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  <title>Libro digital interactivo</title>
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  <!-- Opcional en caso de requerir formulas químicas -->
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<h1>Solución</h1>
<p>Para que la función sea continua en $x = -10$, debe cumplirse</p>
$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{10}^{-} }}  f (x) = f (-10)$$
<p>Es decir,como
 $$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{10}^{-} }} f(x)=\frac{1}{10}(-10)^2-10b+c=10-10b+c$$
$$ f (-10) = 5$$
</p>
<p>debe cumplirse que $10-10b + c = 5$, esto es, $c = 10b - 5$.</p>
<p>Para que la función sea derivable en $-10$, debe existir el siguiente límite
 $$f'(10) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {10 }} \frac{ f (x) -f (-10)}{ x + 10}$$

Dado que $f (x)$ se define de forma diferente a la derecha y a la izquierda de 10, debemos evaluar este límite por la derecha y por la izquierda y luego igualarlos:
</p>
<p>
$$\begin{aligned}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {{10}^ - }}  \frac{f (x) -f (-10)}{ x + 10} &= \mathop {\lim }\limits_{x \to {{10}^ - }} \frac{\frac{1}{10}x^2+bx+c-5} {x+10}\\

&= \mathop {\lim }\limits_{x \to {{10}^ - }} \frac{\frac{1}{10}x^2 + bx + (10b - 5) -5}{x + 10} &\text{Sustituyendo} \,\,c=10b-5\\

&= \mathop {\lim }\limits_{x \to {{10}^ - }} \frac{x^2-100 + 10bx + 100b}{10 (x + 10)}\\
&= \mathop {\lim }\limits_{x \to {{10}^ - }} \frac{ (x + 10) (x - 10 + 10b)}{ 10 (x + 10)} &\text{Factorizando}\\
&= b - 2
\end{aligned}$$

Por otro lado,
$$\begin{aligned}\mathop {\lim }\limits_{x \to {{10}^ + }} \frac{f (x) -f (-10)}{ x + 10} &= \mathop {\lim }\limits_{x \to {{10}^ + }} \frac{(\frac{-1}{4}x + \frac{5}{2}-5)}{x + 10} \\
&= \mathop {\lim }\limits_{x \to {{10}^ + }} \frac{- (x + 10)}{ 4 (x + 10)}\\
&= -\frac{1}{4}\\
\end{aligned}$$

Esto implica que $b - 2 = -\frac{1}{4}$. Por lo tanto,$ b = \frac{7}{4}$ y $c = 10 \left(\frac{7}{4}\right) -5 = \frac{25}{2}$.
</p>
</body>

</html>




