Título de la obra
Integrando con Paco

Juan Guillermo Rivera Berrío
José Román Galo Sánchez
Segunda edición: 2017

Diseño del libro: Juan Guillermo Rivera Berrío
Diseño de cubierta: Diana María Velásquez García
Librería turn.js: Emmanuel García
Herramienta de edición: DescartesJS
Fuente: Amaranth

Fondo Editorial Pascual Bravo
Calle 73 73A-226
PBX: (574) 4480520
Apartado 6564
Medellín, Colombia
www.pascualbravo.edu.co
ISBN: 978-958-58510-7-8

Esta obra está bajo una licencia Creative Commons 4.0 internacional: Reconocimiento-No Comercial-Compartir Igual. Todos los objetos interactivos y los contenidos de esta obra colectiva están protegidos por la Ley de Propiedad Intelectual.

Ejercicios de integración de funciones racionales128

Método de Hermite-Ostrogradsky134

2.14 Integrales de funciones trigonométricas140

Potencias de senos y cosenos141

Potencias de otras funciones trigonométricas145

Productos de senos y de cosenos con diferentes argumentos147

2.14 Integrales de funciones racionales en senos y cosenos149

Cambio genérico150

Cambio alternativo154

2.15 Ampliación del método de sustitución o cambio de variable.158

2.16 Funciones irracionales164

Radicando cuadrático incompleto165

Radicando cuadrático170

3.    Integral Definida177

3.1  Concepto de Integral Definida179

Particiones de un intervalo180

Hacia la integral definida185

Sumas de Riemann186

La integral de Riemann192

Hacia la relación entre la integral definida y el área196

Área de un trapecio curvilíneo200

3.2  Cálculo de la integral definida205

Integral definida de f(x)=k206

Integral definida de f(x)=x207

3.3  Sumatorios211

Propiedades de los sumatorios213

iv

Este curso se plantea a través de un diálogo entre Paco, un estudiante que representa a cualquier alumno o alumna de nuestras aulas, y su profesor. La presentación en estilo coloquial de la interacción del docente y el discente busca hacer más ameno el aprendizaje del Cálculo, así como reflejar las situaciones usuales que acontecen en la docencia directa las cuales quedan obviadas en los planteamientos académicos que suelen primar cuando se escriben monografías y libros de texto. Aquí, se mantiene la formalización y rigurosidad académica de todo libro científico, pero se complementa con las anécdotas, bromas y comentarios, tanto jocosos como serios, que suelen acontecer en toda relación educativa.

El libro ha sido elaborado mano a mano a una distancia física de casi ocho mil kilométros entre la ciudad de la eterna primavera, Medellín (Colombia), y la ciudad en la que la primavera es efímera, Córdoba (España). Pero esa lejanía es intrascendente gracias a la cercanía aldeana que aportan las tecnologías de la información y de la comunicación y a la amistad de los autores que se conocieron a través de la Red con el proyecto Descartes como nexo inicial. Dadas estas circunstancias, no es de extrañar que en el texto se amalgamen giros y expresiones lingüísticas de un idioma común enriquecido con los matices paisas y andaluces de los autores.

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―¿Por qué abro la boca? ¡Siempre me encuentro con una nueva pregunta! ¡Así me dijeron que era como se calculaba el área!

―Ya, ¡me dijeron! , ¡me dijeron! ¿Y si quien te lo dijo estaba equivocado? Vas a ser pronto un científico o un ingeniero y para ello has de recuperar tu carácter crítico, el que te llevaba en tu infancia a preguntar continuamente ¿por qué? y ¿por qué?, y a no admitir las respuestas sin saber el porqué. En lugar de preguntar yo, tú eres el que me debías de preguntar o, mejor, el que me debías de explicar todo con su porqué.

Pero dejemos ahora el porqué de esa fórmula¹ y centrémonos en el problema que tu precipitación había obviado. Yo lo que te he referido es el área de un recinto cualesquiera:

―¡Seguro que tiene alguna fórmula!

―Avancemos despacito y más que fijarnos en esa hipotética fórmula en la que tanta fe pones, pienso que es mejor que te exponga un procedimiento usado en la vida cotidiana y extensible al mundo matemático:

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―¡Sí! Pero es una aproximación.

―¡Cierto! Es una aproximación. Pero de partida, al menos una respuesta aproximada siempre es mejor que no poder dar ninguna respuesta. Y fíjate que si aumentamos el número de lados del polígono la aproximación es cada vez mejor³. Compruébalo tú, incrementando en la siguiente escena el valor de N.

Adaptación de una escena de José Luis Abreu con licencia CC by-nc-sa

―¡Es verdad! Llega un momento en el que no hay diferencia.

―Sí la hay, te está engañando tu visión. Si haces un zum ―pulsando el botón derecho de ratón y desplazando éste―, que es como mirar con un microscopio, en la escena podrás ver que sigue habiendo diferencias y si N es grande puede que no se observen, pero realmente las hay⁴. Con este método, la única forma de que no haya error al aproximar un recinto por un polígono es que ese recinto sea poligonal.

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―Para determinar el valor exacto del área de esa figura nos queda dar un importante paso matemático, análogo a un gran salto “mortal” circense, que es un salto al infinito o “paso al límite”. Y ¡ojo! que este salto es verdaderamente mortal si no sabemos darlo adecuadamente.

―Ese salto mortal ya lo analizamos cuando estudiamos la derivada como medio para poder determinar la recta tangente. Entonces tomamos también límite y hablamos del "Cálculo diferencial".

―¡Muy bien Paco! Estaba convencido que recordarías esa situación en la que también aplicamos ese paso. Es más, tu ejemplo ha sido muy oportuno porque el problema de determinar la recta tangente verás que tiene relación con el del cálculo del área.

―Todavía no sé cuándo usted está de broma o en serio. ¡Qué tendrá que ver una cosa con otra!

―Pues hablo muy en serio. ¿En qué se parece la cara y la cruz de una moneda? Ambas son distintas ¿verdad?, si no, no podríamos jugar a cara o cruz. Sin embargo, forman parte de una única moneda, y lo único que cambia es la perspectiva desde la que la observamos. Ya veremos que el problema del área y de la recta tangente no son más que dos caras de una misma moneda cuando analicemos un resultado que lleva como nombre el de “Teorema Fundamental del Cálculo”, fíjate que es tan importante que lleva el calificativo de FUN, DA, MEN, TAL.

―EN, TEN, DI, DO, cuando me lo enseñe no lo olvidaré. («¡Jé! Ese resultado saldrá en el examen», pero que no lea mis pensamientos el profesor...―reflexionó Paco―).

―Perfecto. Vayamos cerrando caminos. Al tomar límite en el área de esos polígonos, cuando el número de sus lados tiende a infinito, o en el área de esos rectángulos

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―Es que la música no sólo puede oírse, sino también verse con ojos matemáticos. Pitágoras, el del famoso teorema entre los catetos y la hipotenusa, expresó las escalas musicales como proporciones numéricas… ¡Pero no me hagas dar un pasito pa’atrás, qué ahora toca pa’lante!

―¡Bueno profe, no converja a su límite! que se aprende yendo pa’lante y pa’atrás.

―Cierto. Vamos a volver pa’atrás, a la recta tangente, para poder ir pa’lante.

―Ya me va a liar. ¿En qué quedamos vamos pa’lante o pa’atrás?

―Tú sigue bailando, pero atiende pues vamos a situarnos en el estudio que abordaron de manera independiente Newton y Leibniz. Ellos descubren que hay una estrecha relación entre los conceptos físicos de distancia recorrida y velocidad instantánea y consecuentemente entre los conceptos geométricos de área y tangente.

A ver, Paco, si un cuerpo se desplaza con velocidad uniforme ¿cómo podemos determinar la velocidad a la que se está moviendo?

―La velocidad es la relación entre la distancia recorrida y el tiempo empleado en recorrerla. Por tanto, bastaría medir esa distancia y dividirla entre dicho tiempo.

―¡Correcto! En la siguiente gráfica podemos reflejar lo que has indicado.

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En la escena observamos que la velocidad media en el intevalo [t₀, t₀+h] viene dada por el cociente d(t₀+h)-d(t₀)/h y que es la pendiente de la recta secante a d(t) que pasa por los puntos de coordenadas (t₀, d(t₀)) y (t₀+h, d(t₀+h)). El límite es la velocidad en el instante t₀. Este valor, como conoces, lo denotamos como d'(t₀) y sería la pendiente de la que denominamos recta tangente a la función d(t) en el punto (t₀, d(t₀)). Por tanto, la ecuación de esa recta tangente en ese puntos es:

d - d(t₀)= d'(t₀) (t-t₀)

―Pero aunque el cálculo del área y la pendiente de la recta tangente la hemos realizado mediante procedimientos análogos, sigo sin ver eso que comenta de que son las dos caras de la misma moneda.

―Me gusta tu impaciencia porque es síntoma de tu motivación, pero para llegar a ello tendremos que escribir con detalle el problema del cálculo del área en un contexto funcional ―fíjate que el recinto que dibujamos antes estaba delimitado por una curva y no por una función― y después enunciar el Teorema Fundamental del Cálculo.

Todo lo anterior será el contenido de un capítulo de este libro y tendremos que adentrarnos en su formalización y en los detalles. No obstante, para no hacerte esperar y saciar algo tu curiosidad lo voy a resumir en tres páginas y aunque posiblemente no llegues ahora a comprenderlo todo, al menos podrás ubicarte y observar que lo que denominaremos integral ―concepto ligado al área, aunque no sólo a ella― y la derivada ―concepto ligado a la tangente, pero no sólo a ella― son operaciones inversas.

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1.3 La derivada

La derivada de una función f(x) en un punto x se define mediante un límite y se denota o f'(x).

Geométricamente puede interpretarse de la siguiente forma. es la pendiente de la recta que pasa por los puntos (x, f(x)) y (x+h, f(x+h)) donde h#0. Para cada h se trata de una recta secante a la gráfica de f. Si cuando h→0 existe el límite de esas pendientes, entonces la recta tangente a la gráfica de f en el punto (x, f(x)) es aquella que pasa por este punto y tiene como pendiente el valor de la derivada.

Escena de José Luis Abreu CC by-nc-sa

La velocidad instantánea de un cuerpo en movimiento se define como la derivada de la posición x(t) del cuerpo como función del tiempo:

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―¡Sí, es mucho correr para un aprendiz! Lo de la derivada me es más familiar y observo que se relaciona derivada e integral, pero hasta que no me de más explicaciones no podré llegar a comprender la importancia de este resultado y sus aplicaciones.

―Tienes razón. No hay que querer avanzar tan rápido. Vayamos paso a paso que como dijo el poeta Antonio Machado:

Caminante, no hay camino,
Se hace camino al andar.

Y como te gusta la música te dejo enlazado un vídeo con una canción en la que se incluye este poema. ¡Tres minutos de relax!, Pero después te dejo unas indicaciones históricas para finalizar esta introducción. ¿De acuerdo?

―Gracias profe, se agradece.

1.5 Notas históricas

―Paco para finalizar esta introducción puedes ver el siguiente fragmento de un vídeo titulado “Sobre hombros de gigantes” donde se cita el Teorema Fundamental del Cálculo.

La frase “Si he visto más lejos es porque estoy sentado sobre los hombros de gigantes” fue escrita por Newton en una carta a Robert Hooke y muchos le atribuyen su autoría, no obstante, no fue pionero en su uso⁶. Con esa frase, en un rasgo de modestia no usual en este gran genio, nos transmite cómo el nuevo conocimiento se construye sobre

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Como se cita en el vídeo anterior Newton y Leibniz fueron dos genios mal avenidos. Ambos fueron capaces de descubrir de manera independiente, de forma diferente, pero simultáneamente, el cálculo infinitesimal. Y a ambos se les reconoce actualmente ese mérito, pero sus vidas estuvieron repletas de acusaciones de plagio y en esa lucha Leibniz fue el gran perdedor principalmente por la gran influencia de Newton en el entorno científico oficial. En el siguiente vídeo se resume en un planteamiento humorístico esta disputa.

A raíz de este hecho la comunidad científica formuló el principio de que la autoría de un hallazgo científico corresponde a quien lo publica primero.

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―¡Ah! Entiendo… la primitiva, la antiderivada o la integral es el origen de una función dada, que llamamos derivada de ese origen.

―Muy bien Paco, aunque es un poquito trabalenguas tu definición ¿no te parece? Vamos a tratar de dar una definición más precisa:

"Si f es una función definida en un conjunto D, la función F definida en ese mismo conjunto decimos que es una primitiva de f si y sólo si F es derivable en D y f es su derivada". O mejor, expresándolo en lenguaje matemático:

F es una primitiva de f en D ⇔ ∀x∈D, F’(x) = f(x)

―De acuerdo, pero ¿por qué dice "una primitiva de f" y no "la primitiva de f"?

―Pensé que se te iba a pasar preguntarlo, pues ya he dicho más de una vez lo de "una", que es un artículo indeterminado y no "la" que es determinado.

―¿Curioso? ¡Sí, lo es! ¿Pero es algo que ocurre casualmente o algo que tiene una causa, que tiene una explicación? ¿Qué opinas?

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Este resultado es muy importante, pues nos dice que si somos capaces de hallar una primitiva, entonces conocemos todas sin más que sumarle una función constante.

―Tenía razón profe. No es tan difícil. Busco una primitiva y ya tengo todas.

―Ahora Paco terminemos esta sección introduciendo una notación habitual en este contexto. El conjunto de todas las primitivas de la función f(x) es conocido como la integral indefinida de f con respecto a x, y se denota:

que de acuerdo con el teorema anterior, podemos escribir:

―¿Podríamos hacer un ejemplo adicional profe?

―Claro Paco. Intenta hallar la integral de f(x)=x⁴

―Bueno… humm… Para que la derivada de x⁴, una función primitiva debe tener el término x⁵ y otro término constante.

―Vas bien Paco. Entonces cuál podría ser una primitiva?

―Ya tengo una… x⁵+10.

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que la integración es un proceso inverso a la diferenciación. ¿Qué haces tú para derivar y=axⁿ?

―Bueno, muy sencillo. Multiplico n por a y le resto uno al exponente

―Esa es una regla para derivar Paco. Si haces lo que dices, entonces para esa función:

El proceso de integración es totalmente inverso. Cuando derivaste actuaste sobre el coeficiente de x y luego sobre su exponente. Para integrar primero actúas sobre el exponente y luego sobre el coeficiente.

―¡Ah! ¿Le resto uno al exponente y luego multiplico por el coeficiente?

―No, Paco. ¡Concéntrate! Recuerda que todo el proceso es inverso. En lugar de restar, sumas. En lugar de multiplicar, divides. En otras palabras:

―Es decir la integral de x⁴ será:

¡Vaya! Con la regla es más fácil

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―Dejémoslo ahí y pasemos a los ejercicios. Paco, observa que en la escena se usa la letra K para representar la constante de integración, obviamente puedes denominarla con cualquier letra, la que desees en cada instante.

Escena de Consolación Ruiz Gil con licencia CC by-nc-sa

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2.3 Linealidad de la integral, método de descomposición

―La integración se dice que es lineal por verificar las siguientes propiedades:

• La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales

  

• La integral de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

  

La demostración de estas propiedades es fácil sin más que aplicar la linealidad de la derivada.³

―Era de esperar que ocurriera eso, ¿verdad? Si derivada e integral son dos caras de una misma moneda, han de compartir propiedades.

―La intuición lleva a predecir que eso puede ocurrir, pero mientras que no se aborde y se disponga de una demostración cualquier predicción no deja de ubicarse en la nebulosa de la posibilidad y no de la realidad matemática.

Estas propiedades nos han permitido resolver los ejercicios anteriores, ya que en su cálculo hemos aplicado, por ejemplo, que:

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―¡Me alegra que seas reflexivo y no impulsivo! Aritóteles dijo: "El hombre es esclavo de sus palabras y dueño de su silencio". Efectivamente, esta regla es una ampliación de la que hemos usado anteriormente. En los ejercicios que has hecho antes, siempre aparecían exponentes que eran números naturales y en la regla puse n porque mentalmente estamos acostumbrados a que cuando vemos escrito n interpretamos que es un número natural. Pero en general, el exponente puede ser entero, racional (recuerda que son radicales) o irracional y el cálculo de la integral sigue siempre la misma pauta, pues es fruto de interpretar la regla de derivación de una potencia cualquiera, pero en sentido inverso.

Así pues, usando el método de descomposición y la regla anterior podemos calcular la integral de la siguiente función y de infinitas funciones análogas. Te detallo su cálculo y tu podrás realizar infinitas más.

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Escena de Alejandro Radillo Díaz CC by-nc-sa
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―¡Vaya! Se complicó la cosa, y yo que había dicho que eran demasiado sencillos.

―Tranquilo Paco, son igual de sencillos. Posiblemente tu problema no esté en el Cálculo Integral, sino que quizás lo que necesites sea repasar las operaciones con números racionales.

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―Hola profe, no me fue tan mal con los ejercicios. Tenía razón, es sólo practicar con los números racionales

―¡Qué bien Paco! Para terminar esta sesión, te dejo un vídeo que resume lo anteriormente tratado.

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―Me parece muy bien lo del vídeo, pero creo profe que tiene prisa por terminar...

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―No me va a liar profe. 0/0 no es nada, no tiene sentido dividir por cero sea cual sea el numerador. Ya le he razonado el por qué.

―¡Muy bien Paco!, de acuerdo, pero recuerda que en el contexto del cálculo de límites cuando nos aparece 0/0 decimos que es una indeterminación. No hemos de confundir una situación con otra.

Regreso a tu pregunta. Cuando α=-1 tenemos la integral de x^-1=1/x. ¿Conoces alguna función primitiva de 1/x?

―Sí, sería ln(x)+C, porque al derivar esas funciones siempre obtenemos 1/x.

Perfecto Paco. ¿Pero el dominio de definicición de la función 1/x es (-∞, 0) ∪ (0, +∞) y sin embargo el dominio de ln(x) es sólo (0, +∞). ¡Aquí hay algo que no cuadra! ¿no te parece?

―Sí, algo no cuadra. ¡Lo que si cuadra es que siempre hay alguna pega!

―No te enfades Paco, entiende que si no somos precisos en nuestro análisis las conclusiones serán imprecisas e incluso erróneas. La respuesta exacta es:

puesto que

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―No te preocupes Paco, en próximos apartados veremos la importancia del Cálculo Integral y de sus aplicaciones. Lo de las fórmulas, técnicas y procedimientos los irás asimilando a medida que planteemos y resolvamos ejercicios. Por ahora, sólo te he pedido que comprendas que...

―... que la integral es una antiderivada!

―Muy bien Paco, ahora me gusta tu disposición. Observa, entonces, las siguientes funciones: f(x)=3 sec²(2x) y g(x)= 3/2 tan(2x). ¿Qué obtenemos de derivar g(x)?

―Al calcular la derivada, tenemos que:

―¡Me sorprendes!, veo que no ta va tan mal con esas "señoras".

―Amo las funciones trigonométricas... ¡Ja, ja! ¡Es otra broma, profe! Pero, de verdad, me gustan mucho.

―Me tranquilizas. Observa que al derivar g(x) obtuviste f(x), de tal forma que g(x) satisface la definición dada en los conceptos básicos y, por lo tanto, es una antiderivada de f(x).

Paco, te propongo que a continuación veas unos ejemplos de cálculo de integrales de algunas funciones trascendentes y después realices unos ejercicios análogos. En los

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―Pues continuemos buscando la trascendencia. Resuelve los ejercicios completando los campos de texto. Si se llegan a requerir decimales, procura responder con al menos dos decimales de precisión. Después da clic en el botón "Verificar". Recuerda que e^x también se puede expresar como exp(x).

Escena de Alejandro Radillo Díaz CC by-nc-sa
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especificando la función f(x) que se quiere integrar. A continuación se realiza el cálculo de la integral F(x) (familia de primitivas) y la determinación de la constante de integración C para que pase por un punto P dado.
A la derecha se representa gráficamente f(x) y la primitiva F(x)+C donde C puede variarse con el control inferior etiquetado con ese nombre. Al ir variando C se va dejando el rastro de las primitivas anteriores.
Con el botón "otro punto" puede cambiarse el punto por el que deseamos pase la primitiva de f(x). A la izquierda en verde se muestra el cálculo de la constante buscada y cuando el control C tome ese valor la gráfica de la primitiva buscada, la que pasa por el punto P, se mostrará también en verde.

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―Ahora Paco, para afianzar lo de la constante de integración, resuelve estos ejercicios. En caso de ser necesario, utiliza dos decimales de precisión.

Escena de Alejandro Radillo Díaz CC by-nc-sa
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―Gracias profe, por los ejemplos y ejercicios. Ya he comprendido lo de las famosas familias.

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―Bueno profe, de veras que me he motivado bastante con ese vídeo que resume todo lo anterior. Ahora, entiendo que es posible determinar una sola primitiva si se da una condición.

―Eso es cierto Paco. A esa condición, en el contexto de problemas de Física, se le suele llamar condición inicial. Si te parece, vamos a plantear a continuación una aplicación física de lo que hemos visto.

―¡Claro que sí! Abro mis ojos, oídos y mente a su planteamiento.

2.6 Una aplicación física: el tiro vertical

―Pues hablemos sobre el tiro vertical de un objeto que es un caso particular de movimiento uniformemente acelerado. Éste consiste en lanzar un objeto en dirección vertical, normalmente en sentido ascendente (sentido positivo) y sobre él actúa la gravedad con una aceleración constante (en sentido negativo). Si t representa el tiempo, v(t) la velocidad en el instante t y s(t) la altura en que está el objeto en ese instante, y partimos de que el objeto en el instante inicial está a una determinada altura s(0)=s₀ y la velocidad inicial con la que se lanza es v(0)=v₀, entonces:

• en el supuesto que el objeto se lanza hacia arriba, es decir, v₀>0, el objeto primero asciende hasta que la velocidad v(t) es nula y posteriormente desciende.
• en el supuesto que el objeto se suelta, es decir, v₀=0, éste desciende incrementando su velocidad en sentido negativo.
• en el supuesto que el objeto se lanza hacia abajo, es decir, v₀<0, el objeto también desciende incrementando su velocidad en sentido negativo.

En la siguiente escena interactiva puedes abordar una simulación de este tiro vertical.

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―Efusivo te veo. Las Matemáticas es un saber y como algo inanimado no puede tener o alcanzar el poder, pero sí ayudan a tenerlo a aquellos que saben usarlas. A mí, más que de poder, me gusta ubicar a las Matemáticas como herramienta para la mejora social y motor para la Paz.

―Pues yo le veo muy filosófico.

―Etimológicamente "Filosofía" significa "amor a la sabiduría", "Matemáticas" puede asociarse a "conocimiento" y un matemático sería aquel que es "amante del conocimiento". Actualmente estamos acostumbrados a parcelar el saber, a crear especialistas, y muchas veces los profesores olvidamos ubicaros el origen y fin de lo que estudiamos o lo que os hacemos estudiar. Este es un tema muy interesante, pero no olvido que te indiqué que te iba a hacer alguna pregunta sobre el tiro vertical.

―Eso del tiro y la Paz me parece que no hace mucha liga, y contrariamente a lo que dice se quiere centrar en lo primero antes que en lo segundo.

―Tirar (lanzar) un satélite de comunicaciones ¿es algo contrario a la Paz? ¿No podemos mediante él llevar el conocimiento a casi cualquier lugar del mundo? La bondad o maldad de una herramienta está en "las manos" de quien la utiliza ¿no te parece?

―Sí, profe. ¡"Tíreme" esas preguntas!, pero sea compasivo con este aprendiz de luchador por la Paz.

―Veamos. En la escena hemos obtenido que s(t) es un polinomio de segundo grado y, por tanto, su gráfica es una parábola. ¿Significa esto que el objeto que lanzamos sigue una trayectoria parabólica?

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―El juego era lo mismo que habíamos visto antes, pero ilustrado con personajes fantásticos. Con este ejemplo se observa que detrás de los videojuegos hay mucha física y matemáticas.

―Sin duda, Paco. Por ello no está de más el practicar con más ejercicios. Por favor, haz los siguientes teniendo en cuenta que la derivada segunda es la derivada de la derivada primera y, por tanto, la derivada primera es la integral de la derivada segunda. ¿De acuerdo?

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2.7 Tabla de integrales inmediatas

―Paco, ¿completamos la tabla de integrales inmediatas que tú habías iniciado? Si te parece, parte de la tabla de derivadas y haz una lectura inversa.

―¡Me parece muy bien! Pero puede explicarme por qué dice "completamos", que es primera persona del plural, y luego ese plural se pierde cuando dice "parte de...", hasta llegar al imperativo "haz". Veo que sabe manejar bien la lengua... ¡No me diga más! que ya tengo el lápiz y el teclado en funcionamiento. ¡Voy a ello!

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2.8 Integrales cuasi-inmediatas

―Cuando te decía que completásemos la tabla de integrales inmediatas ―en primera persona del plural, es decir, tú y yo― era porque a partir de la que has preparado vamos a construir una complementaria que cubre un abanico más amplio de funciones.

―Movamos el abanico que hace algo de calor.

―Si recordamos la regla de la cadena para la derivación de funciones compuestas:

y, como ya debe sernos habitual, si hacemos una lectura inversa tendríamos que:

es decir, si en el integrando observamos alguna función que se asemeja a esa forma podría ser un indicador de que se corresponde a la derivada de una función compuesta. Por ejemplo:

Y en base a ello podemos reescribir la tabla anterior de la siguiente forma:

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quieras hasta que lo domines plenamente. ¡Ánimo! observa, identifica y actúa. ¡Ah! y fíjate que si necesitas, que si te falta una constante multiplicando para completar la regla de la cadena, la linealidad de la integral te lo permitirá.

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―Ejercicios hay ahí para practicar y para hartarse. La mente ha de adaptarse a ver la derivada de una función compuesta donde está el integrando y a veces sí se ve fácil, y a veces las neuronas se vuelven perezosas.

―No te lo voy a negar, pero la mente se vuelve ágil cuando se la incentiva y se le ayuda practicando y practicando, lo que hay quien dice que es hacer gimnasia mental.

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―Ya estuve un rato en el gimmnasio y casi me produzco un esguince neuronal.

―¡Siempre exagerando Paco! Pero dado que tuviste alguna que otra torcedura voy a prepararte algo de linimento marca "Método de sustitución".

―Esa marca no la conozco, espero que sea relajante y reparadora.

2.9 Método de sustitución o cambio de variable

―Vamos a tratar de sistematizar la detección de que el integrando es la derivada de una función compuesta.
Tienes que buscar en el integrando que aparezca una función y aparezca también multiplicando su derivada.

―¡Mejor un ejemplo!, por fa.

―¡Claro! Consideremos la siguiente integral:

¿Observas alguna función y su derivada?

―Sí, tenemos x² y su derivada que es 2x

―Muy bien Paco, pero mejor si consideras x²+1. Su derivada también es 2x y comprobarás que es mejor esa elección.

• A continuación vamos a hacer u=x²+1, es decir, vamos a sustituir esa función en la

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―Lo que cambia es que ahora al sustituir en la integral nos quedaría:

que para mí viene a ser lo mismo... pero espere que veo venir a su precisión matemática y me va a decir que ésta es cuasi-inmediata y la otra inmediata. ¡Dicho!

―Pues "del dicho al hecho hay mucho trecho"... ¡el que te queda hasta que hagamos dos ejemplos más! Aquí, el primero:

―"Paco, ¿por qué no te muerdes la lengua?, con lo bien que ibas" ―pensó Paco―.
¡Sí, profe! esa integral tiene la misma pinta que la anterior. Me fijo en la función 3x² + 1 cuya derivada es 6x y... ¡mecachis! que pone 5x y no el 6x que necesito.

―"¡Qué paciencia! ¡El santo Job es quien debería ser el patrón de los profesores!" ―meditó el profesor―.
¿Se te ha olvidado la linealidad de la integral? ¿Qué te parece si reescribimos la expresión así?:

―Claro profe. Es que me gusta incentivarle para que haga magia matemática.
"Eso me pasa por ser tan apresurado" ―volvió a reprenderse a sí mismo Paco―.

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―Muy bien Paco, y al deshacer la sustitución obtenemos la solución: sen√x + C

―Tiene razón profe. No era tan complicado.

―¡Ok! Paco. Antes de seguir practicando con más ejercicios, te dejo "relajarte" con un juego que se llama "Puzle Rush Hour" (Hora pico u hora punta), que consiste en sacar el auto rojo de la zona de aparcamiento. Por ahora, te reto en el nivel de principiante, luego, en otra clase, te subiré el nivel.

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―Fueron asequibles.

―Pues mira con detenimiento unos poquitos más. Primero trata de resolverlos tú y después comprueba si lo hiciste bien.

Escena de Carlos Hernández Garciadiego CC by-nc-sa
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2.10 Calculadora de integrales

―¿Calculadora de integrales? ¿Cálculo simbólico?

―Sí, Paco. En el momento que en nuestro aprendizaje introdujimos las letras para representar números, comenzamos a adentrarnos en el cálculo simbólico. Empleamos símbolos para expresar cálculos genéricos y adicionalmente aprendemos a operar con esos símbolos trasponiendo términos, reduciendo, simplificando, etc. Lo que continuamente estamos haciendo y aprendiendo son cálculos simbólicos. Y lo que te comento es que al igual que disponemos de calculadoras que nos ayudan a realizar los cálculos numéricos, las hay que realizan cálculo simbólico.

―¡Qué me dice, profe! Si tenemos una calculadora que hace todo eso ¿para qué me hace aprender lo métodos de integración?

―¡Paciencia! ¡paciencia!... ¡Lo primero!, ¡para activar tus neuronas, que falta te hace!, para que creen redes en base a las cuales puedas crear conocimiento y razonar adecuadamente. Y lo segundo, entre una larga ristra de razones, te lo voy a exponer con una simple analogía. Una persona que va a usar un carro sólo necesita aprender a conducirlo, pero un ingeniero que va a diseñar un carro necesita conocer los principios y mecanismos que hacen que funcione adecuadamente. ¿Qué quieres hacer tú?

―¡Comprendido! Por favor, ayúdeme a ser un futuro ingeniero o científico, en definitiva a ser constructor y no mero usuario.

―¡En ello estamos, Paco! Pero permítime incidir un poquito más en el tema acudiendo a una batallita personal, a una viñeta que vi en mi juventud y que me marcó. Era comienzos de los 80 y el ZX80 comenzó a popularizarse, dado que pudo llegar a las casas gracias a su precio asequible. Estaba naciendo la informática personal.

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Adelante ¡enseñeme los métodos de integración!, pero no olvide enseñarme también esas calculadoras de integrales, para que cuando sepa integrar pueda hacerlo más rápido acudiendo a ellas, lo mismo que acudo a hacer operaciones numéricas básicas a la calculadora tradicional.

―Vamos a ello. Adentrémonos en las diferentes herramientas que te cité antes.
Mathemática, Maxima, Derive y Maple se crearon básicamente para cálculo simbólico. Matlab, además del cálculo simbólico (utilizando el kernel o núcleo de Maple), se puede usar en métodos numéricos y en simulación de sistemas. Matlab es el programa preferido en asignaturas de automatización y control de procesos industriales.

Existen otras alternativas en el mundo del software libre y que poco a poco van ganando terreno en el campo de las aplicaciones científicas, tres de ellas son: GNU Octave, Scilab y Maxima. Los tres programas proveen una amplia gama de poderosas funciones.

También existen versiones de demostración (trial) como ocurre para Matlab, el cual puedes bajar en este vínculo: Matlab. Para nuestro curso, usaremos el procesador geométrico GeoGebra, el programa de cálculo simbólico wxMaxima y, obviamente, nuestra herramienta Descartes.

Tienes donde elegir Paco. Por ahora vamos a comprobar uno de nuestros ejercicios en tres de los programas anteriores:

―Excelente profe. Hagamos uno con radicales.

―Tú podrás comprobar el ejercicio que quieras posteriormente. Yo, ahora, por simplicidad te explicaré el procedimiento con una integral simple. Simple, en el sentido tipográfico. Todas son en realidad muy sencillas de resolver.

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Integrando con Maxima
Maxima es un sistema de cálculo simbólico escrito en Lisp, desciende del sistema Macsyma desarrollado en el MIT (Massachusetts Institute of Technology) entre 1968 y 1982. Desde 1998 se distribuye bajo licencia GNU-GPL.

Para calcular las integrales dispone de la función integrate (expr, x); que calcula simbólicamente la integral de expr respecto de x.

Observa el siguiente vídeo:

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Calculadora de integrales en línea
También existen varias páginas que ofrecen el servicio de cálculo de integrales, entre ellas:

• https://es.symbolab.com/solver/indefinite-integral-calculator
• http://es.onlinemschool.com/math/assistance/integrate/integrate/
• http://www.wolframalpha.com
• https://www.calculadora-de-integrales.com/

―Variedad para elegir hay bastante. Probaré con ellas y ya le comentaré cuál me parece más operativa. De partida se ven fáciles de utilizar.

―Me parece muy bien Paco. Ahora te dejo un puzle para que descanses un poquito.

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Integrando con Maxima

Maxima utiliza el comando integrate(función, variable);. Observa en la imagen que la solución no incluye la constante de integración.

Otra forma, es definir la función f(t), tal como se indica en la imagen:

Luego, usamos el comando integrate incluyendo la función y la expresión. Observa la siguiente imagen:

―La presentación del resultado es más elegante.

―Interpreto que te refieres a que se presenta con la notación usual. Además, ahora, se refleja la constante de integración.

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hecho correctamente. No vamos a suplir el aprendizaje del cálculo integral por el aprendizaje de estas herramientas. Pero obviamente en la resolución de problemas técnicos y científicos su uso es frecuente.

Bueno Paco, sigue ejercitándote en estrategias. Para ello, te dejo nuevamente el puzle Rush Hour, ahora en el nivel intermedio.

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―Gracias profe, me encanta este puzle. Hay que cranearlo bien.

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inventa el avión y un pesimista el paracaídas. Un apagón se puede dar por múltiples circunstancias por causas naturales, biológicas, culturales, políticas, etc. Piensa en muchas de las culturas precolombinas en América, en la cultura babilónica o en la del antiguo Egipto. O sin irnos tan lejos ¿físicamente durante cuánto tiempo permanece inalterable la información guardada en un DVD? o ¿cuánta información ―me refiero a información útil y de interés, no a tweets o whatsapps intrascendentes― desaparece cada día en la Red?

―No me asuste profe.

―No es ése mi objetivo, pero siempre hay que tener presente y ponderar adecuadamente ¡el riesgo! ¡Anda! volvamos a las integrales. Te dejo un ejercicio que para ti ya es elemental, ¿verdad?

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―Bueno, si usted lo dice. Lo entiendo mejor con mis propias palabras.

―¿Qué pasa Paco? Te noto un poco extraño ¿no quieres que sigamos con nuestro estudio de integrales?

―¡Qué pena profe! Tiene razón, no estoy concentrado. Tengo mi cabeza en otros problemas, precisamente no de integrales.

―Todos los tenemos. Trata de dejarlos a un lado mientras trabajamos. Igual no los vas a solucionar enojándote conmigo.

―Tiene razón profe. Sigamos con nuestro trabajo.

―¡Ok! Paco. En la expresión anterior vamos a integrar en ambos miembros de la igualdad.

En el primer miembro, tenemos la integral de una diferencial. Por ser inversas podemos escribir:

―¡Que bien profe! Ahora sí me estoy motivando, adiós a los otros problemas.

―Por el momento Paco. Ahora hagamos una trasposición de términos:

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frase, más fácil será recordarla. Y mira para lo que me sirve esa frase tonta: "un día vi una vaca vestida de uniforme". Fíjate en la primera letra de cada palabra:

∫ u dv = u v - ∫ v du

―¡Très, très, très bien! ¡Ya veo a la vaca con el uniforme y a la vez la fórmula!

―¿No decías que la fórmula era muy difícil?

―Sí, ¡decía! Pretérito, es decir, algo pasado ya.

―Pues si es algo pasado, planteémonos el presente y vamos a resolver la siguiente integral:

∫ x cos x dx

―Huy profe… son más sencillos mis problemas personales. Creo que me volveré a concentrar en ellos.

―Creí que la vaca te había distraído. Vamos a concentrarnos en la solución que le vamos a dar a esta integral.

• Fíjate que en el integrando hay un producto, luego puede ser candidata a aplicarle la integración por partes.
• Una sugerencia inicial, es hacer u igual a una de las expresiones de la integral de tal forma que su derivada sea una expresión más simple. Me explico, si eligiéramos u = cos x, su diferencial es du = -sen x dx que es una expresión con análoga dificultad, no es más simple.

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• Paso 4. Calculamos v = ∫cos x dx = sen x
• Paso 5. Reemplazamos en la formulita: u dv = u v - ∫v du

Y de ahí la solución: ∫x cos x dx = x sen x + cos x + C

―¡Perfecto! Integral calculada.

―Sí, pero antes de abandonar este ejemplo, ¿qué hubiera pasado si la elección de u hubiera sido la otra?

―¡Déjeme probar!

• Paso 1. Elijo u = cos x.
• Paso 2. Hallo du, en este caso du = -sen x dx
• Paso 3. Me queda que dv = x dx
• Paso 4. Calculo v = ∫ x dx = x²/2
• Paso 5. Aplico la fórmula y

¡Menuda integral! ¿me he equivocado?

―No, Paco. Has aplicado muy bien la integración por partes, pero éste método lo que hace es convertir una integral en otra y lo aplicamos con la esperanza de que la

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• L: funciones Logarítmicas.
• P: funciones Polinómicas o potenciales.
• E: funciones Exponenciales.
• S: funciones Sinusoidales (seno, coseno, tangente).

Y esta palabra lo que hace es indicarnos que si en una integral aparece un producto de dos funciones y queremos aplicar la integración por partes la función u ha de seleccionarse siguiendo la prioridad marcada por el orden de las letras en ALPES. Así si quisieramos integrar cos x arctg x dx, la función arco tangente es la que ha de seleccionarse como u, pues las funciones Arco tienen prioridad frente a las Sinusoidales, y nos quedaría dv = cos x dx, que en este caso es una integral inmediata. O, por ejemplo, si el integrando fuera (3x+5) e^xdx, en este caso la funcion u sería (3x+5) al ser Polinómica frente a la Exponencial e^x.

Realmente entre las funciones Arco y las Logarítmicas hay igual prioridad de elección, y lo mismo ocurre entre las Exponenciales y las Sinusoidales, pero la construcción de una palabra con significado en español nos lleva a seleccionar ALPES. De hecho la palabra seleccionada en el contexto anglosajón es LIATE (Logarithmic functions, Inverse trigonometric functions, Algebraic funtions, Trigonometric functions y Exponential functions).

―Vale me aprendo lo de ALPES, pero ¿por qué funciona?

―Esperaba que me lo preguntaras y que no te dejaras sólo guiar. La razón es simple pues necesitanos calcular du y al derivar las funciones incluidas en uno de los grupos se obtienen funciones del mismo grupo o de grupos posteriores, y con las que dejamos como dv ocurre lo contrario. Pero considero que no merece la pena detenerse en hacer un análisis detenido de ello.

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Ejercicios del método de integración por partes

―Hola profe, me entretuve bastante con su ¡juegazo! Tiene razón, esas pausas que propone me ayudan a relajarme.

―Me alegra Paco que haya contribuido a tu bienestar. Ahora, dime si has practicado la nueva técnica de integración.

―¡Claro que sí!, recuerde que soy su alumno estrella.

―Eres "uuuuuno" de mis alumnos estrella.

―Le voy a imitar profe: "como dice el dermatólogo... vamos al grano". Estuve consultando algunos textos de Cálculo y me compliqué un poco, pues usan diferentes notaciones para las derivadas, recuerdo que en el curso de Cálculo Diferencial, usted nos advertía sobre ello. Me lo vuelve a explicar profe... please

―Ok Paco, no problem. The notation for differentiation can be written as...

―¡Oh, no!, profe, explíqueme en español. Yo manejo dos idiomas el español y el paisa⁴, pero de english... poco.

―Estaba bromeando Paco, te lo recordaré. En la explicación que te hice de la técnica de "integración por partes" usamos la función f(x) = u. Partiendo de esta función, pasaré a mostrarte varias notaciones que suelen aparecer en algunos textos, de las cuales estamos usando dos. Están las notaciones de Newton y la de Leibniz, nuestros amigos

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―Esa expresión también es correcta en la notación de Leibniz. Lo que no puedes interpretar es que se puedan cancelar los términos dx para obtener la fórmula que teníamos ¡eso, no!

―Gracias profe, pensaba que habíamos cometido algún error.

―No, Paco, no. Veamos algunos ejemplos. Haz clic en los botones numéricos y podrás ver paso a paso el procedimiento aplicado.

Escena de María de Lourdes Velasco Arregi con licencia CC by-nc-sa
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―¡Hágale profe!

―¡Qué bien! En la siguiente escena trata primero de resolver los ejercicios propuestos y luego los comparas con la solución.

Escena de Consolación Ruiz Gil con licencia CC by-nc-sa
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Y ahora Paco, haremos dos ejercicios más para despejar posibles dudas que tengas.

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Segundo ejercicio

―Vamos a integrar: ∫x √x - 1 dx. Aquí vamos a hacer u = x, y por tanto du = dx. Por otra parte, queda dv = (x-1)^1/2dx, ¿Cómo hallamos v?

―Por sustitución profe. Déjeme hallarla. Haré z = x – 1. Uso z ya que usamos u en la primera parte. Entonces dz = dx… y al sustituir, obtendría:

―Muy bien Paco. Ya tenemos los cuatro elementos de nuestra formulita. Terminemos sustituyendo así:

Finalmente, podemos simplificar esta última expresión así:

―Qué bien profe! Usted es mi héroe.

―Me alegra Paco que haya regresado tu buen sentido del humor. Nos vemos en la próxima clase.

―¡Hasta entonces profe!

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―Tu solución es correcta. También, si quieres puedes englobar -1 + c en otra constante, por ejemplo k, por lo que tu solución se puede escribir así:

Bueno Paco, tu ejercicio me da la oportunidad de explicarte otra técnica de integración. La expresión que integraste es un fracción algebraica que pudiste descomponer fácilmente, si bien tuviste que recurrir a hacerlo dos veces.

―¡Vaya cambio respecto a mi integral!
A ver profe, déjeme pensar… no… no veo cómo. Siga explicando, por favor.

―¡Ok Paco! Primero vamos a recordar algo:

―Hallo un común denominador y… déjeme desarrollarlo

―Adelante Paco

―Bueno. El común denominador es (x - 3)(x + 2), entonces,

¡Qué casualidad! he llegado a la fracción que me había propuesto inicialmente.

―Muy bien Paco. No es casual, está claro que te estoy guiando. Veo que haces cálculos mentales, eso es bueno para evitar pasos adicionales… ahorra tiempo.

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Para plantear y efectuar la descomposición deseada hemos recordar un resultado de ¡Johann Carl Fiedrich Gauss!

―No me lo diga profe, éste con seguridad es otro GIGANTE de la Ciencia, porque ya me lo he encontrado en otros mundos matemáticos y físicos, y eso es un indicador de que es más grande que su largo nombre.

―¡Acertaste Paco! Gauss es un príncipe de las Matemáticas, de la Ciencia en general, un genio desde su infancia y durante toda su vida. Su nombre "Juan Carlos Federico" supera a los dos nombres que habitualmente solemos tener los iberoamericanos, pero su grandeza obviamente no radica en esa nimiedad. Basta decir Gauss y será reconocido por cualquiera que sea algo letrado.

―Estupendo profe. Ya sé que puedo ir por ahí diciendo que soy Paco ¡el letrado!

―Paco, he dicho "algo letrado". Lo he cuantificado de manera genérica, pero a conciencia, porque "letrado", según la primera acepción del diccionario, lo que significa es ¡Sabio, docto o instruido! Y actualmente estás, estamos, andando el camino... Letrado fue Gauss, y tanto, que siendo de origen humilde ha logrado que se le reconozca como príncipe.

―¡Vaya! ¿en la Ciencia también hay nobleza?

―Sí, pero una nobleza que no es heredada, sino adquirida por valía personal. Por ejemplo, en su tesis doctoral demuestra el "Teorema Fundamental del Álgebra". Este teorema es la base de lo que vamos a usar aquí, pero no voy a detenerme a justificarlo. Abreviaré y únicamente te expongo el resultado que necesitamos:

"Si Q(x) es un polinomio de grado n con coeficientes reales, entonces puede expresarse

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• (x-2)(x-5)(x²+x+1)³ tiene las raíces 2 y 5 ambas simples y una pareja de raíces complejas múltiples de multiplicidad tres.

―¡Bienvenido a la Tierra!

―Y tú sigues en la grandilocuencia. Pero ello no va evitar que avance un poquito más y que aborde ahora la...

Descomposición en fracciones parciales o simples

Teorema. Toda fracción algebraica propia P(x)/Q(x), es decir, que el grado(P(x)) < grado(Q(x)), puede descomponerse como una suma de fracciones simples donde:

• Por cada raíz real r de multiplicidad α, se tendrán α fracciones de la forma
                 A₁/x-r+A₂/(x-r)²+ ··· +A_α/(x-r)^α
• Por cada raíz pareja de raíces complejas conjugadas de multiplicidad β, se tendrán β fracciones de la forma
                 M₁x+N₁/x²+ax+b+M₂x+N₂/(x²+ax+b)²+ ··· +M_βx+N_β/(x²+ax+b)^β

―¡Bravo! ¡Bravísismo! ¡Aplausos!

―Sí, Paco, aunque lo digas con cierta o bastante ironía, este resultado se merece ese reconocimiento. Y lo vas a ir experimentando en los próximos ejemplos. Comenzamos, en la siguiente página, con raíces reales -factores lineales- simples y múltiples.

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―Profe cuando me muestra ejemplos concretos es mucho más fácil. Veo que tendré que repasar la factorización de polinomios.

―Si te parece te hago un regalito para que recuerdes y practiques esa factorización.

―Usted siempre tan amable con sus regalitos.

―La amabilidad con mi alumnado es uno de los principios básicos de mi acción educativa y en especial con mis alumnos "estrella", ¿verdad? Practica y luego hablamos.

Escena de Miguel Ángel cabezón Ochoa con licencia CC by-nc-sa

―Me ha venido muy bien este repaso, pero he observado que sólo aparecían factores

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Si damos, por ejemplo, el valor x = 0, entonces -5 = -B + 2C, de donde no podemos hallar directamente ningún valor. Recurramos entonces al otro método y teniendo en cuenta que ya conocemos C, obtenemos: x² - x - 5 = (A - 1)x² + (-A + B - 2)x - (B + 2)

Igualando los coeficientes de x² y los términos independientes,

• A – 1 = 1, de donde A = 2
• B + 2 = 5, luego B = 3

Y consecuentemente:

―No es difícil profe, en todo caso es algo latazo esto de determinar las constantes que aparecen en la descomposición. Y ahora tocará el cuarto caso...

―Debería de tocar ese cuarto caso correspondiente a factores cuadráticos múltiples en los que aparecen tantas fraciones simples como la multiciplidad y en cada una de ellas aparecen términos, en el numerador, de la forma Ax+B que hay que calcular. Se haría de igual forma, pero ¡más latazo! aún, utilizando tu expresión. Pero no vamos a detenernos en este caso, pues esta descomposición en fracciones no se usa a la hora de la integración y se aplica otro método que después citaremos.

―¡Usted marca el paso! Pero tendremos que volver a integrar otra vez, ¿no?, ¡qué éste es un curso de cálculo integral y no de álgebra!

―Gracias por confiar en que sabré llevarte por el camino adecuado. Pero antes de pasar a aplicar esta descomposición en el cálculo de integrales, hay un detalle sobre el que he de preguntarte. El Teorema de descomposición en fracciones decía que ésta es

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repasar bastante el álgebra de los cursos anteriores. Lo que no estoy seguro es que me sirva de relajación porque ese puzle es un rompecabezas que hace honor a su nombre.

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Descomposición en fracciones parciales con Maxima y Geogebra

―Estuve usando los programas de cálculo simbólico para abordar la descomposicion en fracciones parciales y no lo logré... así pues tengo que repetirle la pregunta que ya le hice: ¿cómo lo hago con Maxima y GeoGebra?

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Luego, opté por escribir partfrac((9*x-8)/(x^3-13*x^2+50*x-56),x); y así sí lo logré.

―Muy bien Paco, fuíste resolutivo y conseguiste tu objetivo. Fíjate cómo, si se define bien la función, también lo conseguimos:

Y de manera análoga en Geogebra:

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―¡Estupendo Paco! Tanto por tu acertada respuesta como por tu dominio de la terminología usual matemática, ¡qué bonita es la palabra obvio! ¿verdad? ¡y qué útil!... Y, ahora, obviamente continúo preguntando, cuáles serían las primitivas de

∫ A_α/(x-r) ^αdx        con α > 1

que se corresponde con fracciones parciales procedentes de raíces reales múltiples (también habría una fracción en la que α valdría 1).

―Como decía Sherlock Holmes, elemental mi querido profe, si α fuera 1 estaríamos en el caso anterior, el logaritmo, pero dado que α > 1 le respondo cuasi-inmediatamente, pues es cuasi-inmediato observar que son integrales cuasi-inmediatas. Son integrales de potencias cuyas primitivas son A_α/(1-α)(x-r) ^α-1+C, pero no se preocupe que le detallo mis cálculos para que no tenga que forzar su intelecto:

∫ A_α/(x-r)^αdx = A_α∫ (x-r)^-αdx = (x-r)^-α+1/-α+1+C= A_α/(1-α)(x-r) ^α-1+C

―Iba a felicitarte, pero cuasi, ¡no!, realmente se me ha olvidado dado que mi intelecto está ocioso...

―¡Déjelo ocioso! que hoy estoy inspirado y me sé la siguiente pregunta. Ahora toca calcular: ∫ Mx+N/x²+ax+bdx... pero mejor pase de nuevo a modo "on" ya que esa integral sería cuasi-inmediata (un logaritmo) sólo cuando el numerador fuese 2x+a...

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suma de cuadrados, lo cual está garantizado que puede hacerse siempre que las raíces son complejas, y es una técnica que se conoce como "completar cuadrados". De esta forma pasamos a un nuevo tipo de integral:

∫ Mx+N/x²+ax+bdx = ∫ Mx+N/(x-p)²+q²dx

que se dice que es una integral del tipo "logaritmo-arco tangente", porque su primitiva será precisamente un logaritmo y un arco tangente. Los matemáticos son así de evidentes, ¡a las mesas le llaman mesas y a las sillas le llaman sillas!

―Sobre la evidencia de los matemáticos y de las matemáticas creo que podríamos hablar más detenidamente, pero prefiero ocultar mi opinión bajo un velo doblemente tupido...

―¡De acuerdo! yo, ahora, también prefiero mostrarte que la integral anterior se puede resolver de manera mecánica, siguiendo el procedimiento siguiente:

∫ Mx+N/(x-p)²+q²dx = ∫ Mx+N+Mp-Mp/(x-p)²+q²dx = ∫ M(x-p)/(x-p)²+q²dx + ∫ N+Mp/(x-p)²+q²dx

= M/2 ∫ 2(x-p)/(x-p)²+q²dx + (N+Mp)∫ 1/(x-p)²+q²dx = M/2 ln|(x-p)²+q²|+ (N+Mp)∫ 1/(x-p)²+q²dx

y ya hemos obtenido el logaritmo...

―¡Sí, profe! ¡Pura evidencia matemática!

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―Puedes preparar esos pizarrones, pero para resolver tú, manualmente, todos los ejercicios necesarios hasta que domines estos métodos. Y después te hablaré del último caso que nos haría falta. Así pues ¡a practicar!

―De acuerdo, diligentemente me pongo a ello... ¿puedo acudir a los asistentes matemáticos?

―Hasta que sepas hacerlo manualmente, no. Las escenas que te incluyo para practicar te darán la solución paso a paso. Después sí podrás usarlos y practicar con ellos.

Integración de fracciones parciales

Escena de Miguel Ángel cabezón Ochoa con licencia CC by-nc-sa
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―¡Hola Paco! ¿Cómo te fue con los ejercicios anteriores?

―Bien profe. Pero, practiqué también en Maxima y tuve dificultades. Le describo qué me ocurrió. Tomé la siguiente integral de la escena anterior:

Calculé las fracciones parciales con Maxima:

Pero cuando introducía en la escena las constantes correspondientes a las fracciones, es decir, A = 1, B = -14/3 y, finalmente, C = 11/3, no obtengo respuesta en la escena interactiva, no me deja continuar.

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―¿Cuáles?, Paco.

―He calculado la integral en WxMaxima y observe el resultado:

―Muy bien Paco, ¿cuál es el problema?

―Que no es el mismo resultado de la escena interactiva:

―Te refieres a que Maxima usa log en lugar de ln?

―No, eso ya lo tengo claro, me refiero primero a que en Maxima aparece log(x-2) y en la escena ln|x-2|, que Maxima no pone el valor absoluto.

―Totalmente de acuerdo contigo en la falta de rigurosidad de este asistente al obviar el valor absoluto, su respuesta no la más apropiada. Buena crítica a este programa.

―Además en la escena pone ln|3(x-4)| y lo mismo ocurre con ln|3(x-7)|, mientras que en Maxima pone sólo log(x-4) y log(x-7).

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Método de Hermite-Ostrogradsky

Este método es aplicable cuando hay raíces múltiples, sean reales o complejas, y la técnica es reducir una integral con fracciones de este tipo a otra en la que las fracciones corresponden a raíces simples.

―¡Me suena! ¡Esta técnica me suena!

―Efectivamente Paco, de nuevo la técnica de reducir un problema a otro que ya se sabe resolver. ¡La que tanto te gusta, la que te seguirá gustando y la que te gustará! o sea, técnica con regusto que espero te sea placentero.

El método puede expresarse de la siguiente forma:
Si P(x)/Q(x) es una fracción racional propia en la que el polinomio denominador Q(x) tiene factores correspondientes a raices múltiples, entonces:

∫ P(x)/Q(x)dx = T(x)/S(x) + ∫ N(x)/C(x)dx

donde S(x) = m.c.d.(Q(x), Q'(x)), C(x)=Q(x)/S(x), T(x) es un polinomio a determinar con grado(T(x)) < grado(S(x)) y N(x) es otro polinomio a determinar con grado(N(x)) < grado(C(x)).

Con esta elección ∫ N(x)/C(x)dx es una integral racional en la que el polinomio denominador sólo tiene raíces simples.

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ocasiones e identificando ambos miembros determinamos que A=-1/4, B=0, C=1/4, M=-1/4 y N=-3/4.

Así, la integral original queda expresada como:

∫ 1/x(x²+2x+2)²dx = -1/4(x²+2x+2) + 1/4 ∫ C/xdx - 1/4 ∫ x+3/x²+2x+2dx

Basta ya aplicar los métodos vistos anteriormente para fracciones parciales con raíces simples... ¡lo cual te dejo como ejercicio!

―Efectivamente como difícil no lo es, pero hay mucho calculote que realizar...

―No voy a negártelo, pero los cálculos es algo consustancial a la resolución de problemas y desde siempre muchos matemáticos han tenido que ganarse las habichuelas como calculistas. No hace mucho, una película reflejó la importancia de esta labor oculta y también mostraba lo ocultas que han estado las mujeres en su labor científica. La película se tituló en inglés "Hidden figures", en Hispanoamérica como "Talentos ocultos" y en España "Figuras ocultas". ¡Te invito a verla!...

―¡Gracias profe! ¿Me lleva de excursión al cine?

―Paco, te lo digo de forma figurada. Actualmente no está en cartelera, pero podrás alquilarla en alguna plataforma digital. Como te comentaba el oficio de calculista era imprescindible, pero hoy en día este oficio ha desaparecido ya que tenemos...

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―¡Muy listo tú también, Paco! veo que dominas la integración de funciones racionales, ¡me alegro! Pero un matiz, en este caso log|x²+2x+2|=log(x²+2x+2), no hace falta explicitar el valor absoluto porque x²+2x+2 > 0. Y un matiz adicional ¡tú sí eres listo, tienes inteligencia, capacidad para decidir!, pero una máquina, un programa no puede ser listo, no tiene capacidad de decidir, lo único que hace es seguir una secuencia de instrucciones que una persona ha programado, no decide sino que las bifurcaciones que toma son las establecidas por su "creador", el programador que lo escribió. Si éste se equivocó el programa nunca corregirá ese error. Por ejemplo, en Maxima el programador obvió poner el valor absoluto y Maxima lo omite siempre. Un programa la única ventaja que tiene frente a un humano es la rápidez con la que hace los cálculos y ¡nada más!

―¡Nada más y nada menos!

―¡Nada más! Es un "tonto útil" muy rápido, pero incapaz de salir de su estulticia.

―Pero hay programas inteligentes.

―Bueno sobre esa inteligencia, fíjate que calificada siempre como artificial, hay mucho que hablar ¿el programa es inteligente o parece inteligente? Se avanza bastante y se va acercando progresivamente a lo predicho por los visionarios de la ciencia ficción, pero espero que esos nuevos "seres inteligentes" incorporen las tres leyes de la robótica enunciadas por Isaac Asimov. En este contexto de la ciencia ficción, además de la amplia literatura existente, hay bastantes películas que tratan el tema. Te recomiendo Matrix, Yo robot y El hombre bicentenario.

―¡Magnífico! Menos mal que después de esta larga sesión de integrales de funciones racionales, en las que usted me "ha comido la oreja", ahora me manda ¡al cine!

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2.14 Integrales de potencias de funciones trigonométricas

―Hola Paco, espero que te gustaran las películas y las integrales que te propuse.

―¡Por supuesto, profe! Sobre todo disfruté con esas integrales por lo rápidas que son de resolver con lápiz y papel. Además le evité su tarea de corrección y comprobé mis cálculos con Maxima. ¡Todo perfecto! ¡Qué buen alumno de tan buen maestro! Pero tan animadito estaba que me puse a integrar otras funciones y evidentemente me encontré con problemas, vi funciones trigonométricas con exponentes y no supe cómo abordarlas.

―Bueno, eso es posible que se deba a esa fobia que les tienes.

―No... ya le dije que les estoy cogiendo cariño, pero me perdí ¿podría ayudarme?

―Está bien Paco. Recuerda que las técnicas que estamos trabajando son para facilitar nuestro trabajo, eso no significa que no puedas recurrir a una calculadora de integrales o a una tabla; y que hemos visto solamente algunos métodos y algunos tipos de funciones. Nos queda mucho más que aprender, pero no será como tu dices "hasta el infinito y más allá", será finito ―de base, en el contexto espacio-temporal en el que habitamos somos seres finitos― y además ten muy presente el Teorema de Liouville que nos decía que mucho que sepamos, hay integrales que no podremos hallar.

―Lo tendré presente profe. Soy consciente de lo que me comenta.

―Perfecto. Existen múltiples combinaciones de funciones trigonométricas y sólo vamos a analizar algunos casos más comunes. En cada uno de ellos, la técnica de integración se basa en un buen uso de las identidades trigonométricas y, especialmente, saber cuál usar en cada caso. El dominio de la Trigonometría permite utilizar expresiones equivalentes que son más fáciles de integrar.

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―¡Fue fácil, gracias al Teorema fundamental de la Trigonometría! y para valores de n impares mayores a 7, que es lo que se veía en los ejemplos anteriores aparecerá (1-u²)ⁿ que habrá que desarrollar por el binomio de Newton.

―¡Magnífico Paco! ¡Sí, eres uuuuuno de mis mejores alumnos!

Pues para ∫ cosⁿx dx con n impar, es totalmente análogo. Obsérvalo:

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―Espero que no sea lo único. Observa la escena:

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―¡Perfecto! Efectivamente es lo mismo que en casos anteriores. Pero quedaría otro caso que es ∫ sen^mx cosⁿx dx con m y n pares.

―Veo que estás atento. En este caso basta aplicar el Teorema fundamental de la trigonometría y sustituir bien sen²x o bien cos²x y obtenemos repectivamente

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―Profe, es más de lo mismo.

―Interpreto que es reiterar la aplicación de identidades trigonométricas y el método de sustitución. Pues, ¡perfecto! has aprendido suficientemente la estrategia. Me alegro de ello.
Continuemos con otro tipo de integrales...¡trigonométricas!

―¿Me toma el pelo?

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―¡Para cuánto sirve la trigonometría!

―Pues ahora te toca aplicarla en estos ejercicios. Resuélvelo en tu cuaderno y luego haz clic en "Solución", para que la compares con tu resultado.

―Es monótona su aplicación, algo muy mecánico y un poquito aburrido.

―Más vale que sea así. Dado que has llegado a ese estatus voy a retarte en un tipo de integrales trigonométricas que, mediante un cambio de variable, vamos a convertirlas en integrales de funciones racionales. Consecuentemente de nuevo, por enésima vez aplicamos la estrategia de reducir un problema a otro conocido.

―Dispuesto a hollar nuevos caminos. ¡Siempre siguiendo su sombra, maestro!

―Dejo que me sigas, pero te advierto que el reto de un maestro es que sus alumnos le superen, que estos pasen a ser los que le aporten una sombra en la que descansar y regocigarse en su éxito.

―Muchas gracias por esperar tanto de mí, pero, mientras tanto ¡qué le parece si le presto mi sombrilla de playa?

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Y fíjate que aunque decimos en seno y coseno, podrían aparecer también tangentes, cotangentes, secantes y cosecantes, ya que estas cuatro funciones pueden expresarse como una expresión racional en seno y coseno.

―Fijarme, me fijo, pero su vaticinio era certero y me empiezo a sentir como aprendiz de grumete sobre un cascarón de nuez en la mar océana. ¿No tiene una biodramina para la cinetosis?

―Lo que voy a proporcionarte es algún salvavidas para que te ayude a ascender, al menos, a grumete ¿lo quieres con la cabecita y el cuellecito de cisne?

―No profe, aunque ese cuello de cisne se asemeje al signo de integral, mejor me da uno con forma de cocodrilo, para que al mirarlo me recuerde lo bocazas que soy a veces, ¿verdad? Pero sólo a veces ¿no?

―¿Sólo a veces? Bueno, sí. ¡Corramos un nuevo tupido velo! Centrémonos y como diría el dermatólogo... ¡al grano!

Cambio genérico

―Si consideramos el cambio tg x/2 = t, se demuestra que sen x, cos x y dx pueden expresarse como expresiones racionales en t

y por tanto la integral racional en seno y coseno queda transformada en una racional

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―Tienes razón, es un ejemplo que preparé para que no fuera difícil y así tu ánimo no decayera. No obstante, sabes resolver todas las integrales racionales aunque puedan conducir a expresiones extensas. Para ti es algo ¡superado!

―Me alegra que diga que lo ¡he superado! ¿Firmó ya el acta con mi califación de sobresaliente?

―Todo llegará a su tiempo, cuando comiences a hacerme sombra. Mientras tanto mira estos ejemplos:

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―Muy certero en lo de "por un tubo" dado que es un vídeo de ¡YouTube! ¿No te gusta mucho la música? Yo lo que hago es satisfacer continuamente tus deseos, ¿no es así? Pues para ir encaminándote a ese deseado "sobresaliente" vamos a estudiar otro cambio que facilita el cálculo de algunas integrales racionales en senos, cosenos y tangentes.

Cambio alternativo

―Considerando el cambio tg x = t, obtenemos que sen x, cos x y dx pueden expresarse según las siguiente expresiones en t, que son irracionales para el seno y el coseno. Para determinarlas y recordarlas puedes aplicar las definiciones de las razones trigonométicas del ángulo x en el triángulo rectángulo, de catetos 1 y t, ahí dibujado.

Pero en una integral racional en tangentes, cosenos cuadrados y senos cuadrados
R(tg x, cos²x, sen²x), la sustitución anterior sí conduce a una integral racional en t.

Calculemos, por ejemplo, la siguiente integral:

Dado que es una integral del tipo indicado en el párrafo anterior podemos aplicar el cambio tg x = t y obtenemos:

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―¡Visto y comprendido! Y ahora me tocará hacer ejercicios de este tipo, ¿verdad?

―¡Efectivamente! Ahora te propongo algunos con los que puedas practicar.

―Pero ¿hoy no hay musiquita de acompañamiento?

―Sí, hoy toca ¡el sonido del silencio! que es una agradable melodía y muy difícil de conseguir... al menos junto a ti.

―¿Silencio? ¡¿Eso qué es, profe?!... Pero, ¡espere! que mi padre, que debe de ubicarse en la misma línea temporal que usted, ponía y pone en su reproductor musical analógico ―una antigualla que usted con seguridadd conocerá muy bien y que usa unos discos grandes de color negro―, una canción de unos jovencitos de su época que precisamente se titula así. ¡Sí, seguro que se titula así! porque me suena que él también me hablaba muchas veces... y ahora que lo pienso, quizás, lo hacía en el mismo tono que usted me lo ha dicho ahora... de lo agradable que es el sonido del silencio... ¡junto a ti!... me decía también... ¡¿qué coincidencia, verdad?! Pero nada, nada, que no desvío ahora mi neurona a la psique emocional o reflexiva, no me distraigo... a lo que iba... ¡Déjeme que busque en mi celular inteligente!
¡Bieeeeeeeeeeeeeeeeen! ¡Aquí está! y además con la letra en inglés y en español. ¡Escuche y vea, profe!

―¡Profe! ¡Profe! ¡Diga algo! que hace 10 segundos que terminó la canción.

―Sí, Paco estaba disfrutando de 10 segundos de silencio, después de disfrutar de otros tres minutos y medio con "The sound of silence".
Muchas gracias por tu acertado regalo. Efectivamente conocía esta canción y me gusta bastante, pero en tu verborrea me ha parecido oír algo como "la misma línea temporal", "esa antigualla que conocerá muy bien", "unos jovencitos de su época" y no he interpretado bien lo que querías decir...

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2.12 Ampliación del método de sustitución o cambio de variable

―Paco, vamos a dar un penúltimo pasito en nuetro estudio de los métodos de integración.

―¿Penúltimo? O sea que habrá uno posterior... se me hace un poquito largo este camino, más sabiendo, porque nos lo mostró Liouville, que después de tanto esfuerzo sólo podré integrar algunas funciones y que incluso funciones sencillitas y de gran importancia como e^-x2 nunca podré integrarla. Es algo desmoralizador.

―No te pongas trágico, Paco, ya sabes que el gran Sócrates hace vienticinco siglos que dijo "Sólo sé que no sé nada" y el reconocimiento de esta ignorancia es precisamente lo que motiva continuar en la búsqueda del saber. Así pues, después del reconocimiento de nuestro poco saber pongámonos socráticos y continuemos en nuesto aprendizaje.

Recuerda que en el método de sustitución la estrategia era renombrar adecuadamente parte del integrando, u=g(x), y sustituir de forma que partiendo de una integral en la variable x pasábamos a otra inmediata en la variable u, la cual resolvíamos y finalmente en la primitiva obtenida volvíamos a sustituir u por g(x).

―Por supuesto que lo recuerdo perfectamente, no era más que una estrategia para detectar las integrales cuasi-inmediatas que tanto me costaban realizar mentalmente. Fíjese que he dicho "me costaban"... ¡ya no!

―Lo de "me costaban" lo dices un poquito con retintín y algo de ironía, pero con seguridad que ya te cuesta menos verlas y resolverlas mentalmente. Pero este método también lo hemos aplicado directa o indirectamente en la integración por partes, en la integración de funciones racionales, en las trigonométricas...

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―Yo sigo viendo lo segundo más complicado que lo primero. Un ejemplo, por favor.

―De acuerdo, calculemos:

∫1/x(1+∛x)dx

haciendo el cambio x=t³, tenemos que dx=3 t²dt y sustituyendo en la integral anterior

∫1/t³ (1+∛t³)3 t²dt = ∫3/t(1+t)dt

¿Cuál es más sencilla la primera o la segunda integral?

―La segunda, profe, la segunda. La primera no la sé integrar, pero la segunda es una integral racional con dos factores lineales, es decir, voy a obtener dos logaritmos.

―¡Muy bien, Paco! ¿Ves? con ese cambio hemos pasado a una integral más simple que sabemos integrar. Procedemos por el método de fracciones parciales a resolverla y finalmente deshacemos el cambio t=∛x, obteniendo:

3 ln|t| - 3 ln|1+1| + C = 3 ln|∛x| - 3 ln|1+∛x| +C

―¡Qué bonito, como mola, se merece una ola! ¡uuuuuu!

―¡Déjate de niñerías, Paco!

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justificación de la misma y porque tu estrategia tiene posibilidades de ser acertada. Ahora habrá que ver si el cambio es posible ya que para sustituir hemos de diferenciar en r(x)=s(u) obteniendo r'(x)dx=s'(u)du y consecuentemente r'(x) ha de aparecer en el integrando o hemos de poder sustituirlo en función de u, o en tu caso en función de t que es como has llamado a la nueva variable. Por favor, ¿pruebas? y me comentas...

―¡Ujú, profe! ¡Qué arte tiene usted! hasta a lo de blanco y en botella, que todo el mundo dice ¡leche!, le saca usted punta. Gracias por su ola y menos lengua y más matemáticas... procedo a hacer los calculotes necesarios... e^x+4 = t², luego, e^x dx = 2t dt. Sustituyo en la integral y...

∫√(e^x+4) dx = ∫√(t²) dx

¿Qué hago con dx... con lo fácil que me vino a la mente ese cambio...

―¿Qué problema tienes, Paco? Tienes que sustituir dx por su valor. ¿Cuál es su valor?

―¡Ah! lo tengo en mis calculotes. Despejo y dx = 2t/e^x dt... sigo teniendo la x en e^x...

―¿Y qué, Paco? ¿qué es e^x?

―Pues la exponencial... ¡ah! ya sé que me quiere decir, que si despejo en la sustitución, tengo que e^x = t²-4... y

∫√(e^x+4) dx = ∫√(t²) 2t/e^x dt = ∫ 2t²/ t²-4 dt

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―Vaya profe, lo que me faltaba es que entrásemos en la irracionalidad.

―Una cuestión es ser irracional, o falto de razón, lo cual es una contradicción con tu ser humano ―ser racional― y otra trabajar con funciones irracionales (funciones con radicales), si bien, ya te cité, que el nombre surge por la incompresión que ante los radicales tuvieron en la Grecia clásica. Pero ni te líes, ni me enredes en tus disquisiciones, pues las Matemáticas es pura racionalidad. ¡A lo que vamos!

2.16 Funciones irracionales

Nos vamos a centrar en algunos tipos de integrales en la que intervienen radicales.

Tipo I. Funciones racionales de radicales en x

Si M=m.c.d.(n, q,...,s) haciendo el cambio de variable x=t^M se pasa a una integral racional en la variable t.

Tipo II. Funciones racionales en x y radicales de índice n con radicando ax+b

Haciendo el cambio de variable ax+b=tⁿ se pasa a una integral racional en la variable t.

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―En estos casos se pueden realizar los siguientes cambios trigonométricos en los que se persigue que el radicando pueda expresarse como el cuadrado de una función y consecuentemente se simplifique con el radical. Al final la integral inicial queda expresada como una trigonométrica que ya sabemos como abordarla.

―Como suele acontecer ha estado muy agudo en este planteamiento, si me estorba el radical me lo quito de en medio. Y para ello acudo a la gran transformadora de expresiones ¡la trigonometría! ¡Es que hay que amarla a la fuerza, sin duda!

―Hay amores a primera vista y otros fruto de la relación continuada. No tengo duda del tipo de amor que tienes por la trigonometría... ¿quizás un amor de conveniencia?

Te propongo que veas algunos ejemplos de este tipo de integrales y después algunos ejercicios que te permitan practicar un poquito.

―¡A por ellos!

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combinaciones posibles. ¡Ay, trigonometría... mi bien amada!

―¡Dicen que no hay rosa sin espinas! ¡Evítalas en los ejercicios siguientes!

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―¡Fui un jardinero excelente! No hay flor que se me resista...

―Bueno Paco, recuerda que hay flores "liouvillianas" que no se dejan cultivar...

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―Pues vamos a ver un último tipo de funciones irracionales...

―Profe, usted al igual que Peano no conoce "el último", siempre hay un siguiente...

―En este caso hemos de poner una cota superior a nuestros deseos e ir finiquitando este capítulo. Lo vamos a hacer con:

Tipo V. Funciones racionales en x y radicales cuadráticos con radicandos cuadráticos

―¡Ah, bueno profe! Esto no me preocupa porque hay una técnica matemática que lo que hace es reducir un problema a otro ya conocido ¿ha oído hablar usted de ella?...

―Paco, me suena algo esa técnica, pero dicen que es muy novedosa... que hay que experimentarla todavía y confirmar su validez...

―¡Cómo joven, me gustan las novedades!, así pues, si me lo permite voy a aplicarla. ¿Se puede reducir este tipo de integrales a las irracionales del tipo anterior (las que etiquetó como Tipo IV), es decir, en las que el radicando es cuadrático pero incompleto?

―¡Brillante Paco! alegra ver cómo los alumnos avanzan solos.

―Muchas gracias, profe... siempre a su sombra, siguiendo sus pasos. Pero una cuestión es ver el camino y otra saber andarlo... me faltan recursos matemáticos para poder expresar adecuadamente mi idea y más para poder verificar que el planteamiento es acertado.

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―¡Yo tenía razón! Por tanto, basta reescribir el radicando como suma o diferencia de cuadrados, según el caso, y hacer un cambio de variable para estar en el caso anterior.

―¡Correcto, Paco!

―Y ahora ¡más ejercicios de este tipo!...

―No iba a ponerte ninguno, pero dado que te empeñas en esta tarea no tengo inconveniente en proponerte una integral de cada uno de los casos que pueden darse.

Los integrandos se pueden escribir respectivamente como (x-1)²+2², 1²-(x-1)² y (x+3)²-1². Puedes comprobar, he dicho comprobar, tu respuesta con Maxima o con Geogebra.

―Gracias profe por hacer el trabajo que es más largo y engorroso, el de completar cuadrados, yo haré el más corto y sencillo...

―¡Cómo debe ser, Paco! Tienes que ganarte las habichuelas como ¡mi calculista!

―En ello estoy, ¿le calculo cuál es mi nota?... Y ahora se aproxima el final, ¿verdad?

―Pues así es, Paco. Ya has practicado suficientemente con el cálculo de integrales indefinidas e incluso me has indicado, a veces, cuál es el camino a seguir. Hemos alcanzado la cota que me marqué cuando iniciamos el aprendizaje de las primitivas de una función. ¡Es tiempo de mudar o cambiar de centro de interés, dentro del cálculo integral!

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existentes y no podrías deducir y asimilar las estrategias necesarias para superarlas. Y aún más, en la siguiente pantalla no podrás apoyarte en la experiencia previa adquirida, ya que no has practicado, te has limitado a reproducir lo que te dicen. Por ejemplo, volviendo a nuestro cálculo de primitivas, fíjate cómo, después del aprendizaje que hemos realizado, ya tienes asimilada la estrategia básica de reducir un problema a otro ya conocido. Y también has aprendido a apoyarte en técnicas anteriores para inducir posibles caminos, así, en las integrales irracionales con factores cuadráticos has sido tú quien indicó qué hacer y para ello te apoyaste en lo que habías aprendido previamente en las fracciones parciales sobre completar cuadrados, es decir, te basaste en la experiencia previa adquirida para recorrer caminos inexplorados.

―Comprendo lo que me dice, y además como me indica he experimentado esa sensación de avanzar apoyándome, subiéndome en sus hombros, perdone mi atrevimiento...

―Sin problema, súbete a mis hombros siempre que lo necesites, pero sólo de manera figurada que no quiero tener una baja médica. Como te estaba diciendo, estás observando y adentrándote en escenarios sobre los que se construye tu experiencia y en base a ésta, en un futuro próximo, podrás diseñar, planificar y construir escenarios inéditos, y llevarás a buen término tus proyectos de ingeniería o de investigación científica.

―¡Gracias por cederme sus hombros y ojalá alcance con éxito el sueño que me muestra!

―¡Seguro que sí lo alcanzarás!, pero añadiendo esfuerzo y dedicación. Y además, al igual que exponías con los videojuegos, el estudio es también un reto en el que cuando nos adentramos con ilusión también ¡se disfruta! ¡muchísimo!

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―Y ¡ojalá! que sea la lengua la se quede un poquito en reposo...

Cuando iniciamos el estudio del cálculo integral te adelanté, de manera rápida, el concepto de integral definida. Voy ahora a detallarlo paso a paso, veremos cómo abordar su cálculo, cómo hacerlo de la manera más sencilla posible y abordaremos interesantes aplicaciones del mismo.

Particiones de un intervalo

Dado un intervalo [a, b ], una partición P del mismo es un conjunto de puntos    
{x₀, x₁, x₂, ..., x_N } tales que a = x₀ <x₁ <x₂<...< x_N = b. Cada par de puntos consecutivos de la partición determina un subintervalo [x_n-1, x_n] de amplitud x_n-x_n-1, y denominaremos diámetro de la partición (‖P ‖) al máximo de esas amplitudes.

Diremos que una partición P' es más fina que otra P si P ⊂ P', es decir, todos los puntos de P están en P' y en ésta hay al menos un punto más. Así pues, a partir de una partición podemos ir obteniendo particiones cada vez más finas sin más que ir añadiendo cada vez uno o más puntos. Paco, construye tus particiones en el siguiente intervalo. Para ello posiciona el ratón y haz clic para añadir un nuevo punto a la partición.

―Me pongo a ello... ¿para qué es ese botón "ordena"?

―Es usual numerar los puntos de la partición de izquierda a derecha, para que estén ordenados de menor a mayor. Inicialmente he respetado la numeración a medida que añades puntos, pero ese botón te permite renumerarlos según lo usual.

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―Parecen, tú lo estás diciendo... parecen evidentes, pero no siempre lo son. Mira e interactúa en la siguiente escena. Cada vez que pulsas en botón añadir se añade un punto en cada una de las dos particiones, el punto añadido se refleja en color verde.

Paco, te pregunto de nuevo. A medida que añades un nuevo punto a la partición ¿qué pasa con el diámetro de la misma? ¿El hacer que el número de puntos tienda a infinito es garantía de que el diámetro tienda a cero?

―En el primer caso el diámetro pasa de 10 a 5 y ya no cambia. Y en el segundo va poco a poco disminuyendo, pero lentamente...

―Es decir, que a medida que vamos obteniendo una partición más fina que la anterior lo que ocurre es que:

P₀ ⊂ P₁ ⊂ ··· ⊂ P_n ⊂ ···
‖P₀ ‖ ≥ ‖P₁ ‖ ≥ ··· ‖P_n ‖ ≥; ···

―Sí profe. La clave está en que el diámetro nunca aumentará, pero puede ¡ser igual! y eso hace que en el primer caso se mantenga en el valor en 5 aún aumentando el número de puntos.

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aprendizaje previo y un uso cotidiano para que se convierta en una lengua propia en la que construir el pensamiento personal. Todo literato ha tenido sus momentos noveles.

―De novel a nobel hay sólo una letra de diferencia.

― Sí, pero una letra que para cambiarla se necesita mucha dedicación, pero no es suficiente sólo ésta. Como sabes, los matemáticos siempre estamos analizando lo que es necesario y lo que es suficiente para lograr que se cumpla alguna propiedad. Así pues, en nuestro caso, cuando deseemos garantizar que ‖P ‖ → 0 es suficiente considerar particiones regulares, aunque no es necesario. Y para refinar una partición en lugar de ir añadiendo punto a punto lo que vamos a hacer es rellenar, a la vez, cada subintervalo de la partición con un punto. Es una forma de expresarlo, realmente lo que hacemos es el refinamiento punto a punto, pero mostrando sólo algunas de las particiones obtenidas.

―Ahora sí se rellena más rápido el intervalo y el diámetro será cero más rápidamente.

―Se rellena ¡aparentemente!, si hiciéramos un zum siempre habría hueco entre cada dos puntos, recuerda que entre dos números reales, hay infinitos números reales. Y el diámetro tiende a cero igual de rápido lo que ocurre es que como dibujamos menos particiones parece que es más rápido, pero no lo es. Es más el valor cero nunca lo

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―¡Qué guay! ¿Ha visto profe cómo al incrementar el número de puntos N de la partición lo que denomina sumas inferiores y superiores van aproximándose?

―¡Sí, Paco! Es guay verlo. Esa es la idea básica que vamos a utilizar, pero necesito teorizar y formalizar todo para que matemáticamente quede concretado lo que citamos como integral definida. Contén un poquito tu impaciencia.

Sumas de Riemann

Dada una partición P = {x₀, x₁, x₂, ... x_N }, en cada subintervalo [x_n-1, x_n], con 1 ≤ n ≤ N, vamos a determinar m_n= min f(x) ¹.
Paco, mira la escena siguiente y dime qué sería el producto m_n(x_n-x_n-1).

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―Sí profe, justo eso es lo que yo tenía en mi mente matemática, pero por simplicidad se lo he dicho en español.

―Así te había entendido y lo que he hecho es traducirlo al lenguaje matemático... Pero tu intuición o quizás, en este caso, la escena te ha inducido a formular una hipótesis que no tiene por qué ser verdad...

―Pero ¿cómo va a ser falso? Estoy sumando un rectángulo más...

―¡Quedo descolocado! ¡No sé que decir, ni qué hacer!

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Pues, de manera análoga podemos definir las sumas superiores de Riemann:

S(f,P) = S_P = ∑_n=1N M_n(x_n-x_n-1)

donde M_n= max f(x). Y en este caso, considerando el mismo refinamiento anterior para las particiones, puedes comprobar en la siguiente escena que estas sumas son una sucesión numérica decreciente:

s_PN ≤ S_PN ⋯ ≤ S_Pk ≤ S_Pk-1 ≤ ⋯ ≤ S_P2 ≤ S_P1

―¡Cierto! ¡Qué gracioso! la sumas inferiores crecen y las superiores decrecen.

―Bueno yo diría más que gracioso, curioso, además de oportuno ya que esto nos va a permitir definir lo que es la integral definida. Pero, previamente, fíjate que además:

    s_PN = ∑_n=1N m_n(x_n-x_n-1)     ≤ ∑_n=1N M_n(x_n-x_n-1) = S_PN , dado que m_n ≤ M_n.

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―¡Otro gigante! No sé cómo ha tardado tanto en aportarme información sobre él.

―Esperaba que tú hubieras reaccionado al haberlo citado ya muchas veces, pero... Gracias a él podemos abordar el concepto de integral definida.

Integral de Riemann

―Para concretar este concepto nos vamos a apoyar en una propiedad de las sucesiones numéricas que dice que "toda sucesión monótona acotada es convergente". Por tanto:

• Las sumas inferiores s_Pn constituyen una sucesión creciente que está acotada superiormente por cualquier suma superior: s₁ ≤ s₂ ≤ ⋯ ≤ s_n-1 ≤ s_n ≤ ⋯ ≤ S_N, por tanto es convergente.
• Las sumas superiores S_n constituyen una sucesión decreciente que está acotada inferiormente por cualquier suma inferior: s_N ⋯ ≤ S_n ≤ S_n-1 ≤ ⋯ ≤ S₂ ≤ S₁, por tanto es convergente.

Así pues, diremos que f es integrable Riemann en [a, b] si el límite, cuando el diámetro de la partición tiende a cero, de las sucesiones inferiores coincide con el de las inferiores. A ese valor común se le denomina integral definida de f en [a, b] y se denota ∫_abf(x)dx

―¡Vaya! apareció el signo y el nombre de integral, pero vaya a saber cómo me

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―Tiene que ser fácil pues sólo toma dos valores o 1, o 0 ... Veamos si x=0 que es un número racional toma el valor 1, pasa por (0, 1); si x=0,5 que es un número racional toma el valor 1, pasa por (0,5, 1)...

―Pero entre 0 y 0,5 hay infinitos números irracionales e infinitos racionales, es más entre dos racionales cualesquiera hay infinitos irracionales y viceversa... si quisieras dibujarla tendrías que estar pegando saltos initerrumpidamente entre en valor cero y el uno...

―¿Lo ve cómo son autéticamente rebuscados estos gigantes? Pero tiene razón, no puedo dibujar la gráfica en un papel, pero en mi mente ahora tengo un punto dando saltos del cero al uno... sin parar... ¡qué energía tiene este punto!... ¡Sí, lo veo en mi mente!

―¡Muy bien, por abrir tus ojos matemáticos! Pues ahora, si queremos calcular
∫_abD(x) dx , en cualquier subintervalo de cualquier partición habría infinitos números irracionales que tomarían el valor cero, por tanto, m_n = 0 para todos ellos y consecuentemente todas las sumas inferiores valen cero, es una sucesión constante y su límite es cero. Pero análogamente en cualquier intervalo hay infinitos racionales y M_n = 1 y todas las sumas superiores van a dar b-a, es una sucesión constante cuyo límite es b-a.

Así pues, existen los dos límites, pero no coinciden, luego la función de Dirichlet ¡no es integrable Riemann!

―¡Puf! ¡Logró hacerme un esguince neuronal! Pero creo que lo comprendí!

―Me alegro Paco, ¡no de tu esguince! sino por haber interiorizado lo que acontece y comprender por qué es necesario que los límites de las sumas inferiores y superiores

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―Sí, pero sólo hay que ser paciente y cuando pasan por el límite de tu boca... ¡se cumple la convergencia!

Hacia la relación entre la integral definida y el área

―¡Me convenció, profe! Y he dicho convencer y no vencer. Y me ha convencido tanto que mire qué chulis son las gafas matemáticas que me he comprado. Son unas gafas que me permiten rectangular un área y afinar y afinar hasta poder calcularla.

―Tienen un modelo original, algo friki para mí, pero todavía has de mejorar sus cristales por varias razones. Por lo pronto, eso de "rectangular" no es el término adecuado, desde la antiguedad se habla de cuadraturas, pues hallar el área de una figura consiste en comparar con la unidad de superficie, que es un cuadrado, y si el área de una figura mide 1,5 unidades cuadradas lo que significa es que con su superficie se podría construir un cuadrado de lado la raíz cuadrada de 1,5. Conceptualmente estamos cuadrando esa figura, hallamos su cuadratura.

―Bueno lo de "rectangular" lo dije para acercarme a su lenguaje, pues lo que hace es construir rectángulos, en el mío habría dicho pixelar...

―Ya, pero una pixelación nunca te permite afinar y afinar, tiene una cota inferior de afinación establecida en el tamaño de un píxel... tendría que ser una pantalla matemática en la que los pixeles son del tamaño de un punto, es decir, sin dimensión. Pero a lo que iba, desde que nos hemos adentrado en la definición de la integral definida a mí no me has oído decir que ésta nos dé el área. Por ello te comentaba que tus gafas han de estar muy bien graduadas para que veas adecuada y certeramente.

En la escena de la página siguiente puedes obtener el valor de la integral definida de la función f(x) en el intervalo [a, b]. También se refleja el valor del área de la región del plano determinada por esa función f(x), el eje de abscisas y las rectas x=a y x=b. Esta región es lo que se denomina un trapecio curvilíneo.

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―Es conveniente, pero previamente mira atentamente en la siguiente escena.

―Ya era hora que volviera a incluir "segmentos de ocio" en su discurso ¡Vaya mareo, profe, al moverme las imágenes!

―No, Paco, yo no te muevo las imágenes. Son imágenes fijas, pero como se indica en el texto inicial eso es lo que tú percibes. Los ojos transmiten a tu cerebro y en éste se crea la ilusión. Ya no es que tengas una visión limitada para ver objetos pequeños, sino que, además, lo que percibes puede ser objeto de interpretación errónea.

―Comprendo, profe. Es como cuando hago un examen que, a veces, mi percepción es de excelencia y luego la suya es de un aprobadito raspando el suspenso...

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Área de un trapecio curvilíneo

―Paco, ¿cómo te fue en tu análisis de la integral definida y el área?

―Le detallo profe. Preparé unas imágenes para mi exposición.

―La imagen de la izquierda se corresponde a f(x)=x en [0, 3] y determina un triángulo de base 3 y altura también 3. La escena indica que la integral definida vale 4,5, se observa que las sumas inferiores y superiores se aproximan a ese valor y el Área sería también 4,5. Todo concuerda con el cálculo del área de un triángulo de esas dimensiones que es base · altura/2= 3 · 3/2= 4,5. Pero en la imagen de la derecha que es en el intervalo [-3, 0] la integral definida dice que es ¡-4,5!, es decir, que es negativa.

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―Si seguir, seguí pensando... podía haber rodado una película de la misma duración que la que me recomendó... pero lo único que se me ocurrió es que los valores de f fueran siempre positivos en las sumas de Riemann, es decir, tomar la función valor absoluto de f.

∑_n=1N |f(ξ_n)| (x_n-x_n-1)

―¡Genial! de partida valoro positivamente tu análisis y aún más que hagas una propuesta. Tu alternativa interpreto que es definir el área del trapecio curvilíneo determinado por la función f en el intervalo [a, b] como:

A(f, [a, b]) = ∑_n=1N |f(ξ_n)| (x_n-x_n-1) = ∫_ab|f(x)| dx

―Bueno mi propuesta sería redefinir la integral definida como el sumatorio indicado, es decir, con los valores absolutos de la función f(x).

―Comprendo tu planteamiento, pero fíjate que tu mente está centrada en el cálculo del área y sin embargo la integral es en definitiva una suma de cantidades y éstas, en general, pueden ser positivas o negativas. Por ejemplo si sumo los desplazamientos (velocidad por tiempo) que hace un móvil en una dirección, en diferentes intervalos de tiempo, en estos habría que considerar que la velocidad sea positiva o negativa pues indicaría el sentido del desplazamiento. Por ello yo optaría por mantener la definición de la integral definida y cuando quiero aplicarla, en este caso, al cálculo del área optar por decir que ésta requiere realizar la integral definida pero de la función valor absoluto de f. ¿Me explico?

―Creo que sí. Usted me vende una herramienta, la integral definida, y lo que me indica es que la use adecuadamente en cada situación...

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―Muy bien, Paco. Compruebo que has asimilado perfectamente el concepto de integral definida y su aplicación en el cálculo del área, pero permíteme que te muestre qué acontece cuando consideramos el valor absoluto de una función. En la parte superior de la siguiente escena está representada una función (puedes introducir la que tú desees) y en la parte inferior se refleja su valor absoluto. En verde se refleja dónde la función es positiva y en amarillo dónde es negativa.

―Al tomar valor absoluto la función es siempre positiva o nula y la integral coincide con el área. ¡Listo!

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2) A continuación hemos de seleccionar los valores ξ_n, 1 ≤ n ≤ N y x_n-1 ≤ ξ_n ≤ x_n en los que evaluar la función f.

3) Abordar el cálculo ∑_n=1N f(ξ_n), el cual nos dará una expresión que depende de N.

4) Y finalmente calcular el límite de la expresión anterior cuando N → ∞

―El lenguaje matemático engaña, lo que tiene expresado en una expresión que ocupa una línea ha tenido que detallarlo en una página.

―No engaña, al contrario su bondades se centran en su concisión y precisión. Yo he querido detallarte paso a paso lo que hay que hacer buscando que seas consciente de lo que representa el cálculo de una integral definida y en especial quiero que nos detengamos en las sumas que hemos de realizar. Por ejemplo, Paco, ¿puedes calcular la ∫_ab5 dx aplicando la definición?

Integral definida de f(x)=k

―¡Manos a la obra! f(x)=5. Considero las particiones regulares indicadas antes por usted donde x_n = a + n ∆x y tendré que elegir x_n-1 ≤ ξ_n ≤ x_n. En este caso dado que f(x) es constante siempre f(ξ_n) = 5 y he de calcular

∑_n=1N f(ξ_n) = ∑_n=1N 5 = 5 N

Es 5 N porque sumar N veces 5 es ese valor. Y ahora he de calcular, para N → ∞, el límite de b - a/N ∑_n=1N f(ξ_n) = b - a/N 5 N = 5 (b-a) que en este caso no depende de N y

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―¡A ello voy!. Como antes, partición regular. Como ξ_n ha de elegirse en [x_n-1, x_n] voy a optar por tomar ξ_n = x_n = a + n b - a/N, luego f(ξ_n) = a + n b - a/N y el sumatorio a calcular sería:

∑_n=1N f(ξ_n) = ∑_n=1N (a + n b - a/N)

―No fue difícil llegar aquí...

―LLegar no, pero otro cantar será el poder salir... Ese sumatorio se corresponde de manera detallada con:

(a + 1 b - a/N) + (a + 2 b - a/N) + ··· + (a + N b - a/N)

Y reagrupando términos lo que tenemos por un lado es la suma de a, N veces, y por otro sacando factor común b - a/N quedaría

N a + ( 1 + 2 + ··· + N) b - a/N

―Bien Paco, lo que has razonado se puede escribir directamente así:

∑_n=1N (a + n b - a/N) = a ∑_n=1N 1 + b - a/N ∑_n=1N n

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―Las neuronas las tienes hoy muy participativas y colaborativas. Has calculado este sumatorio ―eso mismo dicen que hizo Gauss en su más tierna infancia―, pero no olvides que estábamos calculando una integral y lo que has llegado es a que:

b - a/N ∑_n=1N f(ξ_n) = b - a/N (N a + b - a/N N (N+1)/2 ) = (b-a) a + (b - a)² (N+1)/2 N

―¿No sabía profe que me llamo Paco Gauss? Ahora tengo que tomar límite cuando
N → ∞ y su valor es (b-a) a + (b - a)² /2 que simplificando nos permite concluir que:

∫_abx dx = b² /2 - a² /2

¡Objetivo conseguido!

―Así es Paco. Pues ahora...

―Ahora le veo venir, estos pasos se parecen a cuando empezamos a calcular primitivas que inició con las potencias y las integrales inmediatas y luego continuó enseñándome métodos de integración.

―Sí, haremos algo análogo, pero de una forma breve. En el cálculo de las integrales anteriores he querido que valores y seas consciente de la dificultad que representa el cálculo de una integral definida, que observes que es necesario aprender a trabajar con sumatorios y también la necesidad de calcular su valor para poder tomar límite posteriormente. Pero no vamos a adentrarnos mucho en ellos, pues gracias al Teorema Fundamental del Cálculo que ya te he citado con antelación, después no necesitaremos realizar estos cálculos para hallar el valor de una integral definida. No obstante, nos

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―Me parece bien, pero ahí estás presuponiendo que quien vea esa expresión ha de hacer una interpretación que no está explicitamente indicada. Esa interpretación es que el lugar ocupado por los puntos suspensivos sigue una pauta o regla que ha de adivinar quien la vea.

―Pero es fácil de interpretar esa regla.

―Sea fácil o difícil, lo cual dependerá de cada situación, estará forzado a obtenerla, es decir, ha de centrarse en detectar la lógica ahí inherente, y puede ser que lo obtenido no sea lo que se deseaba. Una alternativa que podemos hacer es darle la regla mediante una expresión algebraica y tambien indicarle en o para qué valores ha de aplicarla. Así:

1 + 2 + 3 + ··· + 998 + 999 + 1000 = ∑_i=11000i

Utilizamos la letra griega sigma mayúscula, Σ, para indicar que se va a sumar, por ello se habla de notación sigma y se dice que se tiene un sumatorio.

• En la parte inferior de sigma se indica el nombre del parámetro ―una letra― que va a ir variándose, incrementándolo cada vez en una unidad, es el índice del sumatorio. Éste se iguala al valor inicial que hay que darle. Es el denominado límite inferior.
• El límite superior, encima de sigma, marca el valor máximo a alcanzar.
• Finalmente se expresa, en función del índice seleccionado, la expresión a sumar o término general.

El ejemplo anterior se leería como "sumatorio de i con valores de (o desde) i igual a 1 hasta 1000". Obviamente el nombre asignado al parámetro no es significativo, a veces se dice que el nombre el mudo, por sí mismo no indica o representa nada. Por ejemplo:

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E indiquemos los sumatorios de algunas potencias:

• P4.     ∑_i=1n1 = n     Ejemplo. ∑_i=1105 = 5 ∑_i=1101 = 5 ⋅ 10 = 50
  
  
• P5.     ∑_i=1ni = n (n+1)/2     Ejemplo: ∑_i=15i = 5·6/2 = 15
  
  
• P6.     ∑_i=1ni² = n (n+1) (2n+1)/6     Ejemplo: ∑_i=15i² = 5·6·11/6 = 55
  
  
• P7.     ∑_i=1ni³ = n² (n+1)²/4 = (∑_i=1ni )²     Ejemplo: ∑_i=15i³ = 25·36/4 = 225
  
  
• P8.     ∑_i=1ni⁴ = n (n+1) (2n+1) (3n²+3n-1)/30     Ejemplo: ∑_i=15i⁴ = 5·6·11·89/30 = 979
  
  
• P9.     ∑_i=1naⁱ = a - aⁿ⁺¹/1 - a     Ejemplo: ∑_i=152ⁱ = 2 - 2⁶/1 - 2 = 62
  
  

―¡Vale, profe! ¿Va a continuar? Porque queda muy bonito, pero he de hacer continuos actos de fe en que eso es verdad. De la propiedad P1 a la P5 las he trabajado e incluso la he deducido yo, pero el resto... me obliga a preguntar ¿por qué?

―¡Y yo estoy muy contento de que lo hagas! Es un indicador de tu avance como científico. Todos esos resultados tienen su demostración, pero no es mi objetivo

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Sumatorios en asistentes matemáticos

―Paco, ¿cómo te fué con los sumatorios?

―Bien profe, era practicamente aplicar las propiedades que me relacionó y cuando había alguna potencia de un binomio desarrollarla previamente.

―¡Excelente! Pues vamos ahora a ver cómo usar nuestros asistentes matemáticos para poder calcular un sumatorio.

―Se refiere a Maxima o cualquier otro programa de algebra simbólica o también se puede usar Excel, en estas hojas de cálculo hay precisamente un botón etiquetado con Σ?

―En Excel puedes verificarlo siempre que sea una suma numérica (que el índice inferior y el superior sean números fijados y que generes los sumandos a partir del término general del sumatorio) y ¡claro! si sabes manejar bien Excel para ello. Sin embargo, para hacer un sumatorio simbólico tienes que acudir a un programa de

cálculo simbólico. Te voy a ilustrar cómo resolverías ∑_k=110k² o ∑_k=1nk² usando Maxima y GeoGebra, y al final de esta sesión hallarás una escena interactiva que he diseñado con el editor de Descartes para verificar tus resultados. Es de observar que las últimas versiones de GeoGebra han incorporado el CAS de Maxima.

―¡Olvidé qué significa CAS!

Me gusta que no dejes ninguna rueda suelta. El acrónimo CAS viene de la expresión inglesa "Computer Algebra System" (Sistema algebraico computacional, en español) o, como lo venimos diciendo, programa de cálculo simbólico. Bueno, veamos cómo usar los sumatorios en estos dos CAS, para calcular los sumatorios anteriores.

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―Magnífico profe. Practicaré con los ejercicios que me propuso en la sesión anterior.

―Como esos ejemplos eran sumatorios numéricos puedes usar también esta escena de Descartes que te he preparado. Puedes introducir el témino general que desees utilizando el índice i.

―Aunque no sirva para cálculo simbólico, le quedó muy graciosa esta escena.

―Gracias. Realmente es muy simple lo único que hace es lo que haríamos nosotros si hiciéramos la suma sumando a sumando, es un mero bucle, pero claro como el ordenador es rápido parece que aplicara alguna fórmula.

Puedes, también, usar programas en línea como Wiris o WolframAlpha.

Aplicación de los sumatorios al cálculo integral

―Paco, toda la experiencia que has adquirido con los sumatorios merece aplicarla y practicarla en el cálculo de integrales definidas. Ya hicimos el cálculo de las integrales de f(x)= k y f(x)= x en el intervalo [a, b], ¿lo haces para calcular el área del trapecio curvilíneo determinado por f(x)= x² en [0, 3]? Lo podríamos hacer en un intervalo

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―Antes que se me olvide esa función es continua y por tanto integrable Riemann. Escojo para calcular el sumatorio de la integral ξ_n = x_n = 3n/N. Por tanto evalúo:

b - a/N ∑_n=1Nf(ξ_n) = 3/N ∑_n=1N( 3 n/N)² = ( 3/N)³ ∑_n=1Nn² = 27/N³ 2N³+3N²+N/6

Donde he aplicado el resultado del sumatorio que obtuvimos con WxMáxima o si quiere he desarrollado N (N+1) (2N+1) en su fórmula.

―¡Bien, Paco! El límite inferior actual es k=-1. Te queda un paso final...

―Sí, el cálculo del límite cuando N tiene a infinito de la expresión 54N³+81N²+27N/6N³ y este límite vale ¡ 54/6 ! que son los coeficientes de la máxima potencia en el numerador y el denominador, los que determinan el límite. La integral, por tanto, vale 9. Y si se trata del área del trapecio curvilíneo entonces sería 9 unidades cuadradas.

―Paco, ¡Tienes un CERO!...

―¿Cómo? Si estoy seguro que lo hecho ¡MUY BIEN!...

―¡Tienes UN CERO en el límite inferior del sumatorio!

―¡Muy hábil, profe!... Mire le he hecho la gráfica para que observe la figura a la que le acabo de calcular el área, la que tiene 9 unidades cuadradas... y si quiere le regalo su índice k=0 en el sumatorio y me quedo sumando sólo desde k=1 ¿Le gusta mi regalo?

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―Vaya profe, le encontré en un momento de esos en los que uno está blandito. Sumar años sumamos todos, somos sumatorios, aunque su percepción sea la de estar en una subjetiva burbuja atemporal ajena. Pero yo he de sumar otro aspecto adicional. Usted además de sumatorio es "productorio" ¿se dice así?... Su saber se multiplica en todo su alumnado.

¡Gracias Paco me levantaste el ánimo!... Efectivamente al igual que hemos estudiado sumatorios, matemáticamente se analizan los productos, los denominados productorios, si bien esa palabra no está reconocida por las academias de la lengua española. ¡Te mereces un espacio temporal de ocio! por tu demostrado aprendizaje y por potenciar mi optimismo (suma, producto, potencia...).

―¡Gracias, "exponenciador"!

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4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales.

   ∫_ab(f(x)+g(x)) dx = ∫_abf(x) dx + ∫_abgx) dx

5. La integral definida del producto de una constante c por una función es igual a la constante por la integral de la función.

   ∫_abc f(x) dx = c ∫_abf(x) dx

6. La integral definida mantiene las desigualdades entre funciones.
   Si f(x) ≤ g(x) ∀ x ∈[a, b], entonces

   ∫_ab f(x) dx ≤ ∫_abg(x) dx

   En particular si f ≥ 0 en [a, b], entonces:

   ∫_ab f(x) dx ≥ 0

7. El valor absoluto de una integral definida es menor o igual que la integral del valor absoluto.

   |∫_ab f(x) dx | ≤ ∫_ab|f(x)| dx

―Bonito conjunto de propiedades. Observo que se repite una propiedad de las integrales indefinidas y de los sumatorios. Integral de la suma, suma de las integrales e integral de una constante por una función es la constante por la integral.

―Sí, Paco, todo está relacionado, no es casual. Esas propiedades, las numeradas aquí como 4 y 5, establecen la linealidad de la integral.

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3.5 Teorema fundamental del cálculo infinitesimal

―Aunque para algunos autores se habla del teorema fundamental del cálculo como un único teorema, otros lo plantean como dos. Nosotros aquí lo planteamos de esta segunda forma.

Primer teorema fundamental del cálculo

Si f(x) es una función continua en [a, b] , consideremos la función F(x) que viene definida en ese intervalo [a, b] como:

F(x) = ∫_ax f(t) dt

Entonces F(x) es diferenciable y

dF(x) = f(x) dx

―¡Guau! Y luego dice que los matemáticos no son magos... Lo que me indica es que F'(x)=f(x)... o lo que es lo mismo que F(x) es una primitiva de f(x).

―No a lo de ser magos y ¡sí! a lo de la primitiva. Y aunque lo que has escrito es correcto, es preferible la notación de diferencial porque refleja el por qué dentro o a continuación del símbolo de la integral ponemos f(t) dt, lo cual como vimos es imprescindible que aparezca cuando calculábamos primitivas haciendo cambios de variable. Por cierto no me preguntaste nunca sobre el que apareciera f(t) dt o f(x) dx ―aunque la variable usada sea muda―.

―Ni usted se paró a comentármelo... ¡Claro, usted tenía delante suya los planos de todo el edificio y a mi me mostraba sólo trocitos... del elefante!

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―¡Nada más y nada menos! pero este nuevo gigante llamado Barrow no supo marcar mi mente, no comprendo lo que afirma...

―Pues verás como sí te deja marcado y estarás eternamente agradecido a su saber y generosidad al compartir el resultado... Te traduzco al lenguaje coloquial:

Si queremos calcular ∫_ab f(x) dx lo que primero hemos de hacer es hallar una primitiva F(x) de f(x) y finalmente se evalúa la primitiva en b y en a y su diferencia es el valor de la integral. El valor de la primitiva en el extremo superior menos el valor de la primitiva en el extremo inferior.

―O sea que me olvido de los sumatorios y del límite de estos, y lo único que hago es calcular una integral indefinida y evaluarla en dos puntos. Ahora veo por qué primero aprendimos a calcular integrales indefinidas. Agradecido a Barrow, pero tampoco es ningún chollo ¡qué calcular primitivas no es ni siempre fácil, ni siempre posible!

―Correcto, Paco. Pero si tengo la primitiva, Tengo fácil el cálculo de la integral definida. A propósito Paco por qué decimos que tomamos una primitiva si tiene infinitas, ¿da igual la que tomes?

―Razonemos, profe. Si tomo otra primitiva G(x), ésta es igual a la anterior más una constante: G(x) = F(x) + C. Si aplico la regla de Barrow a G(x), tenemos

G(b) - G(a) = F(b) + C -(F(a) + C) = F(b) -F(a) + C - C = F(b) -F(a)

¡Lo mismo da, que da lo mismo!

―Estupendo. La regla de Barrow también se denomina regla de Newton-Leibniz. Barrow fue profesor de Newton.

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― Pues yo tampoco me resisto, pero más globalmente, a ¡Dar gracias a la vida...!

                     Ampliar

―¡Qué linda canción! Refleja detalles que son el soporte de nuestra vida y que diariamente no valoramos... ¡Gracias también a usted por enlazarla! y por sus enseñanzas.

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Sustituyo en la primitiva x = 1 y tenemos 1⁴/4 + 1³/3 - 5 1²/2 = -23/12 . Y al sustituir x = 2 obtenemos -26/3 . Así pues ∫_-21(x³ + x² - 5x) dx = -23/12 - ( -26/3 ) = 81/12 = 27/4.

―Bien, pues sigue demostrándolo calculando las integrales definidas siguientes aplicando la regla de Barrow.

―Infravalora mi saber. Son sencillas.

―Otra veces te he comentado que los grandes resultados son aquellos que hacen fácil lo que parece difícil. Y con el Teorema fundamental del cálculo se logra esa sencillez, pero siempre matizada por la necesidad de obtener una primitiva y eso ya no es tan fácil. Haz esos ejercicios en los que la determinación de la primitiva es fácil y ya no te insistiré más en este procedimiento. Para primitivas cuyo cálculo es más difícil, ya aprendimos los métodos de integración en el capítulo anterior.

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3.6 Teorema del valor medio integral

―Paco, como bien sabes, es usual hablar de la media aritmetica o valor medio y hacer chistes sobre la misma. Por ejemplo, si de media los habitantes de una población comen dos pollos al año, el vegetariano dirá que dónde están los dos suyos. Obviamente la media lo que indica es que si todos los habitantes comieran la misma cantidad de pollo en un año todos tomarían dos, pero la realidad es que algunos no comerán ninguno y otros comerán muchos más de dos. La media es una medida que permite asignar a un conjunto un valor único que lo representa.
Accede a la escena siguiente en la que se trabaja el concepto de media o promedio en Primaria y fíjate bien para poder aplicarlo después. Ahí son patitos y no pollitos. Pulsa sobre la imagen.

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―Paco ¿Cómo te ha ido? ¿Has sido intuitivo?

―No es fácil, profe. Con la ayuda llegué a comprender qué es lo que hay que hacer y el porcentaje de error te orienta hacia donde tienes que desplazar el control, así es fácil, pero sin esa ayuda la intuición engaña.

―Bueno, si la intuición no atina bien, la lógica sí ha de hacerlo. En el caso de la media aritmética, con los patitos, lo que se hace es construir un rectángulo completando las columnas que tienen menos patitos usando patitos de donde hay más. Y aquí es análogo. En la imagen puedes observar que para que 4,5 sea el valor promedio, el área rosácea ha de ser igual que el área amarilla y de esta manera se construye un rectángulo de base el intervalo [a, b] y altura dicho valor promedio (hemos pasado los patitos de la zona rosa a la amarilla).

―¡Ahora sí me queda claro! Es algo lógico y evidente, pero obviamente, una vez que las gafas matemáticas están bien graduadas. Se me ocurre el símil de un líquido que está en un recipiente curvo y lo vaciamos en un recipiente rectangular.

―¡Premio para el caballero! Ahora sí que te funcionó magníficamente la intuición y la construcción de la analogía. También podríamos pensar en que la gráfica de la función es una lámina rígida que separa dos zonas en un recipiente rectangular, una con un líquido y otra vacía, y que si retiramos esta lámina el líquido de una zona pasa a la otra fomando ese rectángulo de altura el valor promedio.

―Esa era mi idea. Esta comparación física es más evidente que la propiamente matemática.

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3.7 Integrales definidas por sustitución

―Paco, si queremos calcular una integral definida ¿qué piensas que acontece si Hacemos una sustitución o cambio de variable?

―Una cosa es lo que yo piense y otra la que sea realmente. Pero haré un intento. Sea condescendiente conmigo.

―Actúa con lógica y convicción y cualquier error será admitido como algo que es posible que acontezca en cualquier razonamiento. ¡Adelante!

―En la integral ∫_abf(x) dx la variable independiente x toma valores en el intervalo
[a, b], por tanto si hacemos x=g(t), entonces t toma valores en [g^-1(a), g^-1(b)] y por tanto:

∫_abf(x) dx = ∫_{g^-1(a)g^-1(b)} f(g(t)) g'(t) dt

―Muy bien, ¿ves como con confianza se avanza? La unica pega que se podría poner es que no tiene por qué existir la inversa de g. Por ello, si te parece, reescribo tu expresión planteándola al contrario, es mera cuestión de notación:

∫_ab f(u(x)) u'(x) dx = ∫_u(a)u(b)f(u) du con u=u(x)

Y si F(u) es una primitiva de f(u), entonces la integral vale F(u(b)) - F(u(a)).

―Habilidad de maestro. Pero mejor aplicarlo en un ejemplito ¿verdad?

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Mira algunos ejemplos más de aplicación del cambio de variable.

Escena de Carlos Hernández Garciadiego CC by-nc-sa
Ampliar

―Se convierte en un procedimiento mecánico.

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―¡Hecho, profe! he interiorizado el cambio de variable, pero aprovechando lo del cambio ¿no hemos ya cubierto suficientemente la integral definida? Barrow nos dió la herramienta cómoda de cálculo y hemos visto ampliamente los métodos de integración, salvo funciones del tipo de las de Liouville, para poder aplicarla. ¿No es hora de cambiar?

―Parece que has perdido el interés inicial, pero ahora es cuando nos ubicaremos en unas situaciones curiosas, podemos decir que incluso sorprendentes para la intuición, las cuales vamos a encuadrarlas en un epígrafe titulado "Integrales impropias" y finalmente abordaremos las aplicaciones del cálculo integral.

―No he perdido el interés, simplemente es que la rutina de los calculotes cansa un poco.

―¡Seguro que lo siguiente despierte tu mente!

3.8 Integrales impropias

―A ver, Paco, gráfica o geométricamente qué sería [a, b] ˣ [0, 3]

―Un rectángulo de base b-a y altura 3.

―Correcto y su área sería 3(b-a). ¿Podrías obtener este resultado con una integral definida?

―¿Claro que sí! Basta considerar la función f(x)=3 en el intervalo [a, b], y como esa función es positiva en ese intervalo el área vendrá dada por ∫_ab3 dx = 3(b-a).

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respectiva de cada una de estas figuras. La primera es un trapecio curvilíneo y la segunda sería una banda ¿curvilínea? que se extiende desde b hasta +∞.

―Por analogía podría denominarse banda curvilínea, pero el nombre aquí es lo de menos, la cuestión es que en el primer caso valga lo que valga b tendrías pintura suficiente para pintarlo, mientras que en el segundo caso necesitas infinita pintura. ¿Pruebas ahora con ∫_1b 1/x² dx , donde b > 1 e interpretas su significado? y lo mismo con b = +∞

―Menos mal que quería motivarme y no cansarme con cálculos y más cálculos. Pues, de nuevo, en el primer caso tendríamos un trapecio curvilíneo para el que tendríamos suficiente pintura y en el segundo una banda curvilínea que, otra vez, se extiende desde b hasta +∞ y que necesitaría infinita pintura... Mire la imagen:

―Paquito, Paquito... tu impaciencia te sobrepasa... ¿estás seguro de lo que afirmas? ¿Pondrías la mano en el fuego por ello?

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herramientas matemáticas y comprende a través de ellas lo que tu intuición te muestra como incomprensible. No eres nuevo en esta lides.

―Abro mi mente para que la llene de luz, propia o impropiamente.

Integrales impropias de primera especie

―Diremos que una integral es impropia de primera especie si el intervalo de integración no está acotado, es decir, [a, +∞), (-∞, b] o (-∞, +∞). Son integrales de la forma:

∫_a+∞f(x) dx , ∫_-∞bf(x) dx , ∫_-∞+∞f(x) dx

donde consideramos que f(x) está acotada en el intervalo de integración. Con esta última suposición tenemos garantía que f es integrable Riemann en cualquier subintervalo [c, d] incluido en el intervalo de integración, es decir, que la ∫_cdf(x) dx es un número real. En este supuesto podemos definir:

• ∫_a+∞f(x) dx =   lím _{b →+∞} ∫_abf(x) dx
• ∫_-∞bf(x) dx =   lím _{a →-∞} ∫_abf(x) dx
• ∫_-∞+∞f(x) dx =   lím _{b →+∞} ∫_-bbf(x) dx

Al definirse como un límite, la integral impropia puede no existir, puede ser un número (convergente) o tomar el valor infinito (divergente).

―No me pilla de sorpresa. Hasta yo fui capaz de intuir cómo calcular ∫_1b 1/x² dx .

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―Profe, lo he hecho a mano y también con mi asistente matemático wxMaxima. Le hago un resumen:

• La primera integral ∫_1b 1/x dx ya la había resuelto y obtuve que era divergente.
• La segunda ∫_-∞-2 1/x dx sería igual que la anterior, pero cambiando los extremos de integración, luego obtendríamos ln|x| ] _a-2 = ln|-2| - ln|a|, y cuando a→-∞ el límite sería -∞, es decir, es divergente.
  wxMaxima fue diligente y me dijo:

  

• La tercera, que es ∫_-1+∞ e^-x dx , su primitiva es -e^-x y aplicando Barrow en [-1, b] obtenemos -e^-b + e¹, y cuando b→+∞ el primer sumando tiende a cero y la integral converge al número e. Y eso me dijo Maxima:

  

• La cuarta ∫_-∞+∞ 4x e^-x2 dx como integral indefinida es cuasi inmediata y una primitiva sería -2 e^-x2 de manera que en [-b, b] aplicando Barrow tendríamos que -2 e^-x2 ] _-bb = -2 e^-b2 + 2 e^-b2 =0 para todo b sea finito o infinito.

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―Sí que seguí y

• Para la sexta y séptima era necesaria una primitiva de 1/x^s con s ≥ 2, es decir, 1/(1-s) x^s-1.
  Aplicando Barrow en la sexta integral ∫_1+∞ 1/x^s dx = 1/(1-s) x^s-1 ] _1+∞ = 1/s-1. ¡Converge!
  Y en la séptima integral ∫_-∞-1 1/x^s dx = 1/(1-s) x^s-1 ] _-∞-1 = 1/(1-s) (-1)^1-s. ¡Converge!
  Casi tan rápido como Maxima que preguntaba y preguntaba sobre s.

  

―¡Un inmenso tsunami para el gran Paco! ¡Aplausos!
Perdona que tenga que señalarte un detallito en el magnífico análisis realizado. Tú has

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―Entiendo que lo del poema no era por pirata, sino por lo de ¡viento en popa y a toda vela!

―¡Claro, Paco! Abordé mi valoración de tu progreso con esa frase y ella lleva a acudir, a la fuerza, a este bello poema en el que su mera lectura rebosa musicalidad.

―¡Es verdad, profe! transmite ritmo y fuerza. Es lo mismo que me acontecía a mí a medida que iba analizando esas integrales impropias y salía una, y otra, a buen ritmo y sin pausa, e interiormente me sentía subir la bilirrubina animando a mi mente a seguir.

―Paco será mejor que no te suba la bilirrubina, pues te pondras amarillito, quizás te referías a la adrenalina que sí sentimos ante estímulos creativos, entre otros, como el que me indicas. ¡Enhorabuena por sentir esa subida de adrenalina, te auguro que continuarás sintiendo esa sensación de bienestar ante tus descubrimientos científicos! ¡Ah! y lo de la bilirrubina, posiblemente, te habrá venido por la canción de Juan Luis Guerra. Pulsa sobre la imagen para oírla.

―¡Seguro, profe! Y aunque en otro estilo también tiene ritmo y musicalidad ¿verdad?

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¿Cómo se le quedó el "body"?

―Pues mi "body" se me quedó muy mal, con carita de sorprendido como la de ese emoticono con ojos redondeados que usas en tu celular, o incluso más bien ese que manifiesta horror...

―¡Lo sabía! ¿Dónde está la fuente y causa de esa sorpresa y horror?

―Por un lado por abordar trabajos mecánicos e irreflexivos, y por otro por llegar a un resultado y no analizar si la respuesta es adecuada o no.

―¿Todo eso en una línea de cálculos?

―¡Sí y menos mal que era sólo una línea! ¡Analiza!:

• Primero has tomado carrerilla, has puesto el piloto automático y ¡a calcular!
• Segundo has llegado a ese resultado y tu mente ha desconectado y se ha puesto en "off"... Pero, ¿tiene sentido lo que has obtenido? Recuerda que en las propiedades de la integral definida vimos que si una función es positiva la integral definida es positiva ¿recuerdas? Pues 1/x² ≥ 0 y sin embargo tu calculote te ha llevado a que vale -2. ¿Me lo explicas?

Pero, antes de nada calcula ahora esta integral ∫₀₁ 1/x² dx

―¿Otra vez? ¡De acuerdo! otra vez... vemos que ∫₀₁ 1/x² dx = -1/x ] ₀₁ = + ∞.

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