Paso 1.
${{\sqrt {x + 2} - 1} \over {x + 1}}$ es de la forma $0/0$ en el punto $1$. Operando $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {{{1 \over {x + 1}} - {1 \over 2}} \over {x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {{{{2 - \left( {x + 1} \right)} \over {2\left( {x + 1} \right)}}} \over {x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {{1 - x} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$$
Paso 2.
Simplificando $$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {{ - 1} \over {2\left( {x + 1} \right)}}$$
Paso 3.
Aplicando finalmente las propiedades de los límites
$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {{ - 1} \over {2\left( {x + 1} \right)}} = - {1 \over 4}$$