# Solución

Apartado a

No es posible dividir por cero, por lo que el dominio es el conjunto de números reales $x$ tal que $x≠ −2 / 5$. Para encontrar el rango, necesitamos encontrar los valores $y$ para el cual existe un número real $x$ tal que $$y= \frac{3x-1}{3x+2}$$ Cuando multiplicamos ambos lados de esta ecuación por $5x+2$, vemos eso $x$ debe satisfacer la ecuación $$5xy+2y= 3x−1$$ De esta ecuación, podemos ver que $x$ debe satisfacer $$2y+ 1 =x(3−5y)$$ Si $y= 3/5$, esta ecuación no tiene solución. Por otro lado, siempre que $y≠ 3/5$, $$x= \frac{2y+1}{3-5y}$$ satisface esta ecuación. Podemos concluir que el rango de $f$ es $\{y|y≠ 3/5\}$.

Apartado b

Para encontrar el dominio de $f$, nosotros necesitamos $4−x^2≥0$. Cuando factorizamos, escribimos $4−x^2= (2−x) (2+x) ≥0$.Esta desigualdad se mantiene si y solo si ambos términos son positivos o ambos términos son negativos. Para que ambos términos sean positivos, necesitamos encontrar $x$ tal que $2−x≥0$ y $2 +x≥0$.

Estas dos desigualdades se reducen a $2≥x$ y $x≥ − 2$. Por tanto, el conjunto $\{x| −2≤x≤2\}$debe ser parte del dominio. Para que ambos términos sean negativos, necesitamos $$2−x≤0 \,\,\,\,\text{y} \,\,\,\,\,2 +x≥0$$ Estas dos desigualdades también se reducen a $2≤x$ y $x≥ − 2$. No hay valores de $x$ que satisfacen ambas de estas desigualdades. Por tanto, podemos concluir que el dominio de esta función es $\{x| −2≤x≤2\}$.

Si $−2≤x≤2$, luego $0≤4−x^2≤4$. Por lo tanto, $0≤\sqrt{4-x^2}≤2$, y el rango de $f$ es $\{y| 0≤y≤2\}$.