Vectores y rectas
en el plano
(Libro de ejercicios)
Miguel Ángel Cabezón Ochoa

Vectores y rectas en el plano
(Libro de ejercicios)

Miguel Angel Cabezón Ochoa
Red Educativa Digital Descartes

Fondo Editorial RED Descartes

Córdoba (España)
2022

VECTORES Y RECTAS EN EL PLANO (Libro de ejercicios)
Autor: MIGUEL ANGEL CABEZÓN OCHOA

Diseño del libro: Juan Guillermo Rivera Berrío
Código JavaScript para el libro: Joel Espinosa Longi, IMATE, UNAM.
Recursos interactivos: DescartesJS
Fuentes: Lato y UbuntuMono
Fórmulas matemáticas: $\KaTeX$
Núcleo del libro interactivo: julio 2022

Red Educativa Digital Descartes
Córdoba (España)
descartes@proyectodescartes.org
https://proyectodescartes.org
Proyecto iCartesiLibri
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/index.htm
ISBN: 978-84-18834-26-4

Esta obra está bajo una licencia Creative Commons 4.0 internacional: Reconocimiento-No Comercial-Compartir Igual.

## Tabla de contenido

# Prefacio

Este libro de ejercicios nace dentro del curso de "Edición de libros interactivos" de RED Descartes. Son escenas de Descartes colocadas en este modelo de libro.

El tema vectores y rectas es el inicio de los alumnos en la geometría analítica. Se verán los vectores de forma intuitiva, obteniendo la base para poder estudiarlos más profundamente en cursos venideros. Se verán las distintas formas de la recta y el paso de una a otra.

Aprenderás:

- A reconocer y calcular los elementos y coordenadas de un vector.
- A realizar operaciones con vectores de forma gráfica y analítica
- A reconocer y calcular las distintas expresiones de la ecuación de una recta
- A calcular rectas paralelas y perpendiculares a una dada
- A reconocer si dos rectas son secantes, paralelas o coincidentes

Capítulo I

# Vectores

## Definición. Elementos de un vector

Un vector es un segmento orientado determinado por dos puntos $A$ y $B$ y el orden de estos. El primero de los puntos se llama origen y el segundo extremo, se escribe $\ \overrightarrow{AB}$.

- Módulo: es la longitud del segmento
- Dirección: es la recta que contiene al vector ó cualquiera de sus paralelas
- Sentido: la orientación del segmento, del origen al extremo.

Pulsa los botones de la siguiente escena para ver los elementos anteriores

## Coordenadas de un vector

Las coordenadas de un vector $\overrightarrow{AB}$: son las coordenadas del extremo $B(b_1,b_2)$ menos las coordenadas del origen $A(a_1,a_2)$. $$\overrightarrow{AB}=(b_1,b_2)-(a_1,a_2)=(b_1-a_1,b_2-a_2) $$

1. Halla las coordenadas del vector $\overrightarrow{AB}$, cuyo origen es $A(8,-2)$ y cuyo extremo es $B(3,4)$

$$\color{blue} \overrightarrow{AB}=(3,4)-(8,-2)=(-5,6)$$

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## Módulo de un vector

El módulo de un vector es la distancia entre los puntos A y B.
Si las coordenadas de un vector $\vec{v}$ son $(v_1,v_2)$, entonces el módulo de $\vec{v}$ es: $$\quad |\vec{v}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2}$$

1. Halla el módulo del vector $\vec{v} = (8,6)$

$|\vec{v}|=\sqrt{(8)^2+6^2}=\sqrt{100}=10$

2. Halla el módulo del vector $\overrightarrow{AB}$, cuyo origen es $A(7,4)$ y cuyo extremo es $B(-5,9)$

Primero buscamos las coordenadas del vector $ \overrightarrow{AB}$: $\\ \overrightarrow{AB}=(-5,9)-(7,4)=(-12,5)\\ $ El módulo del vector $\overrightarrow{AB}$ es: $\\ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-12)^2+5^2}=\sqrt{169}=13$

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## Vectores paralelos

Los vectores $\vec{u}=(u_1,u_2)$ y $\vec{v}=(v_1,v_2)$ son paralelos (tienen la misma dirección), cuando sus coordenadas son proporcionales $$\frac{u_1}{v_1}=\frac{u_2}{v_2}$$

1. Los vectores $\vec{u}=(6,14)\ $ y $\ \vec{v}=(3,7)\ $ ¿son paralelos?

Si $\ \rightarrow\color{blue}\ \ \displaystyle \frac{6}{3}=\frac{14}{7}$

2. Los vectores $\vec{u}=(6,14)\ $ y $\ \vec{v}=(2,7)$ ¿son paralelos?

No $\ \rightarrow \color{blue}\ \ \displaystyle \frac{6}{2}\not =\frac{14}{5}$

3. Encuentra un vector paralelo al vector $\vec{u}=(3,4)$ cuyo módulo sea 15

Un vector paralelo a $\vec{u}$ es $\vec{v}=k\cdot\vec{u}=(3k,4k) \\ |\vec{v}|=\sqrt{9k^2+16k^2}=\sqrt{25k^2}=5k=15 \rightarrow k=3 \\ \vec{v}=3·(3,4)=(9,12)$. Para k=-3 se obtiene otro vector paralelo a $\vec{u} \rightarrow \vec{v}=-3·(3,4)=(-9,-12)$

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## Vectores perpendiculares

Los vectores $\vec{u}=(u_1,u_2)$ y $\vec{v}=(v_1,v_2)$ son perpendiculares (sus direcciones se cortan formando ángulo recto), cuando sus coordenadas cumplen: $ \ u_1 \cdot v_1+ u_2\cdot v_2=0$

1. Los vectores $\vec{u}=(6,4)$ y $\vec{v}=(-2,3)$ ¿son perpendiculares?

Si $\ \rightarrow\ \color{blue}6\cdot(-2)+3\cdot 4=0$

2. Los vectores $\vec{u}=(6,4)\ $ y $\ \vec{v}=(2,1)$ ¿son perpendiculares?

No $\ \rightarrow \color{blue} 6\cdot 2+4\cdot 1=12+4=16\not= 0 $

3. Encuentra un vector perpendicular al vector $\vec{u}=(3,4)$ cuyo módulo sea 15

Un vector perpendicular a $\vec{u}$ es $\vec{v}=(-4k,3k) \\ |\vec{v}|=\sqrt{16k^2+9k^2}=\sqrt{25k^2}=5k=15 \rightarrow k=3 \\ \vec{v}=3·(-4,3)=(-12,9)$. Para k=-3 se obtiene otro vector paralelo a $\vec{u} \rightarrow \vec{v}=-3·(-4,3)=(12,-9)$

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Capítulo II

# Operaciones con vectores

## Suma de vectores

Para sumar dos vectores $\vec {u}$ y $\vec {v}$ gráficamente se dibujan de forma que el extremo de $\vec{u}$ coincida con el origen de $\vec{v}$. El vector $\vec{u}+\vec{v}$ es el vector que resulta al unir el origen de $\vec {u}$ con el extremo de $\vec {v}$

Haz coincidir el origen de un vector con el extremo de otro para obtener su suma

Dados los vectores $\vec {u}(u_1,u_2)$ y $\vec {v}=(v_1,v_2)$. El vector suma es; $$\vec{u}+\vec{v}=(u_1,u_2)+(v_1,v_2)=(u_1+v_1,u_2+v_2)$$

1. Calcula la suma de los vectores $\vec{u}=(7,8)$ y $\vec{v}=(-2,3)$.

$\ \color{blue} \vec{u} + \vec{v}=(7,8)+(-2,3)=(7-2,8+3)=(5,11)$

2. Calcula la suma de los vectores $\vec{u}=(3,5)$ , $\vec{v}=(-6,7)$ y $\vec{w}=(9,-1)$.

$\ \color{blue} \vec{u} + \vec{v}+ \vec{w}=(3,5)+(-6,7)+(9,-1)=$
$=(3-6+9,5+7-1)=(6,11)$

## Resta de vectores

Para restar dos vectores $\vec {u}$ y $\vec {v}$ gráficamente se dibujan de forma que sus orígenes coincidan. El vector $\vec{u}-\vec{v}$ es el vector que resulta al unir el extremo de $\vec {v}$ con el extremo de $\vec {u}$

Haz coincidir los orígenes y luego une el extremo del vector $\vec{u}$ con el extremo del vector $\vec{v}$ para obtener $\vec{u}-\vec{v}$

Dados los vectores $\vec {u}(u_1,u_2)$ y $\vec {v}=(v_1,v_2)$. El vector resta es; $$\vec{u}-\vec{v}=(u_1,u_2)-(v_1,v_2)=(u_1-v_1,u_2-v_2)$$

1. Calcula la resta de los vectores $\vec{u}=(7,8)$ y $\vec{v}=(-2,3)$.

$\ \color{blue} \vec{u}-\vec{v}=(7,8)-(-2,3)=(7+2,8-3)=(9,5)$

2. Dados los vectores $\vec{u}=(1,8)$, $\vec{v}=(-2,7)$ y $\vec{w}=(-2,-3)$. Calcula: $\vec{u}-\vec{v}-\vec{w} $

$\ \color{blue} \vec{u}-\vec{v}-\vec{w} =(1,8)-(-2,7)-(-2,-3)=$
$=(1+2+2,8-7+3)=(5,4)$

3. Dados los vectores $\vec{u}=(4,5)$, $\vec{v}=(-2,1)$ y $\vec{w}=(-5,-3)$. Calcula: $\vec{u}+\vec{v}-\vec{w} $

$\ \color{blue} \vec{u}+\vec{v}-\vec{w} =(4,5)+(-2,1)-(-5,-3)=$
$=(4-2+5,5+1+3)=(7,9)$

## Multiplicación de un número por un vector

El resultado de la multiplicación de un número real k por un vector $\vec {u}$, es otro vector cuyo módulo es el producto de k por el módulo del vector y su sentido es el mismo si k positivo y contrario si k es negativo.

Cambia el valor de $k$ para ver el producto $k\cdot\vec{v}$

Dado el vector $\vec {u}(u_1,u_2)$ y el número $k$. El producto $ k·\vec {u}$ es; $$k·\vec{u} = k·(u_1,u_2)=(k·u_1,k·u_2)$$

1. Calcula el producto del vector $\vec{u}=(3,-9)$ por 7.

$\ \color{blue} 7·\vec{u}=7·(3,-9)=(21,-63)$

2. Dado los vectores $\vec{u}=(1,4)$ y $\vec{v}=(3,-9)$.
   Calcula: $7·\vec{u}+2·\vec{v}$

$\ \color{blue} 7·\vec{u} + 2·\vec{v}=7·(1,4)+2·(3,-9)=\\ (7,28)+(6,-18)= (13,-10)$

3. Dado el vector $\vec{u}=(10,-4)$, calcula el vector opuesto de $\vec{u}$.

El vector opuesto de $\vec{u}$ es: $ \\ -\vec{u} = -(10,-4)=(-10,4)$

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Capítulo III

# Ecuaciones de la recta

## Ecuación vectorial

Una recta queda determinada conocido un punto y un vector de dirección de la misma.

Si $A$ es un punto de la recta , $\vec {v}$ su vector de dirección y $P$ un punto cualquiera . Se verifica: $$\vec{OP}=\vec{OA}+\vec{AP}=\vec{AP}+t·\vec{v}$$

La ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto $A=(a_1,a_2)$ y tiene de vector de dirección $\ \vec {v}=(v_1,v_2) $ es: $$ (x,y)=(a_1,a_2)+t\cdot(v_1,v_2)$$

1. Calcula la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto $A(3,5)$ y tiene por vector de dirección $\vec{v}=(7,8)$.

$(x,y)=(3,5)+t·(7,8)$

2. Escribe algún punto de la recta cuya ecuación vectorial es:$ (x,y)=(3,-8)+t\cdot(2,6)$.

Un punto de la recta es $(3,-8)$,para obtener más puntos basta dar valores a t: $\\ si \ t=1\ (x,y)=(5,-2) \\ si\ t=2\ (x,y)=(5,-2)$

3. Comprueba si los puntos $A=(5,-4)$ y $B=(5,-7)$ pertenecen a la recta: $ (x,y)=(-7,2)+t\cdot(6,-3)$

$\\ (5,-4)=(-7,2)+t\cdot(6,-3)= (-7+6t,2-3t) \Rightarrow $ $\begin{cases} 5=-7+6t & \rightarrow \ t=2 \\ -4=2-3t & \rightarrow \ t=2 \end{cases} \Rightarrow $ la solución es $t=2$ , $\Rightarrow A$ pertenece a la recta.

$\\ (5,-7)=(-7,2)+t\cdot(6,-3)= (-7+6t,2-3t) \Rightarrow $ $\begin{cases} 5=-7+6t & \rightarrow \ t=2 \\ -7=2-3t & \rightarrow \ t=-3 \end{cases}$ como $2\neq -3 $ no hay solución $\Rightarrow B$ no pertenece a la recta.

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## Ecuación paramétrica

Si en la ecuación vectorial $(x,y)=(a_1,a_2)+t\cdot(v_1,v_2)$ igualamos las coordenadas obtenemos las ecuaciones paramétricas de la recta:

Las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto $A(a_1,a_2)$ y tiene de vector de dirección $\vec{v}=(v_1,v_2)$ son:

$$\begin{cases} x= & a_1+t\cdot v_1\\ y= & a_2+ t\cdot v_2 \end{cases}$$

1. Calcula las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los punto $A(5,6)$ y $B(9,8)$.

Un vector de dirección de la recta es:
$\vec{AB}=(9,8)-(5,6)=(4,2)$. Las ecuaciones paramétricas son: $$\begin{cases} x= & 5+4t\\ y= & 6+ 2t \end{cases}$$

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## Ecuación continua

Si en las ecuaciones paramétricas de la recta $\begin{cases} x= &a_1+t\cdot v_1\\ y= &a_2+ t\cdot v_2 \end{cases}$ despejamos $\ t$ $\rightarrow \begin{cases} t= &\displaystyle \frac{x-a_1}{v_1}\\ t= & \displaystyle\frac{y-a_2}{v_2} \end{cases}$ e igualamos obtenemos la ecuación continua.

Ecuación continua de la recta que pasa por $A(a_1,a_2)$ y tiene por vector de dirección $\vec{v}=(v_1,v_2)$ $$\displaystyle \frac{x-a_1}{v_1}=\frac{y-a_2}{v_2}$$

1. Escribe la ecuación continua de la recta que pasa por los puntos $A(3,7)$ y $B=(2,9)$

Un vector de dirección de la recta es: $\vec{AB}$ $\\ \vec{AB}=(2,9)-(3,7)=(-1,2)\\$ La ecuación continua es:$\ \displaystyle \frac{x-3}{-1}=\frac{y-7}{2}$

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## Ecuación punto pendiente

Si en la ecuación continua de la recta despejamos $\ y-a_2$

$$ \frac{x-a_1}{v_1}=\frac{y-a_2}{v_2} \rightarrow y-a_2=\frac{v_2}{v_1}\cdot(x-a_1) $$

$\displaystyle \frac{v_2}{v_1}$ es la pendiente y se representa con la letra m

La ecuación punto pendiente de la recta que pasa por el punto $A(a_1,a_2)$ y tiene de pendiente $m$ es:

$$ y-a_2=m\cdot(x-a_1)$$

1. Escribe la ecuación punto pendiente de la recta que pasa por los puntos $A(5,8)$ y $B(3,1)$

Un vector de dirección de la recta es $\vec{AB}$ $\\ \vec{AB}=(3,1)-(5,8)=(-2,7) \rightarrow m=\displaystyle -\frac{7}{2}\\$ La ecuación punto pendiente de la recta es: $$y-8= -\frac{7}{2}\cdot(x-5)$$

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## Ecuación explícita

Si en la ecuación punto pendiente de la recta despejamos $y$ obtenemos la ecuación explícita de la recta.
$y=m\cdot(x-a_1)+a_2 \rightarrow y=mx-ma_1+a_2 =mx+n$ donde $\ n=-ma_1+a_2$

La ecuación explícita de la recta es de la forma: $$y=mx+n$$ Donde $m$ es la pendiente y $n$ la ordenada en el origen.

1. Escribe la ecuación explícita de la recta que pasa por el punto $A(3,4)$ y tiene por vector de dirección $\vec{v}=(5,10)$

La pendiente es $m=\displaystyle\frac{10}{5}=2$
La ecuación que buscamos es $\ y=2x+n$
Para encontrar el valor de $n$ utilizamos la condición de que la recta pasa por el punto $(3,4) \\$ $4=2\cdot 3+n \rightarrow n=-2 \\$La ecuación explícita buscada es $y=2x-2$

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## Ecuación general

Si en la ecuación continua quitamos denominadores y agrupamos todo en un mismo lado de la igualdad obtenemos la ecuación general.
$\displaystyle \frac{x-a_1}{v_1}=\frac{y-a_2}{v_2} \rightarrow v_2\cdot (x-a_1)=v_1\cdot(y-a_2) \rightarrow \\ v_2\cdot x-v_1\cdot y-a_1\cdot v_2+a_2\cdot v_1=0 \rightarrow Ax+By+C =0 $

La ecuación general o implícita de la recta es de la forma: $$Ax+By+C=0$$ Donde $(-B,A)$ es un vector de dirección de la recta.

1. Escribe la ecuación general de la recta que pasa por el punto $A(3,10)$ y tiene por vector de dirección $\vec{v}=(7,2)$

Un vector de dirección de la recta $Ax+By+C=0$ es $(-B,A)\ $ luego $(-B,A)=(7,2) \rightarrow A=2 \ B=-7 \\$ por tanto la ecuación que buscamos es $\ 2x-7y+C=0.\\$La recta pasa por el punto $\ C= (3,7)\\$ $2\cdot 3-7\cdot 10+C=0 \rightarrow 6-70+C=0 \rightarrow C=64\\$ La ecuación general buscada es $2x-7y+64=0$

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## Ecuación de las rectas paralelas a los ejes

Las rectas paralelas al eje $OX$,tienen como vector dirección: $\vec{v}=(1,0)$, si $(0,k)$ es el punto de corte con el eje $OY$ la ecuación es: $$y=k$$

Apoya el ratón en el punto blanco para mover la recta , observa su ecuación

Las rectas paralelas al eje $OY$,tienen como vector dirección: $\vec{v}=(0,1)$, si $(k,0)$ es el punto de corte con el eje $OX$ la ecuación es: $$x=k$$

Apoya el ratón en el punto blanco para mover la recta , observa su ecuación

Capítulo IV

# Posición relativa de dos rectas en el plano

## Clasificación

En el plano, dos rectas pueden ser:

- Paralelas: Tienen la misma dirección.No se cortan, no tienen puntos en común.
- Coincidentes: Tienen la misma dirección. Todos sus puntos son comunes. Las dos rectas son la misma.
- Secantes: Tienen distinta dirección. Se cortan en un sólo punto.

Apoya el ratón en el punto blanco para ver el punto de corte o para mover la recta roja hasta que sea paralela o coincidente con la recta azul.

## Clasificación según el vector director

Sea la recta $\vec{r}$ de vector director $(u_1,u_2)$ y la recta $\vec{s}$ de vector director $(v_1,v_2)$

Paralelas | $$\displaystyle \frac{u_2}{u_1}=\frac{v_2}{v_1}$$ | $\ \ \ \ Si \ P \in \vec{r} \Rightarrow P \notin \vec{s}$
Coincidentes | $$\displaystyle \frac{u_2}{u_1}=\frac{v_2}{v_1}$$ | $\ \ \ \ Si \ P \in \vec{r} \Rightarrow P \in \vec{s}$
Secantes | $$\displaystyle \frac{u_2}{u_1}\neq \frac{v_2}{v_1}$$ |

1. Estudia la posición relativa de las rectas: $$\vec{r}\equiv \frac{x-2}{2}=\frac{y-5}{3} \ , \ \vec{s} \equiv \frac{x+6}{4}=\frac{y+7}{6}$$

$\\[-0.2cm] \vec{v_r}=(2,3)\ , \ \vec{v_s}=(4,9) \rightarrow \displaystyle \frac{4}{2}=\frac{6}{3} \rightarrow \vec{v_r} \parallel \vec{r_s} \\[0.2cm] $ $P=(2,5) \in \vec{r} \rightarrow \displaystyle \frac{2+6}{4}=\frac{5+7}{6} \rightarrow P\in \vec{s} \\[0.1cm] $ Las rectas $\vec{r}$ y $\vec{s}$ son coincidentes.

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## Clasificación según la pendiente

Sea la recta $\vec{r}$ de pendiente $m_1$ y la recta $\vec{s}$ de pendiente $m_2$

Paralelas | $m_1=m_2$ | $\ \ \ \ Si \ P \in \vec{r} \Rightarrow P \notin \vec{s}$
Coincidentes | $m_1=m_2$ | $\ \ \ \ Si \ P \in \vec{r} \Rightarrow P \in \vec{s}$
Secantes | $m_1\neq m_2$ |

1. Estudia la posición relativa de las rectas: $$\vec{r}\equiv y=3x+4 \ , \ \vec{s} \equiv y=3x+8 $$

$\\[-0.3cm] m_r=3 \ , \ m_s=3 \rightarrow m_r=m_s $
$P=(0,4) \in \vec{r}$. Para ver si $P\in \vec{s}$ sustituimos las coordenadas de $P$ en $\vec{s}$ y comprobamos si verifica la ecuación.
$3\cdot 0+8=3 \neq 4 \rightarrow P\notin \vec{s} \\[0.1cm] $ Las rectas $\vec{r}$ y $\vec{s}$ son paralelas.

2. Estudia la posición relativa de las rectas: $$\vec{r}\equiv y=2x+5 \ , \ \vec{s} \equiv \frac{x-1}{2}=\frac{y-7}{6} $$

$\\[-0.5cm] m_r=2 \ , \ m_s=\displaystyle \frac{6}{2}=3 \rightarrow m_r\neq m_s $
Las rectas $\vec{r}$ y $\vec{s}$ son secantes.

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## Clasificación según la ecuación general

Sean las rectas: $$\vec{r}\equiv Ax+By+c=0 \ y \ \vec{s} \equiv A^\prime x+B^\prime y+C^\prime=0$$

Paralelas | $$ \frac{A}{A^\prime}=\frac{B}{B^\prime}\neq\frac{C}{C^\prime}$$
Coincidentes | $$ \frac{A}{A^\prime}=\frac{B}{B^\prime}=\frac{C}{C^\prime}$$
Secantes | $$ \frac{A}{A^\prime}\neq\frac{B}{B^\prime}$$

1. Estudia la posición relativa de las rectas: $$\vec{r}\equiv 3x+2y+4=0 \ , \ \vec{s} \equiv 6x+4y+8=0 $$

$ \displaystyle \frac{6}{3}=\frac{4}{2}=\frac{8}{4} \rightarrow $ Las rectas $\vec{r}$ y $\vec{s}$ son coincidentes.

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