INDICACIONES
DEMOSTRACIÓN EUCLIDIANA DEL TEOREMA DE PITÁGORAS Elementos de Euclides – Libro I – Proposición 47 por Ángel Cabezudo Bueno José R. Galo Sánchez
INTRODUCCIÓN Motivación Los logros, avances y resultados en la ciencia, en general, y en las matemáticas, en particular, suelen presentarse y enseñarse de manera aislada, desconectadas del hilo histórico-cultural que ha sido el germen o génesis de estos. Sin embargo, el conocimiento de la causa o motivo que provoca el abordaje de un problema o cuestión, ayuda a comprender el porqué de su planteamiento, el contexto y la dificultad inherente al momento en el que se abordó su análisis y el cómo o procedimiento que llevó a su obtención e incluso el porqué. En esta escena buscamos ubicar el Teorema de Pitágoras en el hito histórico en el que éste se academiza, es decir, su inclusión en “Los Elementos” de Euclides pues se constata y está ampliamente documentado que éste era un resultado conocido y usado en diversas civilizaciones previas. Los Elementos, segundo libro más publicado en la historia después de la Biblia, introduce el sistema axiomático euclidiano que durante siglos ha servido y que, actualmente, aún sirve como guía o camino para el desarrollo de las teorías matemáticas y para su enseñanza, si bien Gödel con su famoso Teorema de la incompletitud pone parcialmente en solfa la lógica deductiva de los mismos. Contexto y procedimiento El Teorema de Pitágoras es una propoposición o propiedad que puede demostrarse dentro del sistema axiomático euclidiano y, aquí, buscamos mostrar cuál es el proceso o procedimiento para aceptar como cierta cualquier proposición matemática en un sistema axiomático. Esto requiere acudir a la base conceptual que da origen al sistema y, junto a los resultados que previamenten hemos admitido o demostrado, proceder a la construcción de un nuevo conocimiento mediante un razonamiento lógico constrastado o, al menos, que es aceptado por pares (pareja de personas versadas o expertas en el tema que lo valoran como correcto). En concreto, nos centraremos en el Teorema de Pitágoras y se aborda la deducción lógica que realizó Euclides en sus libros, apoyándose en las 23 definiciones que le sirvieron como punto de partida para fijar los objetos matemáticos básicos con los que iniciar el trabajo, en las cinco definiciones comunes (axiomas) con las que aportó las relaciones imprescindibles para el trabajo con dichos objetos y para la construcción de otros nuevos, y en los cinco postulados —que constituyen los cimientos de la Geometría euclidiana y, a su vez, los que al no cumplirse o negarlos conducen a las geometrías no euclidianas—, todo junto al uso de proposiciones demostradas con anterioridad a dicho Teorema. Recurso procedente del Proyecto Descartes (Red Descartes) OBJETIVOS Conocer qué son "Los elementos" de Euclides. Tomar contacto con el sistema axiomático euclidiano. Ver cómo Euclides realiza su demostración del teorema de Pitágoras. Comprender como se aborda un razonamiento deductivo apoyándose en axiomas y proposiciones. Sentar las bases para hallar nuevas proposiciones que generalicen un resultado o permitan alcanzar nuevos conocimientos. INSTRUCCIONES Esta miscelánea consta de varias secciones o espacios principales: Controles: Ubicados en la parte inferior del recurso se muestran varios controles tipo botón que al pulsarlos activan la sección seleccionada: Inicio: Muestra la portada del recurso. Presentación: Da acceso a la presentación del objeto. Teorema: Refleja la demostración del Teorema de Pitágoras según Euclides. Información (imagen de una i en un círculo azul: Presenta el documento de indicaciones que está ahora leyendo. Créditos (imagen con ©): Abre una ventana donde vemos la autoría y licencia de este recurso educativo. Portada (activada al,inicio del recurso o al pulsar el botón "Inicio"): En la que se visualiza una imagen, generada con ayuda de intelegencia artificial, donde se idealiza a Euclides visualizando en su mente la demostración del Teorema de Pitágoras y anotando la misma en su primer libro de "Los Elementos". Presentación (se muestra al pulsar el botón "Presentación"). En este espacio: Se realiza una presentación de "Los Elementos de Euclides", en particular reflejando y citando la primera versión de los mismos en lengua española que fue realizada por Rodrigo Çamorano en 1576. Se enuncia el Teorema de Pitágoras, usando los térmimos de español antiguo escritos por este autor, y se muestra la imagen sobre la que se apoya Euclides para visualizar el razonamiento que realiza y con el que lleva a cabo su demostración. Se indica que en el desarrollo del contenido de esta escena nos basamos en el trabajo del profesor David E. Joyce, emérito de la Universidad de Clark, quien allá por el año 1996 fue pionero al abordar recursos interactivos divulgables por Internet en particular usando applets de Java que aún conserva en su web, pero que actualmente tienen dificultades técnicas para su ejecución y como alternativa para salvar este hecho en aquellos sistemas que no permiten su activación sustituye por imágenes. Esta dificultad la sufrimos en el Proyecto Descartes, pues también usábamos un applet de Java y en nuestro caso pudo ser salvado mediante la creación de un intérprete en javscript que es el actual DescartesJS. Las diferentes diapositivas de esta presentación se recorren usando el control tipo pulsador que se ubica en el espacio de controles, en concreto en la esquina inferior derecha de ese espacio. Teorema (se muestra al pulsar el botón "Teorema"). En este espacio se procede a la demostración euclidiana del Teorema de Pitágoras que se muestra en siete pasos que se describen detalladamente y con enlace a los objetos euclidianos previamente enunciados o demostrados en el Libro I de Euclides. El desplazamiento entre pasos se realiza con el control "Pasos de la demostración" situado en la esquina inferior derecha del espacio de controles. Este espacio se subdivide en otros dos: En la zona izquierda se representa gráficamente lo que se describe en la la zona derecha. En este subespacio dispone de un control gráfico (punto de color rojo que puede seleccionar haciendo clic con el ratón y, manteniéndolo pulsado, desplazarlo. En la zona derecha se detalla textualmente el enunciado del Teorema y cada uno de los pasos considerados en la demostración. Además cuando es necesario aplicar algun resultado previo de la axiomática euclidiana, tendrá disponible un botón que le dará acceso al contenido y reflejo gráfico del mismo, que se refleja en la zona izquierda antes citada, detallando así el razonamiento lógico que constituye en sí la demostración matemática. Cuando se refleja alguna de estas dependencias, puede ocultarla pulsando la flecha de "salida" ubicada en la parte infierior derecha de dicha zona izquierda. Nota bene: Actualmente el Teorema de Pitágoras, junto al de Thales, es lo más conocido por cualquier lego en Matemáticas (al menos su existencia, aunque no su enunciado y aplicación) y existen muchísimas demostraciones del mismo porque se usaba como prueba de acceso a universidades. Aquí, nos hemos remontado a los orígenes académicos del mismo y hemos constatado como Euclides crea el conocimiento matemático tomando como base exclusiva el conocimiento asumido como evidente y el demostrado previamente.