INDICACIONES
GENERALIZACIÓN EUCLIDIANA DEL TEOREMA DE PITÁGORAS Elementos de Euclides – Libro VI – Proposición 31 por Ángel Cabezudo Bueno José R. Galo Sánchez
INTRODUCCIÓN Motivación: La Historia Perdida de la Ciencia. A menudo, los descubrimientos científicos, especialmente en matemáticas, se presentan de forma aislada, despojados de su contexto histórico y cultural. Esto es un error, porque entender el origen de un problema nos revela mucho más que la solución en sí: nos muestra por qué se planteó, la dificultad de su época y el proceso que llevó a su resolución. Sin esta perspectiva, perdemos la riqueza del "porqué". En la miscelána previa “Demostración euclidiana del Teorema de Pitágoras”, presentamos la demostración académica del Teorema de Pitágoras tal como se concibió en los Elementos de Euclides. Buscamos guiar al lector a través de un ejemplo clásico de prueba matemática basada en un sistema axiomático y deductivo. Para garantizar la fidelidad a la fuente, utilizamos la primera traducción al español de Rodrigo Çamorano y nos basamos en la estructura lógico-deductiva de la versión interactiva de David E. Joyce. En la presente miscelánea, queremos continuar, con el mismo propósito con la generalización de este teorema que Euclides demuestra en la Proposición 31, del Libro VI de Los Elementos. La generalización del Teorema de Pitágoras y Euclides: Un Hito Clave Queremos resaltar un momento crucial: la generalización del Teorema de Pitágoras a otras figuras similares, más allá del cuadrado. Este avance se consolidó con su inclusión en "Los Elementos" de Euclides". "Los Elementos", el segundo libro más publicado de la historia después de la Biblia, estableció el sistema axiomático euclidiano. Este sistema ha sido y sigue siendo un pilar para el desarrollo y la enseñanza de las matemáticas. Aunque los famosos Teoremas de incompletitud de Gödel puso en tela de juicio parte de su lógica deductiva, la influencia de Euclides es innegable. Contexto y procedimiento La Proposición 31 del Libro VI, de los Elementos, es un testimonio de la brillantez de Euclides al genealizar el Teorema de Pitágoras sin el uso de un sistema algebraico moderno. Su demostración se basa en una profunda comprensión de la semejanza de figuras y un uso meticuloso de las propiedades de las proporciones, herramientas que le permitieron establecer relaciones cuantitativas entre magnitudes geométricas como líneas y áreas. Al establecer las proporciones a través la Proposición 31 del Libro VI, y luego aplicar el Corolario de VI.19, Euclides muestra que la figura sobre la hipotenusa se divide, en términos de área, en dos partes cuyas áreas son proporcionales a las figuras similares sobre los catetos: "En los triángulos rectángulos, la figura descrita sobre el lado opuesto al ángulo recto es igual a la suma de las figuras similares y descritas de forma similar sobre los lados que contienen el ángulo recto". La Proposición 19 del Libro VI y su corolario, con su formulación específica, son pilares fundamentales que vinculan las razones de los lados con las razones de las áreas de figuras semejantes, permitiendo a Euclides llegar a esta poderosa generalización. OBJETIVOS Conocer qué son "Los elementos" de Euclides. Tomar contacto con el sistema axiomático euclidiano. Ver cómo Euclides realiza la demostración de la generalización del Teorema de Pitágoras en la Proposición 31 del libro VI de Los Elementos Comprender como se aborda un razonamiento deductivo apoyándose en axiomas y proposiciones. INSTRUCCIONES Esta miscelánea consta de varias secciones o espacios principales: Controles: Ubicados en la parte inferior del recurso se muestran varios controles tipo botón que al pulsarlos activan la sección seleccionada: Inicio: Muestra la portada del recurso. Presentación: Da acceso a la presentación del objeto. Teorema: Refleja la demostración del Teorema de Pitágoras Generalizado, Proposición 31 del Libro VI de los Elementos de Euclides. Información (imagen de una i en un círculo azul): Presenta el documento de indicaciones que está ahora leyendo. Créditos (imagen con ©): Abre una ventana donde vemos la autoría y licencia de este recurso educativo. Portada (activada al,inicio del recurso o al pulsar el botón "Inicio"): En la que se visualiza una imagen, generada con ayuda de inteligencia artificial, donde se idealiza a Euclides visualizando en su mente la demostración de la generalización del Teorema de Pitágoras y anotando la misma en su sexto libro de "Los Elementos". Presentación (se muestra al pulsar el botón "Presentación"). En este espacio: Se realiza una presentación de "Los Elementos de Euclides", en particular reflejando y citando la primera versión de los mismos en lengua española que fue realizada por Rodrigo Çamorano en 1576. Se enuncia la Proposición 31 del Libro VI de los Elementos de Euclides, usando los términos de español antiguo escritos por este autor, y se muestra la imagen sobre la que se apoya Euclides para visualizar el razonamiento que realiza y con el que lleva a cabo su demostración. Se indica cómo, en esencia, Euclides establece el marco para entender como las áreas escalan con la semejanza para figuras rectilíneas, en general, y este marco es tan fundamental que sus principios se extienden a figuras curvas (en el caso de círculos ya se conocían en su tiempo propiedades fundamentales y se remite a las lúnulas de Hipócrates construidas con semicírculos semejantes sobre los lados del triángulo rectángulo). Se indica que en el desarrollo del contenido de esta escena nos basamos en el trabajo del profesor David E. Joyce, emérito de la Universidad de Clark, quien allá por el año 1996 fue pionero al abordar recursos interactivos divulgables por Internet en particular usando applets de Java que aún conserva en su web, pero que actualmente tienen dificultades técnicas para su ejecución y como alternativa para salvar este hecho en aquellos sistemas que no permiten su activación sustituye por imágenes. Esta dificultad la sufrimos en el Proyecto Descartes, pues también usábamos un applet de Java y en nuestro caso pudo ser salvado mediante la creación de un intérprete en javscript que es el actual DescartesJS. Las diferentes diapositivas de esta presentación se recorren usando el control tipo pulsador que se ubica en el espacio de controles, en concreto en la esquina inferior derecha de ese espacio. Teorema (se muestra al pulsar el botón "Teorema"). En este espacio se procede a la demostración euclidiana de la Proposición 31 del Libro VI de Los Elementos, que se muestra en cuatro pasos y se describen detalladamente, con enlace a los objetos euclidianos previamente enunciados o demostrados en sus libros I, V y VI . El desplazamiento entre pasos se realiza con el control "Pasos de la demostración" situado en la esquina inferior derecha del espacio de controles. Este espacio se subdivide en otros dos: En la zona izquierda se representa gráficamente lo que se describe en la la zona derecha. Este subespacio dispone de dos controles gráficos (un punto de color rojo para representar el vértice A del ángulo recto del triángulo y otro punto de color amarillo para reprentar el punto extremo del lado izquierdo del rectágulo sobre la hipotenusa), que se pueden seleccionar haciendo clic con el ratón y, manteniéndolo pulsado, poder desplazarlo). En la zona derecha se detalla textualmente el enunciado del Teorema y cada uno de los pasos considerados en la demostración. Además cuando es necesario aplicar algún resultado previo de la axiomática euclidiana, tendrá disponible un botón que le dará acceso al contenido y reflejo gráfico del mismo, que se muestra en la zona izquierda antes citada, detallando así el razonamiento lógico que constituye en sí la demostración matemática. Cuando se refleja alguna de estas dependencias, puede ocultarla pulsando la flecha de "salida" ubicada en la parte inferior derecha de dicha zona izquierda. Si la extensión del razonamiento sobrepasa la longitud de la ventana, dispondrá de una barra de desplazamiento vertical para poder acceder y ver todo el contenido. Las dependencias del teorema, mostradas según se refieren en el trabajo del profesor David E. Joyce se pueden ver acompañadas de explicaciones adicionales o directamente interpretadas al modo algebraico actual, para poner en claro el significado de conceptos que quedan oscurecidos al expresarse en el lenguaje extraído del libro original o sus posteriores traducciones antiguas. Especial dependencia es la que se indica en los pasos 2 y 3 del teorema, la misma en ambos casos, esto es la Proposición VI.19 y su concluyente Corolario. Dado el importante peso que tiene en la demostración del teorema, se han elaborado sendos documentos bien diferenciados que aconsejamos al lector no deje pasar por alto. Si bien el paso 2 conduce a una explicación directa, al modo algebraico, en la del paso 3 se sigue los pasos de Euclides, segun la adaptación del profesor E. Joyce, pero aquí hemos hecho una traducción usando el lenguaje matemático actual.