# INTEGRANDO
CON PACO

# INTERACTIVO

INTEGRANDO CON PACO
INTERACTIVO

Jan Guillermo Rivera Berrío
Institución Universitaria Pascual Bravo, Colombia
José Román Galo Sánchez
Universidad de Córdoba, España

Fondo Editorial Pascual Bravo

Medellín

Título de la obra
Integrando con Paco
Juan Guillermo Rivera Berrío
José Román Galo Sánchez
Segunda edición: 2017

Diseño del libro: Juan Guillermo Rivera Berrío
Diseño de cubierta: Diana María Velásquez García
Librería turn.js: Emmanuel García
Herramienta de edición: DescartesJS
Fuente: Amaranth

Fondo Editorial Pascual Bravo
Calle 73 73A-226
PBX: (574) 4480520
Apartado 6564
Medellín, Colombia
www.pascualbravo.edu.co

Esta obra está bajo una licencia Creative Commons 4.0 internacional: Reconocimiento-No Comercial-Compartir Igual. Todos los objetos interactivos y los contenidos de esta obra colectiva están protegidos por la Ley de Propiedad Intelectual.

## Tabla de contenido

1. Introducción al Cálculo13

1.1 ¿Qué es el Cálculo13

1.2 La integral23

1.3 La derivada24

1.4 Teorema Fundamental del Cálculo25

1.5 Notas históricas26

2. Integral Indefinida33

2.1 Funciones primitivas33

2.2 Primeras reglas de integración37

2.3 Funciones primitivas de funciones trascendentes51

2.4 Constante de integración y condiciones iniciales55

2.5 Otras reglas de integración y familias de funciones63

2.6 Calculadora de integrales67

2.7 Regla de sustitución76

2.8 Integración por partes97

2.9 Integrales de potencias de funciones trigonométricas110

2.10 Integración por sustituciones trigonométricas117

2.11 Integración por descomposición en fracciones parciales124

3. Integral Definida136

3.1 Introducción a la Integral Definida137

3.2 Sumatorios141

3.3 Área de una región bajo una curva148

3.4 Teorema fundamental del cálculo160

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3.5 Interpretación geométrica de la derivada174

3.6 Integral definida inmediatas de funciones algebraicas y trascendentes179

3.7 Integrales definidas por sustitución179

3.8 Integrales impropias186

3.9 Aplicaciones del cálculo integral189

3.10 Aplicaciones del cálculo integral - Área bajo una curva 187

3.11 Aplicaciones del cálculo integral - Área entre dos curvas195

3.12 Aplicaciones del cálculo integral - Cálculo de centroides199

3.13 Aplicaciones del cálculo integral - Cálculo de volúmenes de revolución202

3.14 Aplicaciones del cálculo integral - Volúmenes de sección hueca210

Prueba final213

Bibliografía214

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# Prefacio

Este libro digital interactivo se ha diseñado utilizando el editor de DescartesJS, de tal﻿﻿﻿ forma que se pueda leer en ordenadores y dispositivos móviles sin necesidad de instalar ningún﻿﻿﻿ programa o plugin.

La herramienta Descartes se caracteriza por una innata interactividad, por permitir realizar representaciones de objetos bi y tridimensionales, por gestionar expresiones de texto y de fórmulas, por integrar objetos multimedia como imágenes, audios y vídeos, por tener la posibilidad de reflejar casos concretos y también potenciar la conceptualización de tareas y procedimientos mediante la utilización de semillas aleatorias y controles numéricos, gráficos y de texto, y con ellos poder abordar la evaluación de manera automática, tanto la correctiva como la formativa. Con Descartes es posible el diseño y desarrollo de objetos educativos que promueven el aprendizaje significativo, posibilitando esa deseada construcción del conocimiento.1
﻿﻿﻿

El contenido del libro se basa en dos trabajos previos: el primero de ellos es un blog denominado ﻿﻿﻿"Integrando con Paco", que tiene por objetivo que el estudiante﻿﻿﻿ se acerque, a través de discusiones de tipo coloquial, a los conceptos del Cálculo Integral y, de ﻿﻿﻿esa forma, pierda el temor que por tradición se tiene hacia esta asignatura; el segundo es un grupo de discursos Descartes diseñado en el Instituto de Matemáticas de la Universidad Nacional Autónoma de México, liderado por el doctor José Luis Abreu León.

﻿﻿

El libro se ha elaborado con fundamento en el currículo de la asignatura "Cálculo Integral" de la﻿﻿﻿ Institución Universitaria Pacual Bravo; no obstante, puede ser utilizado en cualquier Institución que﻿﻿﻿ incluya en su desarrollo curricular el Cálculo Integral.﻿﻿﻿

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Acompañaremos este curso con un diálogo entre los estudiantes, representados por Paco, y el profesor. La presentación en estilo coloquial de la interacción del docente con paco, busca hacer más ameno el aprendizaje del Cálculo. Cada apartado irá acompañado de una explicación mas formal, luego de la discusión entre Paco y su profesor.

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# Capítulo i

# Introducción al Cálculo

# 1. Introducción al Cálculo Infinitesimal

## 1.1 ¿Qué es el Cálculo?

―¡Hola Paco! En esta ocasión vamos a abordar el estudio de una parte de las Matemáticas que se denomina “Cálculo integral” y que tiene su origen en un problema antiquísimo que ocasionó grandes quebraderos de cabeza a muchos sabios de la Grecia antigua, provocó arduas peleas y enemistades entre grandes sabios más contemporáneos nuestros ―me refiero en este caso a Newton y Leibniz, quienes formalizaron y sistematizaron su resolución―, y aún hoy en día, aunque conocemos la solución teórica, no siempre puede hallarse de manera exacta y tenemos que conformarnos con una aproximación.

¡No pongas cara de sorpresa! Las Matemáticas se hacen día a día y el conocimiento humano es muy, muy limitado. Hace casi dos mil quinientos años lo dijo Sócrates: “Sólo sé que no sé nada. ¿Cuál es ese gran problema? ¡El cálculo del área de un recinto!

―Profe, usted está de guasa, ¡pero si eso lo aprendí en Primaria! El área de un rectángulo es base por altura.

―Sí, el área de un rectángulo dices que lo aprendiste en Primaria:

Pero ¿viste y comprendiste por qué el área de un rectángulo es base por altura? o ¿por qué el área de un triángulo es base por altura partido por dos?

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―¿Por qué abro la boca? ¡Siempre me encuentro con una nueva pregunta! ¡Así me dijeron que era como se calculaba el área!

―Ya, ¡me dijeron! , ¡me dijeron! ¿Y si quien te lo dijo estaba equivocado? Vas a ser pronto un científico o un ingeniero y para ello has de recuperar tu carácter crítico, el que te llevaba en tu infancia a preguntar continuamente ¿por qué? y ¿por qué?, y a no admitir las respuestas sin saber el por qué. En lugar de preguntar yo, tú eres el que me debías de preguntar o, mejor, el que me debías de explicar todo con su por qué.

Pero dejemos ahora el por qué de esa fórmula1 y centrémonos en el problema que tu precipitación había obviado. Yo lo que te he referido es el área de un recinto cualesquiera:

―¡Seguro que tiene alguna fórmula!

―Avancemos despacito y más que fijarnos en esa hipotética fórmula en la que tanta fe pones, pienso que es mejor que te exponga un procedimiento usado en la vida cotidiana y extensible al mundo matemático:

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¡¿Cómo te comerías un elefante?!

¡La única forma es a trocitos, y además trocitos que seamos capaces de digerir!

Pues, de manera análoga, un problema podemos tratar de descomponerlo en otros problemas más sencillos, más asequibles. Y así, el cálculo propuesto del área podríamos inicialmente aproximarlo ―fíjate que digo aproximarlo― por uno más sencillo como es el cálculo del área de un polígono y la de éste se reduce al cálculo de áreas de triángulos, que son fáciles de calcular2.

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―¡Sí! Pero es una aproximación.

―¡Cierto! Es una aproximación. Pero de partida, al menos una respuesta aproximada siempre es mejor que no poder dar ninguna respuesta. Y fíjate que si aumentamos el número de lados del polígono la aproximación es cada vez mejor3. Compruébalo tú, incrementando en la siguiente escena el valor de N.

Adaptación de una escena de José Luis Abreu con licencia CC by-nc-sa

―¡Es verdad! Llega un momento en el que no hay diferencia.

―Sí la hay, te está engañando tu visión. Si haces un zum, que es como mirar con un microscopio, en la escena podrás ver que sigue habiendo diferencias y si N es grande puede que no se observen, pero realmente las hay4. Con este método, la única forma de que no haya error al aproximar un recinto por un polígono es que ese recinto sea poligonal.

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Mira vamos a hacer algo análogo, pero utilizando rectángulos que es como actualmente se plantea a nivel teórico.

En esa escena he dividido el recinto en dos partes, puedes separarlas con el control etiquetado como “desplaza” y puedes incrementar o decrementar el número de rectángulos a considerar. También puedes hacer zum.

―¡Me gusta! Pero aquí la aproximación es peor ¿verdad? Al hacer zum se observa que hay trocitos sin rellenar, incluso cuando utilizo muchos rectángulos.

―Tienes razón en tu observación, pero no vamos a adentrarnos en ello porque ahora lo que buscamos es determinar de manera exacta el área y no analizar la eficiencia de los métodos aproximados que estamos utilizando. De esto último se encarga un área de las Matemáticas que se denomina “Análisis numérico”, cuando necesites hacerte competente en este tema, te recomiendo el libro “Métodos Numéricos” (Rivera et al., 2017)Rivera J.G., Álvarez E.E., Galo J.R. y Tabares H.A. (2017). Métodos numéricos interactivo, Medellín (Colombia): Fondo editorialPascual Bravo. de… ¡¿adivina quiénes son co-autores de ese libro?!

―No hace falta adivirnarlo, lo estoy viendo.

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―Para determinar el valor exacto del área de esa figura nos queda dar un importante paso matemático, análogo a un gran salto “mortal” circense, que es un salto al infinito o “paso al límite”. Y ¡ojo! que este salto es verdaderamente mortal si no sabemos darlo adecuadamente.

―Ese salto mortal ya lo analizamos cuando estudiamos la derivada como medio para poder determinar la recta tangente. Entonces tomamos también límite y hablamos del "Cálculo diferencial".

―¡Muy bien Paco! Estaba convencido que recordarías esa situación en la que también aplicamos ese paso. Es más, tu ejemplo ha sido muy oportuno porque el problema de determinar la recta tangente verás que tiene relación con el del cálculo del área.

―Todavía no sé cuándo usted está de broma o en serio. ¡Qué tendrá que ver una cosa con otra!

―Pues hablo muy en serio. ¿En qué se parece la cara y la cruz de una moneda? Ambas son distintas ¿verdad?, si no, no podríamos jugar a cara o cruz. Sin embargo, forman parte de una única moneda, y lo único que cambia es la perspectiva desde la que la observamos. Ya veremos que el problema del área y de la recta tangente no son más que dos caras de una misma moneda cuando analicemos un resultado que lleva como nombre el de “Teorema Fundamental del Cálculo”, fíjate que es tan importante que lleva el calificativo de FUN, DA, MEN, TAL.

―EN, TEN, DI, DO, cuando me lo enseñe no lo olvidaré. («¡Jé! Ese resultado saldrá en el examen», pero que no lea mis pensamientos el profesor...)

―Perfecto. Vayamos cerrando caminos. Al tomar límite en el área de esos polígonos, cuando el número de sus lados tiende a infinito, o en el área de esos rectángulos

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cuando el número de estos tiende a infinito; si ese límite existe, es decir, si converge a un número real éste es el valor del área del recinto. Ya no es una aproximación del área, sino que hemos obtenido el valor exacto de la misma5.

―Me ha quedado muy claro profe. Es como cuando a mi padre le insisto para que me dé la paga. Insisto, insisto e insisto hasta que lo dejo exhausto y así, al alcanzar el límite de su paciencia, me suelta el dinerito.

―Sí, conceptualmente es una analogía aceptable, pero en ese caso tú insistes un número finito de veces y sin embargo el cálculo exacto del área no se obtiene hasta que abordamos el paso al límite. ¡Ahí es donde se encuentra el quid de la cuestión! Es el detalle que no quedó formalizado hasta finales del siglo XVII en lo que se denominó el Cálculo infinitesimal o simplemente Cálculo (que engloba el cálculo diferencial, que antes has citado, y el integral que vamos a aprender en este curso). Esto se reflejó en los trabajos de Newton y Leibniz y de otros muchos matemáticos más, pero ellos dos son reconocidos como los descubridores del cálculo infinitesimal.

Pero avancemos con cierta lógica que parece que estamos bailando la canción “María” de Ricky Martin:

“Un, dos, tres,
Un pasito pa’lante María,
Un, dos, tres,
Un pasito pa’atrás…”

―¡Me gusta esto de aprender Matemáticas con ritmo musical!

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―Es que la música no sólo puede oírse, sino también verse con ojos matemáticos. Pitágoras, el del famoso teorema entre los catetos y la hipotenusa, expresó las escalas musicales como proporciones numéricas… ¡Pero no me hagas dar un pasito pa’atrás, qué ahora toca pa’lante!

―¡Bueno profe, no converja a su límite! que se aprende yendo pa’lante y p’atrás.

―Cierto. Vamos a volver pa’atrás, a la recta tangente, para poder ir pa’lante.

―Ya me va a liar. ¿En qué quedamos vamos pa’lante o p’atrás?

―Tú sigue bailando, pero atiende pues vamos a situarnos en el estudio que abordaron de manera independiente Newton y Leibniz. Ellos descubren que hay una estrecha relación entre los conceptos físicos de distancia recorrida y velocidad instantánea y consecuentemente entre los conceptos geométricos de área y tangente.

A ver, Paco, si un cuerpo se desplaza con velocidad uniforme ¿cómo podemos determinar la velocidad a la que se está moviendo?

―La velocidad es la relación entre la distancia recorrida y el tiempo empleado en recorrerla. Por tanto, bastaría medir esa distancia y dividirla entre dicho tiempo.

―¡Correcto! En la siguiente gráfica podemos reflejar lo que has indicado.

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Y observa que ese valor coincide con la pendiente de la línea recta que representa la posición del móvil con respecto al tiempo. Pero ¿qué ocurre si el cuerpo se mueve con velocidad variable?

―¡Pues ya no es tan fácil! Pero siguiendo el método que antes me expuso, la estrategia sería reducir este último problema al caso de movimiento uniforme y ¡dar el salto mortal! Ya le indiqué antes que este método lo usamos para definir la derivada y que la velocidad es la derivada del espacio o distancia recorrida.

―¡Qué gratificante es comprobar que tus aprendizajes van asentándose! Efectivamente, lo que has indicado puedes verlo interactuando en la siguiente escena:

Adaptación de una escena de José Luis Abreu con licencia CC by-nc-sa

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En la escena observamos que la velocidad media en el intevalo [t0, t0+h] viene dada por el cociente(d(t0+h)-d(t0))/h y que es la pendiente de la recta secante a d(t) que pasa por los puntos de coordenadas (t0, d(t0)) y (t0+h, d(t0+h)). El límite es la velocidad en el instante t0. Este valor, como conoces, lo denotamos como d'(t0) y sería la pendiente de la que denominamos recta tangente a la función d(t) en el punto (t0, d(t0)). Por tanto, la ecuación de esa recta tangente en ese puntos es:

d - d(t0= d'(t0) (t-t0)

―Pero aunque el cálculo del área y la pendiente de la recta tangente la hemos realizado mediante procedimientos análogos, sigo sin ver eso que comenta de que son las dos caras de la misma moneda.

―Me gusta tu impaciencia porque es síntoma de tu motivación, pero para llegar a ello tendremos que escribir con detalle el problema del cálculo del área en un contexto funcional ―fíjate que el recinto que dibujamos antes estaba delimitado por una curva y no por una función― y después enunciar el Teorema Fundamental del Cálculo.

Todo lo anterior será el contenido de un capítulo de este libro y tendremos que adentrarnos en su formalización y en los detalles. No obstante, para no hacerte esperar y saciar algo tu curiosidad lo voy a resumir en tres páginas y aunque posiblemente no llegues ahora a comprenderlo todo, al menos podrás ubicarte y observar que lo que denominaremos integral ―concepto ligado al área, aunque no sólo a ella― y la derivada ―concepto ligado a la tangente, pero no sólo a ella― son operaciones inversas.

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## 1.2 La integral

La integral de una función f(x) en un intervalo [a, b ] se define mediante un límite y se denota como:

Se considera una partición P del intervalo [a, b ] formada por los puntos {x0, x1, x2, ... xN } tales que a = x0 <x1 <x2<...< xN = b. En cada intervalo [xn-1, xn] se escoge un punto ξn. La integral se define como el límite de las sumas de los productos de los valores f(ξn) y las longitudes xn-xn-1 de esos intervalos, cuando la partición se hace cada vez más fina, es decir, cuando el máximo de las longitudes xn-xn-1 tiende a cero (‖P ‖→0). | Escena de José Luis Abreu CC by-nc-sa

Cuando f(x) ≥ 0 en [a, b ] entonces el valor de la integral coincide con el área del recinto delimitado por f(x), el eje de abscisas y las rectas x=a y x=b. A este recinto se denomina trapecio curvilíneo.

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## 1.3 La derivada

La derivada de una función f(x) en un punto x se define mediante un límite y se denota o f'(x).

Geométricamente puede interpretarse de la siguiente forma. es la pendiente de la recta que pasa por los puntos (x, f(x)) y (x+h, f(x+h)) donde h#0. Para cada h se trata de una recta secante a la gráfica de f. Si cuando h→0 existe el límite de esas pendientes, entonces la recta tangente a la gráfica de f en el punto (x, f(x)) es aquella que pasa por este punto y tiene como pendiente el valor de la derivada. | Escena de José Luis Abreu CC by-nc-sa

La velocidad instantánea de un cuerpo en movimiento se define como la derivada de la posición x(t) del cuerpo como función del tiempo:

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## 1.4 El Teorema Fundamental del Cálculo

Gracias a este teorema, el Cálculo permite obtener resultados importantes. Por ejemplo, si conocemos la velocidad de un cuerpo en todo momento, y su posición inicial, podemos saber su posición en todo momento. También podemos calcular el área bajo la gráfica de una función f(x) si encontramos una función F(x) cuya derivada sea f.

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―¡Sí, es mucho correr para un aprendiz!
Lo de la derivada me es más familiar, y observo que se relaciona derivada e integral, pero hasta que no me de más explicaciones no podré llegar a comprender la importancia de este resultado y sus aplicaciones.

―Tienes razón. No hay que querer avanza r tan rápido. Vayamos pasito a pasito que como dijo el poeta Antonio Machado:

Caminante, no hay camino,
Se hace camino al andar.

Y como te gusta la música te dejo enlazado un vídeo con una canción en la que se incluye este poema. ¡Tres minutos de relax!, Pero después te dejo unas indicaciones históricas para finalizar esta introducción. ¿De acuerdo?

―Gracias profe, se agradece.

## 1.5 Notas históricas

―Paco para finalizar esta introducción puedes ver el siguiente fragmento de un vídeo titulado “Sobre hombros de gigantes” donde se cita el Teorema Fundamental del Cálculo.

La frase “Si he visto más lejos es porque estoy sentado sobre los hombros de gigantes” fue escrita por Newton en una carta a Robert Hooke y muchos le atribuyen su autoría, no obstante no fue pionero en su uso6. Con esa frase, en un rasgo de modestia no usual en este gran genio, nos transmite cómo el conocimiento se construye sobre el

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conocimiento creado y transmitido con anterioridad, que es posible avanzar en la construcción gracias a la existencia de pilares anteriores sobre los que asentarse. Pero, obviamente, la existencia de un conocimiento anterior no es suficiente. Newton, y también Leibniz y otros más, llegaron a saber más no sólo por ir a hombros de gigantes, sino porque ambos supieron mirar muy lejos.

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Como se cita en el vídeo anterior Newton y Leibniz fueron dos genios mal avenidos. Ambos fueron capaces de descubrir de manera independiente, de forma diferente, pero simultáneamente el cálculo infinitesimal. Y a ambos se les reconoce actualmente ese mérito, pero sus vidas estuvieron repletas de acusaciones de plagio y en esa lucha Leibniz fue el gran perdedor principalmente por la gran influencia de Newton en el entorno científico oficial. En el siguiente vídeo se resume en un planteamiento humorístico esta disputa.

A raíz de este hecho la comunidad científica formuló el principio de que la autoría de un hallazgo científico corresponde a quien lo publica primero.

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# Capítulo ii

# Integral Indefinida

# 2. La integral indefinida

## 2.1 Funciones primitivas

―¿Qué es eso de primitivas?

―¡Estupendo Paco! Me alegra que seas tú quien abra el diálogo. Para responder a tu pregunta hemos de ubicarnos en el "Cálculo Diferencial" del que ya hemos hablado en el primer capítulo y que estudiamos en un curso anterior. ¿Recuerdas cómo calculábamos las famosas derivadas? En ese curso de Cálculo Diferencial a partir de una función y = F(x) hallábamos lo que denominamos su función derivada:

Por ejemplo, dada F(x)=x3, su derivada es F'(x)=3x2

―Sí, lo recuerdo. Usted nos decía que había varias notaciones para la derivada “F'" ―que se lee "efe prima”―, “dy/dx” ―diferencial de y entre diferencial de x”―,… Pero, aún no entiendo qué es eso de primitivas. El diccionario dice que primitiva es el origen de una cosa…

―¡Exacto! En el análisis matemático es común encontrar problemas en los cuales dada una función f(x) es necesario hallar otra función F(x) de manera que se cumpla que F'(x)=f(x). Es decir, queremos realizar el camino inverso a la derivación. Nos dan la derivada y queremos hallar el origen de esa función. Por ello, se dice que F(x) es una primitiva de f(x) o una antiderivada o una integral de f(x). Por ejemplo: si f(x)=3x2, entonces una primitiva es F(x)=x3, dado que se verifica que F'(x)=f(x).

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―¡Ah! Entiendo… la primitiva, la antiderivada o la integral es el origen de una función dada que llamamos derivada de ese origen.

―Muy bien Paco, aunque es un poquito trabalenguas tu definición ¿no te parece? Vamos a tratar de una definición más precisa:

"Si f es una función definida en un conjunto D, la función F definida en ese mismo conjunto es una primitiva de f si y sólo si F es derivable en D y f es su derivada". O mejor en lenguaje matemático:

F es una primitiva de f en D ⇔ ∀x∈D, F’(x) = f(x)

―De acuerdo, pero ¿por qué dice "una primitiva de f" y no "la primitiva de f"?

―Pensé que se te iba a pasar preguntarlo, pues ya he dicho más de una vez lo de "una", que es un artículo indeterminado y no "la" que es determinado.

Veamos. Dime Paco ¿cuál es la derivada de cada una de las siguientes funciones?: ―Pues… Es curioso, ¡qué casualidad! todas me dan 3x2 |

―¿Curioso? ¿Sí, lo es! ¿Pero es algo que ocurre casualmente o algo que tiene una causa, que tiene una explicación? ¿Qué opinas?

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―Observo que esas tres funciones son primitivas de 3x2, y por tanto, comprendo ahora porque no se debe hablar de "la primitiva". Pero… ¿Cuál sería, entonces, la antiderivada o integral de 3x2?

―Te volviste a perder Paco. ¡No hay una solución! ¡No existe una primitiva! ¡Existen muchas primitivas! ¡Una función tiene infinitas primitivas!

―¡Caray! ¿Cómo puede ocurrir eso? Se volvió a complicar el asunto.

―Sí, Paco, se complica algo, pero no mucho si vemos cuál es la causa. Ya has reconocido que las tres funciones anteriores son tres primitivas de 3x2 ¿Tienen algo en común esas funciones?

―Todas tienen el término x3… humm… ¡Ah! Todas tienen un segundo término que es un número.

―Correcto Paco. Pero he de precisar un poquito lo que has dicho. Todas contienen a la función x3 y a ella se le suma una segunda función ―no un número―, que es una función constante cualquiera. Por tanto, la integral de 3x2 es igual a x3 + C, donde C es cualquier función constante. Usualmente, se abrevia, y diremos x3 más una constante.

La causa se encuentra en este resultado: "Si F(x) es una primitiva de f(x), también lo es F(x)+C para cualquier función constante C"1.
Pero, aún más: "Si F(x) y G(x) son dos primitivas de f(x) en un intervalo abierto I entonces F(x)=G(x)+C, donde C es una función constante"2.

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Este resultado es muy importante, pues nos dice que si somos capaces de hallar una primitiva, entonces conocemos todas sin más que sumarle una función constante.

―Tenía razón profe. No es tan difícil. Busco una primitiva y ya tengo todas.

―Ahora Paco terminemos esta sección introduciendo una notación habitual en este contexto. El conjunto de todas las primitivas de la función f(x) es conocido como la integral indefinida de f con respecto a x, y se denota:

que de acuerdo con el teorema anterior, podemos escribir:

―¿Podríamos hacer un ejemplo adicional profe?

―Claro Paco. Intenta hallar la integral de f(x)=x4

―Bueno… humm… Para que la derivada de x4, una función primitiva debe tener el término x5 y otro término constante.

―Vas bien Paco. Entonces cuál podría ser una primitiva?

―Ya tengo una… x5+10

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―Deriva esa primitiva que sacaste para verificar que sea x4

―Bueno. Oh no, la derivada de x5 es 5x4… ya sé profe, la primitiva deber ser...

―Eso es correcto Paco. En forma general, sería:

Ahora, continuemos con el siguiente apartado.

## 2.2 Primeras reglas de integración

―¿Hay alguna regla para integrar?

―Hola Paco, veo que te has motivado con el tema. Efectivamente existen reglas para algunas integraciones sencillas, otraS requieren de métodos de integración que iremos viendo más adelante. Y otras, por muchos métodos que aprendamos, no seremos capaces de expresarlas en términos de funciones elementales.

―¡¿Pero qué me dice?! ¿Qué no sabe calcularlas usted?

―No, Paco. De algunas funciones nadie puede hallar una expresión elemental para sus primitivas. Se demuestra que es así. Te enlazo una página donde se detalla esto.

Pero seamos positivos y comencemos con una de las reglas más elementales. Ya vimos

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que la integración es un proceso inverso a la diferenciación. ¿Qué haces tú para derivar y=axn?

―Bueno, muy sencillo. Multiplico n por a y le resto uno al exponente

―Esa es una regla para derivar Paco. Si hace lo que dices, entonces para esa función:

El proceso de integración es totalmente inverso. Cuando derivaste actuaste sobre el coeficiente de x y luego sobre su exponente. Para integrar primero actúas sobre el exponente y luego sobre el coeficiente.

―¡Ah! ¿Le resto uno al exponente y luego multiplico por el coeficiente?

―No, Paco. ¡Concéntrate! Recuerda que todo el proceso es inverso. En lugar de restar, sumas. En lugar de multiplicar, divides. En otras palabras:

―Es decir la integral de x4 será:

¡Vaya! Con la regla es más fácil

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―Es cierto, pero en lugar de 10 debes generalizar toda la familia de primitivas con una constante C. Lo importante es que pudiste sin regla. Para varios ejercicios, la regla es útil. Ahora te tengo una pregunta. ¿Cómo puedes demostrar que dicha regla es válida?

―Déjeme pensar profe. Humm… ¡claro!, derivando.

―Excelente Paco. Veamos si es cierta tu afirmación:

―Lo mismo que la función original, la famosa primitiva y = axn

―Así es Paco. Ahora trata de realizar los ejercicios incluidos en la escena interactiva incluida en la página siguiente. Se trata de determinar la familia de primitivas de las funciones que se van mostrando.

―Ya empezó a complicar la cosa profe ¿qué es eso de familia de primitivas?

―Disculpa Paco. Tienes razón, he introducido otro término nuevo. La integral de una función da como resultado un conjunto de primitivas y a ese conjunto también se le llama familia ya que, como en las familias humanas, todas ellas se parecen. Aquí sólo se diferencian en la constante de integración. Y ahora, fíjate, que usamos el artículo determinado "la" en "la integral", pues es una familia aunque con infinitos miembros.

―Ya, ya, son detalles lingüísticos, pero como le dije, si conozco una primitiva conozco todas y, por tanto, la integral. No me líe, no me líe...

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―Dejémoslo ahí y pasemos a los ejercicios. Paco, observa que en la escena se usa la letra K para representar la constante de integración, obviamente puedes denominarla con cualquier letra.

## Ejercicios 2.1

Escena de Consolación Ruiz Gil con licencia CC by-nc-sa

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―Aquí tienes un vídeo que explica lo visto en este apartado.

## Vídeo 2.1

Ampliar

―Por lo que he visto son demasiado sencillos estos ejercicios.

―Tienes razón, pero ¿por qué han de ser difíciles? Iremos, progresivamente, viendo diferentes tipos de funciones y aprendiendo a hallar su integral. Pero antes fijémosnos en unas propiedades básicas, que nos ayudarán bastante en el cálculo de integrales y que hemos aplicado implícitamente en los ejercicios anteriores.

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## 2.3 Linealidad de la integral, método de descomposición

―La integración se dice que es lineal por verificar las siguientes propiedades:

- La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales

- La integral de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

La demostración de estas propiedades es fácil sin más que aplicar la linealidad de la derivada.3

―Era de esperar que ocurriera eso, ¿verdad? Si derivada e integral son dos caras de una misma moneda, han de compartir propiedades.

―La intuición lleva a predecir que eso puede ocurrir, pero mientras que no se aborde y se disponga de una demostración no deja de ubicarse en la nebulosa de la posibilidad y no de la realidad matemática.

Estas propiedades nos han permitido resolver los ejercicios anteriores, ya que en su cálculo hemos aplicado, por ejemplo, que:

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y también:

Esta manera de proceder se conoce como "Método de descomposición" que es la aplicación directa de la máxima de Julio César: "divide y vencerás".

―Pues observo que Julio César sabía muy bien cómo comerse a un elefante, a un ejército y a un mundo.

―Sí Paco, hay muchos gigantes a los que poder subirse para ver más lejos. Pero ¿qué te parece si ampliamos el tipo de funciones que podamos integrar?

―¡Estupendo! Avancemos un poquito más.

―Pues mira que fácil te lo voy a poner. ¡Ahí va!:

―Menos mal que le conozco y me he parado a pensar antes de hablar. Iba a decir que es la misma regla que habíamos visto antes, pero... ¡no! ha puesto como exponente de la potencia un número real cualquiera, salvo el -1.

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―¡Me alegra que seas reflexivo y no impulsivo! Aritóteles dijo: "El hombre es esclavo de sus palabras y dueño de su silencio". Efectivamente esta regla es una ampliación de la que hemos usado anteriormente. En los ejercicios que has hecho antes, siempre aparecían exponentes que eran números naturales y en la regla puse n porque mentalmente estamos acostumbrados a que cuando vemos escrito n interpretamos que es un número natural. Pero en general, el exponente puede ser entero, racional (recuerda que son radicales) o irracional y el cálculo de la integral sigue siempre la misma pauta, pues es fruto de interpretar la regla de derivación de una potencia cualquiera, pero en sentido inverso.
Así pues, usando el método de descomposición y la regla anterior podemos calcular la integral de la siguiente función y de infinitas funciones análogas. Te detallo su cálculo y tu podrás realizar infinitas más.

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―¡Sí, profe! "Al infinito... y ¡más allá!".

―Vale Paco, vale. Buzz Lightyear es un gigante del mundo animado, pero habría que pararse a que me detallaras detenidamente eso del ¡más allá!... y como le ocurrió a Galois, "no tengo tiempo" ahora.

―Vaya, ¡aparece otro gigante!. Recuerdo que, en otro momento, me citó a Galois y su Teoría sobre la resolución de ecuaciones algebraicas! Me está poniendo delante de mis ojos a tantos gigantes que me siento como Don Quijote en el Campo de Criptana, pero yo no lucharé con ellos, no, ¡me subiré a sus hombros!

―¡Acertada decisión! Pero continuemos que te pareces al Universo y siempres estás en continua expansión y diluyéndote en cualquier detalle.
Resumiendo, lo que hemos hecho es descomponer la integral y reducirla a un conjunto de integrales de funciones potenciales, las cuales diremos que son "integrales inmediatas", pues para calcularlas basta aplicar la regla antes citada ―o, en otros casos, alguna de las reglas que iremos viendo―. Progresivamente construiremos una "Tabla de integrales inmediatas".

Y ahora, de nuevo, ¡te toca practicar!... y para satisfacer tu deseo te enlazo la canción del grupo "Morrigans" titulada "El infinito y más allá". Pero trabaja como las hormiguitas de este vídeo y anda y anda, y anda, hasta... |

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## Ejemplos 2.1

Escena de Alejandro Radillo Díaz CC by-nc-sa
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―¡Vaya! Se complicó la cosa, y yo que había dicho que eran demasiado sencillos.

―Tranquilo Paco, son igual de sencillos. Posiblemente tu problema no esté en el Cálculo Integral, sino que quizás lo que necesites sea repasar las operaciones con números racionales.

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## Ejercicios 2.2

―Bueno Paco, veamos cómo estás sobre este tema. Realiza algunos ejercicios, debes usar hasta dos decimales de precisión de ser necesario (puedes usar la calculadora).

Escena de Alejandro Radillo Díaz CC by-nc-sa
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―Hola profe, no me fue tan mal con los ejercicios. Tenía razón, es sólo practicar con los números racionales

―¡Qué bien Paco! Para terminar esta sesión, te dejo un vídeo que resume lo anteriormente tratado.

## Vídeo 2.2

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―Me parece muy bien lo del vídeo, pero creo profe que tiene prisa por terminar...

―No, no tengo prisa Paco. ¿Quieres hacer más ejercicios?

―No, con los que resolví tuve suficiente. Lo que ocurre es que se olvidó explicarme el caso en que el exponente vale -1.

―¡Cierto Paco! ¡Qué bien que estuviste atento! Vamos a ello.

Observa en la expresión de la primitiva que si consideramos el caso α=-1, entonces estaríamos dividiendo por 0 y ¿tú sabes dividir por 0 ?

―¡Ja! Eso sí que me lo aprendí muy bien, pues como siempre, usted insistió e insistió sobre ello. Y mi respuesta es que ¡NOOOOOOO se dividir por cero! porque si se pudiera hacerlo entonces la Aritmética sería muy fácil: sólo existiría el ¡cero!

―¿Cómo es eso, Paco?

―Soy consciente de que ahora me está examinando y por ello me fuerza a razonárselo:

Si al dividir un número a por cero obtuviera un número b, es decir, si b=a/0, entonces tendría que cumplirse que a=b·0, es decir que a=0. Todos los números serían 0.

―¡Oh! pobre alumnado su nota siempre sería un cero. Y si a=0 en la expresión anterior ¿qué sería 0/0?

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―No me va a liar profe. 0/0 no es nada, no tiene sentido dividir por cero sea cual sea el numerador. Ya le he razonado el por qué.

―¡Muy bien Paco!, de acuerdo, pero recuerda que en el contexto del cálculo de límites cuando nos aparece 0/0 decimos que es una indeterminación. No hemos de confundir una situación con otra.

Regreso a tu pregunta. Cuando α=-1 tenemos la integral de x-1=1/x. ¿Conoces alguna función primitiva de 1/x?

―Sí, sería ln(x)+C, porque al derivar esas funciones siempre obtenemos 1/x.

Perfecto Paco. ¿Pero el dominio de definicición de la función 1/x es (-∞, 0) ∪ (0, +∞) y sin embargo el dominio de ln(x) es sólo (0, +∞). ¡Aquí hay algo que no cuadra! ¿no te parece?

―Sí, algo no cuadra. ¡Lo que si cuadra es que siempre hay alguna pega!

―No te enfades Paco, entiende que si no somos precisos en nuestro análisis las conclusiones serán imprecisas e incluso erróneas. La respuesta exacta es:

puesto que

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Ahora el dominio de la función integrando y de la integral coincide.

―¡Me convenció, profe! La precisión es una propiedad básica de las Matemáticas y si no se es preciso, no estaremos haciendo Matemáticas.
¡Ya tengo otra integral inmediata que añadir a mi tabla de integrales inmediatas. Ya tengo dos: la de las funciones potenciales menos el exponente -1 y la correspondiente a x-1. ¡Ah! y también la integral de la función identicamente nula que es una constante.

―¡Cierto! Me gusta cuando estás positivo. Así pues, continuemos avanzando.

## 2.4 Funciones primitivas de funciones trascendentes

―Bueno Paco, como ya dominas bien los primeros conceptos, vamos a recordar las funciones trascendentes, que son aquellas donde aparecen funciones trigonométricas, logarítmicas, y exponenciales. Dame algunos ejemplos de funciones trascendentes.

―Claro que sí, profe ¿qué tal estas?:

f(x)=ex, f(x)=ln(x), y f(x)=sec2(x).

―¡Excelente Paco!, esas son funciones trascendentes.

―Pero, ¿por qué tenemos que invitar a esas "señoras" a nuestro curso?

―Vamos Paco, ya empiezas a predisponerte.

―Es una broma profe, me gusta predisponerlo a usted. Lo que si me preocupa es que nos vamos a llenar de fórmulas y no les veo su aplicación.

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―No te preocupes Paco, en próximos apartados veremos la importancia del Cálculo Integral y de sus aplicaciones. Lo de las fórmulas, técnicas y procedimientos los irás asimilando a medida que planteemos y resolvamos ejercicios. Por ahora, sólo te he pedido que comprendas que...

―... que la integral es una antiderivada!

―Muy bien Paco, ahora me gusta tu disposición. Observa, entonces, las siguientes funciones: f(x)=3sec2(2x) y g(x)=(3/2)tan(2x). ¿Qué obtenemos de derivar g(x)?

―Al calcular la derivada, tenemos que:

―¡Me sorprendes!, veo que no ta va tan mal con esas "señoras".

―Amo las funciones trigonométricas... ¡Ja, ja! ¡Es otra broma, profe! Pero, de verdad, me gustan mucho.

―Me tranquilizas. Observa que al derivar g(x) obtuviste f(x), de tal forma que g(x) satisface la definición dada en los conceptos básicos y, por lo tanto, es una antiderivada de f(x).

Paco, te propongo que a continuación veas unos ejemplos de cálculo de integrales de algunas funciones trascendentes y después realices unos ejercicios análogos. En los ejemplos se recuerda cómo se aplica la linealidad de la integral o método de descomposición.

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## Ejemplos 2.2

A continuación, se muestran ejemplos del proceso que tienes que seguir para obtener, a partir de f(x), su antiderivada F(x). Presta atención a cada paso3.

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## Ejercicios 2.3

Resuelve los ejercicios completando los campos de texto. Si se llegan a requerir decimales, procura responder con al menos dos decimales de precisión. Después da clic en el botón Verificar. Recuerda que ex también se puede expresar como exp(x).

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## 2.4 Constante de integración y condiciones iniciales

―Hola Paco. Ya te había explicado que una familia de primitivas se caracteriza por tener los mismos términos que incluyen la variable con respecto a la cual se integra y, para constituir la familia, usamos una constante C (o K como en los ejercicios de la profesora Consolación).

―Lo recuerdo profe, ¿a que viene eso?

―Porque, a veces, es necesario calcular esta constante de integración, de acuerdo a unas condiciones dadas.

Observa los siguientes ejemplos. Puedes escoger el del movimiento uniformemente acelerado (M. U.A.) en el tiro vertical (T. V.) u otros ejemplos generales. Puedes acercar o alejar el plano con el pulsador en la esquina inferior derecha del mismo. Para el ejemplo del M. U. A., prueba distintos valores de las condiciones iniciales (distancia y velocidad inicial) para ver su efecto en las gráficas.

Nota que en el ejemplo del M. U. A. se obtienen las ecuaciones del tiro vertical que seguramente ya conocías de la materia de física. Además, nota que la obtención de las ecuaciones de movimiento para el tiro vertical, es un caso particular de lo visto en los ejemplos generales.

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## Ejemplos 2.3

A continuación, se muestran ejemplos del proceso que tienes que seguir para obtener, a partir de f(x), su antiderivada F(x). Presta atención a cada paso3.

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## Ejercicios 2.4

―Ahora Paco, para afianzar lo de la constante de integración, resuelve los siguientes ejercicios. En caso de ser necesario, utiliza 2 decimales de precisión.

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―Gracias profe, por los ejemplos y ejercicios. Ya he comprendido lo de las famosas familias.

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―¡Qué bien Paco! Te vas dando cuenta que el Cálculo Integral es sencillo y divertido.

―Bueno, lo de divertido será para usted.

―Pronto lo verás, Mientras tanto observa el siguiente vídeo, que muestra una explicación de esta sesion

## Vídeo 2.3

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―Hola profe! De veras que me he motivado bastante con este apartado. Ahora, entiendo que es posible hallar una sola primitiva si se dan ciertas condiciones.

―Eso es cierto Paco. Hasta antes de este apartado, habíamos mencionado que la integral indefinida admite muchas soluciones (que difieren en una constante entre sí). Eso significa que las graficas de dos primitivas cualesquiera de f(x) son traslaciones verticales una de otra. En muchas situaciones problema se nos da suficiente información como para determinar una solución particular. Un ejemplo sencillo es cuando conocemos un valor de F(x) para un valor de x. A esta información se le llama condición inicial. Así, cada una de las primitivas de la forma;

∫(3x2 -1)dx = x3 - x + C

para diversos valores de C, es una solución general de la ecuación dy/dx = 3x2 - 1. Sin embargo, solo una de estas primitivas cumple con la condición de pasar por el punto (2,4), es decir F(2) = 4.

―¡Ah! F(2) = 4 es una condición inicial. Pero, ¿para que me sirve?

―En el ejemplo que estamos analizando tenemos esta información

- F(x) = x3 - x + C, solución general
- F(2) = 4, condición inicial

Usando la condición inicial en la solución general, determinamos que F(2) = 8 – 2 + C = 4, lo cual implica que C = -2. Por tanto, obtenemos F(x) = x3 - x - 2. He ahí una solución particular.

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―¡Excelente profe! He indagado sobre condiciones iníciales, dicen que éstas son muy aplicadas a problemas de Física. ¿Podría explicarme un ejemplo?

―Claro Paco y gracias por lo de excelente.

―No me refería a usted sino a lo de las condiciones iníciales.

―Está bien Paco, analiza el siguiente objeto interactivo, que trata de la recreación de una escena del personaje del cine llamado "hombre araña".

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## Ejercicios 2.5

―Paco, es hora de realizar algunos ejercios. En la siguiente escena, se dan unas condiciones iniciales para que calcules f(x). Puedes realizar todos los ejercicios que desees.

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Adicionalmente, resuelve estos ejercicios:

1. En los siguientes ejercicios hallar y = f(x). Se dan condiciones iniciales.
   - f"(x) = 2, f’(2) = 5, f(2) = 10
   - f"(x) = x2, f’(0) = 6, f(0) = 3
   - f"(x) = x-3/2, f’(4) = 2, f(0) = 0
   - f"(x) = x-3/2, f’(1) = 2, f(9) = -4
2. El ritmo de crecimiento de una población (dP/dt) de bacterias es proporcional a la raíz cuadrada de t, donde P es el tamaño de la población y t el tiempo en días. En forma simbólica dp/dt = k√t. El tamaño inicial de la población es 400. Tras un día ha crecido hasta 500. Estimar la población en una semana.
3. Se lanza una bola verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad inicial de 60 pies/s. ¿Qué altura alcanza?
   g=-32 pies/s2 (Rta. 56,25 pies)
4. ¿Con qué velocidad inicial ha de lanzarse un objeto hacia arriba, desde el suelo, para que alcance la azotea de un edificio que tiene una altura de 550 pies? (Rta. 187,617 pies/s).
5. Un jugador del equipo de fútbol del Pascual Bravo, patea un balón hacia arriba con una velocidad inicial de 20 m/s. Calcular la máxima altura que alcanza el balón (Rta. 20,41 m).
6. Una partícula, inicialmente en reposo, se mueve por el eje x de manera tal que su aceleración en t > 0 es a(t) = cos t. En el instante t = 0 su posición es x = 3. Calcular su velocidad y su función posición.

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## 2.5 Otras reglas de integración y familias de funciones

―Hola Paco. Continuando con nuestro estudio de las integrales, vamos a analizar otras reglas simples de integración, las cuales se desprenden de reglas de la derivación que, si pusiste atención, se explicaron en los dos apartados anteriores.

―¡Claro! Al ser un proceso inverso de la diferenciación, es obvio que las reglas de integración se puedan deducir de allí. Pero profe, ayer estuve pensando ¿para qué son útiles las integrales?

―La pregunta clásica de los estudiantes. El Cálculo Integral tiene muchas aplicaciones en varias áreas del conocimiento. Las usan frecuentemente los ingenieros, los físicos, los matemáticos obviamente, los estadísticos, también tiene aplicaciones en la economía, la administración… Pero, para adelantarte un poco te voy a ilustrar una aplicación:

Si recuerdas un poco tu física de bachillerato, la ley de Torricelli decía que la razón de cambio del volumen V de agua en un tanque que se vacía es proporcional a la raíz cuadrada de la profundidad h del agua, es decir: dV/dt = -kh Realizando algunas transformaciones a esta ecuación, es posible reescribirla así: |

―Y eso para qué sirve?

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―Con esta última ecuación, al resolver las integrales, puedes calcular el tiempo de vaciado del tanque.

―Pero esas integrales son algo diferentes a las que hemos estudiado. Observo que tienen índices y superíndices.

―No te preocupes Paco. Ese tipo de integrales se conocen como "integrales definidas", por ello los límites que llamaste índices y superíndices. Con un poco de tiempo llegaremos a ellas. Bueno, volvamos a nuestro tema. En el cuadro siguiente aparecen otras reglas básicas de integración.

La evaluación de integrales indefinidas se facilita si se tiene a la mano una tabla de fórmulas de antiderivación como la anterior o, si se prefiere, tabla de integrales. Para esta sesión, puedes usar esta tabla o una más amplia como la siguiente (haz clic):

Tabla de Integrales

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## Ejercicios 2.6

En la siguiente escena, diseñada por la profesora Consolación Ruiz, puedes evaluar varias integrales de funciones polinómicas, hazlo en tu cuaderno y luego compara con la solución. Observa la gráfica y algunas familias de funciones que cumplen con la condición: F'(x) = f(x). Realiza todos los ejercicios que desees.

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―Como, seguramente, dirás que los ejercicios anteriores son demasiado sencillos, te propongo que realices, adicionalmente, los siguientes:

―Hasta la próxima clase Paco.

―Hasta pronto profe, me pondré juicioso con los ejercicios.

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## 2.6 Calculadora de integrales

―¿Qué tal paco? ¿Cómo te fue con los ejercicios propuestos?

―¡Bien profe! Sólo que para verificar mis resultados con el proceso inverso de derivación, en el caso de algunas funciones, era largo y engorroso. Esto, especialmente en las funciones con radicales.

―Si, es cierto. Pero además de practicar tus nuevos conocimientos, también lo hiciste con tus conocimientos previos. Hay otra alternativa que puedes usar Paco.

―¿Si? ¿Cuál?

―Utilizando algún software o programa de cálculo simbólico. En el mercado existen varias alternativas: Mathemática, Maple, Matlab, Derive, Maxima, entre otros.

―¿Cuál es el mejor?

―Mathemática, Maxima, Derive y Maple se crearon básicamente para computación simbólica. Matlab, además del cálculo simbólico (utilizando el Kernel de Maple), se puede usar en métodos numéricos y en simulación de sistemas, el Matlab es el programa preferido en asignaturas de utomatización y control de procesos industriales, sin embargo es el más costoso.

Existen otras alternativas en el mundo del software libre y que poco a poco van ganando terreno en el campo de las aplicaciones científicas, tres de ellas son: GNU Octave, Scilab y Maxima. Los tres programas proveen una amplia gama de poderosas funciones.

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Por otra parte, existen versiones de demostración (trial) como el Matlab, el cual puedes bajar en este vínculo: Matlab. Para nuestro curso, usaremos el procesador geométrico GeoGebra, el programa de cálculo simbólico wxMaxima y, obviamente, nuestra herramienta Descartes.

―Bueno Paco. Tú eliges la opción que más te convenga. Por ahora vamos a verificar uno de nuestros ejercicios en tres de los programas anteriores:

―Excelente profe. Hagamos uno con radicales.

―Lo harás tú. Yo por ahora te explicaré el procedimiento con una integral simple. Simple, en el sentido tipográfico. Todas son en realidad muy sencillas de resolver.

―Comprendo profe. Explíqueme pues.

―Me gusta tu humildad. Tomemos la integral dada por ∫x2dx. Sabemos que su resultado es ⅓x3 + C.

## Integrando con Matlab

Matlab recoge del Maple la capacidad de trabajar con variables simbólicas. Esto le permite resolver integrales indefinidas y definidas de manera analítica. Para crear una variable simbólica usamos la función syms (también se puede utilizar la función sym). Las ecuaciones simbólicas se pueden integrar utilizando la función int.

int(expresión) realiza la integral indefinida de la expresión con respecto a la variable simbólica que tenga la misma. Para nuestro ejemplo, observa la siguiente figura:

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## Integrando con Maxima

Maxima es un sistema de cálculo simbólico escrito en Lisp, desciende del sistema Macsyma desarrollado en el MIT (Massachusetts Institute of Technology) entre 1968 y 1982, como parte del proyecto MAC. El MIT pasó una copia del código fuente al DOE (Department of Energy) en 1982, en una versión conocida como DOE-Macsyma. Una de estas copias fue mantenida por el Profesor William F. Schelter de la Universidad de Texas desde 1982 hasta su fallecimiento en 2001. En 1998 Schelter había obtenido del Departamento de Energía permiso para distribuir el código fuente de DOE-Macsyma bajo licencia GNU-GPL, iniciando en 2000 el proyecto Maxima en SourceForge con el fin de mantener y seguir desarrollando DOE-Macsyma, ahora con el nombre de Maxima3.

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Ahora veamos cómo calcula las integrales:

- Función: integrate (expr, x);
- Función: integrate (expr, x, a, b);

Calcula simbólicamente la integral de expr respecto de x. La llamada integrate (expr, x) resuelve una integral indefinida, mientras que integrate (expr, x, a, b) resuelve una integral definida con límites de integración a y b. El argumento a no necesita ser menor que b. Sin más rodeos observa el vídeo:

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## Integrando con GeoGebra

GeoGebra es un software libre de matemática disponible en múltiples plataformas e idiomas. Ofrece representaciones diversas de los objetos desde cada una de sus posibles perspectivas: vistas gráficas, algebraica general y simbólica, estadísticas y de organización en tablas y hojas de datos dinámicamente vinculadas.

Para nuestro ejercicio, basta que escribas la función f(x)=x^2 en la ventana inferior y luego el comando Integral[f]. Ademas de mostrarte el valor de la integral, GeoGebra te muestra las gráficas. En el caso de funciones, que tiene variables diferentes a x, hay que recurrir a la ventana de Cálculo Simbólico (CAS) , observa el vídeo:

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## Calculadora de integrales en línea

Existen varias páginas que ofrecen el servicio de cálculo de integrales, entre ellas

- https://es.symbolab.com/solver/indefinite-integral-calculator
- http://es.onlinemschool.com/math/assistance/integrate/integrate/
- http://www.wolframalpha.com
- https://www.calculadora-de-integrales.com/

―Bueno Paco, para hacer más divertida esta clase, practica con el siguiente puzle:

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―Hola Paco. Usar un programa de computador o una calculadora de intregrales es útil para verificar tus resultados y, en algunos casos, para calcular integrales cuya función a integrar es compleja. Vimos, también, que otra forma de hallar las primitivas de una función es recurriendo a una tabla de integrales. Existe mucha documentación al respecto, incluso hasta libros que se pueden consultar en la red. Por ejemplo, en http://www.integral-table.com/, puedes encontrar 134 integrales, esta página nos sirvió para diseñar nuestra tabla de integrales.

Utiliza la tabla para desarrollar la siguiente actividad, también puedes recurrir a usar la calculadora en línea:

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―Cada una de estas integrales se obtiene en forma similar a las ya tratadas en las sesiones anteriores ¿Cuál es la derivada de la función f(x) = sen(x)?

―Cos(x), profe. Ya sé para donde va. La integral de cos(x) entonces será sen(x) ¿Es correcto?

―Muy bien Paco. En conclusión, una tabla de integrales no es más que el resumen de algunas integrales que hemos evaluado. Estas tablas las podemos seguir aumentando a medida que calculemos otras integrales. Por ello la existencia de tablas que contienen más de 100 integrales.

―Profe, ya realicé la actividad anterior, podríamos hacer un ejercicio que me muestre la utilidad de estas tablas de integrales?

―Está bien. Intentemos con esta integral: | ∫ |
sen x
cos2x
| dx

―¡Qué trampa profe! Esa integral no la veo en la tabla anterior

―¿Recuerdas las identidades trigonométricas? Si haces un esfuerzo, puedes transformar la expresión de la integral en una similar de la tabla de integrales.

―Déjeme pensar profe, humm...

¡Ya! Reescribo la integral así: | ∫ |
sen x
cos(x)cos(x)
| dx

―Muy bien Paco, ¡continúa!

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―¡Fácil! Ahora la integral queda así: ∫(tan x)(sec x)dx
Listo, entonces el resultado según la tabla es: sec x + C

―Muy bien Paco. Ahora intenta resolver las siguientes integrales:

―Hasta la próxima clase Paco

―¡Hasta pronto Profe!

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## 2.7 Regla de sustitución

―¿Cómo está profe? Le cuento que he consultado algunos libros de Cálculo y me encontré con ejercicios de integrales que no pude resolver. Intenté por todos lados y nada. Bueno, excepto por GeoGebra o Maxima.

―Hola Paco! Tienes alguno de eso ejercicios a la mano

―Claro. Por ejemplo: ∫2x√x2 + 1 dx.

―¡Ok! Paco. Una de las enseñanzas que te dejan tu exploración a otras fuentes de información (libros por ejemplo) es que tu formación aún es incompleta y que no puedes resolver todos los problemas y ejercicios que se presentan en Cálculo Integral. Otra enseñanza es que debes saber discernir entre lo que puedes resolver y lo que, por tu “incompletitud”, no puedes.

―¿Incompletitud? ¿Qué es eso profe?

―Disculpa Paco. Me vino a la memoria un teorema de un lógico de principios del siglo pasado, el teorema de incompletitud de Gödel. Este teorema motivó a Alan Turing a estudiar qué funciones eran susceptibles de poder ser calculadas y cuáles no.
Pero dejemos a un lado esta divagación y como hace los dermatólogos, vamos al grano.

―Que chiste tan malo. Usted siempre tan descachado.

―Está bien Paco. Concentrémonos ¿Recuerdas la regla de la cadena?

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―Si profe. Esa regla la usamos para derivar funciones compuestas. Usted nos decía que derivábamos la función externa y la multiplicábamos por la derivada de la función interna ¿correcto?

Muy bien Paco, como alumno haces que mi labor no sea en vano. Lo que expresaste en palabras lo escribíamos así: d/dx[F(g(x))] = F'(g(x))g'(x).

―De acuerdo a ello, trata de derivar la siguiente función: y = 2/3√(x2 + 1)3 o, de otra forma:

y = 2/3(x2 + 1)3/2

―¿Cuál es f(g(x)) y cuál g(x)?

―Sencillo profe: f(g(x)) = 2/3(x2 + 1)3/2 y, por otra parte, g(x)=x2 + 1

―Halla, entonces, dy/dx

Haber profe… Según la regla de la cadena…

―¡Huy profe! Que teso es usted, me dio la función que quería integrar. Eso quiere decir que la integral de mi ejercicio es precisamente la función compuesta que derivé. Humm… pero ¿cómo hago para adivinar esa función compuesta?

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―Excelente Paco. Estás pensando con profundidad. Ahora déjame ayudarte con una de las llamadas técnicas de integración. Para este primer caso usaremos una de ellas, la cual es aplicable en funciones cuya primitiva es precisamente una función compuesta.

Antes de continuar, practica con la derivada de funciones compuestas y, así, tendrás una mejor idea de cómo puedes adivinar la función compuesta. Las siguiente escena interactiva fue diseñada por la profesora María de Lourdes Velasco Arregi del Instituto de Matemáticas de la UNAM.

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―Hola Paco, de acuerdo al ejercicio que propusiste en la clase anterior, podemos enunciar el siguiente teorema

Regla de la cadena para antiderivación. Sea g una función derivable y sea el contradominio de g algún intervalo I. Suponga que f es una función definida en I y que F es una primitiva de f en I, entonces:

El ejercicio que trajiste Paco, podemos expresarlo así:

―Observa y dime ¿cuál es g(x), g'(x) y cuál es f(g(x))?

―Comprendo profe el truco: g(x) = x2 + 1, g'(x) = 2x y f(g(x)) = (x2 + 1)1/2

―Muy bien Paco. Ahora según el teorema,

.

Sencillo Paco, no hay truco. Sólo una buena observación para identificar las funciones de la función compuesta y sus derivadas. Pero si quieres trucos, vamos a utilizar uno de ellos denominado regla de sustitución de cambio de variables, veamos:

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- Primero. Cambia g(x) por la variable u. Es decir u = x2
- Segundo. Deriva implícitamente en ambos extremos de la ecuación.
  Es decir du = 2xdx
- Tercero. Sustituye en la integral que vas a calcular. Es decir:

Puedes integrar la integral obtenida Paco?

Claro profe. El resultado es (2/3)u3/2 + C

Vamos bien Paco

- Cuarto. En la solución, vuelve a sustituir u por g(x)

―Ya la pillé profe. Entonces me queda:

.

―La solución que hayamos por el teorema anterior. Me gusta más este truco de cambio de variable o de sustitución.

―En algunos casos es más directo el teorema. En el fondo, tanto el teorema como el truco son lo mismo. Este truco nos lleva a la siguiente definición:

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Regla de sustitución. Si u = g(x) es una función diferenciable en el rango I, y f es continua sobre I, entonces:

―Bueno Paco, Desarrollaremos dos ejemplos más para que puedas afrontar los ejercicios propuestos en la próxima clase, algunos de ellos requieren de trucos adicionales:

Primer ejemplo. Usa la regla de la cadena para integrar la siguiente expresión:

∫5x(3x2 + 1)4dx

En este ejemplo fíjate que si tomamos g(x) = 3x2 + 1, entonces g´(x) = 6x

―Pero tenemos 5x, no funciona la regla de la cadena!

―Y, ¿si reescribimos la expresión así:

―Claro profe. Eso me pasa por ser tan apresurado.

―Haz un esfuerzo mental y dime, ¿cuál sería F(g(x))?

―Haber… si tenemos 4 en el exponente era porque la primitiva tenía 5… pero… ya! Profe, la función primitiva tendría que ser:

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―Muy bien Paco. Veamos como sería con cambio de variable:

Supongamos que u = 3x2 + 1
Entonces du = 6x

Ahora sólo tenemos que integrar(5/6)∫u4du, lo cual es igual a (1/6)∫u5 + C, y al hacer nuevamente el cambio de variable nos quedaría

―Tiene razón profe, con la regla de la cadena no fue tan complicado.

Veamos otro ejemplo

―Segundo ejemplo.Dime Paco cómo resolverías esta integral:

―Humm…No profe, ahí si me corchó. Por mucho esfuerzo mental que haga no veo la solución.

Quizá te rendiste antes de luchar. Intentemos con cambio de variable.

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Supongamos que u = √x, entonces

―Ahora sí, ¡resuélvela!

―Al sustituir me queda ∫cos u du, que es igual a sen u + C.

―Muy bien Paco, al sustituir nuevamente te da esta solución: sen√x + C

―Tiene razón profe. No era tan complicado.

―Ok! Paco, ahora estás preparado para resolver más integrales; para ello, ve al siguiente apartado, en el cual hay una explicación adicional de nuestros compañeros mexicanos y, luego, podrás realizar una buena serie de ejercicios. Pero, antes, te he dejado un puzle que he diseñado para tí, como una pausa activa. Por ahora, te reto en el nivel de principiantes, luego, en otra clase, te subiré el nivel.

―¡Gracias profe!, sus juegos me relajan un poco. Veamos, entonces su puzle.

―Listo Paco. El juego se llama "Puzle Rush Hour" (Hora Pico), que consiste en sacar el auto rojo de la zona de aparcamiento.

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## Puzle Rush Hour

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―¡Qué tal el juego Paco?

―Ahora entiendo porque lo propuso, hay que buscar estrategias como en la técnica de sustitución.

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―Así es Paco, el puzle Rush Hour4 es un juego de estrategia que, similar a los dos ejemplos anteriores, te obliga a predecir el camino a seguir para encontrar la solución. Son situaciones que emulan las congestiones a las que estamos sometidos en las ciudades. Así las cosas,

lo que llamamos truco no es más que una "estrategia".

Retornando a nuestra técnica de integración, si identificamos que hay una composición de funciones, la estrategia es hacer un cambio de variable, sustituyendo una expresión en x por otra variable u.

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## Ejemplos 2.4

Estos ejemplos y los ejercicios siguientes, fueron diseñados por Carlos Hernández Garciadiego, profesor de la UNAM de México.

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## Ejercicios 2.7

En los siguientes ejercicios, escribe las respuestas en cada campo de texto; después presiona el boton Verificar. Si la respuesta es correcta, se deshabilitará el campo, si no, deberás intentarlo nuevamente. Al concluir un ejercicio puedes solicitar otro presionando el botón Otro ejercicio.

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―Tenía razón profe, se trata de pensar en la estrategia. Igual que en el puzle del los carritos, las soluciones no han sido inmediatas, hay que craenarlas.

―Supongo que lo de cranear significa pensar. Así es Paco, hay que pensar un poco más en la estrategia. Para ayudarte más, te comparto dos grupos de ejercicios adicionales. El primero, fue diseñado por la profesora Consolación Ruiz Gil y, el segundo, por el profesor Miguel Ángel Cabezón Ochoa, de la Red Descartes española.

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―Gracias Profe por el regalito, ya he realizado varios de los ejercicios. Me han gustado mucho los ejercicios con las integrales de funciones trigonométricas, no por la trigonometría sino porque la estrategia es más evidente.

―Vaya Paco, aún le sigues teniendo fobia a las expresiones trigonométricas?

―Un poco Profe, sólo un poco. Pero, con estas clases le estoy empezando a coger cariño

―En consideración a tu fobia, el profesor Miguel Ángel te ofrece estos ejercicios:

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### 89

―Profe, creo que me está haciendo bullying.

―Si te refieres a un acoso psicológico, puedes tener razón, en parte, sólo en parte. Sólo trato de aplicar un bello principio: "La práctica hace al maestro", es decir, la repetición permanente de una actividad hace que al final nos convirtamos en maestros.

―Me preocupa su estrategia profe, pues es un modelo conductista.

―Me sorprende tu cultura general. Es cierto lo que dices, pero también es cierto que este modelo no está mandado a recoger, pues en casos como el que nos ocupa, es bastante efectivo. Igual, habrás notado que mi estrategia también es constructivista, construccionista y conectivista, es decir, no tengo un modelo, uso varios modelos.

―¿construccionista?, ahí me perdí.

―No te preocupes Paco. Siguiendo mi modelo conductista, del libro Calculus de Gilbert Strang, el cual puedes consultar en http://ocw.mit.edu, he seleccionado los siguientes ejercicios:

### 90

―Que tal Paco ¿Trabajaste con los ejercicios propuestos?

―Sí profe, pero tengo tres inquietudes

―¿Cuáles Paco?

―La primera tiene que ver con el octavo ejercicio del libro de Strang. Traté de hacerlo por sustitución, pero me fue imposible, ¿no será que le faltó alguna t, profe?

―Sabía que, para algunos estudiantes, algún problema iba a presentar este ejercicio. No fuiste la excepción Paco, ¿Recuerdas el mensaje de Alan Turing? No todos los problemas se pueden resolver, al menos, con lo que sabemos. Sin embargo, este ejercicio tiene una solución inmediata.

―Créame profe que le busqué por todos lados y no vi solución.

―Y, ¿si te regresas a la sesión sobre tablas de integrales?

―Haber… Huy profe, que pena. Tiene razón… está en la tabla de integrales.

―Te recuerdo la segunda frase de esa sesión: "Otra forma de hallar las primitivas de una función es recurriendo a una tabla de integrales". Escogí ese ejercicio para que tuvieras que recurrir a esta herramienta, como una alternativa a tu problema.

―Igual pude recurrir a un programa de cálculo simbólico.

―Ojo Paco. Los programas de cálculo simbólico los vas a usar para verificar, no para resolver tus ejercicios. Por otra parte, la tabla de integrales que presentamos en una sesión anterior, las puedes utilizar como ayuda a la solución de ejercicios.

### 91

―Comprendo profe. Volviendo a los programas, desde allí surge mi segunda inquietud. Tuve problemas con la sintaxis de algunas integrales, especialmente la raíz cuadrada.

―Es razonable Paco. Debes leer con más detalle las ayudas que te brindan estos programas. Sin embargo, te presento, a continuación, la solución a tu primera inquietud, en dos de dichos programas. Los dos aceptan la siguiente sintaxis para raíz cuadrada: sqrt(expresión), las siglas vienen de las consonantes (sin repetir) de “SQuare RooT” o “raíz cuadrada”.

## Integrando con Maxima

Maxima utiliza el comando integrate(función, variable);. Observa en la imagen que la solución no incluye la constante de integración.

Otra forma, es definir la función f(t), tal como se indica en la imagen:

Luego, usamos el comando integrate incluyendo la función y la expresión. Observa la siguiente imagen:

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―La presentación del resultado es más elegante.

―No se que tan elegante sea, pero incluye la constante de integración, además, de la notación de la integral.

Otra forma:

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―En la última forma, no se ha usado la función que hemos venido trabajando. Además, qué significa eso de Is n equal to -1?

―Bien Paco, en primer lugar, observa que la otra forma es usar una comilla simple para definir la función, es decir, nos ahorramos el paso de definirla. Lo segundo, con respecto a tu interrogante, te respondo que he usado esta función adrede, pues Maxima al detectar una posible división por cero, pregunta si la variable es igual al valor que hace cero el denominador; para nuestro caso, basta responder "n;" y obtenemos la integral con esa restricción.

| Una última observación, con respecto a Maxima. Es importante configurar el programa para que te muestre los resultados inmediatos, despues de cada clic en la tecla de retorno. Para aquellos que usan Maxima para programar (en Métodos Numéricos, por ejemplo), deben tener desactivada esta opción. Usa, entonces, el botón de configuración y activa la tecla de retorno.

―Bueno profe, de lo que me ha explicado, confirma mi tercera inquietud. El octavo ejercicio no se puede solucionar por sustitución de variables.

―Así es Paco. Si vas a la calculadora de integrales por pasos: https://www.calculadora-de-integrales.com/, te dirá que se trata de una integral estándar: |

### 94

## Integrando con GeoGebra

Con GeoGebra, retornamos a la integral que nos ha llevado a esta discusión. La sintáxis la puedes observar en la siguiente imagen. Observa, además, que GoeGebra incluye las gráficas tanto de la función,como de la integral. La integral se introduce con el comando integral[f]. He incluido, además, la ventana de cálculo simbólico (CAS), para que observes cómo es su sintáxis.

―Genial, lo de los programas de cálculo simbólico. Yo estoy usando GeoGebra y Maxima, que son de acceso libre.

―Los programas comerciales, como Matlab, tienen grandes fortalezas en otros problemas como la simulacion, para nuestro caso, es suficiente con los programas de acceso libre, como lo es este curso.

### 95

―Bueno Paco, sigue ejercitándote en estrategias. Para ello, te dejo nuevamente el puzle Rush Hour, ahora en el nivel intermedio.

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―Gracias profe, me encanta este puzle. Hay que cranearlo bien.

Esa es la idea Paco. Hasta la próxima clase.

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## 2.8 Integración por partes

―¡Cordial saludo Paco! En esta sesión vamos a trabajar con una técnica de integración muy interesante, "La integración por partes".

―Creo saber porque dice que es interesante. Algunos amigos que ya cursaron cálculo integral, me dijeron que es la técnica que más problemas les causó.

―Lo de interesante se confunde con la complejidad. En realidad el método que vamos a explorar es sencillo, sólo que algunas soluciones de integrales obligan a utilizar tanto este método como los anteriores. Es decir, en una integral es posible que se tenga que recurrir al método por sustitución y al método de integración por partes, una y otra vez.

―¡Tenían razón mis amigos… la cosa se complica!

―¡No, Paco! Se hace más laborioso, pero no más complejo. Lo interesante, insisto, no es la complejidad, es la posibilidad de aplicar simultáneamente los conceptos previos. Empecemos y no dilatemos más nuestro trabajo ¿Recuerdas cómo se deriva un producto de funciones? Por ejemplo, f(x)g(x).

―Sí, profe. La derivada de una función producto es igual a la derivada de la primera función multiplicada por la segunda función, mas la derivada de la segunda función multiplicada por la primera función.

―¡Correcto, Paco! Lo que dijiste en palabras es simbólicamente lo siguiente:

### 97

―Bueno, si usted lo dice. Lo entiendo mejor con mis propias palabras.

―¿Qué pasa Paco? Te noto un poco extraño ¿no quieres que sigamos con nuestro estudio de integrales?

¡Que pena profe! Tiene razón, no estoy concentrado. Tengo mi cabeza en otros problemas, precisamente no de integrales.

―Todos los tenemos. Trata de dejarlos a un lado mientras trabajamos. Igual no los vas a solucionar enojándote conmigo.

―Tiene razón profe. Sigamos con nuestro trabajo.

―Ok! Paco. En la expresión anterior vamos a integrar en ambos miembros de la igualdad.

En el primer miembro, tenemos la integral de la derivada. Por ser inversas podemos escribir:

―¡Que bien profe! Ahora si me estoy motivando, adiós a los otros problemas.

―Por el momento Paco. Ahora hagamos una transformación de términos:

### 98

―¡Esta es la famosa fórmula para integrar por partes!

―¡Vaya formulita!

―Esta fórmula Paco se puede expresar en otra forma. Supongamos que f(x) = u y g(x) = v, a qué sería igual du y dv?

―Haber… du = f ’(x)dx … dv = g’(x)dx… ¿es correcto?

―Correcto, Paco. Si reemplazamos en nuestra formulita, obtendríamos:

udv = uv - ∫vdu

―Más sencilla profe… así simplificada es más fácil de trabajar.

―No es más sencilla, es la misma fórmula expresada de otra forma. Su simplificación es sólo en la simbología utilizada. Veamos un ejemplo empleando las dos formas. Vamos a resolver la siguiente integral:

∫xcos(x)dx

―Huy profe… son más sencillos mis problemas personales. Creo que me volveré a concentrar en ellos.

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―No seas tan prevenido Paco. Antes de anticiparte a problemas inexistentes, concéntrate en la solución que le vamos a dar a esta integral. Una sugerencia inicial, es hacer f(x) igual a una de las expresiones de la integral de tal forma que su derivada sea una expresión más simple. Me explico, si eligiéramos f(x) = cos x, su derivada f'(x)=-sen x, no es la expresión más simple.

―Ya profe, la cogí… hagamos f(x) = x, ya que su derivada f'(x) es igual a dx.

―¡Qué bien Paco! Luego de seleccionar f(x), la otra expresión debe ser igual a g'(x), es decir, g'(x) = cos x dx ¿A qué es igual entonces g(x)?

―La hallo integrando… la integral de cos x…. ya! g(x) = sen x.

―Muy bien Paco! Ya tenemos todas las expresiones de la formulita… reemplacemos:

∫xcos(x)dx = xsen(x) - ∫sen(x)dx

O sea:

∫xcos(x)dx = xsen(x) + cos(x) + C

¡Sencillo Paco!

―Si señor. No era tan complejo como me lo dijeron.

―¡Juzga por tu experiencia, no por la de los demás! Miremos Paco que usando la otra forma, el procedimiento es igual.

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Te voy a explicar el procedimiento por pasos:

- Paso 1. Hagamos u = x (su derivada hace más simple la integral).
- Paso 2. Hallamos du = dx
- Paso 3. Hagamos dv = cos x
- Paso 5. Reemplazamos en la formulita: udv = uv - ∫vdu

Lo que nos lleva a la expresión anterior: ∫xcos(x)dx = xsen(x) - ∫sen(x)dx

Y finalmente: ∫xcos(x)dx = xsen(x) + cos(x) + C

―Tiene razón profe. Es lo mismo una u otra forma de presentación. Créame que me ha servido esta sesión para despejar mi cabeza. Ahora atenderé mis otros problemas, los cuales son más simples. Hasta pronto profe.

―Hasta la próxima Paco, en en el próximo apartado podrás explorar algunos ejemplos y realizar ejercicios diseñados por la profesora mexicana María de Lourdes Velasco Arregui. Te comparto un rompecabezas para que te alejes de tus problemas.

―Parece que le gustan mucho los juegos, profe.

―Así es Paco, disipa mi mente y me acerca a mi hijo, otro enamorado de los juegos.

### 101

## Puzle de arrastre - El Cálculo Integral

―Este rompecabezas es de 16 piezas y seis imágenes, disfruta del juego.

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―Gracias profe, trataré de relajarme con su jueguito.

―Juegazo Paco... Descansa.

### 102

―Hola profe, me entretuve bastante con su juegazo. Tiene razón, esas pausas que propone me ayudan a relajarme.

―Me alegra Paco que haya contribuido a tu bienestar. Ahora, dime si has practicado la nueva técnica de integración.

―¡Claro que sí!, recuerde que soy su alumno estrella.

―Eres uno de mis alumnos estrella que, generalmente, son todos.

―Lo voy a imitar profe: "como dice el dermatólogo... vamos al grano". Estuve consultando algunos textos de Cálculo y me compliqué un poco, pues usan diferentes notaciones para las derivadas, recuerdo que en el curso de Cálculo Diferencial, usted nos advertía sobre ello. Me lo vuelve a explicar profe... please

―Ok Paco, no problem. The notation for differentiation, can be written as...

―¡Oh, no!, profe, explíqueme en español. Yo manejo dos idiomas el español y el paisa5, pero de english... poco.

―Estaba bromeando Paco, te lo recordaré. En la explicación que te hice de la técnica de "integración por partes", usamos la función f(x) = u. Partiendo de esta función, pasaré a mostrarte varias notaciones que suelen aparecer en algunos textos, de las cuales estamos usando dos. Existen, entonces, las notaciones de Newton y la de Leibniz, nuestros amigos de dos imágenes del juegazo que te divirtió, otra notación es la de Arbogast y la de Lagrange.

### 103

―Todo eso está muy interesante pero, ¿cuales son esas notaciones?

―¡No te desesperes Pérez!, de todas esas notaciones, suelen emplearse:

- Notación de Lagrange: f'(x)
- Notación de Newton: ü, para la segunda derivada. La primera es con un punto.
- Y la que, seguramente, te ha confundido.

  Notación de Leibniz: |
  du
  dx

―Esa notación es la que observé en algunos textos, para integración por partes.

―No hay problema Paco, la fórmula que quizá viste, es la siguiente:

―Sí señor, esa es la expresión.

―Esa es la expresión correcta, sin embargo, la expresión anterior es una forma simplificada para facilitar el uso y memorización de la técnica, ello no significa que se hayan cancelado los términos dx, sólo es una forma simplificada, es decir, el término du, significa la derivada de la función u, con respecto a x.

―Gracias profe, pensaba que habíamos cometido un error en la deducción de la formulita.

―Muy bien Paco, veamos, entonces, los ejemplos de la profesora Velasco.

### 104

## Ejemplos 2.5

Observa Paco la notación usada por la profesora Velasco, te darás cuenta que combina la notación de Lagrange con la de Leibniz. Haz clic en los botones numéricos y podrás ver paso a paso el procedimiento aplicado.

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### 105

## Ejercicios 2.8

En los siguientes ejercicios, debes seleccionar las partes necesarias para aplicar la "Integración por Partes".

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―Están interesantes los ejercicios, sin embargo, estuve consultando más ejemplos de integración por partes y me encontré con unos ejercicios que me gustaría discutir con usted.

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―Está bien Paco. Pero antes quiero que resolvamos unas cuantas integrales para que nos calentemos.

―¡Hágale profe!

―¡Qué bien! En los siguientes ejercicios, diseñados por Consolación Ruiz Gil, trata de resolverlos y luegos comparas con la solución.

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Ahora Paco, haremos dos ejercicios más para despejar posibles dudas que tengas:

Primer ejercicio

Vamos a integrar: ∫x3ln x dx.

―Para este caso es conveniente hacer u = ln x, ya que du = 1/x dx. Por otra parte, si hacemos vd = x3, al integrar nos da x4/4. Sustituye Paco y dime por qué escogí esa u.

―Ok profe. Veamos… al reemplazar en nuestra formulita…

―Entiendo porque escogió u = ln x. La derivada es una potencia de x y se puede simplificar con x4/. A propósito profe, un ejercicio similar a este no pude resolverlo en Maxima.

―Muy bien Paco. Te recuerdo nuevamente que los programas de cálculo simbólico traen ayudas para este tipo de problemas. En Maxima y otros programas como MathLab, la función logaritmo natural tiene la siguiente sintáxis: log(x). Es decir, si quieres resolver la integral anterior por Maxima, deberías haber escrito: integrate(x^3*log(x),x).

―Ok profe. Pero esta expresión se confunde con logaritmo decimal (log x).

Es cierto. Si tienes que utilizar la función logaritmo decimal, en MatLab debes usar la función log10(x), y en Maxima definirla así define(log10(x),log(x)/log(10)).

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Segundo ejercicio

―Vamos a integrar: x∫√x - 1 dx. Aquí vamos a hacer u = x, ya que du = dx. Por otra parte, haremos dv = (x-1)1/2dx, ¿Cómo hallamos v?

―Por sustitución profe. Déjeme hallarla… Haré z = x – 1. Uso z ya que empleamos u en la primera parte. Entonces dz = dx… al sustituir, obtendría:

―Muy bien Paco. Ya tenemos los cuatro elementos de nuestra formulita. Terminemos sustituyendo así:

Finalmente, podemos simplificar esta última expresión así:

―Qué bien profe! Usted es mi héroe.

―Me alegra Paco que haya regresado tu buen sentido del humor. Nos vemos en la próxima clase.

―¡Hasta entonces profe!

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## 2.9 Integrales de potencias de funciones trigonométricas

―Hola Paco, espero que hayas aprovechado el tiempo integrando una que otra función con las reglas de integración que vimos en las clases pasadas.

―Mire profe, no fue una que otra función, me la pasé el fin de semana resolviendo los ejercicios que me propuso y otros que consulté en la bibliografía.
Tengo dudas con integrales de funciones trigonométricas con exponentes... no supe por donde abordarlas.

―Bueno, eso es posible que se deba a esa fobia que les tienes.

―No... ya le dije que les estoy cogiendo cariño, pero me perdí ¿podría ayudarme?

―Está bien Paco, pero recuerda que las técnicas que estamos trabajando son para facilitar nuestro trabajo, eso no significa que no puedas recurrir a una calculadora de integrales o a una tabla. En un futuro comprenderás que a veces es más útil tener presente estas reglas para solucionar problemas en una forma más ágil y oportuna.

―Lo tendré presente profe

―Ok! Existen varias combinaciones de funciones trigonométricas. Para no extendernos demasiado, vamos a tomar los casos más comunes. En cada uno de ellos, la técnica de integración se basa en un buen uso de las identidades trigonométricas y, especialemente, saber cuál usar en cada caso.

―¡Oh, no! Ese cariño empieza a perderse.

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―Vamos, no te desanimes antes de analizar las técnicas que te voy a presentar.

## Integrales tipo ∫ sennx dx con n impar.

Observa en la siguiente escena interactiva que la técnica se basa en la identidad fundamental.

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### 111

## Integrales tipo ∫ senmx cosnx dx con n impar.

―¿Qué ocurre si n es par?

―En este caso, incluso si la función es el coseno, la técnica es recurrir a la fórmula del ángulo medio. Observa:

―¡Vaya!, es como usted dice, la clave está en cuál identidad utilizar.

―¡Así es Paco!

―No nos detendremos en el caso del coseno elevado a una potencia, evaluemos una combinación de funciones.

En la escena de la siguiente página, observarás tres ejercicios de este tipo. Lo interesante de los ejercicios, es la utilización de la técnica de sustitución de variables.

―Lo dicho, esta combinación de funciones trigonométricas y técnicas de integración, hacen que les tome más cariño cada.

―¿Por qué será que noto cierta ironía en tus palabras?

―No es ironía profe, se trata de una broma. Es lo que más le he aprendido en este curso... el buen humor.

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―Espero que no sea lo único. Observa la escena:

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―Bueno Paco, dejemos para la siguiente clase otras combinaciones de funciones trigonométricas.

―Estoy de acuerdo profe, quiero practicar con los trucos aprendidos.

―Técnicas de integración Paco... ¡técnicas!

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## Integrales tipo ∫ tanmx secnx dx con n par.

―Hola Paco, ¿cómo te fue con tu práctica de los ''trucos'' para integrar funciones trigonométricas?

―Técnicas profe... técnicas. Me he vuelto un experto y vengo asioso por conocer sobre otras combinaciones.

―Me alegra Paco que le estés perdieno el miedo a las funciones trigonométricas. Ahora, analiza lo que ocurre con los siguientes ejercicios:

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### 114

―Noto cierto parecido con las técnicas anteriores.

―Es cierto Paco, la diferencia está en las funciones trigonométricas, pero las identidades empleadas tienen el mismo comportamiento que la fundamental. Hay otras combinaciones, que se resuelven utilizando otros tipos de indentidades trigonométricas, tales como:

- Integrales de la forma ∫sen mx cos nx dx, se resuelven aplicando la identidad trigonométrica: sen(a + b) + sen(a -b) = 2sen a cos b.
- Integrales de la forma ∫cos mx cos nx dx, se resuelven aplicando la identidad trigonométrica: cos(a + b) + sen(a -b) = 2cos a cos b.
- Integrales de la forma ∫sen mx sen nx dx, se resuelven aplicando la identidad trigonométrica: cos(a + b) - cos(a -b) = -2sen a sen b.

## Ejemplos

Haz clic en el botón "Otro ejemplo", para que estudies varios ejemplos de este tipo de combinaciones.

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## Ejercicios

―Bueno Paco, resuelve, en tu cuaderno, el ejercicio enunciado, luego haz clic en "Solución", para que compares con tu resultado. Puedes practicar con varios ejercicios.

―Para terminar con tus adoradas funciones trigonométricas, en el próximo apartado trabajaremos con otra técnica de integración

―Creo profe que ha vuelto a hacerme bullying.

―No Paco, sólo quiero afianzar esa bonita relación que estás teniendo con estas funciones.

―Siempre con su buen humor, pero lo voy a sorprender con mi mejor desempeño en ese apartado... Dele, pues.

―Excelente Paco, vamos a ello.

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## 2.10 Integración por sustituciones trigonométricas

―Hola Paco. Vamos a trabajar con otra técnica de integración que involucra relaciones trigonométricas. Antes de ello, recordemos un ejercicio con integrales que incluyen potencias del seno o del coseno, que vimos en la sesión anterior:
Integremos ∫ sen5x cos x dx. Observa que es un ejemplo de integración por sustitución. Si hacemos u = sen x, entonces du = cos x dx.
Al reemplazar obtenemos: ∫ u5 du = u6/6 + c = sen6x/6 + c.

―Y ese ejemplo qué tiene que ver con la técnica que vamos a ver.

―Es sólo un repaso Paco. Lo importante del ejemplo anterior es el truco (técnica) empleado al separar una potencia impar de seno por un producto de una potencia par y la base (sen x).
Esta última constituye el truco, ya que nos permite obtener la función interna de la regla de la cadena.

―Bueno, son ejercicios de sustitución que ya conocía. Lo novedoso es que tengo que recurrir a las identidades trigonométricas. Las repasaré. Pero, ¿dónde está la nueva técnica?

―Vamos pues a la nueva técnica. En el siguiente Objeto Interactivo de Aprendizaje, podrás darte cuenta que no es necesario que la integral tenga una función trigonométrica para que su resultado si la tenga.

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―¿Cómo es eso profe?

―Analiza bien el Objeto Interactivo de Aprendizaje

## Ejemplos 2.6

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### 118

―Creo que usaré las tablas de integrales.

―Claro que puedes usarlas, pero el problema es ¿cómo usarlas? Por ello debes prestar atención a los ejemplos anteriores. Usa las tablas para resolver estos ejercicios.

## Ejercicios 2.9

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### 119

## 2.11 Integración por descomposición en fracciones parciales

―Hola profe! Resolví todos los ejercicios que me propuso. Ayer mi primo me propuso una integral que también resolví exitosamente. Como usted lo dijo en la sesión anterior, tuve que recurrir a varias integraciones, pero con las técnicas aprendidas no tuve problema.

―¡Que bien Paco! Muéstrame el ejercicio de tu primo.

Observe profe la calidad de alumno que tiene, mi primer paso fue el siguiente:

∫ |
x + 1
x - 1
| dx = | ∫ |
x
x - 1
| dx + | ∫ |
1
x - 1
| dx

―Correcto! Separaste la fracción en dos fracciones más simples. Y después?

―La segunda integral su solución es ln(x-1). Ahora tocaba solucionar la primera. Recurrí al método de sustitución así: hice u = x – 1, entonces du = dx. Para sustituir tuve que observar que x = u + 1 (despejando de la primera expresión). Luego,

∫ |
x
x + 1
| dx = | ∫ |
u + 1
u
| du = ∫du + | ∫ |
1
u
| du = u + ln u + c

―Me sorprendes Paco. Volviste a separar las fracciones! Finalmente, ¿qué obtuviste como solución?

―Sencillo profe. Sustituí u por x - 1 y llevé el resultado a la primera expresión, así:

∫ |
x - 1
x + 1
| dx = (x -1) + ln(x - 1) + ln(x - 1) + c = (x - 1) + 2ln(x - 1) +c

### 120

―Tu solución es correcta, excepto por un detalle: -1 + c es otra constante, por lo que tu solución se puede escribir así:

∫ |
x + 1
x - 1
| dx = x + 2ln(x - 1) + c

Bueno Paco, tu ejercicio me da la oportunidad de explicarte otra técnica de integración. La expresión que integraste es un fracción algebraica que pudiste descomponer fácilmente, así hayas tenido que recurrir a hacerlo dos veces.

―¿Qué harías si tu fracción fuera |
12
x2 - 1
| ?

―Haber profe, déjeme pensar… No… no veo cómo. Siga explicando profe.

―Ok Paco! Primero vamos a recordar algo:

―¿Cómo sumarias estas dos fracciones |
4
x - 3
| + |
3
x + 2
| ?

―Hallo un común denominador y… Déjeme desarrollarlo

―Adelante Paco

―Bueno. El común denominador es (x - 3)(x + 2), entonces,

4
x - 3
| + |  |
3
x + 2
| = |  |
4(x + 2) + 3(x-3)
(x - 3)(x + 2)
| = |  |
7x - 1
(x - 3)(x + 2)

―Muy bien Paco. Veo que haces cálculos mentales, eso es bueno para evitar pasos adicionales… ahorra tiempo. Tu expresión final, igualmente se puede escribir así:

4
x - 3
| + |
3
x + 2
| = |  |
7x - 1
x2 - x - 6

### 121

―Ahora te pregunto. ¿Cómo calcularías la siguiente integral?

∫ |
7x - 1
x2 - x - 6
| dx

―Humm... Sencillo, si recurro a la expresión anterior, me quedaría:

∫ |
7x - 1
x2 - x - 6
| dx = | ∫ |
4
x - 3
| dx + | ∫ |
3
x + 2
| dx = 4ln(x - 3) + 3ln(x +2) +c

―Pero, ¿qué hubieras hecho si no conocieras la expresión original?

―Humm… Ni modo profe… corchado.

―Tendrías que regresarte de algún modo en el proceso que realizaste, es decir el proceso inverso a la suma de fracciones. Este proceso inverso se conoce como descomposición en fracciones parciales.
Te voy a explicar dos casos. El primero de ellos corresponde a una fracción propia con factores lineales, el cual podemos resolver por dos métodos. El segundo, también corresponde a fracciones propias, pero con factores lineales múltiples.

Analiza los dos casos en la siguiente página.

### 122

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### 123

―Bueno Paco, en la próxima clase veremos un tercer caso. Por ahora, te dejo el último nivel del puzle Rush Hour... el nivel avanzado:

―Gracias por la actividad de relajación, pues los ejemplos me han obligado a repasar bastante el álgebra de los cursos anteriores.

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### 124

―Paco, para repasar tu álgebra, te propongo que practiques con el siguiente objeto interactivo de aprendizaje , que diseñamos el profesor Miguel Ángele Cabezón Ochoa y yo. Para una mejor ayuda, te he dejado los enlaces a otros objetos, para repasar algunos casos de factorización de polinomios.

―Usted siempre tan amable con sus regalitos.

―No empieces con tus ironías Paco, practica y luego hablamos.

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### 125

―Paco, ahora voy a explicarte un tercer caso

Caso 3. Fracciones propias con factores cuadráticos

En el caso uno vimos una fracción con factor cuadrático ¿por qué, este es un caso distinto?

Observa la siguiente fracción: |
x2 - x - 5
(x - 1)(x2 + 2x + 2)

―¡Ahora entiendo! En el caso que sea un factor cúbico, en la fracción simple el numerador es cuadrático

―Algo así Paco. Pero concentrémonos en nuestro caso. De acuerdo a lo anterior, la fracción propia la podemos expresar así,

x2 - x - 5
(x - 1)(x2 + 2x + 2)
| = |
Ax + b
(x - 1)(x2 + 2x + 2)
| + |
C
x - 1

El proceso que sigue es similar a los anteriores. Sumamos en el miembro derecho de la ecuación e igualamos numeradores,

x2 - x - 5 = (Ax + B)(x - 1) +C(x2 + 2x + 2)

Si x = 1, entonces -5 = 5C, de donde C = -1

Si x = 0, entonces -5 = -B + 2C, de donde… no podemos hallar nada. Recurramos entonces al método largo y teniendo en cuenta que ya conocemos C. Al desarrollar la expresión anterior y agrupar, obtenemos: x2 - x - 5 = (A - 1)x2 + (-A + B - 2)x - (B + 2)

### 126

Igualando los coeficientes de x2 y los términos independientes,

- A – 1 = 1, de donde A = 2
- B + 2 = 5, de donde B = 3

Finalmente, obtenemos:

x2 - x - 5
(x - 1)(x2 + 2x + 2)
| = |
2x + 3
(x - 1)(x2 + 2x + 2)
| - |
1
x - 1

―¡Excelente Profe! Y si la fracción es impropia?

―¿Qué harías Paco si quisieras convertir 5/4 en fracciones propias?

―La expreso como una fracción mixta

―Y eso, ¿cómo lo haces?

―Divido el numerador con el denominador. Para 5/4 me da 1 y el residuo es 1, es decir 5/4 = 1 + 1/4

―Has obtenido la respuesta a tu pregunta.

―Gracias Profe. Una última pregunta, ¿cómo descompongo fracciones parciales en Mxima y GeoGebra?

―Este es tema de una sesión adicional que, para satisfacer tu curiosidad, la veremos en la próxima clase.

―Qué bien! Estaré pendiente de esa clase.

### 127

―¡Hola Paco! ¿Cómo te fue con los ejercicios anteriores?

―Bien profe. Pero, le repito la pregunta anterior ¿cómo lo verifico en Maxima y GeoGebra?

―Veo que te falta más curiosidad, cada uno de estos programas presentan ayuda que, si la consultas, podrías obtener la respuesta.

―Se equivoca profe, sí hice la consulta, pero tuve problemas con los resultados.

―Ok Paco, creo saber cuáles pudieron ser tu problemas. Vamos a tomar un ejercicio planteado en la escena interactiva del profesor Miguel Ángel:

Veamos cómo descomponemos la función en fracciones parciales, usando wxMaxima, para ello, primero definimos la función, así:

f(x):=(9*x-8)/(x^3-13*x^2+50*x-56)

―Un momento profe, ¿por qué usó :=?

―Ya lo sabía, ahí pudiste tener tu primer problema. Tanto en Maxima como Geogebra, para definir una función es necesario utilizar el operador ':='.

### 128

―Ahora entiendo porque no obtenía resultados, en mi consulta encontré que la expresión partfrac(f(x),x);, me servía para la descomposición en fracciones parciales. Luego, opté por escribir partfrac((9*x-8)/(x^3-13*x^2+50*x-56),x);, pero...

―Pero ¿qué?... Paco.

―Mejor siga con su ejercicio profe, en el camino entenderá mir pero.

―Muy bien Paco, como tu la has explicado, usamos la expresión, así:

―Muy bien profe, ahí surge otro de mis problemas. Al reemplazar A = 1, B = -14/3 y, finalmente, C = 11/3, no obtengo respuesta en la escena interactiva.

―Eso es cierto Paco, la escena no te muestra nada, si ingresas mal los datos. Observa, cómo los ingresé yo y compara.

### 129

―¡Ah... ya! Ingresé mal los valores de B y C.

―Es un problema general Paco... No leemos instrucciones. La escena te pedía el valor de B correspondiente al denominador (x - 7) y tu ingresaste el de (x - 4), porque seguiste el orden de las fracciones dadas por WxMaxima.

―Tiene razón profe, no leemos. Pero, hay otro problema.

―¿Cuál?, Paco.

### 130

―He calculado la integral en WxMaxima y observe el resultado:

―Muy bien Paco, ¿cuál es el problema?

―Que no es el mismo resultado de la escena interactiva:

―Te refieres a que Maxima usa log en lugar de ln?

―No, eso ya lo tengo claro, me refiero a que en Maxima aparece log(x-4) y en la escena ln|3(x-4)|, lo mismo ocurre con ln|3(x-7)|.

―Ah!, entiendo. En realidad, no hay error, observa: ln|3(x-7)| = ln|3|+ln|x-7| ¿es cierto?

Obvio, es una propiedad de los logaritmos.

¿Qué es, entonces, ln|3|?

―¡Claro! es una constante, que sumada con C, vuelve a dar una constante. Tiene razón profe, no hay error.

### 131

―Así es Paco. Te recomiendo hacer un mejor análisis de tus resultados, puedes caer en la excusa típica de algunos, cuando los resultados no son los esperados...."El mal trabajador le hecha la culpa a las herramientas"

―Huy profe, tampoco. Yo sólo estaba verificando si estaba usando mal la herramienta.

―Te creo Paco. Para terminar, observa nuestro ejercicio en GeoGebra:

―Qué bien profe. Cada vez me encarreto más con este cálculo integral. Hasta la próxima.

―Hasta el próximo capítulo Paco.

### 132

# Capítulo iii

# Integral Definida

## 3.1 Introducción a la Integral Definida

―Hola Paco, ahora vamos a iniciar con el concepto de integral definida.

―Qué bien profe, significa que ya no hablaremos de primitivas, sino de civilizadas.

―Muy gracioso Paco. Para que tengas una idea de la diferencia entre indefinida y definida, te he preparado un objeto interactivo de aprendizaje, en el que repasaremos, brevemente, el surgimiento histórico del concepto y, finalmente, podrás entender porque se llama definida. Haz clic en ampliar para apreciar mejor el objeto.

Ampliar

### 137

―¡Excelente objeto de aprendizaje!, pero quedé con una duda.

―¿Cuál es tu duda Paco?

―Cambié la función a f(x)= 1 - x y b = 4. Si observa la imagen, el área tendría que ser 5. Pero, el resultado que aparece es 4 ¿Qué pasó profe?
―¿Cómo calculaste el área Paco?
―Sencillo, hay un triángulo pequeño cuya área es 0,5 y uno grande de área igual a 4,5, sumo y me da 5.
―Bueno, ya tienes un primer error, el triángulo grande tiene alturas negativas, observa que esas alturas están por debajo del eje x.
―¡Ah, pues claro! Pero, entonces, tendría que darnos un área negativa... -4,5
¿Conoces áreas negativas? Ahí el error es mío, debí advertir que el área se calcula con la siguiente expresión:

### 138

―Es decir, es el valor absoluto de la expresión que aparece en el objeto interactivo.

―Ya me la puso mas brava ¿qué son esos símbolos tan raros?, entiendo que las alturas son las ordenadas f(ci) y que a medida que aumentamos n, el área de los rectángulos se acercan más al área exacta, por ello lo del límite, pero los demás no los entiendo.

―Me alegra tu discurso, porque entiendes mas de lo que te imaginas. En las próximas sesiones comprenderás los otros símbolos, pero te adelanto... la letra griega sigma (∑) se utiliza para indicar una sumatoria o sumatorio de los términos que aparecen después de ella, que es precisamente lo que hiciste con las áreas de cada rectangulo. La integral es eso,una sumatoria.

―¿Una sumatoria?

―Así es Paco. La letra griega sigma la usamos para sumatorias o sumatorios de un número determinado de términos; por ejemplo, en el objeto interactivo sumamos hasta 100 rectángulos. La integral nos permite sumar un número muy grande de términos.

―¡Cuando n tiende a infinito! Por eso el límite.

Ya te lo dije, entiendes mas de lo que te imaginas.

―¡Qué bien profe! Continúe la explicación.

―Espera las próximas sesiones. Hasta entonces Paco.

―Gracias Profe. Nos vemos en la próxima sesión.

### 139

―Hola Paco! Ya es hora de adentrarnos en el maravilloso mundo de las integrales definidas.

―¿Qué necesito para ello profe, es suficiente con los conceptos que trabajamos en integral indefinida?

―En realidad Paco esos conceptos son necesarios pero no suficientes. Por ejemplo, ¿qué sabes tú de sumatorios o de la notación sigma?

―Bueno… En la sesión anterior me dió una pista. En estadística vi algo al respecto, pero no sé si es suficiente para lo que vamos a trabajar ahora. Por lo que me dijo, deduzco que las integrales definidas se calculan como sumatorios.

―Eso es cierto pero no del todo. Supongo que te refieres a las sumatorios tradicionales, éstos nos servirán para comprender el concepto de integral definida. Iniciemos pues nuestra sesión. Uno de los problemas que se puede solucionar con integrales definidas, como lo vimos en la sesión anterior, es el cálculo de áreas de regiones limitadas por curvas, es decir, de regiones no convencionales como los polígonos regulares. Este problema lo continuaremos en la siguiente sesión, pero antes ilustrémonos con la notación sigma.

¿Qué puedes decir de la siguiente expresión 1 + 2 + 3 + 4 +5?

―Es la suma de los primeros cinco números naturales.

―Correcto. La notación sigma es una forma de representar simbólicamente sumas como la de la expresión anterior. Para este caso se representa así:

∑i=1 5 i

### 140

## 3.2 Sumatorios

Esta expresión es un sumatorio y se lee de la siguiente manera: "sumatorio de i con valores de (o desde) i igual a 1 hasta 5". Observa, nuevamente:

∑i=1 5 i

―Ahora entiendo porque en Excel aparece ese simbolito. Yo lo uso mucho para sumar los valores de una columna.

―Muy bien Paco. Efectivamente, si en Excel escribes los números del 1 al 5 en una columna, puedes calcular "el sumatorio" de estos números con ese simbolito, es decir, con la notación sigma. Ahora podrás entender la siguiente definición:

Si am, am+1, am+2, ..., an-1, an, son números reales y m y n son números enteros tales que m≤n:

∑i=m n F(i) = F(m) + F(m+1) + F(m+2) + ... + F(n-1) + F(n)

Esta definición es extensible a la notación funcional:

∑i=m n F(i) = am + am+1 + am+2 + ... + an-1 + an

―Parece complicado, pero en resumen lo que hago es reemplazar i por m, luego por m+1 y así hasta n?

―Dicho en tus palabras… así es. Veamos unos ejemplos.

### 141

―Qué resultado obtendrías si desarrollas este sumatorio: ∑j=3 5 j3

―Usted siempre complicando las cosas profe. No era con i que veníamos trabajando? Pero igual, sé que me responderá. Si reemplazo, entonces… 33 + 43 + 53 = 27 + 64 + 125, obtendría 216?

―Muy bien Paco. Lo has comprendido. En la definición anterior el número m se le conoce como el límite inferior y n el límite superior del sumatorio. Tu cuestionado símbolo i recibe el nombre de índice del sumatorio, el cual puede ser cualquier otra letra.

Ahora trata de calcular el siguiente sumatorio: ∑k=1 10 k2

―Huy profe, me vio cara de calculadora… 1 + 4 + 9 + 16 + … + 100, tengo que hacer 10 sumas, póngala más suave.

―Esperaba esa reacción Paco. Pero no te preocupes. Existen teoremas, sencillos de demostrar, que simplifican este tipo de operaciones. Basta que repases un poco tus conocimientos de sucesiones del bachillerato. Sin entrar en detalles y demostraciones, te presento algunos de esos teoremas:

Teorema 2. ∑i=1 n c = cn

Ejemplo. ∑i=1 10 5 = 5⋅10 = 50

### 142

Teorema 3. ∑i=1 n cF(i) = c∑i=1 n F(i)

Teorema 4. ∑i=1 n F(i) + G(i) = ∑i=1 n F(i) + ∑i=1 n G(i)

Teorema 5. ∑i=1 n i = |
n(n + 1)
2

Ejemplo. ∑i=1 5 i = |
5⋅6
2
| = 15

Teorema 6. ∑i=1 n i2 = |
n(n + 1)(2n + 1)
6

Ejemplo. ∑i=1 5 i2 = |
5⋅6⋅11
6
| = 55

Teorema 7. ∑i=1 n i3 = |
n2(n + 1)2
4

Ejemplo. ∑i=1 5 i3 = |
25⋅36
6
| = 225

Teorema 8. ∑i=1 n i4 = |
n(n + 1)(2n + 1)(3n2 + 3n -1)
30

### 143

―Así si es muy fácil. Entonces para el ejercicio que me propuso puedo usar el teorema 6:

∑k=1 10 k2 = |
10⋅11⋅21
6
| = 385

―Muy bien Paco. Ahora estás en capacidad de resolver los siguientes ejercicios:

Ampliar

―Lo intentaré profe. En la próxima clase le comento cómo me fué.

―Hasta entonces Paco.

### 144

―Hola Paco, ¿cómo te fué con los sumatorios?

―Bien profe, sólo me compliqué un poco con las potencias de binomios, pero una vez desarrolladas, sólo tuve que aplicar los teoremas.

―¡Excelente! Recuerda que puedes recurrir al ordenador cuando tengas dudas.

―¿Al ordenador? Se refiere a Matlab o cualquier otro programa de algebra simbólica o a Excel?

―En Excel puedes verificar la mayoría. Claro, si sabes manejar bien el Excel. Sin embargo te voy a ilustrar cómo resolverías el segundo ejemplo en Maxima y en GeoGebra, y al final de esta sesión hallarás una escena interactiva que he diseñado con el editor de Descartes para verificar tus resultados. Es de observar que las últimas versiones de GeoGebra han incorporado el CAS de Maxima.

―Ya en varias ocasiones hemos usado el CAS de GeoGebra, pero olvidé que significa CAS.

Me gusta que no dejes ninguna rueda suelta. El acrónimo CAS viene de la expresión inglesa Computer Algebra System (Sistema algebraico computacional, en español) o, como lo venimos diciendo, programa de cálculo simbólico. Bueno, veamos cómo usar los sumatorios en estos dos CAS, para calcular el ejercicio que hemos venido discutiendo:

∑k=1 10 k2 = |
10⋅11⋅21
6
| = 385

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## Sumatorios en GeoGebra

Tanto en WxMaxima como en Geogebra es muy simple el procedimiento, en este último se ofrece la función: sum(exp, i, n, m), donde exp corresponde a la expresión del sumatorio (k2, por ejemplo), i es el índice usado (k, para el ejemplo) y n y m ya sabes que son los límites inferior y superior respectivamente. Nuestro ejemplo quedaría tal como lo ves en la imagen de la derecha.
Observa que en la expresión 1 resolvimos el ejercicio. En la expresión 2 le indicamos al programa que el límite superior es n y nos presentó una solución en forma simbólica. En la expresión 3, le ordenamos que factorizara la expresión anterior y nos presenta la expresión de nuestro teorema 6.

―Impresionante profe. Practicaré los ejercicios que me propuso en la sesión anterior.

―Es una excelente herramienta pero, por ahora, es recomendable usar los teoremas anteriores, puesto que te sirven para solucionar otros problemas de Cálculo Integral, la herramienta es sólo para verificar tus cálculos. Veamos, a continuación, cómo lo hace WxMaxima.

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## Sumatorios en WxMaxima

En esta herramienta, la expresión es similar a la de GeoGebra, observa que usamos un término que nos arroja la expresión 2 simplificada.
Puedes, también, usar programas en línea como Wiris o WolframAlpha. Adicionalmente, he diseñado el siguiente objeto interactivo, para que verifiques tus sumatorios, con excepción de los ejercicios cuyo resultado es simbólico. Puedes cambiar los límites y la expresión usando siempre la variable i. Observa que las expresiones requieren de algunos operadores especiales como: * para multiplicar y ^ para los exponentes.

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## 3.3 Área de una región bajo una curva

Paco, en las sesiones anteriores vimos que el área de una región plana se obtenía con una expresión que incluía sumatorios. Bueno Paco, vamos a ver esta aplicación del proceso de integración con más detalle.

Uno de los problemas del cálculo es hallar el área bajo una curva y=f(x), entre a y b, tal como lo indica la siguiente figura, que he diseñado con GeoGebra.

Observa que el área está limitada por la curva de la función, las rectas x=a y x=b, y el eje x.

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―Profe, ¿existe una fórmula para calcular esa área? Así como la hay para un rectángulo o un círculo.

―Precisamente es allí dónde el cálculo integral empieza a ser interesante. No hay una fórmula Paco. Pero ya que hiciste alusión a un rectángulo, recuerdas ¿a qué es igual su área?

―Fácil profe,¡Base por altura!

―Ok! Ahora quiero que observes el siguiente objeto de aprendizaje interactivo, que muestra el área de la región bajo la curva de la función f(x) = x2 y empecemos a sacar conclusiones; para ello, cambia el valor de n:

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―Ahora dime ¿qué observas al hacer clic en el botón "Rectángulos superiores"?

―Bueno profe. Observo unos rectángulos grandes y otros pequeñitos y…

―Espera Paco. Veo que tengo que aclararte sobre estos rectángulos. Observa que los rectángulos inferiores están "inscritos" en la región comprendida entre x=0, x=3, f(x)=x2 y el eje x.
Por contraste, los rectángulos superiores están "circunscritos". En otras palabras, esos rectángulos pequeños que observas son la diferencia entre los rectángulos superiores e inferiores.
¿Qué conclusiones puedes sacar ahora?

―Humm. Veo que a medida que hay más rectángulos la diferencia es menor. Para 100 prácticamente es insignificante.

―Excelente Paco! Eso significa que podemos acercarnos al área de la región con rectángulos por debajo o con rectángulos por encima.

―En otras palabras, estamos volviendo al concepto de límite.

―Así es. Ya tú lo dijiste… a medida que hay mayor número de rectángulos… Eso, ¿qué significa en matemáticas?

―Por eso hice la observación. Cuando n tiende a infinito, el área total de los rectángulos es el área de la región buscada. El área bajo la curva.

―Vamos bien Paco. Entonces ya nuestro problema se ha reducido a encontrar el límite cuando n tiende a infinito de la suma de todos los rectángulos superiores o inferiores.

### 150

―Practica de nuevo con el objeto. Sigamos con nuestro análisis. Vamos a trabajar con los rectángulos superiores. Similar procedimiento se emplearía para los inferiores. Paco, piensa un poco y dime, ¿cómo calculamos el área de esos rectángulos?

―Haber… El área de un rectángulo es base por altura y si son n rectángulos… humm… sería n por base por altura. Correcto profe?

―En parte Paco, sólo en parte. Te voy a presentar otra ayuda. En la siguiente gráfica, hemos representado uno de esos rectángulos, el rectángulo i, con una base que he denominado Δx (delta de x) y una altura que es equivalente al valor de la función en xi. Es decir f(xi).

―¿Cómo representaríamos el área de ese rectángulo?

―Ya le dije profe, base por altura. Es decir… Ai = Δxf(xi).

―Muy bien. ¿Y toda el Área?

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―Pues… La suma de todos los rectángulos… Claro, ahora entiendo lo de los sumatorios.
Usted no da puntada si dedal profe. El área total sería…

∑i=1 n Δxf(xi) |  |

―Vamos muy bien Paco ¿Cuál sería el área bajo la curva?

―Bueno. Por la figura parece que es menor al área total de los rectángulos.

―Paco! Olvidaste el análisis de las figuras anteriores.

―¿Las figuras anteriores? Humm… Déjeme repasar… Que pena profe, tiene razón. Efectivamente, el área bajo la curva es menor que la de los rectángulos. Además si n crece, las áreas tienden a ser iguales. ¿Voy bien?

―Excelente. Escribe tus palabras en lenguaje matemático.

―Huy profe! Deme una ayudita mientras repaso límites.

―No es mucho lo que hay que repasar Paco. Concluiste que el área de los rectángulos tiende al área bajo la curva a medida que n tiende a ser grande. ¿Qué tipo de límite es ese?

―¿Al infinito?... Claro, entonces el área bajo la curva la puedo escribir así…

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―Que buen estudiante eres Paco. Otra pregunta. Según la figura anterior, ¿a qué es igual delta de x?

―A la base del rectángulo, ¿a qué más podría ser igual?

―Oh no, Paco. Esa falta de concentración es la que te mata. Supongo que estás cansado, déjame darte el último empujón. Observa que los rectángulos están sobre el segmento ab cuya longitud es |a-b|, este segmento fue dividido en…

―Ya profe. En n segmentitos… cada uno de ellos es delta de x, es decir Δx = |
a - b
n

―Te corrijo Paco. La longitud debe ser siempre positiva, es decir: Δx = |
|a - b|
n

―Y el área bajo la curva ¿cómo quedaría?

―Pues… reemplazamos y ya…

―Te das cuenta que si podías Paco. Para terminar, y utilizando uno de los teoremas de sumatorias de la sesión anterior, tu expresión queda así:

Bueno Paco, como noto un poco de cansancio, dejaremos para la próxima clase los ejemplos.

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―Hola Paco. En la sesión anterior vimos que el área de una región plana se obtenía con una expresión que incluía sumatorios, límites y valor absoluto. Bueno Paco, vamos a hallar el área de la región comprendida entre x=0, x=3, f(x)=x2 y el eje x.

―Que gracia profe. Esa región es la que usted dibujó en GeoGebra y, por las gráficas anteriores, el resultado es 9.

―Eso es cierto Paco, pero no siempre tendremos que ir a GeoGebra o a Descartes para hallar el área de una región. Vamos a comprender la utilidad de la expresión que juntos dedujimos. Observa la gráfica nuevamente:

―¿Cuáles son los valores de a y b

―0 y 3 profe.

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Con estos valores de a y b, y la función dada, entonces:

Ahora, ¿comprendes la importancia del valor absoluto? Por otra parte, los valores de xi van desde 3/n hasta 3n/n, según los rectángulos escogidos; es decir, xi = 3i/n. Lo cual significa que la expresión anterior la podemos reescribir así:

Simplificando, obtenemos:

―Paco, usa un teorema de sumatorios como recurso adicional, para hallar el área.

―Haber… Si ya lo encontré… es el teorema 6…reemplazando… nos queda:

―¡Resuélvela Paco!

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―Está bien profe:

Hasta aquí profe... me bloqueé.

―Bueno, sólo tienes que recurrir al trabajo sobre límites que hicimos en el curso de Cálculo Diferencial, pero voy a darte una mano. Podemos dividir el numerador (cada paréntesis por n) y el denominador por n2.

―Ya profe. Al reemplazar n por infinito, el segundo término de cada paréntesis daría cero… entonces: A = 9(1)(2)/2 = 9.
―Genial profe. Pero prefiero a GeoGebra o a Descartes.

―Tranquilo Paco. Esta es una forma de mostrar la utilidad de los sumatorios y de comprender el concepto de Integral desde una aplicación geométrica. Igualmente practicas un poco algunos conceptos anteriores.

―¿Integral? Pero si no la vimos por ningún lado.

### 156

En la próxima sesión y luego de que realices algunos ejercicios más, entenderás lo que he dicho.
Bueno, de acuerdo a lo anterior podemos concluir con esta definición:

Sea f continua y no negativa en el intervalo [a, b]. El área de la región limitada por la gráfica de f, las rectas x = a y x =b y, el eje x es:

donde Δx = |
|b - a|
n

―No que era con |a - b|?

―Da igual Paco. Siempre que uses el valor absoluto, recuerda que se trata de una distancia entre dos puntos.
Bueno Paco vamos a practicar un poco lo que hemos aprendido.

Te he diseñado varios ejemplos, que te permitan comprender más lo que hemos trabajado. En el primer ejemplo debes hallar y escribir el valor de Δx. Presta atención a las instrucciones e interactúa con los controles de la gráfica del lado izquierdo de la escena.

Recuerda que puedes ampliar la escena, si lo deseas.

―Listo profe, veamos sus ejemplos.

### 157

## Ejemplos 3.1

Ampliar

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## Ejercicios 3.1

1. Utilizando los teoremas obre sumatorias simplifica los siguientes límites de tal forma que puedas calcularlos fácilmente.

2. Finalmente Paco, vas a usar la definición anterior para calcular el área de las regiones acotadas por la gráfica de la función, x = a, x = b y el eje x en cada uno de los siguientes casos. Los valores de a y b están definidos por el intervalo dado en cada caso.
2.1 y = 2x -1 en [0,2] 2.2 y = 5x – 4 en [1,3]
2.3 y = x2 – 1 en [0,1] 2.4 y = 1 – x3 en [1,2]

Puedes verificar tus resultados cambiando los valores de los siguientes controles:

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## 3.4 Teorema fundamental del cálculo

―Que tal Paco! ¿Cómo te fue con los ejercicios anteriores?

―Bien profe. Sin embargo, tuve que hacer algún esfuerzo para evaluar lo límites… una que otra transformación algebraica.

―Bien Paco. A propósito de estos límites, la sumatoria que aparece en la expresión

A = |
lim
n →∞
| ∑i=1 n f(ci)Δxi

se conoce como suma de Riemann, en honor al matemático alemán Bernahrd Riemann. Su definición original incluía subintervalos de distinta longitud (Δxi), es decir

∑i=1 n f(ci)Δxi

Lo anterior nos sirve para enunciar el siguiente teorema:
Si f está definida en el intervalo [a, b] y el límite de la suma de Riemann de f existe, entonces f es integrable en [a, b] y dicho límite se denota así:

∫a b f(x)dx =

lim
∥Δ∥ →0
| ∑i=1 n f(ci)Δxi

### 160

Este límite se conoce como la integral definida de f

―Ahora veo donde estaba la bendita integral. Pero profe… este límite es diferente al que veníamos trabajando.

―Es cierto Paco. Riemann, en forma general, escogía subintervalos en ci. Nosotros lo hicimos para subintervalos constantes (∆x) porque la función f(x) era positiva, continua y creciente. Sin embargo, en funciones como x3 + x2 - 5x:

La función es positiva y negativa en el intervalo [-2, 1]. En este caso es conveniente dividir el intervalo en dos subintervalos [-2, 0] y [0, 1]. El valor de esta integral es 6.75, la figura muestra 6.74 porque elegí un ∆x = 0.003 (n=1000).

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En GeoGebra puedes calcular esta integral así: integral[x^3+x^2-5*x,-2,1], en Maxima: integrate(x^3+x^2-5*x, x, -2, 1) y en MatLab: syms x; INT(x^3+x^2-5*x,-2,1).

―Vaya, la cosa se complica! No quiero imaginarme un ejemplo con la función seno.

―No te predispongas Paco. Un profesor de Newton nos ayudará a calcular estas integrales en forma más inmediata. Isaac Barrow, profesor de matemáticas en la Universidad de Cambridge hasta 1669, enunció el siguiente teorema:

Si f está definida en el intervalo [a, b] y el límite de la suma de Riemann de f existe y si F es una primitiva de f en [a, b], entonces:

∫a b f(x))dx = F(b) - F(a)

―¡El Teorema Fundamental del Cálculo!

―Así es Paco, también conocido como el Teorema de Barrow. Pero, cómo supiste que era ese el teorema?

―Bueno, pues estuve repasando la introducción al curso y allí usted lo describió.
Y dónde quedó la constante profe?

―Interesante observación Paco. En el primer teorema de esta clase, la integral definida nos dice que es igual a qué?

Al límite de la suma de Rieman.

### 162

―Correcto! Y ese límite qué resultado dió en el ejemplo anterior?

―Un número profe: 6.75

―Eh ahí la diferencia Paco. Las integrales indefinidas nos permitían hallar la función origen, por contraste, la integral definida nos permite hallar el valor de la integral en un intervalo dado.

―Déjeme pensar profe… Eso quiere decir que el teorema de Barrow me dice que debo hallar la primitiva y luego calcular un valor que es F(b) – F(a) y así hallo el valor de la integral?

―Tu lo has dicho Paco. Con ese razonamiento, calcula la integral del ejemplo anterior.

―¡Ok!

F(x) = ∫-2 1(x3 + x2 - 5x)dx =

x4
4
| +

x3
3
| -

5x2
2

F(1) =

1
4
| +

1
3
| -

5
2
|  | = -

23
12

En forma similar, calculo F(-2), que sería igual a

- |
26
3

Finalmente, calculo F(-2) - F(1), cuyo resultado es

81
3

―Entonces F(x) = 6.75!

―Casi Paco, casi.

### 163

―Pero me dio la respuesta profe, ¿cómo que casi?

―Tu problema no es de respuesta. Tu problema es de conceptos. Me explico: Es falsa la primera y última expresión que escribiste. Recuerda que F(x) es una función (la primitiva), la cual denominamos en la sección anterior como Integral Indefinida, por el contrario, F(b) – F(a) es un número, que hemos denominado Integral definida. Observa como se resuelve esta integral:

∫-2 1(x3 + x2 - 5x)dx =

x4
4
| +

x3
3
| -

5x2
2
| ]-2 1

Comprendo que esto es nuevo para ti, pero debiste haber preguntado. La expresión de la derecha significa que la integral a resolver es igual a la primitiva (sin constante) evaluada entre -2 y 1.

Al sustituir en la expresión de la derecha, obtendríamos:

∫-2 1(x3 + x2 - 5x)dx =

∫-2 1(x3 + x2 - 5x)dx =

―Entiendo profe. Mi problema en realidad no es de conceptos, créame que le he entendido. Tengo problemas es de escritura matemática. Seré más cuidadoso con lo que escribo.

―Demuestra lo que dices con los ejercicios que te presento a continuación

### 164

## Ejercicios 3.2

Determina el valor exacto de la integral definida utilizando el teorema de Barrow.

1. ∫1 5(x - 3)dx | 2. ∫-2 2(x + 1)dx | 3. ∫0 π sen dx
4. ∫-1 3 x2dx | 5. ∫1 5(3x + 1)dx | 6. ∫0 4√x
7. ∫-1 3(2x2 -x + 5)dx | 8. ∫2-3(2x + 1)2dx | 9. ∫-1 4(3x - 2)dx
10. ∫0 1 y4/5dy | 11. ∫-1 0(2z + ez)dz | 12. ∫1 4 1/(3t3)dt

Puedes usar el siguiente objeto interactivo de aprendizaje para verificar tus respuestas:

Ampliar

### 165

―¡Hola Paco! ¿Cómo te fue con los ejercicios de la sesión pasada?

―¡Bien y mal profe!

―Debe ser regular. Bien y mal es como decir falso y verdadero y…

―No empiece profe con su lógica, la verdad es que no pude con unos ejercicios de cálculo de áreas por sumas de Riemann, me refiero al 2.2 y al 2.4 de los ejercicios sobre áreas bajo una curva, los resultados que me daban no coincidían con los que calculé empleando el teorema de Barrow.

―Dime cómo trabajaste el 2.2

―Así profe: el área a calcular estaba limitada por f(x) = 5x-4, el intervalo [1, 3] y el eje x. Primero calculé Δx que es igual a 2/n ¿Correcto?

Correcto Paco. Continúa.

Luego reemplacé en la expresión que dedujimos para el Área.

### 166

―Espera Paco ¿Por qué dices que f(xi)=(2i/n)?

―Porque así lo hicimos con el ejemplo de esa sesión.

―Humm… ¿Qué resultado obtuviste?

―Pues al simplificar y evaluar el límite, el resultado fue 2.

¿Y por Barrow?

―Bueno, ese es más fácil. Lo desarrollé así:

―¡Mal y bien Paco!

―Donde quedó su lógica profe? Diría más bien, regular.

―Tienes razón ¡una buena y otra mala! Esa debería ser la expresión. La integral por el teorema de Barrow... Muy bien. Mal por lo realizado con la sumatoria de Riemann. Te explico porque:

### 167

En el ejemplo que desarrollamos, el área estaba limitada por x=0, es decir, el límite inferior era 0. Supongamos que para la función que acabas de analizar, el intervalo que limita la gráfica es [0, 3].

Esta nueva situación se representa en la siguiente figura.

Observa que hemos empleado 10 rectángulos. Las 10 abscisas correspondientes a f(1), f(2), f(3), … f(i),… f(n) son: ∆x, 2∆x, 3∆x, ..., i∆x, ..., n∆x. Es decir, f(xi) = f(i∆x).

El mismo f(xi) que tú empleaste ¿Dónde está la diferencia Paco?

### 168

―En el límite inferior ¡Que trampa profe! En el ejercicio 2.2 este límite no es cero.

―No es trampa Paco. Esto te enseña dos cosas: no se debe generalizar y menos “tragar entero”. Veamos que ocurre con un límite diferente de cero. Para el ejercicio 2.2 con el intervalo [1, 3]. Observa la gráfica para ese caso:

―A qué es igual x1?

―Claro profe, ahí estaba el problema, debí sumar uno. Es decir x1 = 1 + ∆x

Así es Paco. Veamos ahora la solución a tu ejercicio

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―Satisfecho Paco?

―No tanto por la solución profe, sino por las dos observaciones. Trataré de no seguir “tragando entero” y de no generalizar con un solo ejemplo.

―¡Excelente Paco! Si necesitas más claridad observa la gráfica de la siguiente página, que representa f(x)=x2 en el intervalo [1, 2]. Puedes ver claramente las coordenadas de los puntos señalados para el tercer rectángulo. Puedes hacer clic sobre la imagen para que la veas en un tamaño mayor.

―Estupendo desarrollo del ejercicio, usted es un mago profe. Creo que es hora de otro de sus jueguitos de relajación.

―Como quieras Paco, analiza la gráfica y luego relájate antes de la próxima sesión.

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Aquí tienes tu jueguito de relajación:

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―Hola Paco, a continuación podrás estudiar nuestro teorema fundamental del cálculo de la mano﻿﻿﻿ de la profesora mexicana Norma Patricia Apodaca Alvarez.

## Conceptos básicos

El Teorema Fundamental del Cálculo dice que la derivada de la integral de una función es la misma función. Es decir, si una función f(x) es continua en el intervalo [a, b], y x es cualquier punto dentro del intervalo, se puede definir F(x) como:

∫a x f(t)dt

F'(x) = f(x)

Así, la integral de f(x) puede verse como la antiderivada o primitiva de esa función. La importancia de este Teorema, al que en ocasiones se denomina Primer Teorema Fundamental del Cálculo, reside en dos aspectos:

- Relaciona las dos principales nociones del cálculo, derivación e integración, demostrando que son procesos inversos. Esto significa que si se integra una función continua, al derivarla después se recupera la función original.
- Proporciona un método simple para resolver muchas de las integrales definidas.

De este Teorema se desprende el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo, conocido también como la Regla de Barrow o Regla de Newton - Leibniz, que permite calcular fácilmente el valor de la integral definida a partir de cualquiera de las primitivas de la función. Esto es, dada una función f(x) continua en el intervalo [a, b], si F(x) es una función primitiva de f(x), es decir: F'(x) = f(x)

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Entonces,

∫a b f(x)dx = F(b) - F(a)

## Ejemplos 3.2

Para ver los ejemplos, pulsa el botón correspondiente:

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﻿﻿﻿

## 3.5 Interpretación geométrica de la integral definida

―Hola Paco. Ya que te ha gustado la forma de explicar de la profesora Norma, he hecho una adaptación especial para ti, de una publicación realizada por ella.

―¡Vaya!, veo que sí se ha molestado por mi comentario.

―No es así Paco, la verdad es que a mi también me gustan los discursos de Norma. Presta atención.

La representación gráfica del resultado de una integral definida corresponde al área bajo la curva de la función, si ésta es continua en el intervalo de integración. Entonces, dada una función f(x) de una variable real x continua en un intervalo [a, b], la integral definida ∫a bf(x)dx, es el área de la región del plano XY limitada entre la gráfica de la función, el eje X, y las rectas x=a y x=b. Esta área se muestra en color verde en el siguiente recuadro.

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﻿﻿﻿

Puede observarse que el área limitada por la gráfica de la función tiene signo positivo cuando, en el intervalo de integración, f(x) toma valores positivos, y signo negativo cuando toma valores negativos. En este ejemplo, el valor del área es cero, porque la parte positiva y la parte negativa son iguales. Dependiendo del signo de la función en dicho intervalo, se tienen tres casos:

Cabe hacer notar que no en todos los casos la integral definida representa un área. Esto obedece a que la interpretación física de su resultado depende de la naturaleza de las magnitudes que describan la abscisa y la ordenada. Suponiendo que ambas representan distancias, el resultado de la integral definida sí es un área. Pero, si la ordenada representa la velocidad de un punto móvil y la abscisa correspondiente, el tiempo cuando el punto tiene esa velocidad, la gráfica se refiere a la curva de la velocidad del movimiento y el área bajo ella, entre dos ordenadas, a la distancia que se ha recorrido en el intervalo de tiempo considerado.

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Las propiedades de la integral definida se pueden obtener a partir de su interpretación geométrica:

El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración. Si los límites de integración coinciden, la integral definida vale cero. Si d es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, d] y [d, b]. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales. La integral del producto de una constante c por una función es igual a la constante por la integral de la función. |

―Muy clara la explicación de la profe.

―Así es Paco. Veamos algunos ejemplos, en la siguiente página.

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## Ejemplos 3.3

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―También, muy claros los ejemplos.

―Creo que va un poco de ironía en tus comentarios. Resuelve, entonces, los siguientes ejercicios.

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## Ejercicios 3.3

En los siguientes ejercicios elige el botón que corresponda a la integral cuya interpretación geométrica se presenta en la figura de la derecha.

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## 3.6 Integrales definidas inmediatas

―Hola Profe, ya he comprendido el Teorema Fundamental del Cálculo. Podríamos practicar con más ejercicios?

―Listo Paco. A continuación, podrás obervar algunos ejemplos y realizar ejercicios propuestos por el profesor mexicano Octavio Fonseca Ramos.

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## Ejercicios 3.4

―Evalúa la integral definida y escribe su resultado en el espacio correspondiente. Puedes usar la calculadora que aparece en la parte superior de la página.

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―Sencillos los ejercicios, profe. Me ayudé de la calculadora.

―El cálculo integral es sencillo Paco. Los ejemplos y ejercicios anteriores eran con funciones algebraicas. Observa, a continuación otros ejemplos y ejercicios con funciones trascendentes.

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## Ejemplos 3.4

A continuación, se muestra el procedimiento para calcular la integral definida de funciones trascendentes. Presiona el boton Continuar.

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## Ejercicios 3.5

―Evalúa la integral definida y escribe su resultado en el espacio correspondiente. Puedes usar la calculadora que aparece en la parte superior de la página.

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―Tiene razón profe, el Cálculo Integral es muy sencillo, sólo se trata de prestar atención y tener claros los conceptos.

―Bueno Paco, para terminar con la participación de nuestros amigos mexicanos, veamos la integral definida usando una técnica de integración.

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## 3.7 Integrales definidas por sustitución

―Hola Paco, esta sesión estará a cargo del profesor Carlos Hernández Garciadiego. Presta atención a su explicación.

―Listo profe, me gusta mucho cómo desarrollan la clase los profes mexicanos.

Conceptos básicos

El segundo teorema fundamendal del cálculo dice que si f es una funcion continua en un intervalo [a, b] y F es una primitiva o antiderivada de f entonces

∫a bf(x)dx = F(b) - F(a)

Procedimiento

Cuando la integral de una función no aparece en la lista de integrales inmediatas, y no se ve a simple vista qué función sería una antiderivada de ella, si identificamos que hay una composición de funciones, es útil hacer un cambio de variable, sustituyendo una expresión en x por otra variable u.

Una vez que hayamos encontrado la antiderivada de f en términos de u, para evaluar la integral definida podemos hacer dos cosas:

- Sustituir u en términos de x para poder evaluar F(b)- F(a), o bien
- Evaluar F(u(b))- F(u(a))

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Dado que el teorema de cambio de variable se puede expresar como:

∫u(a)u(b)f(u(x))u'(x)dx = ∫a bf(u)du

podemos realizar los siguiente ejemplos

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## Ejercicios 3.6

En los ejercicios siguientes, escribe las respuestas en cada campo de texto.

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## 3.8 Integrales impropias

―Hola Paco, en las sesiones anteriores tuviste la oportunidad de practicar con el cálculo de integrales definidas, gracias al aporte de nuestros amigos mexicanos.

―¡Excelentes! ¿Cuándo podré saber la utilidad de lo que hemos aprendido?

―Ya estamos cerca Paco, antes de ello, quiero que observes las siguientes integrales:

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―¡La cosa se complica! Ya entiendo por que las llaman impropias, no son propias para mi entendimiento.

―No es para tanto Paco, has demostrado tener un buen nivel de comprensión del Cálculo, sólo debes prestar un poco de atención. Hazlo con estos otros ejemplo.

―Tiene razón profe, no es tan complicado. Le prometo más concentración.

―Estoy seguro que lo harás.

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## Ejercicios 3.7

En los ejercicios siguientes, escribe las respuestas en el campo de texto.

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## 3.9 Aplicaciones del cálculo integral

―Hola Paco, en esta sesión te mostraré algunas aplicaciones que tiene el uso de las integrales.﻿﻿﻿

―¡Qué bien profe!, ahora sabré si valió la pena tanto esfuerzo﻿﻿﻿.

―Observa la siguiente presentación, haz clic en las flechas azules para pasar dispositivas:﻿﻿﻿

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―¿Qué concluyes de la presentación?

―Que las integrales las usan en Física y para hallar áreas y volúmenes﻿.﻿﻿﻿

―Bueno, es sólo una pequeña muestra. Las aplicaciones del cálculo integral son muchas. Podemos﻿﻿﻿ calcular áreas entre curvas, el valor promedio de una función, el trabajo realizado por una fuerza﻿﻿﻿ variable, el centro de gravedad de una placa, la fuerza sobre una superficie, en biología, economía,﻿﻿﻿ estadística, y un largo etcétera. En las próximas sesiones nos dedicaremos a ellas; por lo pronto, observa el siguiente vídeo sobre el uso de las﻿﻿﻿ integrales para calcular longitudes de arco:﻿﻿﻿﻿﻿﻿

Su navegador no soporta vídeos HTML5, intente con otro navegador
https://www.youtube.com/watch?v=7FUNdFN6ZKI

―Muy interesante el vídeo, profe.﻿﻿﻿

﻿﻿

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## 3.10 Aplicaciones del cálculo integral - Área bajo una curva

Para calcular el área bajo la gráfica de una funcion ﻿f﻿﻿ se utiliza la definicion de la integral definida ∫a bf(x)dx = F(b) - F(a)∫a b donde ﻿f﻿﻿ es continua en el intervalo [a, b] y ﻿F﻿﻿ ﻿es una primitiva de ﻿f﻿﻿. La interpretación geométrica de la integral definida es el área bajo la gráfica de una función. En general, si ﻿f﻿﻿ es continua en [a, b] y ﻿f﻿(﻿x﻿)﻿≥0﻿﻿ para todo ﻿x﻿﻿ ﻿en [a,b] entonces la integral definida, ∫a bf(x)dx, es el área limitada por la gráfica de ﻿f﻿﻿ y el eje ﻿x﻿﻿ ﻿entre a y b. | Escena diseñada por Octavio Fonseca Ramos

―Hola Paco, Te hemos presentado la primera aplicación del cálculo integral, observa la animación para que recuerdes el concpeto de límite con el que iniciamos este capítulo.

―La verdad, no me ha sorprendido. El área bajo una curva ya la habíamos trabajado, como usted dice, desde el inicio de este capítulo.

―Así es Paco, a continuación encontrarás algunos ejemplos y ejercicios.

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## Ejemplos 3.5

A continuación, se muestran ejemplos para el cálculo del área bajo la gráfica de una función. Presiona el botón Continuar.

Escena diseñada por Octavio Fonseca Ramos
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## Ejercicios 3.7

Calcula el área que se pide empleando la integral definida y anota el resultado en el espacio correspondiente.

Escena diseñada por Octavio Fonseca Ramos
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## Ejercicios 3.8

Finalmente, Paco. Hemos diseñado el siguiente objeto interactivo de aprendizaje, que resume todo lo que hemos discutido sobre el área bajo una curva.

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## 3.11 Aplicaciones del cálculo integral - Área entre dos curvas

Para calcular el área bajo la gráfica de una funcion ﻿f﻿﻿ se utiliza la definicion de la integral definida ∫a bf(x)dx = F(b) - F(a) donde ﻿f﻿﻿ es continua en el intervalo [a, b] y ﻿F﻿﻿ ﻿es una primitiva de ﻿f﻿﻿. En este caso, para encontrar el área entre dos curvas, calculamos primero el área debajo de la mayor y restamos el área de la menor. En general, dadas dos funciones f y g con f(x)>g(x) para todo x en un intervalo [a,b], el área de la región comprendida entre las gráficas de f y g entre las rectas x=a y x=b está dada por |

A = ∫a b(f(x) - g(x))dx

―Observaste Paco que el área entre dos curvas se calcula en forma similar al cálculo de las áreas sombreadas que resolviste en Geometría.

―Así es profe, basta calcular las áreas aparte y luego restar.

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Es cierto, esa es una forma de hacerlo; pero, si restas las funciones se te puede simplificar el cálculo.

## Ejemplos 3.6

A continuación, se muestran ejemplos para el cálculo del área bajo la gráfica de una función. Presiona el botón Continuar.

Escena diseñada por Octavio Fonseca Ramos
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## Ejercicios 3.9

Calcula el área que se pide empleando la integral definida y anota el resultado en el espacio correspondiente.

Escena diseñada por Octavio Fonseca Ramos
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## Ejercicios 3.8

Observa el siguiente objeto interactivo de aprendizaje.

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## 3.12 Aplicaciones del cálculo integral - Cálculo de centroides

Hola Paco. cuando tienes una placa plana de densidad uniforme, el centro de masa coincide con un punto llamado centroide. Observa en el siguiente objeto de aprendizaje interactivo, cómo se calculan las coordenadas de este punto:

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―Qué bien el objeto interactivo, en mis clases de física calculamos estos puntos con algunas fórmulas.

―Esas fórmulas Paco, son obtenidas con las expresiones anteriores. Es común encontrarlas en libros de mecánica de materiales y, como lo dices, en los textos de física estática.

Si observaste bien, al variar el tamaño de la placa, el centroide cumplía con una propiedad. Para el caso del triángulo, el punto centroidal siempre estará a un tercio de la base del triángulo. De esa forma se obtienen las fórmulas que has visto en tu Física.

―Ahora entiendo, mi profe de Física me decía que necesitaba esta clase para saber de dónde venían esas expresiones.

―Muy bien Paco, prepárate, para la próxima aplicación.

La siguiente aplicación de las integrales, tiene que ver con el cálculo de volúmenes de sólidos. Recuerda cómo se calculan volúmenes de cilindros y prismas.

―Volvemos a la pregunta de antes... la respuesta es base por altura.

―Así es Paco, en la siguiente página, a través de una escena interactiva diseñada por el profesor Josep Mª Navarro Canut, podrás recordar este tipo de volúmenes (cambia los valores a través de los botones, También puedes mover las figuras con clic sostenido).

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―Lo dicho... base por altura.

―Bueno, la expresión correcta es área de la base por la altura.

―Pero, profe, esos son problemas demasiados sencillos, ¿por qué lo estamos recordando?

―Así como en el cálculo de áreas de figuras planas, se presentaban figuras irregulares, en el mundo 3D ocurre algo similar, es lo que trataremos en los dos últimos apartados.

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## 3.13 Aplicaciones del cálculo integral - Cálculo de volúmenes de revolución

―Hola Paco. Como decías, el cálculo de volúmenes de prismas rectos es sencillo. Para volúmenes de sólidos de revolución el problema es distinto. Te invito, inicialmente, a que explores el siguiente interactivo, en el cual observarás como se generan superficies de revolución. Puedes cambiar de función con el menú y, además, puedes mover el sólido obtenido con clic sostenido.

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―Excelente profe! Ahora entiendo mejor lo de los volumenes de revolución.

―No Paco, son superficies de revolucion ¿Observaste algunas en forma de campana?

Sí, son muy bonitas... pero, ¿qué son, entonces, los volúmenes de revolución?

―Ok! Paco. Continuemos con esta sesión. En muchas situaciones prácticas se hace necesario determinar el volumen de un sólido. Algunos de ellos tienen como característica el ser un prisma. Es decir, está generado por una región plana, observa la figura de la derecha, en la cual si desplazaremos la región amarilla hacia arriba, obtendríamos el volumen de color naranja. |

Si la región es un círculo se tiene un cilindro circular recto, si es un rectángulo se trata de una caja o paralelepípedo.

―No me ha dicho nada nuevo profe, ya lo recordé con la escena de Descartes. Qué tiene que ver lo anterior con las integrales definidas? y, aún, no veo los volúmenes de revolución.

―Me gusta tu ansiedad por obtener más conocimiento, Paco.

―Curiosidad, profe. Usted me ha dicho que la curiosidad es la fuente del conocimiento.

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―Alimentemos, pues, tu curiosidad ¿Cómo calcularías el siguiente volumen?

―¡Utilizo el principio de Arquimedes!

―Tienes razón, sería una buena opción. Sin embargo, es posible recurrir al cálculo integral para determinar algunos volúmenes como el de la figura anterior.

―Qué bien Profe, ¿cómo lo haríamos?

―Lo veremos en la próxima clase. Mientras tanto, usa el principio de Arquímedes para que comparemos resultados.

―Siempre tan sarcástico, sabe que necesito el modelo físico para ello.

―tu siempre tan sensible, sabes que suelo bromear. Nos vemos en la próxima sesión.

―Listo profe, esto del cálculo integral se vuelve más emocionante.

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―Hola Paco. En el volumen anterior, puedes observar que a lo largo del eje x (altura del sólido) el área varía. Unas veces crece, otras veces decrece. El método que vamos a usar se conoce como el método de los discos o de las rebanadas. Tomando nuevamente el sólido anterior, en una abscisa xi he dibujado un disco con un pequeño espesor Δx (altura de disco). El volumen de este disco sería A(xi)Δx, donde A está en función de x. |

―Pero en la figura aparece es Δxi

―Es cierto Paco. Usaremos un ∆x constante. Para hallar el volumen de todo el sólido tendríamos que sumar todo los discos de espesor ∆x que componen el sólido.

Pero, para no dar más rodeos, te invito a que explores los siguientes objetos interactivos de aprendizaje. En el primero, puedes generar el volumen de revolución manualmente. El segundo, te explica, paso a paso, el método de los discos y, el tercero, te muestra la aplicación de la integral definida, tanto en áreas como volúmenes.

―Excelente, profe. Cada vez se incrementa más mi curiosidad por estas aplicaciones del cálculo integral. Veamos si no tengo que recurrir a Arquímedes para el cálculo de volúmenes de revolución.

―Presta atención e interactúa con los objetos.

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Un volumen de revolución se genera cuando una sección rota alrededor de un eje. ﻿ En al escena de la derecha rota la región de color amarillo, para ello, usa los controles y obaserva el desarrollo del volumen de revolución. ﻿Puedes rotar el cuerpo obtenido con clic derecho sostenido. |

―Genial el objeto interactivo, puedo observar los cortes del sólido a medida que genero su volumen.

―Esa es la utilidad del objeto, pues en una imagen no es posible mostrar muchos atributos del objeto. Yo suelo llamarlos "objetos interventivos", porque podemos intervenir sus atributos, tal como lo hiciste con los controles o con el clic del ratón.

―Ahora, observa el siguiente objeto interactivo.

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## Método de los discos

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En este objeto interactivo de aprendizaje puedes practicar con varias funciones, de tal forma que observes y analices el volumen de revolución y el área bajo la curva.

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―Profe, pero todos los sólidos de revolución van a tener como base un círculo?

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―Tienes razón Paco, sin embargo es posible que se presenten combinaciones de funciones que generan un sólido de sección hueca.

―¡Como la campana!

―Sí y no, Paco.

―Otra vez con su lógica ilógica profe.

―Te aclaro, la campana de la sesión anterior era una superficie de revolución que, obviamente, no tiene volumen, es bidimensional... por ello el NO; sin embargo, podemos obtener volúmenes de revolución de sección hueca de forma de campana, de hecho una campana real es un sólido, por lo tanto se le puede calcular el volumen... por ello el SÍ.

―Entiendo profe, es como un rectángulo que sólo le puedo calcular el área y a una hoja de madera de forma rectangular le puedo calcular el volumen.

―Me encanta tu lógica no ilógica, ese es un buen ejemplo.

―Bueno, ya me motivó. Ahora, explíqueme, ¿cómo calculamos esos volúmenes?

―Ese es el tema de la próxima sesión.

―Como siempre... me deja iniciado.

―No Paco... te dejo motivado, hasta la próxima.

―Hasta luego Profe.

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## 3.14 Aplicaciones del cálculo integral - Volúmenes de sección hueca

Hola Paco, entramos en la recta final con esta última aplicación de las integrales definidas. Sigue las instrucciones del siguiente objeto interactivo de aprendizaje.

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―Muy bonito el objeto; pero, aún no me explica cómo hallo su volumen.

―Tienes razón Paco. Oberva este otro objeto:

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―Ahora, si entiendes el procedimiento Paco?

―Sí profe, muy recursivo el método de las arandelas.

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―Bueno Paco, terminamos este curso con estos ejercicios:

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―¡Gracias, profe!, fue muy divertido el curso.

―Estoy seguro que será de utilidad en tus estudios, hasta una próxima.

―Hasta pronto profe.

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## Prueba final

Como prueba final, he seleccionado un grupo de ejercicios diseñados por José Pedro Blanco Romero, profesor de la Universidad Militar de la Nueva Granada (Bogotá).

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# Bibliografía

Larson, R.; Hostetler, R.; Edwards, B. (2005). Cálculo Diferencial e Integral. México: Mc Graw Hill.

Leithold, Louis. (2008). El Cálculo. México: Oxford.

Purcell, Edwin; Valberg. Dale y Rigdon, Steven. (2007). Cálculo diferencial e integral. México: Pearson.

Smith, Robert T. y Roland B. Minton. Cálculo. Tomo 1. M

Stewart, James. (2001) Cálculo de una variable, trascendentes tempranas. Thomson –Learning, Cuarta Edición.

Stewart, James. (1999) Cálculo Diferencial e Integral. International Thomson Editores, Mexico.

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