# Solución

Sea $\epsilon > 0 $.

La primera parte de la definición comienza con "Para todo $\varepsilon > 0 $".

Esto significa que debemos demostrar que todo lo que sigue es cierto sin importar qué valor positivo de $\epsilon$ que se elija. Al indicar "Sea $\epsilon > 0 $", indicamos nuestra intención de hacerlo.

Sin perdida de generalidad, suponemos $\epsilon \le 4$. Debemos responder a dos cuestiones: ¿por qué queremos que $\epsilon \le 4$ y por qué no importa suponerlo?

Respecto a la primera cuestión, en el proceso de encontrar $\delta$ veremos que utilizamos $\sqrt{4-\epsilon}$. En consecuncia debemos elegir $\epsilon \le 4$. Respecto a la segunda cuestión, si encontramos un valor de $\delta$ que "funciona" para cada $\epsilon \lt 4$, entonces ese valor "funcionará" para $\epsilon > 4$.

Elijiendo $\delta = min(2-\sqrt{4-\epsilon},\sqrt{4+\epsilon}-2)$.

La Figura 2.41 muestra cómo hicimos esta elección de $\delta$.

Figura 2.41 Esta gráfica muestra cómo encontramos $\delta$ geométricamente para un $\epsilon$ dado para la demostración del Ejemplo 2.41.

Debemos mostrar: Si $0 < |x−2 | < \delta$, entonces $| x^2−4 | < \epsilon$

Empezemos asumiendo $$0 < |x−2 | < \delta$$

Realmente no necesitamos $0 < | x − 2 |$ (en otras palabras, $x \ne 2$) para esta prueba ya que $0 < | x − 2 | < \delta \Rightarrow | x − 2 | < \delta$, por lo que está bien eliminar la condición $0 < | x − 2 |$.

$$|x−2 | < \delta$$

Por lo tanto,

$$-\delta < x−2 < \delta$$

Teniendo en cuenta que $\delta = min(2-\sqrt{4-\epsilon},\sqrt{4+\epsilon}-2)$, $$\delta \le 2 - \sqrt {4 - \varepsilon } $$ y, en consecuencia, $$ - \left( {2 - \sqrt {4 - \varepsilon } } \right) \le -\delta $$ También usamos aquí $$\delta \le \sqrt {4 + \varepsilon } - 2$$ Podríamos preguntarnos en este punto: ¿Por qué sustituimos $2 - \sqrt {4 + \varepsilon } $ por $\delta$ en el lado izquierdo de la desigualdad y $\sqrt {4 + \varepsilon } - 2$ en el lado derecho de la desigualdad?

Si miramos la Figura 2.41, vemos que $2 - \sqrt {4 - \varepsilon } $ corresponde a la distancia a la izquierda de $2$ en el eje x y $2 \sqrt {4 + \varepsilon }-2 $ corresponde a la distancia a la derecha. Así, $$ - \left( {2 - \sqrt {4 - \varepsilon } } \right) \le -\delta < x - 2 < \delta \le \sqrt {4 + \varepsilon } - 2$$ Simplificamos la expresión de la izquierda: $$ - 2 + \sqrt {4 - \varepsilon } < x - 2 < \sqrt {4 + \varepsilon } - 2$$ Sumando 2 a todas las partes de la desigualdad: $$\sqrt {4 - \varepsilon } < x < \sqrt {4 + \varepsilon } $$ Elevando al cuadrado todas las partes de la igualdad (nota: observa que todas las elementos de la desigualdad son positivos y por tanto es correcto) $$4 - \varepsilon < {x^2} < 4 + \varepsilon $$ Restamos 4 a las desigualdades: $$ - \varepsilon < {x^2} - 4 < \varepsilon $$ y se obtiene finalmente $$\left| {{x^2} - 4} \right| < \varepsilon $$ Por lo tanto, $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {x^2} = 4$$