Solución

Paso 1.

La función $$f\left( x \right) = {{{x^2} - 3x} \over {2{x^2} - 5x - 3}}$$ no está definido para $x = 3$. De hecho, si sustituimos 3 en la función obtenemos 0/0, que no está definido. La estrategia de factorizar y cancelar será una buena opción.

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {{{x^2} - 3x} \over {2{x^2} - 5x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {{x\left( {x - 3} \right)} \over {\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 1} \right)}}$$

Paso 2.

Para todo $x ≠ 3$, $${{{x^2} - 3x} \over {2{x^2} - 5x - 3}} = {x \over {2x + 1}}$$ Por lo tanto,

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {{x\left( {x - 3} \right)} \over {\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {x \over {2x + 1}}$$

Paso 3.

Evaluando el límite se tendrá,

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {x \over {2x + 1}} = {3 \over 7}$$