercambiados y el trabajo realizado para ese ciclo. Como los estados inicial y final del sistema son iguales, ΔE_int = 0 para el ciclo. Por lo tanto, tenemos desde la primera ley de la termodinámica,

W = Q − ΔE_int = (Q_h − Q_c) − 0,

por lo tanto,

(4.1)

La medida más importante de una máquina térmica es su eficiencia (e), que es simplemente "lo que obtenemos" dividido por "lo que ponemos" durante cada ciclo, que se define por e = W_out/Q_in.

Con una máquina térmica trabajando entre dos depósitos de calor, salimos de W y ponemos Q_h, por lo que la eficiencia del motor es

(4.2)

Aquí, utilizamos la Ecuación 4.1, W = Q_h − Q_c, en el paso final de esta expresión para la eficiencia.

269

Q_c = W(1/e - 1) = 180 × (1/0.25 - 1) kJ = 540 kJ.

Explicación

A medida que aumenta la eficiencia, disminuye el calor mínimo descargado. Esto ayuda a nuestro medio ambiente y la atmósfera al no expulsar tanto calor residual.

4.3 Refrigeradores y bombas de calor

Figura 4.6 Una representación esquemática de un refrigerador (o una bomba de calor). La flecha al lado del trabajo (W) indica que se está trabajando en el sistema.

Los ciclos que usamos para describir el motor en la sección anterior son todos reversibles, por lo que cada secuencia de pasos se puede realizar fácilmente en la dirección opuesta. En este caso, el motor se conoce como refrigerador o bomba de calor, dependiendo de cuál sea el foco: el calor extraído del depósito frío o el calor vertido al depósito caliente.

271

Figura 4.7 Un diagrama esquemático de un refrigerador doméstico. Un refrigerante con una temperatura de ebullición debajo del punto de congelación del agua se envía a través del ciclo (en el sentido de las agujas del reloj en este diagrama). El refrigerante extrae el calor del refrigerador en el evaporador, lo que hace que el refrigerante se vaporice. Luego se comprime y se envía a través del condensador, donde extrae el calor hacia el exterior.

273

Esto se conoce como la declaración de Kelvin de la segunda ley de la termodinámica. Esta declaración describe un "motor perfecto" inalcanzable, como se representa esquemáticamente en la Figura 4.8 (a). Ten en cuenta que "sin ningún otro efecto" es una restricción muy fuerte. Por ejemplo, un motor puede absorber calor y convertirlo todo en trabajo, pero no si completa un ciclo. Sin completar un ciclo, la sustancia en el motor no está en su estado original y, por lo tanto, se ha producido un "otro efecto". Otro ejemplo es una cámara de gas que puede absorber calor de un depósito de calor y funcionar isotérmicamente contra un pistón a medida que se expande. Sin embargo, si el gas regresara a su estado inicial (es decir, hecho para completar un ciclo), tendría que ser comprimido y se tendría que extraer calor de él.

La declaración de Kelvin es una manifestación de un problema de ingeniería bien conocido. A pesar del avance de la tecnología, no podemos construir una máquina térmica que sea 100% eficiente. La primera ley no excluye la posibilidad de construir una máquina perfecta, pero la segunda ley lo prohíbe.

Podemos mostrar que la declaración de Kelvin es equivalente a la declaración de Clausius si vemos los dos objetos en la declaración Clausius como un depósito frío y un depósito caliente. Por lo tanto, la declaración de Clausius se convierte en: Es imposible construir un refrigerador que transfiera calor de un depósito frío a un depósito caliente sin ayuda de una fuente externa. La afirmación de Clausius se relaciona con la observación cotidiana de que el calor nunca fluye espontáneamente de un objeto frío a un objeto caliente. La transferencia de calor en la dirección de aumento de la temperatura siempre requiere un poco de energía. Un "refrigerador perfecto", que se muestra en la Figura 4.8 (b), que funciona sin dicha ayuda externa, es imposible de construir.

275

El calor neto eliminado del depósito caliente es ΔQ, no se produce transferencia neta de calor hacia o desde el depósito frío, y el trabajo W se realiza en algún cuerpo externo. Dado que W = ΔQ, la combinación de un refrigerador perfecto y un motor térmico real es en sí mismo un motor térmico perfecto, lo que contradice la declaración de Kelvin. Por lo tanto, si la declaración de Clausius es falsa, la declaración de Kelvin también debe ser falsa.

Figura 4.9 La combinación de un refrigerador perfecto y un motor térmico real produce una máquina térmica perfecta porque W = ΔQ.

Usando la segunda ley de la termodinámica, ahora demostramos dos propiedades importantes de las máquinas térmicas que funcionan entre dos depósitos de calor. La primera propiedad es que cualquier motor reversible que funcione entre dos depósitos tiene una mayor eficiencia que cualquier motor irreversible que funcione entre los mismos dos depósitos.

La segunda propiedad que debe demostrarse es que todos los motores reversibles que funcionan entre los mismos dos depósitos tienen la misma eficacia.

277

Ahora, es bastante fácil demostrar que las eficiencias de todos los motores reversibles que funcionan entre los mismos depósitos son iguales. Supongamos que D y E son ambos motores reversibles. Si están acoplados como se muestra en la Figura 4.10 (b), la eficiencia de E no puede ser mayor que la eficiencia de D, o se violaría la segunda ley. Si ambos motores se invierten, el mismo razonamiento implica que la eficiencia de D no puede ser mayor que la eficiencia de E. La combinación de estos resultados lleva a la conclusión de que todos los motores reversibles que trabajan entre los mismos dos depósitos tienen la misma eficacia.

Comprueba tu aprendizaje 4.1

Comprueba tu aprendizaje 4.2

279

La máquina ideal de Carnot

Esta escena interactiva, diseñada por José Luis San Emeterio Peña, te ayudará a comprender el diseño de Carnot.

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281

Fue en 1824 que Sadi Carnot (1786-1832), un ingeniero francés, se interesó en mejorar las eficiencias de los motores térmicos prácticos. Sus estudios lo llevaron a proponer el hipotético ciclo de trabajo con la mayor eficiencia posible entre los mismos dos depósitos o compartimentos, conocido ahora como el ciclo de Carnot. Un motor que opera en este ciclo se llama motor Carnot. El ciclo de Carnot es de especial importancia por una variedad de razones. En un nivel práctico, este ciclo representa un modelo reversible para la planta de energía de vapor y el refrigerador o la bomba de calor. Sin embargo, también es muy importante teóricamente, ya que juega un papel importante en el desarrollo de otra declaración importante de la segunda ley de la termodinámica. Finalmente, debido a que solo dos depósitos están involucrados en su operación, puede usarse junto con la segunda ley de termodinámica para definir una escala de temperatura absoluta que es verdaderamente independiente de cualquier sustancia utilizada para la medición de temperatura.

Con un gas ideal como sustancia de trabajo, los pasos del ciclo de Carnot, como se representa en la Figura 4.11, son los siguientes.

1. Expansión isotérmica. El gas se coloca en contacto térmico con un depósito de calor a una temperatura T_h. El gas absorbe calor Q_h del depósito de calor y se le permite expandirse isotérmicamente, haciendo el trabajo W₁. Debido a que la energía interna E_int de un gas ideal es una función de la temperatura solamente, el cambio de la energía interna es cero, es decir, ΔE_int = 0, durante esta expansión isotérmica. Con la primera ley de la termodinámica, ΔE_int = Q - W, encontramos que el calor absorbido por el gas es

Q_h = W₁ = nRT_hlnV_N/V_M

283

Figura 4.12 El trabajo total realizado por el gas en el ciclo de Carnot se muestra y se obtiene por el área encerrada por el ciclo MNOPM.

3. Compresión isotérmica. El gas se pone en contacto térmico con un depósito frío a temperatura T_c y se comprime isotérmicamente. Durante este proceso, el trabajo W₃ se realiza en el gas y cede calor Q_h al depósito frío. El razonamiento utilizado en el paso 1 ahora produce:

Q_c = nRT_clnV_O/V_P

donde Q_c es el calor arrojado al depósito frío por el gas.

285

V_O/V_P = V_N/V_M

Sustituyendo esto en la ecuación para Q_c/Q_h, obtenemos

Q_c/Q_h = T_c/T_h

Finalmente, con la ecuación 4.2, encontramos que la eficiencia de este motor de Carnot de gas ideal está dada por

(4.5)

Un motor no necesariamente tiene que seguir un ciclo de motor Carnot. Todos los motores, sin embargo, tienen el mismo efecto neto, a saber, la absorción de calor de un depósito caliente, la producción de trabajo y el descarte del calor en un depósito frío. Esto nos lleva a preguntarnos: ¿todos los ciclos reversibles que operan entre los mismos dos depósitos tienen la misma eficacia? La respuesta a esta pregunta proviene de la segunda ley de la termodinámica discutida anteriormente: todos los ciclos reversibles del motor producen exactamente la misma eficiencia. Además, como era de esperar, todos los motores reales que funcionan entre dos depósitos son menos eficientes que los motores reversibles que operan entre los mismos dos depósitos.

287

El trabajo realizado en el gas ideal es igual al área delimitada por la ruta del diagrama pV. Desde la primera ley, este trabajo es dado por

W = Q_h - Q_c.

Un análisis al igual que el análisis realizado para el motor Carnot da

Q_cT_c = Q_hT_h.

Cuando se combina con la ecuación 4.3, este rendimiento

(4.6)

para el coeficiente de rendimiento del refrigerador Carnot de gas ideal. Del mismo modo, podemos calcular el coeficiente de rendimiento de una bomba de calor Carnot como

(4.7)

Acabamos de encontrar ecuaciones que representan la eficiencia de un motor Carnot y el coeficiente de rendimiento de un refrigerador Carnot o una bomba de calor Carnot, suponiendo un gas ideal para la sustancia activa en ambos dispositivos.

289

Luego, a partir de la definición de la eficiencia, podemos encontrar el calor eliminado cuando se realiza el trabajo realizado por el motor. Finalmente, la conservación de energía conducirá a la cantidad de calor que se debe verter al depósito frío.

Solución

(a) Desde e = 1 - T_h/T_h tenemos

0.60 = 1 - 300 K/T_h

para que la temperatura del depósito caliente sea

T_h = 300 K/1 - 0.60 = 750 K.

(b) Por definición, la eficiencia del motor es e = W/Q, por lo que el calor eliminado del depósito de alta temperatura por ciclo es

Q_h = W/e = 300 J/0.60 = 500 J

(c) Desde la primera ley, el calor que el motor descarga al depósito de baja temperatura por ciclo es

Q_c = Q_h − W = 500J − 300J = 200J.

291

Explicación

Observamos que este trabajo depende no solo del calor suministrado a la casa sino también de las temperaturas externas e internas. La dependencia de la temperatura exterior hace que no sea práctico su uso en áreas donde la temperatura es mucho más fría que la temperatura ambiente.

En términos de costos de energía, la bomba de calor es un medio muy económico para calentar edificios (Figura 4.14). Contrasta este método con convertir la energía eléctrica directamente en calor con elementos de calentamiento resistivos. En este caso, una unidad de energía eléctrica proporciona como máximo solo una unidad de calor. Desafortunadamente, las bombas de calor tienen problemas que limitan su utilidad. Son bastante caras de comprar en comparación con elementos de calefacción resistivos, y, como muestra el coeficiente de rendimiento de una bomba de calor de Carnot, se vuelven menos efectivos a medida que disminuye la temperatura exterior. De hecho, por debajo de aproximadamente -10 °C, el calor que suministran es menor que la energía utilizada para operarlos.

Comprueba tu aprendizaje 4.3

293

4.6 Entropía

La segunda ley de la termodinámica se expresa mejor en términos de un cambio en la variable termodinámica conocida como entropía, que se representa con el símbolo S. La entropía, como la energía interna, es una función de estado. Esto significa que cuando un sistema hace una transición de un estado a otro, el cambio en la entropía ΔS es independiente de la ruta y depende solo de las variables termodinámicas de los dos estados.

Primero consideramos ΔS para un sistema sometido a un proceso reversible a temperatura constante. En este caso, el cambio en la entropía del sistema está dado por

(4.8)

donde Q es el calor intercambiado por el sistema mantenido a una temperatura T (en kelvin). Si el sistema absorbe calor, es decir, con Q > 0, la entropía del sistema aumenta. Como ejemplo, supongamos que un gas se mantiene a una temperatura constante de 300 K mientras que absorbe 10 J de calor en un proceso reversible. Luego de la Ecuación 4.8, el cambio de entropía del gas es

ΔS = 10 J/300 K = 0.033 J/K

295

ΔS = 16.8 kJ/273 K = 61.5 J/K

cuando se derrite a agua a 0 °C.

Explicación

Durante un cambio de fase, la temperatura es constante, lo que nos permite usar la Ecuación 4.8 para resolver este problema. La misma ecuación también podría usarse si cambiamos de una fase líquida a una fase gaseosa, ya que la temperatura tampoco cambia durante ese proceso.

El cambio en la entropía de un sistema para una transición arbitraria y reversible para la cual la temperatura no es necesariamente constante se define modificando ΔS = Q/T. Imagina un sistema que realiza una transición del estado A al B en pasos pequeños y discretos. Las temperaturas asociadas con estos estados son T_A y T_B, respectivamente. Durante cada paso de la transición, el sistema intercambia calor ΔQ_i de forma reversible a una temperatura T_i. Esto puede lograrse experimentalmente colocando el sistema en contacto térmico con una gran cantidad de depósitos de calor de diferentes temperaturas T_i, como se ilustra en la Figura 4.15. El cambio en entropía para cada paso es ΔS_i = Q_i/T_i. El cambio neto en la entropía del sistema para la transición es

ΔS = S_B − S_A = ∑_i ΔS_i = ∑_i ΔQ_i/T_i

Ahora tomamos el límite como ΔQi → 0, y el número de pasos se acerca al infinito.

297

ΔS_E = ΔS₁ + ΔS₂ + ΔS₃ + ΔS₄ = Q_h/T_h - Q_c/T_c

Sin embargo, sabemos que para un motor Carnot,

Q_h/T_h = Q_c/T_c

Entonces,

ΔS_E = 0

No hay un cambio neto en la entropía del motor de Carnot en un ciclo completo. Aunque este resultado se obtuvo para un caso particular, se puede demostrar que su validez es mucho más general: no hay un cambio neto en la entropía de un sistema que se somete a cualquier proceso cíclico reversible completo. Matemáticamente, escribimos esta declaración como

(4.11)

donde ∮ representa la integral sobre una trayectoria reversible cerrada.

Podemos usar la Ecuación 4.11 para mostrar que el cambio de entropía de un sistema sometido a un proceso reversible entre dos estados dados es independiente de la trayectoria.

299

Por lo tanto, el cambio de entropía al pasar de A a B es el mismo para las trayectorias I y II. Como las trayectorias I y II son arbitrarias y reversibles, el cambio de entropía en una transición entre dos estados de equilibrio es el mismo para todos los procesos reversibles que unen estos estados. La entropía, al igual que la energía interna, es por lo tanto una función de estado.

¿Qué pasa si el proceso es irreversible? Cuando el proceso es irreversible, esperamos que la entropía de un sistema cerrado, o el sistema y su entorno (el universo), aumenten. Por lo tanto, podemos reescribir esta expresión como

(4.12)

donde S es la entropía total del sistema cerrado o el universo entero, y el signo igual es para un proceso reversible. El hecho es la declaración de entropía de la segunda ley de la termodinámica:

Podemos demostrar que esta afirmación es consistente con la declaración de Kelvin, la declaración de Clausius y el principio de Carnot.

301

ΔS = ∫_ThTcdQ/T

A partir de la definición de capacidad de calor, un intercambio infinitesimal dQ para el objeto está relacionado con su cambio de temperatura dT por

dQ = mcdT.

Sustituyendo este dQ en la expresión para ΔS, obtenemos el cambio de entropía del objeto a medida que se enfría a presión constante de T_h a T_c:

ΔS = ∫_ThTcmcdT/T = mclnT_c/T_h

Ten en cuenta que ΔS < 0 aquí porque T_c < T_h. En otras palabras, el objeto ha perdido algo de entropía. Pero si contamos todo lo que se usa para eliminar el calor del objeto, aún así terminaríamos con ΔS_universo > 0 porque el proceso es irreversible.

Explicación

Si la temperatura cambia durante el flujo de calor, debes mantenerlo dentro de la integral para resolver el cambio de entropía. Sin embargo, si la temperatura es constante, simplemente puedes calcular el cambio de entropía como el flujo de calor dividido por la temperatura.

303

(c) ¿Cómo se compara la eficiencia del motor Stirling con el motor Carnot que trabaja dentro de los mismos dos depósitos de calor?

Estrategia

Utilizando la ley de los gases ideales, calcula la presión en cada punto para que puedan etiquetarse en el diagrama pV. El trabajo isotérmico se calcula usando

W = nRTlnV₂/V₁,

y un proceso isocórico no se realiza. El flujo de calor se calcula a partir de la primera ley de la termodinámica, Q = ΔE_int - W donde ΔE_int = 3/2nRΔT para gases monoatómicos. Los pasos isotérmicos tienen un cambio en la entropía de Q/T, mientras que los pasos isocóricos tienen un ΔS = 3/2nRlnT₂/T₁. La eficiencia de un motor térmico se calcula usando e_Stir = W/Q_h.

Solución

(a) El gráfico se muestra a continuación.

305

(c) La eficiencia del motor térmico Stirling es

e_Stir = W/Q_h = (Q_AB + Q_CD)/(Q_AB + Q_DA) = 0.5/4.5 = 0.11.

Si se tratara de un motor de Carnot que opera entre los mismos depósitos de calor, su eficiencia sería

e_Car = 1 − T_c/T_h = 0.25.

Por lo tanto, el motor Carnot tendría una mayor eficiencia que el motor Stirling.

Explicación

En los primeros días de las máquinas de vapor, se producían accidentes debido a la alta presión del vapor en la caldera. Robert Stirling desarrolló un motor en 1816 que no usaba vapor y, por lo tanto, era más seguro. El motor Stirling fue utilizado comúnmente en el siglo XIX, pero los desarrollos en los motores de vapor y de combustión interna han dificultado la ampliación del uso del motor Stirling.

El motor Stirling utiliza aire comprimido como sustancia de trabajo, que pasa de una cámara a otra con un tapón poroso, llamado regenerador, que está hecho de un material que no conduce el calor también. En dos de los pasos, los pistones en las dos cámaras se mueven en fase.

A continuación, presentamos una unidad interactiva publicada en la Red Descartes.

307

4.7 Entropía a escala microscópica

Hemos visto cómo la entropía está relacionada con el intercambio de calor a una temperatura particular. En esta sección, consideramos la entropía desde un punto de vista estadístico. Aunque los detalles del argumento están más allá del alcance de este libro de texto, resulta que la entropía puede relacionarse con cuán desordenado o aleatorio es un sistema: cuanto más desordenado, mayor es su entropía. Por ejemplo, una nueva baraja de cartas es muy ordenada, ya que las cartas están dispuestas numéricamente por palo. Al barajar este nuevo mazo, aleatorizamos la disposición de las cartas y, por lo tanto, aumentamos su entropía (Figura 4.17). Por lo tanto, al elegir una carta de la parte superior de la baraja, no habría ninguna indicación de cuál será la siguiente carta seleccionada.

Figura 4.17 La entropía de un nuevo mazo de cartas sube después de que el crupier los baraje. (crédito: "Rommel SK" / YouTube)

La segunda ley de la termodinámica requiere que la entropía del universo aumente en cualquier proceso irreversible. Por lo tanto, en términos de orden, la segunda ley se puede establecer de la siguiente manera:

309

ΔS_hielo = ΔS₁ + ΔS₂

= mL_f/T_A + mc∫_ABdT/T

= (50 × 335/273 + 50 × 4.19 × ln293/273) J/K

= 76.3 J/K.

b. Durante esta transición, el depósito proporciona al hielo una cantidad de calor igual a

Q = mL_f + mc(T_B − T_A)

= 50 × (335 + 4.19 × 20) J

= 2.10 × 10⁴ J.

Esto lleva a un cambio (disminución) en la entropía del depósito:

ΔS_depósito = -Q/T_B = −71.7 J/K

El aumento de la entropía del universo es, por lo tanto, ΔS_universo = 76.3 J/K - 71.7 J/K = 4.6 J/K > 0.

311

La segunda ley de la termodinámica deja en claro que la entropía del universo nunca disminuye durante ningún proceso termodinámico. Para cualquier otro sistema termodinámico, cuando el proceso es reversible, el cambio de la entropía viene dado por ΔS = Q/T. Pero, ¿qué sucede si la temperatura va a cero, T → 0? Resulta que esta no es una pregunta que pueda ser respondida por la segunda ley.

Un problema fundamental sigue siendo: ¿es posible enfriar un sistema hasta cero kelvin? Entendemos que el sistema debe estar en su estado de energía más bajo porque la disminución de la temperatura reduce la energía cinética de los constituyentes en el sistema. ¿Qué le sucede a la entropía de un sistema a la temperatura cero absoluta? Resulta que la temperatura cero absoluta no es alcanzable, al menos, no a través de un número finito de pasos de enfriamiento. Esta es una declaración de la tercera ley de la termodinámica, cuya demostración requiere la mecánica cuántica que no presentamos aquí. En experimentos reales, los físicos han empujado continuamente ese límite hacia abajo, con la temperatura más baja lograda en aproximadamente 1 × 10^-10 K en un laboratorio de baja temperatura en la Universidad de Tecnología de Helsinki en 2008.

Al igual que la segunda ley de la termodinámica, la tercera ley de la termodinámica se puede establecer de diferentes maneras. Una de las declaraciones comunes de la tercera ley de la termodinámica es: La temperatura cero absoluta no se puede alcanzar mediante un número finito de etapas de enfriamiento.

En otras palabras, la temperatura de cualquier sistema físico dado debe ser finita, es decir, T > 0. Esto produce una pregunta muy interesante en la física: ¿sabemos cómo se comportaría un sistema si estuviera en la temperatura cero absoluta?

La razón por la que un sistema no puede alcanzar 0 K es fundamental y requiere la mecánica cuántica para comprender completamente su origen.

313

Figura 4.18 La expansión libre adiabática de un gas ideal del volumen V₁ al volumen V₂.

Estrategia

La expansión libre adiabática de un gas ideal es un proceso irreversible. No hay ningún cambio en la energía interna (y por lo tanto, en la temperatura) del gas en dicha expansión porque no ha ocurrido ningún trabajo o transferencia de calor. Por lo tanto, una ruta reversible conveniente que conecta los mismos dos estados de equilibrio es una expansión isotérmica lenta desde V₁ a V₂. En este proceso, el gas podría expandirse contra un pistón mientras está en contacto térmico con un depósito de calor, como en el paso 1 del ciclo de Carnot.

Solución

Como la temperatura es constante, el cambio de entropía viene dado por ΔS = Q/T, donde

Q = W = ∫_V1V2pdV

315

El calor fluye de un objeto de acero de 4.00 kg de masa cuya temperatura es de 400 K a un objeto idéntico a 300 K. Suponiendo que los objetos están térmicamente aislados del ambiente, ¿cuál es el cambio de entropía neta del universo después de alcanzar el equilibrio térmico?

Estrategia

Dado que los objetos son idénticos, su temperatura común en equilibrio es de 350 K. Para calcular los cambios de entropía asociados con sus transiciones, sustituimos el proceso irreversible de la transferencia de calor por dos procesos isobáricos y reversibles, uno para cada uno de los dos objetos. El cambio de entropía para cada objeto viene dado por ΔS = mcln(T_B/T_A).

Solución

Usando c = 450 J/kg•K, el calor específico del acero, tenemos para el objeto más caliente

ΔS_h = ∫_T1T2mcdT/T = mclnT₂/T₁

ΔS_h = (4.00 kg)(450 J/kg•K)ln350 K/400 K = −240 J/K

Del mismo modo, el cambio de entropía del objeto más frío es

317

4.8 Preguntas y respuestas - Capítulo IV

Respuestas

Ampliar

319

Capítulo v

Cargas y campos eléctricos

Introducción

Figura 5.1 Las cargas eléctricas existen a nuestro alrededor. Pueden causar que los objetos sean repelidos entre sí o que se atraigan entre sí. (crédito: modificación del trabajo por Sean McGrath)

Cuando estábamos estudiando las leyes de Newton, identificamos varios fenómenos físicos como fuerzas. Lo hicimos en función del efecto que tenían en un objeto físico: específicamente, hacían que el objeto se acelerara. Más tarde, cuando estudiamos el impulso y el momento, ampliamos esta idea para identificar una fuerza como un fenómeno físico que cambia el momento de un objeto. En cualquier caso, el resultado es el mismo: reconocemos una fuerza por el efecto que tiene sobre un objeto.

323

Si te peinas el cabello en un día seco y luego colocas el peine cerca de una delgada corriente de agua que sale de un grifo, encontrará que la corriente de agua se inclina hacia (se siente atraída por) el peine (Figura 5.2).

Figura 5.2 Un peine cargado eléctricamente atrae una corriente de agua desde la distancia. Ten en cuenta que el agua no está tocando el peine. (crédito: Jane Whitney)

En la siguiente escena interactiva, diseñada por Julio César Domínguez Tovar, podrás comparar diferentes formas de cargar eléctricamente los objetos, así como detectar la carga a través de la simulación de un electroscopio.

325

Supongamos que llevas un peine cerca de unas tiras pequeñas de papel; las tiras de papel son atraídas por el peine e incluso se adhieren a él (Figura 5.3). En la cocina, sacas rápidamente un trozo de plástico del rollo; tenderá a adherirse a la mayoría de los materiales no metálicos (como plástico, vidrio o alimentos). Si frotas un globo en la pared por unos segundos, se pegará a la pared. Probablemente el efecto más molesto de la electricidad estática se vea conmocionado por un picaporte (o un amigo) después de arrastrar los pies sobre algunos tipos de alfombras.

Figura 5.3 Después de ser utilizado para peinar el cabello, este peine atrae pequeñas tiras de papel desde la distancia, sin contacto físico. La investigación de este comportamiento ayudó a conducir al concepto de la fuerza eléctrica. (crédito: Jane Whitney)

Muchos de estos fenómenos se conocen desde hace siglos. El antiguo filósofo griego Tales de Mileto (624-546 aC) registró que cuando el ámbar (una resina dura, translúcida y fosilizada de árboles extintos) se frotaba vigorosamente con un trozo de pelo, se creaba una fuerza que causaba que el pelaje y el ámbar sean atraídos el uno por el otro (Figura 5.4).

327

Figura 5.5 Cuando se frotan los materiales, las cargas se pueden separar, particularmente si un material tiene una mayor afinidad por los electrones que otro. (a) Tanto el ámbar como la tela son originalmente neutros, con las mismas cargas positivas y negativas. Solo una pequeña fracción de las cargas están involucradan, y solo unas pocas se muestran aquí. (b) Cuando se frotan entre sí, una cierta carga negativa se transfiere al ámbar, dejando la tela con una carga neta positiva. (c) Cuando se separan, el ámbar y la tela ahora tienen cargas netas, pero el valor absoluto de las cargas netas positivas y negativas será igual.

Esto sugirió que había dos tipos de una propiedad eléctrica, que llegó a llamarse carga eléctrica. La diferencia entre los dos tipos de carga eléctrica está en las direcciones de las fuerzas eléctricas que causa cada tipo de carga. Estas fuerzas son repulsivas cuando existe el mismo tipo de carga en dos objetos que interactúan y son atractivas cuando las cargas son de tipos opuestos. La unidad SI de carga eléctrica es el culombio (C), en honor al físico francés Charles-Augustin de Coulomb (1736-1806). El aspecto más peculiar de esta nueva fuerza es que no requiere contacto físico entre los dos objetos para causar una aceleración. Este es un ejemplo de una fuerza llamada de "largo alcance" (o, como Albert Einstein lo formuló más tarde, "acción a distancia"). Con la excepción de la gravedad, todas las otras fuerzas que hemos discutido hasta ahora actúan solo cuando los dos objetos que interactúan realmente se tocan.

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Figura 5.6 Una jarra Leyden (una versión temprana de lo que ahora se llama un condensador) permitió a los experimentadores almacenar grandes cantidades de carga eléctrica. Benjamin Franklin usó una jarra de ese tipo para demostrar que los rayos se comportaban exactamente como la electricidad que obtenía del equipo en su laboratorio.

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Significa que si dos objetos que tienen cargas iguales y opuestas están físicamente cerca el uno del otro, entonces las fuerzas (opuestamente dirigidas) que se aplican en otro objeto cargado se cancelan, para una fuerza neta cero. Es importante que comprendas que las cargas en los objetos de ninguna manera desaparecen. La carga neta del universo es constante.

• La carga se conserva en sistemas cerrados. En principio, si una carga negativa desapareció de su banco de laboratorio y reapareció en la Luna, la conservación de la carga se mantendría. Sin embargo, esto nunca sucede. Si la carga total que tienes en tu sistema local en tu banco de laboratorio está cambiando, habrá un flujo de carga mensurable dentro o fuera del sistema. Una vez más, las cargas pueden moverse y... se mueven, y sus efectos pueden cancelarse, pero la carga neta en tu entorno local (si está cerrado) se conserva. Los dos últimos elementos se conocen como la ley de conservación de la carga.

La fuente de las cargas: la estructura del átomo

Una vez que quedó claro que toda la materia estaba compuesta de partículas que se llamarían átomos, también se hizo evidente rápidamente que los componentes del átomo incluían tanto partículas con carga positiva como partículas con carga negativa. La siguiente pregunta fue, ¿cuáles son las propiedades físicas de esas partículas con carga eléctrica?

La partícula con carga negativa fue la primera en ser descubierta. En 1897, el físico inglés J. J. Thomson estaba estudiando lo que entonces se conocía como rayos catódicos. Algunos años antes, el físico inglés William Crookes había demostrado que estos "rayos" estaban cargados negativamente, pero sus experimentos fueron incapaces de decir nada más que eso (el hecho de que llevaran una carga eléctrica negativa fue una fuerte evidencia de que no eran rayos, sino partículas).

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Figura 5.7 Este modelo simplificado de un átomo de hidrógeno muestra un núcleo con carga positiva (que consiste, en el caso del hidrógeno, de un único protón), rodeado por una "nube" de electrones. La carga de la nube de electrones es igual (y de signo opuesto) a la carga del núcleo, pero el electrón no tiene una ubicación definida en el espacio; por lo tanto, su representación aquí es como una nube. Las cantidades macroscópicas normales de materia contienen un inmenso número de átomos y moléculas y, por lo tanto, un número aún mayor de cargas negativas y positivas individuales.

Este misterio fue resuelto en 1932 por el físico inglés James Chadwick, con el descubrimiento del neutrón. El neutrón es, esencialmente, un gemelo eléctricamente neutro del protón, sin carga eléctrica, pero (casi) masa idéntica al protón. El núcleo de helio por lo tanto tiene dos neutrones junto con sus dos protones (los experimentos posteriores mostrarían que aunque el neutrón es eléctricamente neutro en general, sí tiene una estructura de carga interna.

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En la siguiente escena interactiva, diseñada por Claudio Francisco Nebbia Rubio, podrás observar estos modelos sobre el átomo. Esta escena hace parte del proyecto Telesecundaria, publicado por la Red Descartes.

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5.2 Conductores, aislantes y carga por inducción

En la sección anterior, dijimos que los científicos podían crear carga eléctrica solo en materiales no metálicos y nunca en metales. Para entender por qué este es el caso, debes comprender más acerca de la naturaleza y la estructura de los átomos. En esta sección, discutimos cómo y por qué las cargas eléctricas se mueven o no a través de los materiales (Figura 5.9). Una descripción más completa se da en un capítulo posterior.

Figura 5.9 Este adaptador de corriente utiliza cables y conectores metálicos para conducir la electricidad de la toma de corriente a una computadora portátil. Los cables conductores permiten que los electrones se muevan libremente a través de los cables, que están protegidos por caucho y plástico. Estos materiales actúan como aislantes que no permiten que la carga eléctrica escape hacia afuera. (crédito: modificación del trabajo de "Evan-Amos" / Wikimedia Commons)

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Como sucede, el ámbar, el pelaje y la mayoría de las gemas semipreciosas son aislantes, al igual que los materiales como la madera, el vidrio y el plástico.

Carga por inducción

Examinemos con más detalle lo que ocurre en un conductor cuando un objeto cargado eléctricamente se acerca a él. Como se mencionó, los electrones de conducción en el conductor pueden moverse con libertad casi total. Como resultado, cuando un aislante cargado (como una varilla de vidrio con carga positiva) se acerca al conductor, la carga (total) en el aislante ejerce una fuerza eléctrica sobre los electrones de conducción. Como la varilla está cargada positivamente, los electrones de conducción (que a su vez están cargados negativamente) son atraídos, fluyendo hacia el aislante hasta el lado más cercano del conductor (Figura 5.10).

Ahora, el conductor sigue siendo en general eléctricamente neutral; los electrones de conducción han cambiado de posición, pero todavía están en el material conductor. Sin embargo, el conductor ahora tiene una distribución de carga; el extremo cercano (la parte del conductor más cercana al aislaante) ahora tiene más carga negativa que carga positiva, y la inversa es verdadera para el extremo más alejado del aislante. La reubicación de cargas negativas en el lado más cercano del conductor da como resultado una carga positiva general en la parte del conductor más alejada del aislante. Así hemos creado una distribución de carga eléctrica donde antes no existía. Este proceso se denomina polarización inducida, en este caso, polarizando el conductor. La separación resultante de carga positiva y negativa se denomina polarización, y se dice que un material, o incluso una molécula, que exhibe polarización está polarizado. Una situación similar ocurre con un aislante con carga negativa, pero la polarización resultante es en la dirección opuesta.

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Figura 5.11 Los objetos positivos y negativos atraen un objeto neutral al polarizar sus moléculas. (a) Un objeto positivo que se acerca a un aislante neutro polariza sus moléculas. Hay un ligero cambio en la distribución de los electrones que orbitan alrededor de la molécula, con cargas diferentes que se acercan y cargas similares que se alejan. Como la fuerza electrostática disminuye con la distancia, hay una atracción neta. (b) Un objeto negativo produce la polarización opuesta, pero nuevamente atrae el objeto neutral. (c) El mismo efecto ocurre para un conductor; dado que a diferencia de las cargas están más cerca, hay una atracción neta.

Cuando una barra cargada se acerca a una sustancia neutra, un aislante en este caso, la distribución de carga en átomos y moléculas se desplaza ligeramente. La carga opuesta es atraída más cerca de la barra cargada externamente, mientras que la carga similar es repelida. Dado que la fuerza electrostática disminuye con la distancia, la repulsión de cargas similares es más débil que la atracción de cargas diferentes, por lo que existe una atracción neta. Por lo tanto, una varilla de vidrio con carga positiva atrae trozos de papel neutros, al igual que una varilla de caucho con carga negativa. Algunas moléculas, como el agua, son moléculas polares. Las moléculas polares tienen una separación de carga natural o inherente, aunque son neutrales en general. Las moléculas polares se ven particularmente afectadas por otros objetos cargados y muestran mayores efectos de polarización que las moléculas con distribuciones de carga naturalmente uniformes.

Cuando se pueden separar los dos extremos de un dipolo, este método de carga por inducción puede usarse para crear objetos cargados sin transferir carga. En la Figura 5.12, vemos dos esferas neutras de metal en contacto entre sí, pero aisladas del resto del mundo.

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Figura 5.12b Carga por inducción (c) Las esferas se separan antes de retirar la varilla, separando así las cargas negativas y positivas. (d) Las esferas retienen las cargas netas después de que se retira la barra inductora, sin haber sido tocadas por un objeto cargado.

La conexión a tierra se rompe antes de que se quite la varilla cargada, dejando la esfera con una carga en exceso opuesta a la de la varilla. Nuevamente, se logra una carga opuesta cuando se carga por inducción, y la varilla cargada no pierde nada de su exceso de carga.

345

Sea

• q₁, q₂: las cargas eléctricas netas de los dos objetos
• r→₁₂: el vector desplazamiento de q₁ a q₂.

La fuerza eléctrica F→ en una de las cargas es proporcional a la magnitud de su propia carga y la magnitud de la otra carga, y es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos:

F ∝ q₁q₂/r₁₂²

Esta proporcionalidad se convierte en una igualdad con la introducción de una constante de proporcionalidad. Por razones que se aclararán en un capítulo posterior, la constante de proporcionalidad que usamos es en realidad una colección de constantes.

(5.1)

347

Tiene un significado físico muy importante que discutiremos en un capítulo posterior; por ahora, es simplemente una constante de proporcionalidad empírica. Su valor numérico (a tres cifras significativas) resulta ser

ε₀ = 8.85 × 10⁻¹²C²/N•m².

Se requiere que estas unidades den la fuerza en la ley de Coulomb a las unidades correctas de newtons. Ten en cuenta que en la ley de Coulomb, la permitividad del vacío es solo una parte de la constante de proporcionalidad. Por conveniencia, a menudo definimos una constante de Coulomb:

k_e = 1/4πε₀ = 8.99 × 10⁹N•m²/C²

Ejemplo 5.1

La fuerza sobre el electrón en el hidrógeno

Un átomo de hidrógeno consiste en un solo protón y un solo electrón. El protón tiene una carga de + e y el electrón tiene -e. En el "estado fundamental" del átomo, el electrón orbita el protón a la distancia más probable de 5.29 × 10^-11 m (Figura 5.15). Calcula la fuerza eléctrica en el electrón debido al protón.

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q₁ = +e = +1.602 × 10⁻¹⁹ C

q₂ = -e = -1.602 × 10⁻¹⁹ C

r = 5.29 × 10⁻¹¹ m

La magnitud de la fuerza en el electrón es

F = 1/4πε₀|e|²/² = 1/4π(8.85 × 10⁻¹² C²/N•m²)(1.602 × 10⁻¹⁹ C)²/(5.29 × 10⁻¹¹ m)² = 8.25 × 10^-8 N

En cuanto a la dirección, dado que las cargas en las dos partículas son opuestas, la fuerza es atractiva; la fuerza en el electrón apunta radialmente y directamente hacia el protón, en todas partes en la órbita del electrón. La fuerza se expresa así

F→ = (8.25 × 10^-8 N)r→

Explicación

Este es un sistema tridimensional, por lo que el electrón (y, por lo tanto, la fuerza sobre él) puede estar en cualquier lugar en una capa esférica imaginaria alrededor del protón. En este modelo "clásico" del átomo de hidrógeno, la fuerza electrostática en el electrón apunta en dirección centrípeta hacia adentro, manteniendo así la órbita del electrón. Pero ten en cuenta que el modelo mecánico cuántico del hidrógeno (discutido en Mecánica Cuántica) es completamente diferente.

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Cargas de fuente múltiple

El análisis que hemos hecho para dos partículas se puede extender a un número arbitrario de partículas; simplemente repetimos el análisis, dos cargas a la vez.

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Ten en cuenta que no hay diferencia física entre Q y q_i; la diferencia en las etiquetas es meramente permitir una discusión clara, siendo Q la carga sobre la que estamos determinando la fuerza.

Figura 5.16. Las ocho cargas de origen aplican una fuerza sobre la carga de prueba individual Q. Cada fuerza puede calcularse independientemente de las otras siete fuerzas. Esta es la esencia del principio de superposición.

(Ten en cuenta que el vector de fuerza F→_i no apunta necesariamente en la misma dirección que el vector unitario r_i; puede apuntar en la dirección opuesta, -r_i. Los signos de la carga fuente y la carga de prueba determinan la dirección de la fuerza en la carga de prueba).

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Figura 5.17. Las cargas fuente q₁ y q₃ aplican una fuerza sobre q₂.

El principio de superposición dice que la fuerza sobre q₂ de cada una de las otras cargas no se ve afectada por la presencia de la otra carga. Por lo tanto, escribimos la fuerza en q₂ de cada una y las agregamos juntas como vectores

Solución

Tenemos dos cargas fuente (q₁ y q₃), una carga de prueba (q₂), distancias (r₂₁ y r₂₃), y se nos pide que encontremos una fuerza. Esto requiere la ley de Coulomb y la superposición de fuerzas. Hay dos fuerzas:

F→ = F→₂₁ + F→₂₃ = 1/4πε₀[q₂q₁/r₂₁²j^ + (-q₂q₃/r₂₃²i^)]

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= 3.46 × 10⁻¹⁴ N

Encontramos que

F = √F_x² + F_y²/ = 4.08 × 10⁻¹⁴ N

en unángulo de

φ = tan⁻¹F_y/F_x = tan⁻¹3.46 × 10⁻¹⁴ N/-2.16 × 10⁻¹⁴ N = −58°

es decir, 58° por encima del eje -x, como se muestra en el diagrama.

Explicación

Ten en cuenta que cuando sustituimos los valores numéricos de las cargas, no incluimos el signo negativo de q₂ o q₃. Recuerda que los signos negativos en las cantidades de vectores indican una inversión de la dirección del vector. Pero para las fuerzas eléctricas, la dirección de la fuerza está determinada por los tipos (signos) de ambas cargas que interactúan; determinamos las direcciones de fuerza al considerar si los signos de las dos cargas son iguales o son opuestos. Si también incluyes signos negativos de cargas negativas cuando sustituyes números, corres el riesgo de invertir matemáticamente la dirección de la fuerza que estás calculando. Por lo tanto, lo más seguro es calcular solo la magnitud de la fuerza, utilizando los valores absolutos de las cargas y determinar las direcciones físicamente.

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361

Podemos reescribir la expresión anterior como

(5.3)

donde

o, más compacto,

(5.4)

Esta expresión se denomina campo eléctrico en la posición P = P(x, y, z) de las cargas de fuente N. Aquí, P es la ubicación del punto en el espacio donde se calcula el campo y es relativo a las posiciones r→_i de las cargas fuente (Figura 5.18). Ten en cuenta que tenemos que imponer un sistema de coordenadas para resolver problemas reales.

Ten en cuenta que el cálculo del campo eléctrico no hace referencia a la carga de prueba. Por lo tanto, el enfoque físicamente útil es calcular el campo eléctrico y luego usarlo para calcular la fuerza sobre alguna carga de prueba más tarde, si es necesario. Diferentes cargas de prueba experimentan fuerzas diferentes (Ecuación 5.3), pero es el mismo campo eléctrico (Ecuación 5.4).

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Una vez que hayamos calculado el campo gravitacional en algún punto del espacio, podemos usarlo en cualquier momento que queramos calcular la fuerza resultante en cualquier masa que elijamos colocar en ese punto. De hecho, esto es exactamente lo que hacemos cuando decimos que el campo gravitacional de la Tierra (cerca de la superficie de la Tierra) tiene un valor de 9.81 m/s², y luego calculamos la fuerza resultante (es decir, el peso) en diferentes masas. Además, la expresión general para calcular g→ a distancias arbitrarias del centro de la Tierra (es decir, no solo cerca de la superficie de la Tierra) es muy similar a la expresión para E→: g→ = GM/r²r^, donde G es una constante de proporcionalidad, desempeñando el mismo papel para g→ como 1/4πε₀ hace para E→. El valor de g→ se calcula una vez y luego se usa en un número infinito de problemas.

Para impulsar aún más la analogía, observa las unidades del campo eléctrico: de F = QE, las unidades de E son newtons por culombio, N/C, es decir, el campo eléctrico aplica una fuerza en cada unidad de carga. Ahora observa las unidades de g: Desde w = mg, las unidades de g son newtons por kilogramo, N/kg, es decir, el campo gravitacional aplica una fuerza sobre cada unidad de masa. Podríamos decir que el campo gravitatorio de la Tierra, cerca de la superficie de la Tierra, tiene un valor de 9.81 N/kg.

El significado de "campo"

Recuerda de tus estudios de la gravedad que la palabra "campo" en este contexto tiene un significado preciso.

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En este contexto, eso significa que podemos (en principio) calcular el campo eléctrico total de muchas cargas fuente calculando el campo eléctrico de solo q₁ en la posición P, luego calculamos el campo de q₂ en P. Podemos repetir este proceso, calculando el campo de cada carga fuente individual, independientemente de la existencia de cualquiera de las otras cargoas. El campo eléctrico total, entonces, es la suma vectorial de todos estos campos. Eso, en esencia, es lo que dice la Ecuación 5.4.

La dirección del campo

La ecuación 5.4 nos permite determinar la magnitud del campo eléctrico, pero también necesitamos la dirección. Usamos la convención de que la dirección de cualquier vector de campo eléctrico es la misma que la dirección del vector de fuerza eléctrica que el campo aplicaría a una carga de prueba positiva colocada en ese campo. Tal carga sería repelida por cargas fuente positivas (la fuerza sobre ella apunta lejos de la carga fuente positiva) pero atraída por cargas negativas (la fuerza apunta hacia la fuente negativa).

En la siguiente escena interactiva, diseñada por Andrew Duffy, puedes aumentar el número de cargas fuente, arrastrar las partículas alrededor de la pantalla para cambiar sus posiciones, observar el campo eléctrico y el movimiento de la carga de prueba.

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Ejemplo 5.3

El campo E de un átomo

En un átomo de helio ionizado, la distancia más probable entre el núcleo y el electrón es r = 26.5 × 10^-12 m. ¿Cuál es el campo eléctrico debido al núcleo en la ubicación del electrón?

Estrategia

Ten en cuenta que, aunque se menciona el electrón, no se utiliza en ningún cálculo. El problema requiere un campo eléctrico, no una fuerza; por lo tanto, solo hay una carga involucrada, y el problema específicamente pregunta por el campo debido al núcleo. Por lo tanto, el electrón es una cortina de humo, solo su distancia importa. Además, dado que la distancia entre los dos protones en el núcleo es mucho más pequeña que la distancia del electrón del núcleo, podemos tratar los dos protones como una sola carga + 2e (Figura 5.19).

Solución

El campo eléctrico se calcula mediante

E→ = 1/4πε₀∑_i=1Nq_i/r_i²r→_i

Como solo hay una carga fuente (el núcleo), esta expresión se simplifica a

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La dirección de E→ está radialmente alejada del núcleo en todas las direcciones. ¿Por qué? Debido a que una carga de prueba positiva colocada en este campo se aceleraría radialmente desde el núcleo (ya que también está cargada positivamente), y de nuevo, la convención es que la dirección del vector de campo eléctrico se define en términos de la dirección de la fuerza que se aplicaría a las cargas de prueba positivas.

Ejemplo 5.4

El campo E arriba de dos cargas iguales

(a) Encuentra el campo eléctrico (magnitud y dirección) una distancia z por encima del punto medio entre dos cargas iguales + q que están separadas por una distancia d (Figura 5.20). Verifica que tu resultado sea consistente con lo que esperaría cuando z >> d.

(b) Igual que la parte (a), solo que esta vez haz la carga a la derecha -q en lugar de + q.

Estrategia

Agregamos los dos campos como vectores, según la Ecuación 5.4. Observa que el sistema (y por lo tanto el campo) es simétrico respecto al eje vertical; como resultado, las componentes horizontales de los vectores de campo se cancelan. Esto simplifica las matemáticas. Además, nos ocupamos de expresar nuestra respuesta final en términos de solo las cantidades que se dan en la declaración original del problema: q, z, d y constantes (π, ε₀).

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Figura 5.21. Ten en cuenta que los componentes horizontales de los campos eléctricos de las dos cargas se cancelan mutuamente, mientras que los componentes verticales se suman.

Como ninguno de los otros componentes sobrevive, este es el campo eléctrico completo, y apunta en la dirección k. Ten en cuenta que este cálculo utiliza el principio de superposición; calculamos los campos de las dos cargas de forma independiente y luego las agregamos juntas.

Lo que queremos hacer ahora es reemplazar las cantidades en esta expresión que no conocemos (como r), o que no podemos medir fácilmente (como cosθ) con cantidades que conocemos o que podemos medir. En este caso, por geometría,

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E→(z) = 1/4πε₀q/r²senθi^ - 1/4πε₀-q/r²senθi^ = 1/4πε₀2q/r²senθi^

E→(z) = 1/4πε₀2q/[z² + (d/2)²](d/2)/[z² + (d/2)²]^1/2

Esto se convierte en

E→(z) = 1/4πε₀qd/[z² + (d/2)²]^3/2

(5.6)

Explicación

Es una técnica muy común y muy útil en física para verificar si tu respuesta es razonable al evaluarla en casos extremos. En este ejemplo, debemos evaluar las expresiones de campo para los casos d = 0, z >> d y z → ∞, y confirmar que las expresiones resultantes coinciden con nuestras expectativas físicas. Hagámoslo así:

Comencemos con la Ecuación 5.5, el campo de dos cargas idénticas. Desde muy lejos (es decir, z >> d), las dos cargas origen deberían "fusionarse" y deberíamos "ver" el campo de una sola carga, de tamaño 2q. Por lo tanto, deja z >> d; entonces podemos despreciar d² en la Ecuación 5.5 para obtener

limd→0E→ = 1/4πε₀2qz/[z²]^3/2k^ = 1/4πε₀2qz/z³k^ = 1/4πε₀2q/z²k^

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Ten en cuenta que debido a que la carga se cuantifica, no existe una distribución de carga "verdaderamente" continua. Sin embargo, en la mayoría de los casos prácticos, la carga total que crea el campo involucra una cantidad tan grande de cargas discretas que podemos ignorar de forma segura la naturaleza discreta de la carga y considerarla continua. Este es exactamente el tipo de aproximación que hacemos cuando manejamos un cubo de agua como un fluido continuo, en lugar de una colección de moléculas de H₂O. Nuestro primer paso es definir una densidad de carga para una distribución de carga a lo largo de una línea, a través de una superficie o dentro de un volumen, como se muestra en la Figura 5.22.

Figura 5.22. La configuración de los elementos diferenciales de carga para una (a) carga de línea, (b) hoja de carga y (c) un volumen de carga. También ten en cuenta que (d) algunos de los componentes del campo eléctrico total se cancelan, y el resto da como resultado un campo eléctrico neto.

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Las integrales son generalizaciones de la expresión para el campo de una carga puntual. Incluyen implícitamente y asumen el principio de superposición. El "truco" para usarlos casi siempre es encontrar expresiones correctas para dl, dA o dV, según sea el caso, expresadas en términos de r, y también expresar la función de densidad de carga de manera apropiada. Puede ser constante; podría depender de la ubicación.

Observa cuidadosamente el significado de r en estas ecuaciones: es la distancia desde el elemento de carga (q_i, λdl, &lsigma;dA, &lrho;dV) a la ubicación de interés, P(x, y, z) (el punto en el espacio donde desea determinar el campo). Sin embargo, no confundas esto con el sentido de r; lo estamos usando con la notación vectorial E→ para escribir tres integrales a la vez. Es decir, la ecuación 5.9 es en realidad

E→_x(P) = 1/4πε₀∫_línea(λdl/r²)_x, E→_y(P) = 1/4πε₀∫_línea(λdl/r²)_y, E→_z(P) = 1/4πε₀∫_línea(λdl/r²)_z

Ejemplo 5.5

Campo eléctrico de un segmento de línea

Encuentra el campo eléctrico una distancia z por encima del punto medio de un segmento de línea recta de longitud L que lleve una densidad de carga lineal uniforme λ.

Estrategia

Como se trata de una distribución de carga continua, separamos el segmento de cable en piezas diferenciales de longitud dl

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El campo eléctrico para una carga de línea viene dado por la expresión general.

E→(P) = 1/4πε₀∫_línea(λdl/r²)r^