# Geometría analítica
del plano

# INTERACTIVO

GEOMETRÍA ANALÍTICA DEL PLANO
INTERACTIVO

María José García Cebrian
Red Educativa Digital Descartes, España

Fondo Editorial Pascual Bravo

Medellín

Título de la obra
Geometría analítica del plano
María José García Cebrian
Primera edición: 2018

Diseño del libro: Juan Guillermo Rivera Berrío
Diseño de cubierta: Diana María Velásquez García
Librería turn.js: Emmanuel García
Herramienta de edición: DescartesJS
Fuente: Amaranth

Fondo Editorial Pascual Bravo
Calle 73 73A-226
PBX: (574) 4480520
Apartado 6564
Medellín, Colombia
www.pascualbravo.edu.co
ISBN: 978-958-56476-3-3

Esta obra está bajo una licencia Creative Commons 4.0 internacional: Reconocimiento-No Comercial-Compartir Igual.
Todos los objetos interactivos y los contenidos de esta obra colectiva están protegidos por la Ley de Propiedad Intelectual.

## Tabla de contenido

Introducción v

PARTE I: Vectores 1

1. Vectores fijos y vectores libres3

2. Operaciones con vectores4

2.1. Suma y producto por un escalar4

2.2. Combinaciones lineales4

3. Bases y coordenadas5

3.1. Dependencia e independencia lineal5

3.2. Base de vectores5

3.3. Base canónica6

3.4. Operaciones con vectores dados por sus coordenadas6

4. Producto escalar7

4.1. Módulo de un vector7

4.2. Producto escalar de dos vectores7

4.3. Interpretación geométrica del producto escalar8

4.4. Ángulo de dos vectores8

Ejercicios para practicar9

PARTE II: El plano afín 11

1. Sistema de referencia y puntos en el plano13

1.1. Puntos alineados13

1.2. Punto medio de un segmento14

2. Rectas en el plano15

2.1. Ecuación de la recta16

2.2. Otras formas de la ecuación de la recta17

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2.3. Rectas paralelas y perpendiculares18

2.4. Posiciones relativas de dos rectas en el plano20

2.5. Haz de rectas21

3. Ejercicios resueltos: Rectas y puntos notables del triángulo22

Ejercicios para practicar23

PARTE III: El plano métrico 25

1. Ángulo de dos rectas27

2. Distancias entre puntos y rectas28

2.1. Distancia entre dos puntos28

2.2. Distancia entre un punto y una recta28

2.3. Distancia entre dos rectas29

3. Lugares geométricos30

4. Ejercicios resueltos31

Ejercicios para practicar32

Autoevaluación 33

Bibliografía 34

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# Introducción

La Geometría analítica es la rama de la geometría que estudia ciertos objetos geométricos a partir de un sistema de coordenadas y empleando los métodos del álgebra y del análisis matemático.

Su invención se atribuye a René Descartes (1596-1650), ya que fue el primero en publicar el término en un apéndice al Discurso del método, si bien se sabe que Pierre de Fermat (1601-1665) conocía y utilizaba el método antes de su publicación por Descartes.

En el siguiente video1 puedes ver una breve historis de la Geometría analítica.

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En este libro se aborda el estudio de la Geometría analítica plana según los contenidos de Matemáticas I para 1º de Bachillerato de España. Se ha dividido en tres partes diferenciadas.
En la Parte I se tratan los vectores, fundamento del desarrollo posterior. A partir de la relación de equipolencia de los vectores fijos se definen los vectores libres y las operaciones entre ellos que nos acercan a la estructura de espacio vectorial. Se aborda después el concepto de dependencia e independencia lineal, que nos lleva al estudio de bases y coordenadas. Para terminar este apartado se maneja el producto escalar de vectores y sus aplicaciones en la resolución de problemas métricos. |
La Parte II: El plano afín, está dedicada a las rectas, sus ecuaciones y posiciones relativas. Tras definir un sistema de referencia, se comienza por ver las distintas formas de la ecuación de la recta a partir de un punto y un vector o bien a partir de dos puntos. Continuamos con el cálculo de rectas paralelas y perpendiculares a una dada. Sigue el estudio de las posiciones relativas de dos rectas, determinando las condiciones de incidencia y paralelismo entre ellas. |

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| En la Parte III: El plano métrico, se aborda la resolución de distintos problemas métricos en el plano. El producto escalar nos va a permitir calcular ángulos y distancias en el plano. Se estudia, en primer lugar, la medida de ángulos entre dos rectas, Sigue el cálculo de distancias entre los distintos elementos del plano, desde un punto a otro punto, de un punto a una recta y entre dos rectas. Por último se resuelven algunos problemas típicos como la determinación del punto simétrico de otro respecto a una recta, o el cálculo de algunos lugares geométricos como la mediatriz o las bisectrices.
Al finalizar cada uno de estos apartados bajo el epígrafe "Para practicar más", se incluye una colección de ejercicios y problemas con el objeto de afianzar los conceptos aprendidos. Para terminar se presenta un cuestionario de autoevaluación que permite valorar al alumno los conocimientos adquiridos.

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# parte i

# Vectores

## 1. Vectores fijos y vectores libres

El conjunto IR2 está formado por todos los pares ordenados de números reales (x, y). El primer elemento, x, es la primera componente del par; el segundo, y, es la segunda componente.

Dos elementos de IR2 son iguales si lo son sus componentes. Entre los elementos de IR2 podemos definir las siguientes operaciones:

- Suma: (x1, y1) + (x2, y2) = (x1+x2, y1+y2)
- Producto por un escalar: t·(x1, y1) = (t·x1, t·y1)

Un elemento de IR2 se puede representar por un punto en la forma habitual mediante un sistema de coordenadas cartesianas, formado por dos ejes perpendiculares X, Y que se cortan en un punto O. Las rectas son los ejes coordenados y el punto O es el origen de coordenadas. Dado un punto P(x, y) la primera coordenada se representa sobre el eje X y la segunda sobre el eje Y.

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## 2. Operaciones con vectores

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## 3. Bases y coordenadas

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## 4. Producto escalar

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Ejercicios para practicar

A continuación se presentan más ejercicios para practicar con vectores. Puedes elegir en el menú el tipo que prefieras para empezar. De todos ellos se ofrece la solución.

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# parte ii

# El plano afín

## 1. Sistema de referencia y puntos en el plano.

#### 1.1. Puntos alineados

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#### 1.2. Punto medio de un segmento

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## 2. Rectas en el plano

Una recta en el plano queda determinada por un punto P y un vector no nulo v, llamado vector direccional o director de la recta.
Los puntos X de la recta que pasa por P(x0, y0) y tiene por vector director v(vx, vy) cumplen la relación vectorial PX = t v con t∈IR, y como OX = OP + PX podemos escribir OX = OP + t v.

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#### 2.1. Ecuación de la recta

Para hallar la ecuación de una recta necesitamos conocer un punto y un vector direccional o bien dos puntos de la misma. En este caso el vector de dirección es el que va de un punto al otro.

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#### 2.2. Otras formas de la ecuación de la recta

La pendiente nos indica el crecimiento o decrecimiento de la recta. Si m>0, la recta es creciente, si m<0 la recta es decreciente y si m=0, la recta ni crece ni decrece, es paralela al eje OX.

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#### 2.3. Rectas paralelas y rectas perpendiculares

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#### 2.4. Posiciones relativas de dos rectas en el plano

La posición relativa de dos rectas en el plano está determinada por el número de puntos en común que tienen las rectas. Así, pueden ser:

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#### 2.5. Haz de rectas

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## 3. Ejercicios resueltos: Rectas y puntos notables del triángulo

Las rectas notables de un triángulo son las alturas, las medianas, las mediatrices y las bisectrices. Cada grupo de ellas determina un punto notable. Veamos aquí las tres primeras.

- Las alturas del triángulo son las perpendiculares a cada lado desde el vértice opuesto. Se cortan en un punto llamado ortocentro.
- Las medianas del triángulo son las rectas que unen cada vértice con el punto medio del lado opuesto. Se cortan en un punto llamado baricentro.
- Las mediatrices del triángulo son las perpendiculares a cada lado por su punto medio. Se cortan en un punto llamado circuncentro.

Puedes comprobar que estos tres puntos están alineados en la llamada Si el triángulo es isósceles la recta de Euler coincide con el eje de simetría, si es equilátero los tres puntos coinciden. recta de Euler.

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Ejercicios para practicar

A continuación se presentan más ejercicios para practicar con rectas. Puedes elegir en el menú el tipo que prefieras para empezar. De todos ellos se ofrece la solución.

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# parte iii

# El plano métrico

## 1. Ángulo de dos rectas

Dos rectas secantes forman cuatro ángulos iguales dos a dos, siendo además los dos adyacentes suplementarios. Consideraremos que el ángulo formado por dos rectas es el menor de los que determinan y para calcularlo basta observar que coincide con el de sus vectores directores.

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## 2. Distancias entre puntos y rectas

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#### 2.3. Distancia entre dos rectas

La distancia entre dos rectas es la menor distancia que se puede obtener desde un punto de una a un punto de la otra. Si las rectas son secantes o coincidentes la distancia entre ellas es 0.

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## 3. Lugares geométricos

Un lugar geométrico es un conjunto de puntos con una propidad común. La ecuación de un lugar geométrico es una relación entre las variables x e y, que cumplen los puntos del plano P(x,y) que pertenecen lugar geométrico y solo ellos. Veamos dos ejemplos.

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## 4. Ejercicios resueltos

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Ejercicios para practicar

A continuación se presentan más ejercicios para practicar. Puedes elegir en el menú el tipo que prefieras para empezar. De todos ellos se ofrece la solución.

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# Autoevaluación

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# Bibliografía

- Vectores en el plano de Ángela Núñez Castaín para Red Descartes (España).
- Geometría analítica de Ángela Núñez Castaín para Red Descartes (España).
- Geometría analítica del plano (Proyecto ed@d) de María José García Cebrian para Red Descartes (España).
- Vectores en el plano (Proyecto MaTEX) de Francisco Javier González Ortiz.
- Geometría (Proyecto MaTEX) de Francisco Javier González Ortiz.
- Geometría del plano. Vectores y rectas. de José Luis Lorente.
- Matemáticas I, Capítulo 5: Geometría (Apuntes Marea Verde) de Andrés García Mirantes.

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