INDICACIONES
BYRNE Y SU DEMOSTRACIÓN GRÁFICA DE LA GENERALIZACIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS Elementos de Euclides – Libro VI – Proposición 31 Versión coloreada de Byrne p.259 por José R. Galo Sánchez Ángel Cabezudo Bueno
INTRODUCCIÓN Motivación Siguiendo la línea de trabajo abordada en nuestra miscelánea “Byrne y su demostración gráfica del Teorema de Pitágoras” buscamos divulgar un resultado menos conocido, tanto para legos como para algunos versados, que es "La generalización del Teorema de Pitágoras" y aquí lo haremos según la versión coloreada de Byrne, expuesta en la p. 259 de su libro "The First six books of the Elements of Euclid whith coloured diagrams and symbols". El libro de Byrne podemos consultarlo en español en la versión elaborada por Nicholas Rougeux. La versión clásica euclidiana de esta generalización puede consultarla en nuestra miscelánea "Generalización euclidiana del Teorema de Pitágoras". Comparando ésta con la que aquí presentamos podrá experimentar la dureza que pueden encerrar algunos argumentos literarios matemáticos y el lenguaje matemático en sí —una posible causa de la desmotivación de nuestro alumnado— y cómo esta aspereza puede ser salvada con métodos didácticos innovadores. El academicismo euclidiano y, en general, de nos, los matemáticos, siendo en nuestra profesión necesario, esencial, imprescindible y loable, pensamos ha de saber reconducirse cuando lo que se desea es enseñar y divulgar el conocimiento. Byrne así lo entendió y nos marcó un esplendoroso camino del que aprender y tratar de adaptar, más en estos tiempos en los que las herramientas tecnológicas son una ayuda innegable e imprescindible que no se pueden obviar en nuestra labor docente. OBJETIVOS Conocer una versión de "Los elementos" de Euclides con una perspectiva innovadora. Percibir la plasticidad de la mente humana y cómo un mismo concepto tiene diversas formas de reflejarse. Tomar contacto con la didáctica matemática en el sistema axiomático euclidiano. Ver cómo Byrne realiza la demostración euclidiana de la generalización del teorema de Pitágoras con una metodología deductiva basada en gráficos de colores. Comprender cómo se aborda un razonamiento deductivo apoyándose en axiomas y proposiciones. Sentar las bases para asimilar que la metodología empleada condiciona el aprendizaje. INSTRUCCIONES Esta miscelánea consta de varias secciones o espacios principales: Controles: Ubicados en la parte inferior del recurso se muestran varios controles tipo botón que al pulsarlos activan la sección seleccionada: Inicio: Muestra la portada del recurso. Presentación: Da acceso a la presentación del objeto. Teorema: Refleja la demostración de la generalización del Teorema de Pitágoras según Euclides. Información (imagen de una i en un círculo azul): Presenta el documento de indicaciones que está ahora leyendo. Créditos (imagen con ©): Abre una ventana donde vemos la autoría y licencia de este recurso educativo. Portada (activada al inicio del recurso o al pulsar el botón "Inicio"): En la que se visualiza una imagen donde se observa al matemático Oliver Byrne y, de fondo, a la izquierda la página de su libro de "Los Elementos" de Euclides en la que se refleja su versión gráfica coloreada de la demostración de la generalización del Teorema de Pitágoras y, a la derecha, la página análoga de la primera versión en castellano (1576) de "Los Elementos" debida a Rodrigo Çamorano. Presentación (se muestra al pulsar el botón "Presentación"). Es un espacio dividido en dos zonas o subespacios. En la zona derecha, y también a su derecha, se dispone de una barra vertical con un botón que al deslizarlo permite realizar un desplazamiento vertical (scroll) y acceder a un texto en el que se aborda la presentación de este objeto interactivo: Se cita el Teorema de Pitágoras como uno de los más divulgados y conocidos y su inclusión en el libro primero de "Los Elementos de Euclides", se enuncia el mismo según los términos del español antiguo de Çamorano y se muestra la imagen sobre la que se apoya Euclides para visualizar el razonamiento que realiza y con el que lleva a cabo su demostración. Sin embargo es menos conocida la generalización de este Teorema a construcciones poligonales de las que los cuadrados es un caso particular. Se muestra la página correspondiente de la versión de Çamorano donde se refleja esta generalización a rectángulos. Finalmente, se cita el libro de Byrne, referencia usada y seguida en este recurso. En la zona de la izquierda se muestran imágenes contextuales al texto mostrado a la derecha. Teorema (se muestra al pulsar el botón "Teorema"). En este espacio se procede a la demostración euclidiana de la generalización del Teorema de Pitágoras siguiendo a Byrne. Se subdivide también en dos subespacios. En la zona de la izquierda se detalla el enunciado y la demostración de la generalización del Teorema de Pitágoras y se cuenta con una barra deslizadora para desplazarse a lo largo de ella. En la zona de la derecha se refleja un gráfico con la demostración de la generalización del Teorema de Pitágoras. Cuenta con un control gráfico de color verde que permite cambiar el triángulo rectángulo sobre el que se muestra la demostración y otro de color amarillo que permite modificar la altura de los rectángulos considerados. En la zona izquierda se mezcla texto con imágenes de manera que, cuando el ratón se posiciona en una de ellas, ésta se matiza y podemos observar que en el espacio de la derecha queda reflejada la misma para identificar su posición en el contexto de la demostración y seguir el razonamiento deductivo que se realiza. Cuando se cita alguna proposición auxiliar, al posicionar el ratón sobre ese texto queda resaltada la selección con un fondo de color y en la parte derecha se muestra el enunciado de dicha propiedad, también siguiendo a Byrne. Adicionalmente hay algunos símbolos específicos en los que al poner el ratón sobre ellos se detalla su significado. Nota bene 1: En este recurso, al igual que hace Euclides, se muestra la generalización del Teorema de Pitágoras usando sólo rectángulos, pero como hemos indicado el Teorema es válido para cualquier terna de polígonos semejantes construidos sobre los lados de un triángulo rectángulo y es también cierto para cualquier terna, no necesariamente rectilínea, de figuras semejantes construidas de manera análoga sobre esos lados. Durero en su libro II (1532) "De la medida" cita esta generalización del Teorema de Pitágoras y lo muestra en particular con triángulos y cuadrados. Él, nos dice (según la edición comentada de Jean Peiffer, del año 2000): "Si se hace un triángulo de lados desiguales que tenga un ángulo recto, de las figuras que se tracen a partir de estos mismos lados, la de más largo o la figura que se haga con él tendrá siempre una superficie igual a las otras dos. De lo cual están dibujadas dos figuras a continuación. Primero el triángulo abc en el que se han trazados triángulos; luego el def en el que se han trazado cuadrados." En la siguiente imagen observamos el resultado para una terna de lúnulas semejantes construidas sobre el triángulo rectángulo. Nota bene 2: Aquí, nos hemos centrado en una innovadora forma de abordar el razonamiento y demostración matemática buscando mostrar cómo una adecuada metodología puede contribuir a un óptimo aprendizaje, sin opacar la rigurosidad. Esta escena es complementaria de nuestra miscelánea “Generalización euclidiana del Teorema de Pitágoras".