Para que la función sea continua en $x = -10$, debe cumplirse
$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{10}^{-} }} f (x) = f (-10)$$Es decir,como $$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{10}^{-} }} f(x)=\frac{1}{10}(-10)^2-10b+c=10-10b+c$$ $$ f (-10) = 5$$
debe cumplirse que $10-10b + c = 5$, esto es, $c = 10b - 5$.
Para que la función sea derivable en $-10$, debe existir el siguiente límite $$f'(10) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {10 }} \frac{ f (x) -f (-10)}{ x + 10}$$ Dado que $f (x)$ se define de forma diferente a la derecha y a la izquierda de 10, debemos evaluar este límite por la derecha y por la izquierda y luego igualarlos:
$$\begin{aligned} \mathop {\lim }\limits_{x \to {{10}^ - }} \frac{f (x) -f (-10)}{ x + 10} &= \mathop {\lim }\limits_{x \to {{10}^ - }} \frac{\frac{1}{10}x^2+bx+c-5} {x+10}\\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to {{10}^ - }} \frac{\frac{1}{10}x^2 + bx + (10b - 5) -5}{x + 10} &\text{Sustituyendo} \,\,c=10b-5\\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to {{10}^ - }} \frac{x^2-100 + 10bx + 100b}{10 (x + 10)}\\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to {{10}^ - }} \frac{ (x + 10) (x - 10 + 10b)}{ 10 (x + 10)} &\text{Factorizando}\\ &= b - 2 \end{aligned}$$ Por otro lado, $$\begin{aligned}\mathop {\lim }\limits_{x \to {{10}^ + }} \frac{f (x) -f (-10)}{ x + 10} &= \mathop {\lim }\limits_{x \to {{10}^ + }} \frac{(\frac{-1}{4}x + \frac{5}{2}-5)}{x + 10} \\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to {{10}^ + }} \frac{- (x + 10)}{ 4 (x + 10)}\\ &= -\frac{1}{4}\\ \end{aligned}$$ Esto implica que $b - 2 = -\frac{1}{4}$. Por lo tanto,$ b = \frac{7}{4}$ y $c = 10 \left(\frac{7}{4}\right) -5 = \frac{25}{2}$.