# Las cónicas

# INTERACTIVO

LAS CÓNICAS
INTERACTIVO

María José García Cebrian
Red Educativa Digital Descartes, España

Fondo Editorial Pascual Bravo

Medellín

Título de la obra
Las cónicas
María José García Cebrian
Primera edición: 2018

Diseño del libro: Juan Guillermo Rivera Berrío
Diseño de cubierta: Diana María Velásquez García
Librería turn.js: Emmanuel García
Herramienta de edición: DescartesJS
Fuente: Amaranth

Fondo Editorial Pascual Bravo
Calle 73 73A-226
PBX: (574) 4480520
Apartado 6564
Medellín, Colombia
www.pascualbravo.edu.co

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## Tabla de contenido

Introducción v

1. Lugares geométricos 1

2. La circunferencia 2

2.1. Ecuación de la circunferencia3

2.2. Posiciones relativas de un punto o una recta y una circunferencia4

2.3. Potencia de un punto respecto a una circunferencia5

2.4. Posiciones relativas y eje radical de dos circunferencias6

Circunferencias a tu alrededor7

3. La elipse 8

3.1. Ecuación reducida de la elipse9

3.2. Más elipses10

Elipses a tu alrededor11

4. La hipérbola 12

4.1. Ecuación reducida de la hipérbola13

4.2. Más hipérbolas14

Hipérbolas a tu alrededor15

5. La parábola 16

5.1. Ecuación reducida de la parábola17

5.2. Desplazando el vértice de la parábola18

Parábolas a tu alrededor19

6. Ecuación general de segundo grado 20

7. Ejercicios para practicar 22

8. Algunas aplicaciones de las cónicas 23

Autoevaluación 25

Bibliografía 26

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# Introducción

Una superficie cónica de revolución es la superficie engendrada por una línea recta que gira alrededor de un eje manteniendo un punto fijo sobre dicho eje.
Cuando un plano corta a una superficie cónica obtenemos una curva llamada cónica. Según sea la posición del plano respecto al cono obtenemos una curva u otra.

Un poco de historia1
Aunque fue el matemático griego Menecmo (350 A.C.) quien las descubrió, debemos a Apolonio de Perga (262-190 A.C.) el primer estudio detallado de estas curvas en Las Cónicas, un conjunto de ocho libros en el que también les da nombre.
Posteriormente fue Jan de Witt (1629-1672) quien descubrió que todas las ecuaciones de segundo grado en dos variables, x e y, representan secciones cónicas.

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## 1. Lugares geométricos

Hemos visto las cónicas como secciones de un cono, sin embargo para estudiar los elementos y propiedades de cada una de ellas en el plano, resulta más conveniente definirlas como lugares geométricos, lo que nos va a permitir obtener una ecuación para cada cónica.

Un lugar geométrico es un conjunto de puntos con una propiedad común, recordemos dos ejemplos de objetos geométricos en el plano que se pueden describir como lugares geométricos.

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## 2. La circunferencia

La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de uno fijo, el centro. La distancia del centro a uno cualquiera de sus puntos es el radio.

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#### 2.1. Ecuación de la circunferencia

### 3

#### 2.2. Posiciones relativas de un punto o una recta y una circunferencia

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#### 2.3. Potencia de un punto respecto a una circunferencia

### 5

#### 2.4. Posiciones relativas y eje radical de dos circunferencias

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Circunferencias a tu alrededor

Monedas Imagen tomada de PublicDomainPictures.net | Cuzco (Perú) Imagen tomada de Matematicas en tu mundo
Un globo se infla antes de sobrevolar Capadocia (Turquía) Imagen tomada de Wikimedia Commons | Reloj astronómico de Praga (República Checa) Imagen tomada de Matematicas en tu mundo

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## 3. La elipse

La elipse es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante. La llamaremos 2a.

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#### 3.1. Ecuación reducida de la elipse

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#### 3.2. Más elipses

Veamos cómo cambia la ecuación de la elipse cuando los focos o el vértice cambian de posición.

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Elipses a tu alrededor

Las órbitas de los planetas Imagen tomada de espaciociencia.com | Plaza elíptica en Madrid Imagen tomada de Matematicas en tu mundo
Sala Nacional de las estatuas (Capitolio de Washington) Imagen tomada de Wikimedia Commons | Anfiteatro de Pompeya Imagen tomada de Matematicas en tu mundo

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## 4. La hipérbola

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, los focos, es constante. La llamaremos 2a.

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#### 4.1. Ecuación reducida de la hipérbola

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#### 4.2. Más hipérbolas

Veamos cómo cambia la ecuación de la hipérbola si los focos o el vértice cambian de posición.

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Hipérbolas a tu alrededor

Central nuclear de Trillo (Guadalajara) Imagen tomada de Wipipedia | Catedral de Brasilia (Brasil) Imagen tomada de Wikimedia Commons
Torre del Puerto de Kobe (Japón) Imagen tomada de Wikimedia Commons | Hipérbolas de luz

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## 5. La parábola

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, el foco, y de una recta llamada directriz.

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#### 5.1. Ecuación reducida de la parábola

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#### 5.2. El vértice de la parábola se traslada

¿Cómo es la ecuación de la parábola cuando el vértice no es el origen de coordenadas?. Veamoslo.

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Parábolas a tu alrededor

Surtidores en los jardines del Generalife (Granada) Imagen tomada de Wikimedia Commons | En La Pedrera de Gaudí (Barcelona) Imagen tomada de Wikimedia Commons
Golden Gate (San Francisco) Imagen tomada de Wikimedia Commons | Parabólicas en el desierto de Atacama (Chile) Imagen tomada de Diario Uchile

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## 6. La ecuación general de segundo grado

Una ecuación de segundo grado con dos incógnitas x e y de la forma Ax2+By2+Cx+Dy+E=0 siempre representa una cónica. El tipo depende de los valores que tomen A, B, C, D y E. Veamos algunos ejemplos:

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La ecuación general de segundo grado en x e y es de la forma Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0, pero la ecuación de las cónicas que hemos visto en este estudio tenían B=0, es decir eran sin término "xy". Esto es debido a que solo hemos estudiado cónicas cuyos ejes eran o bien los ejes de coordenadas o paralelos a ellos.
En la escena1 siguiente puedes observar lo que ocurre cuando los ejes son rectas cualesquiera.

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## 7. Ejercicios para practicar

A continuación se presentan más ejercicios para practicar con las cónicas. Puedes elegir en el menú el tipo que prefieras para empezar. De todos ellos se ofrece la solución.

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## 8. Algunas aplicaciones de las cónicas

En astronomía, aeronáutica, óptica, comunicaciones y hasta en medicina las aplicaciones de las cónicas son múltiples, veamos algunas.

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En el siguiente video1 puedes ver un resumen de las cónicas y sus aplicaciones.

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# Autoevaluación

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# Bibliografía

- Cónicas de Antonio Caro Merchante para Red Descartes (España).
- Secciones cónicas de Elena E. Álvarez Sáiz para Red Descartes (España).
- La elipse: Definición I y Definición II de Ildefonso Fernández Trujillo para Red Descartes (España).
- Las Cónicas (Proyecto MaTEX) de Fco. Javier González Ortiz.
- Cónicas de M. Teresa Pérez y Oscar Arratia.
- Las cónicas y sus aplicaciones de Pedro Alegria.
- Cónicas. Clasificación. de Mª Ángeles Rodríguez Bellido (Universidad de Sevilla).

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