# Solución

El beneficio $P (x)$ obtenido al producir $x$ sistemas de juego es $R (x) −C (x)$, donde $R (x)$ es el ingreso obtenido por la venta de $x$ juegos. Dado que la empresa puede vender x juegos a $p = −0.01x + 400$ por juego, $$R (x) = xp = x (−0.01x + 400) = - 0.01x^2 + 400x.$$ Por lo tanto, $$P (x) = - 0.01x^2 + 400x − 10000.$$ Al evaluar la tasa de cambio de la ganancia da $$\begin{aligned} P ′ (10000) &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 10000} \frac{P (x) −P (10000)}{ x − 10000 }\\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 10000}\frac{ −0.01x^2 + 400x − 10000−1990000}{x − 10000 }\\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 10000}\frac{ −0.01x^2 + 400x − 2000000}{x − 10000 }\\ &= 100 \end{aligned}$$

Dado que la tasa de cambio de la ganancia $P'(10000)> 0$ y$ P (10000)> 0$, la empresa debe aumentar la producción.