# Solución

Dado que la función de valor absoluto está definida para todos los números reales, el dominio de esta función es (−∞, ∞). Dado que $| x − 3 | ≥0$ para todo $x$, la función $f (x) = 2 | x − 3 | + 4≥4$. Por tanto, el rango es, como máximo, el conjunto $\{y | y≥4\}$. Para ver que el rango es, de hecho, todo este conjunto, necesitamos mostrar que para $y≥4$ existe un número real $x$ tal que $2 | x − 3 | + 4 = y$.

Un número real $x$ satisface esta ecuación siempre que $| x − 3 | = 12 (y − 4)$.

Como $y≥4$, sabemos que $y − 4≥0$ y, por tanto, el lado derecho de la ecuación no es negativo, por lo que es posible que haya una solución. Además, $$| x − 3 |=-(x − 3) \text{ si \,\,\,} x \lt 3$$ $$| x − 3 |=x − 3 \text{ si \,\,\,} x \ge 3$$

Por tanto, vemos que hay dos soluciones: $x = ± 12 (y − 4) +3$.

El rango de esta función es $\{y | y≥4\}$.