Albrecht Dürer (Alberto Durero) en la página 24 del libro "De la medida" (1532), representó una espiral que es, quizás, la primera manifestación o precedente de la conocida espiral logarítmica (posteriormente analizada formalmente por Descartes y Jacob Bernoulli). La imagen de la misma es la representada a continuación.

Espiral descrita y trazada por Durero en el libro "De la Medida".

También hizo una descripción de cómo construirla mediante una sucesión de arcos de circunferencia en los que el radio va cambiando siguiendo los valores de una progresión geométrica. Así pues, no es realmente una espiral logarítmica —dado que es una concatenación de arcos de circunferencia y no propiamente una curva que refleje de manera uniforme propiedades similares en todo su trazado— sino una pseudoespiral, pero se puede aproximar por ella o viceversa, es decir, utilizar esta construcción para abordar un dibujo aproximado de una espiral logarítmica.

En la miscelánea "Crítica de la pseudoespiral de Durero"

Acceso a la miscelánea "Crítica de la pseudoespiral de Durero" (pulse sobre la imagen).

procedí a realizar una lectura literal de las instrucciones de Durero, a resolver las ambigüedades encontradas en las instrucciones aportadas y a ver cómo se puede enlazar con la representación que actualmente es identificada como la "espiral de Durero":

La espiral de Durero según se muestra, usualmente, en la actualidad.

Esta espiral es un caso particular de la construcción dada originalmente por Durero, pero incluyendo algunas modificaciones, y su particularidad radica en que aproxima a la espiral logarítmica áurea, de ahí el interés e incentivo que tiene para los seguidores o perseguidores de esta admirada razón de proporcionalidad.

Pero ya indicamos allí que la imprecisión de las instrucciones dadas por Durero requería una interpretación de las mismas y que ello conducía a un procedimiento dependiente de dos parámetros: la "amplitud del arco" y el "factor de crecimiento" del radio; y para cada pareja de estos valores se obtiene una pseudoespiral de Durero. Aquí, lo que hacemos es considerar estos dos parámetros, reproducir la construcción atendiendo a sus valores y analizar matemáticamente lo obtenido.

  OBJETIVOS

• Parametrizar las directrices dadas por Durero en el trazado de su pseudoespiral usando dos parámetros: "amplitud del arco" y "factor de crecimiento" del radio.
• Abordar la representación la representación gráfica de la pseudoespiral de Durero "hacia dentro" y "hacia fuera" y de manera global, paso a paso, para cada par de valores de los parámetros considerados.
• Detectar que fijada una amplitud y un factor de crecimiento la pseudoespiral de Durero construida se aproxima a una espiral logarítmica, en el sentido de que hay una única espiral logarítimica que pasa por todos los puntos extremos de los arcos de la construcción.
• Observar que los centros de los arcos de la construcción de Durero son puntos de una espiral logarítimica que coincide con la anterior, pero girada.
• Detectar cuándo la espiral logarítmica de los puntos extremos de los arcos y la de los centros son idénticas (coinciden todos sus puntos).

  INSTRUCCIONES

Inicialmente la escena es meramente descriptiva y, por ello, sólo cuenta con un control ubicado en la esquina inferior derecha que permite avanzar o retroceder en los siete pasos secuenciales que contiene (númerados de 0 al 6).

En esta zona inferior además hay otros dos botones adicionales. Uno, representado con una "i" que al pulsarlo le da acceso a estas instrucciones y documentación; y otro con el símbolo "©" que le permite ver la autoría y licencia.

En todos los pasos desde el primero al sexto, podrá distinguir dos zonas o espacios. Uno superior donde se refleja la parte gráfica, en la que puede interactuar, y una inferior donde podrá consultar la síntesis literaria que detalla lo representado en la parte gráfica.

Salvo en la página de portada, en todas se cuenta con una barra lateral auxiliar que incluye controles tipo botón cuya funcionalidad respectiva es la siguiente:

Pulsadores para cambio de escala, incrementar (lupa +) o decrementar (lupa -), es decir, zum hacia dentro o zum hacia fuera. Botón para centrar la imagen en polo teórico de la espiral. Mostrar u ocultar (icono sin tachar o tachado) la pseudoespiral de Durero. Mostrar u ocultar (icono sin tachar o tachado) los puntos extremos de los arcos de la pseudoespiral de Durero. Mostrar u ocultar (icono sin tachar o tachado) los rombos que intervienen en la construcción de los arcos de la pseudoespiral de Durero, si bien estos no se indican en las instrucciones de Durero. Mostrar u ocultar (icono sin tachar o tachado) la poligonal de los puntos extremos de los arcos y la de los centros que se usan en la construcción de la pseudoespiral de Durero. Mostrar u ocultar (icono sin tachar o tachado) las espirales logarítmicas que aproximan respectivamente a la pseudoespiral de Durero y a los centros de la construcción. Mostrar u ocultar (icono sin tachar o tachado) la numeración de los puntos que intervienen en la construcción según el paso dado (número negativo para la construcción "hacia dentro" y número positivo para la "hacia fuera"). Mostrar u ocultar (icono sin tachar o tachado) algunos radios vectores de las espirales logarítmicas y de las espirales discretas asociadas.

Según el contexto o paso en el que se encuentre algunos controles puede estar deshabilitados para el usuario y posicionando el ratón sobre cada botón se activa un texto emergente (tooltip) que describe su funcionalidad.

Adicionalmente se tienen otros controles numéricos que permiten modificar, en algunos momentos, su valor:

• arco n.º: permite ir dibujando/borrando cada uno de los arcos de la circunferencia que determina la construcción.
• amplitud arco: ángulo en radianes que cubre el trazado de cada uno de los arcos de circunferencia. Todos los arcos se dibujan con igual amplitud, por tanto, si modifica este valor se rectifica la representación gráfica para adaptar la construcción.
• factor crecimiento: cantidad decimal que indica el porcentaje de incremento del radio en la construcción de Durero. El factor es único para toda la construcción, así pues, si lo modifica se rehace todo el dibujo de la pseudoespiral.

  DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA, PASO A PASO

Procedemos a describir cada paso de la escena interactiva.

• Paso 0.
  En este paso, a la izquierda se muestra una imagen de Durero y a la derecha la descripción que él realiza sobre la construcción de una espiral muy especial que teóricamente cambia continuamente de forma, de manera uniforme, aunque realmente por su descripción no sea así. Se refleja el dibujo original realizado por Durero.
  
  También destacamos que las instrucciones de Durero son imprecisas y en cierto sentido ambiguas por lo que requiere releer lo que Durero quiso expresar y abordar una interpretación de su pseudoespiral. Esto es lo que centra el interés y objeto de esta miscelánea interactiva.
  
  
• Paso 1.
  Iniciamos la adaptación y ejecución de las instrucciones de Durero, abordando la espiral "hacia dentro" una vez se ha fijado un valor para la amplitud (lo denotaremos a partir de ahora por $\alpha$) y otro para el factor de crecimiento del radio (denonado por $m$). Si en algún momento se modifica alguno de estos valores se rehacen todas la construcciones realizadas en la escena.
  
  
  • En la parte inferior descriptiva, indicamos que

    Fijamos la construcción "hacia dentro" con dos parámetros: amplitud de arco y factor de crecimiento del radio.

    y escribimos las instrucciones de Durero particularizadas de acuerdo a los valores dados a los citados parámetros.

    Comienzo con un punto $a$ y trazo esta línea con arcos de círculo hacia dentro con una amplitud "$\alpha$", como si transcurriera hacia un centro, y cuanto más gira en este sentido el radio es el "$\dfrac{1}{m} \%$" del anterior, es decir, el radio es "$m$" veces mayor que el actual.

  • En la zona gráfica se puede ir construyendo progresivamente la espiral "hacia dentro" usando el parámetro "arco n.º", que en este caso numeraremos con valores enteros negativos: -1, -2,...

    
    Fig. 1 La pseudoespiral "hacia dentro", numeración de los puntos extremos de los arcos.

    y usando las herramientas laterales se puede ver la sucesión de centros, de rombos auxilares (por analogía a los cuadrados considerados cuando la amplitud del arco es $\frac{\pi}{2}$), etc.
    

    
    Fig. 2 La pseudoespiral "hacia dentro", poligonal de los centros y sucesión de rombos.

    Realizamos o damos la opción de dibujar estos rombos porque como veremos se asemejan al "báculo episcopal" diseñado por Durero.
  
  
  
  • Formulación matemática
    
    Al fijar una amplitud de arco y un factor de crecimiento común para la pseudoespiral "hacia dentro" y para la "hacia fuera", el planteamiento matemático no difiere en ambos casos y, por tanto, haremos el desarrollo matemático en el paso tercero que engloba a ambas pseudoespirales.
  
  
• Paso 2.
  Abordamos la espiral "hacia fuera" siguiendo las instrucciones de Durero habiendo fijado un valor para la amplitud y otro para el factor de crecimiento, el mismo que para la espiral "hacia dentro". Si en algún momento se modifica alguno de estos valores se rehacen todas la construcciones realizadas en la escena.
  • En la parte inferior, al igual que el paso anterior, se indica que

    En la construcción "hacia fuera" mantenemos los valores de esos dos parámetros: amplitud de arco y factor de crecimiento del radio.

    y se refleja el detalle constructivo de la espiral "hacia fuera", incorporando los valores de los parámetros amplitud y factor de crecimiento considerados.

    Lo mismo hago al llevar la línea desde $a$ hacia fuera. Trazo arcos de círculo hacia fuera con una amplitud "$\alpha$", y cuanto más gira en ese sentido, el radio es "$m$" veces mayor que el anterior.

  • En la zona gráfica usando el factor amplificador elegido, se construye progresivamente la espiral "hacia fuera" usando el parámetro "arco n.º", que en este caso numeraremos con valores enteros positivos: 1, 2,...
    

    
    Fig. 3 La pseudoespiral "hacia fuera", numeración de los puntos extremos de los arcos.

    y usando las herramientas laterales se puede ver la sucesión de centros, de rombos auxilares (por analogía a los cuadrados considerados cuando la amplitud del arco es $\frac{\pi}{2}$), etc.
    

    
    Fig. 4 La pseudoespiral "hacia fuera", poligonal de los centros y sucesión de rombos.

  • Formulación matemática
    
    Según lo indicado antes, realizaremos el desarrollo matemático en el paso tercero.
  
  
• Paso 3.
  
  • En la parte inferior, se destaca que

    La concatenación de arcos de circunferencia hacia dentro y hacia fuera sigue la misma regla constructiva dependiente de: amplitud de arco y factor de crecimiento del radio.

    y se refleja el comentario final que realiza Durero, marcando un cambio continuo de esta curva de contracción hacia dentro y dilatación hacia fuera. Y en la parte gráfica se muestra la espiral "hacia dentro" y "hacia fuera" concatenadas para los valores fijados de los dos parámetros.

    Así que esta línea, cuanto más larga es hacia dentro, más se comprime y cuanto más larga hacia fuera, más se dilata, y nunca tiene fin, ni hacia dentro ni hacia fuera.

    
    
    Fig. 5. La pseudoespiral de Durero.

  • Formulación matemática
    
    Considerando que el centro del arco de la circunferencia inicial es $\color{#9b00b6} C_0 (0, 0)$, es decir, el origen de coordenadas $\color{#9b00b6} O$, que el radio inicial es $r$ (sin ser restrictivos, podría considerarse $r=1$ ya que sólo supone un cambio de escala), que el punto inicial ${\color{#b63f00} P_0} \equiv {\color{black}a}$ tiene coordenadas $\color{#b63f00} (0,r)$, que la amplitud de los arcos a trazar es $\alpha \gt 0$, y que el factor de crecimiento es $m \gt 1$, entonces si denotamos a los puntos extremos de los arcos como $\color{#b63f00} P_k$ y a los puntos respectivos que son los centros de esos arcos por $\color{#9b00b6} C_k$ con $k \in \mathbb{Z}$ (enteros negativos para los arcos hacia dentro y positivos para los arcos hacia fuera). Observando la figura 4, para $k \gt 0$ (análogo para la figura 2, con $k \lt 0$), tenemos que: $${\color{#b63f00} \overrightarrow{O P_k}} = {\color{#9b00b6} \overrightarrow{O C_k}} + r \, m^k \, \overrightarrow{u}_k \tag{1}$$ con $$\overrightarrow{u_k} = (cos(\frac{\pi}{2}+ k \alpha), sen(\frac{\pi}{2}+ k \alpha)) \tag{2}$$ y $$\begin{aligned} {\color{#9b00b6} \overrightarrow{O C_k}} &= {\color{#b63f00} \overrightarrow{O P_{k-1}}} + m \, ({\color{#9b00b6} \overrightarrow{O C_{k-1}}} - {\color{#b63f00} \overrightarrow{O P_{k-1}}})\\ &= m \, {\color{#9b00b6} \overrightarrow{O C_{k-1}}} + (1-m) \, {\color{#b63f00} \overrightarrow{O P_{k-1}}}. \\ \end{aligned} \tag{3}$$ Para tratar de hallar una expresión genérica de las coordenadas de $\color{#b63f00} P_k$ y $\color{#9b00b6} C_k$, si particularizamos la expresión (1) en el valor $k-1$ tenemos $${\color{#9b00b6} \overrightarrow{O C_{k-1}}} -{\color{#b63f00} \overrightarrow{O P_{k-1}}} = - r \, m^{k-1} \, \overrightarrow{u}_{k-1} \tag{4}$$ al sustituir en (3) se deduce que $$ {\color{#9b00b6} \overrightarrow{O C_k}} = {\color{#b63f00} \overrightarrow{O P_{k-1}}} - r \, m^k \, \overrightarrow{u}_{k-1} \tag{5} $$ y sustituyendo ahora (5) en (1), se tiene la siguiente relación $$ {\color{#b63f00} \overrightarrow{O P_{k}} -\overrightarrow{O P_{k-1}}} = r \, m^k \, (\overrightarrow{u}_{k} - \overrightarrow{u}_{k-1}). \tag{6} $$ Escribiendo la expresión (6) para valores desde $1$ hasta $k-1$ y sumándolas se obtiene que $$ {\color{#b63f00} \overrightarrow{O P_{k}} -\overrightarrow{O P_{0}}} = r \sum_{j=0}^{k} {m^j (\overrightarrow{u}_{j} - \overrightarrow{u}_{j-1}) }, \tag{7} $$ es decir, $$\begin{aligned} {\color{#b63f00} \overrightarrow{O P}_{k}} &= {\color{#b63f00} \overrightarrow{O P_{0}}} + r \sum_{j=0}^k {m^j (\overrightarrow{u}_{j} - \overrightarrow{u}_{j-1}) }\\ &= r (1-m) \sum_{j=0}^{k-1} {m^j \overrightarrow{u}_{j}}+ r \, m^k u_k \\ &= r (1-m) \sum_{j=0}^{k-1} {m^j (cos(\frac{\pi}{2}+ j \alpha), sen(\frac{\pi}{2}+ j \alpha))} + r \, m^k \overrightarrow{u}_k \\ &= r (1-m) \sum_{j=0}^{k-1} {m^j (-sen(j \alpha), cos(j \alpha))} + r \, m^k \overrightarrow{u}_k \\ &= r (1-m) \sum_{j=0}^{k-1} {m^j (Re(i e^{i j \alpha}), Im(i e^{i j \alpha}))} + r \, m^k \overrightarrow{u}_k \\ &= r (1-m) \, i \sum_{j=0}^{k-1} { m^j \, e^{i j \alpha}}+ r \, m^k \overrightarrow{u}_k , \\ \end{aligned} \tag{8}$$ donde $i$ es la unidad imaginaria, Por tanto, basta abordar el cálculo de la suma de la progresión geométrica compleja $ m^j \, e^{i j \alpha}, 0 \le j \le k-1$ cuya razón es $q=m \, e^{i \alpha}$, de módulo $|m \, e^{i \alpha}|=m >1$. $$ i \, \sum_{j=0}^{k-1} m^j \, e^{i j \alpha} = i \, \sum_{j=0}^{k-1} r^j = i\frac{1-r^{k}}{1 - r} = i \, \frac{ 1- m^{k} e^{i (k) \alpha}}{1 - m \, e^{i \alpha}} \tag{9}$$ cuya parte real viene dada por: $$ R=\frac{-m \, \text{sen } \alpha + m^{k} \text{sen}(k \alpha) - m^{k+1} \text{sen}((k-1) \alpha)}{m^2 - 2 m \, \text{cos }\alpha +1} \tag{10} $$ y la imaginaria es: $$ I=\frac{1-m \, \text{cos } \alpha - m^{k} \text{cos}(k \alpha) + m^{k+1} \text{cos}((k-1) \alpha)}{m^2 - 2 m \, \text{cos }\alpha +1} \tag{11} $$
    
    Así pues de (8), (9), (10) y (11) obtenemos que: $$ {\color{#b63f00} \overrightarrow{O P}_{k}} = {\color{#b63f00} \left( r (1-m) R - r \, m^k \, sen(k \alpha) , r (1-m) I + r \, m^k \, cos(k \alpha)\right)} \tag{12}$$ y a partir de (1) y (12) podemos escribir las coordenadas de $\color{#9b00b6} \overrightarrow{O C_k}$ $$ {\color{#9b00b6} \overrightarrow{O C}_{k}} = {\color{#9b00b6} \left( r (1-m) R , r (1-m) I \right)} \tag{13}$$
    
    Consecuentemente, bajo los supuestos anteriores, la pseudoespiral de Durero en el paso $k$-ésimo, con $k \in \mathbb{Z}$, viene dada por: $$ \color{#b63f00} \begin{cases} x={\color{#9b00b6}C_{k_x}} + r \, m^k cos (\frac{\pi}{2} + \theta)\\ y={\color{#9b00b6}C_{k_y}} + r \, m^k sen (\frac{\pi}{2} +\theta) \end{cases} \tag{14} $$ donde $(k-1) \, \alpha \le \theta \le k \, \alpha$.
    Cuando $k \lt 0$ tenemos la espiral "hacia dentro" y cuando $k \gt 0$ la espiral "hacia fuera".
  
  
• Paso 4.
  
  • En este paso realizamos nuestro análisis personal de esta pseudoespiral y, como se refleja en la parte descriptiva inferior de la escena, se verifica que por todos los extremos $ {\color{#b63f00} { P}_{k}}$ de los arcos de la pseudoespiral de Durero pasa una espiral logarítmica $$\large \color{#1bb600} \rho = r \, a_p \, m^{\large \frac{\theta}{\alpha} } \tag{15}$$ con polo en el punto $$\color{#1bb600} P(r \, (m-1) \frac{m \, sen(\alpha)}{m^2-2 \, m \, cos(\alpha)+1}, r \, (m-1) \frac{m \, cos(\alpha) - 1}{m^2-2 \,m \, cos(\alpha)+1}) \tag{16}$$ siendo $\color{#1bb600} a_p$ un factor de escala o giro de la espiral que queda determinado para que ésta pase por el punto inicial $a (0,r)$. Usamos la denominación $\color{#1bb600} a_p$ para este coeficiente con objeto de identificar que es el correspondiente a la espiral logarítmica ligada a los puntos $ {\color{#b63f00} { P}_{k}}$ de la pseudoespiral de Durero.
    
    En la Fig.6 podemos observar que para los valores $\alpha=0,5$ y $m=1,2$ la espiral logarítmica es $ \color{#1bb600} \rho = r ·0,51163 · 1,2^{\large \frac{\theta}{0,5} } \simeq r ·0,51 · 1,44^{\theta} $ con polo en $ \color{#1bb600} (0,3447 \, r, 0,0318 \, r) $. Indiquemos aquí que no hemos de confundir el factor de crecimiento $m$, que en este caso representa lo que se amplia el radio en la pseudoespiral cada vez que se dibuja un arco de amplitud $\alpha$, con el factor de crecimiento radial de una espiral logarítmica (15) (crecimiento del radio vector de la misma al dar una vuelta) cuyo valor es $ m^{\large \frac{2 \pi}{\alpha} }$ y, en concreto, para el ejemplo considerado sería $1,2^{\large \frac{2 \pi}{0,5}} = 9,886... $

    
    
    Fig. 6. La pseudoespiral de Durero ("hacia dentro" y "hacia fuera"), y espiral logarítmica aproximadora .

  • Formulación matemática
    Como primer paso, supuesto que los puntos $ {\color{#b63f00} { P}_{k}}$ son puntos de una espiral logarítmica, determinemos cuál tendría que ser el polo $\color{#1bb600} P$ de la citada espiral y este punto vendría dado por: $$ \lim_{k \to{-}\infty}{\color{#b63f00} { P}_{k}} = \color{#1bb600} P \tag{17}$$
    Su determinación es sencilla ya que al ser $m \gt 1$, entonces $ \lim_{k \to{-}\infty} {m^k}=0$ y, consecuentemente, por (12) se obtiene que las coordenadas de dicho polo $\color{#1bb600} P$ son las indicadas en (16).
    Adicionalmente, por (1), se verifica también que el polo es el límite de los centros de los arcos de circunferencia que intervienen en la construcción de Durero, es decir, $$ \lim_{k \to{-}\infty}{\color{#9b00b6}C_{k}} = \color{#1bb600} P \tag{18}$$ Lo anterior está representado gráficamente en la Fig. 7.

    
    
    Fig. 7. Convergencia de los extremos de los arcos y centros de los mismos al polo de la espiral.

    Para verificar que los $ {\color{#b63f00} { P}_{k}}$ son puntos de una espiral logarítmica basta aplicar el siguiente resultado (para ver la demostración pulse aquí):

    Lema. Dada una poligonal abierta $ \{ P_k \}_{{-}\infty}^{{+}\infty}$ en la que $\dfrac{|\overrightarrow{P_k P_{k+1}}|}{|\overrightarrow{P_{k-1} P_k }|} = m$ y $\widehat{P_{k-1} P_k P_{k+1}} = \pi - \alpha$, entonces los puntos $P_k$ son puntos de la espiral logarítmica $\large \rho= d \, (m^{\frac{1}{\alpha}})^\theta$.

    lo cual se cumple en nuestro caso ya que de (6),tenemos que $$ \begin{aligned} {\color{#b63f00} |\overrightarrow{O P_{k}} -\overrightarrow{O P_{k-1}}}| &= r \, m^k \, |\overrightarrow{u}_{k} - \overrightarrow{u}_{k-1}| \\ &= r \, m^k \, 2 |sen \frac{\alpha}{2}| , \\ \end{aligned} \tag{19} $$ es decir, se verifica la primera hipótesis del Lema: $\dfrac{|\color{#b63f00}{\overrightarrow{ P_k P_{k+1}}}|}{|{\color{#b63f00}\overrightarrow{ P_{k-1} P_k }}|} = m$ y según puede observarse y deducirse en la Fig. 8, se cumple la segunda hipótesis ${\color{#b63f00}\widehat{P_{k-1} P_k P_{k+1}}} = \pi - \alpha$, pues el triángulo $\color{#b63f00} P_k P_{k+1} \color{#9b00b6} C_{k+1} $ es isósceles $\forall k$, con ángulo desigual $\alpha$, al ser $| {\color{#9b00b6} C_{k+1}} {\color{#b63f00} P_k}| $ y $| {\color{#9b00b6} C_{k+1}} {\color{#b63f00} P_{k+1}}| $ los radios del arco $\color{#b63f00} P_k P_{k+1}$.

    
    
    Fig. 8. Ángulos de los segmentos de la poligonal formada por los extremos de los arcos $P_k$ y los centros de los mismos $C_k$.

    Así pues, por el lema anterior los puntos $ {\color{#b63f00} { P}_{k}}$ son puntos de una espiral $\large \rho= d \, (m^{\frac{1}{\alpha}})^\theta$ con polo el punto $\color{#1bb600} P$ expresado en (16) y para determinar el valor del coeficiente $d$ basta imponer que dicha espiral pase por el punto $ {\color{#b63f00} { P}_{0} (0,r)}$ y ello conlleva la necesidad de conocer las coordenadas polares de este punto, es decir, concretar el valor del radio polar $\rho_{\color{#b63f00} P_0} =\text{distancia}({\color{#1bb600}P},{\color{#b63f00} P_0})$ y el argumento del mismo $\theta_{\color{#b63f00} P_0}$ denotado como $\gamma$ en la Fig.9.

    
    
    Fig. 9. Determinación del coeficiente $\color{#1bb600} a$ en la espiral logarítmica que contiene a los $P_k$.

    $\gamma$ es el ángulo que forma la dirección del eje polar $\theta =0$ con la semirrecta determinada por el polo ${\color{#1bb600}P}$ y ${\color{#b63f00}P_0(0,r)}$, es decir, $\gamma = \measuredangle(\overrightarrow{{\color{#1bb600}P}{\color{#b63f00}P_0}}, \overrightarrow{i})$ siendo $\overrightarrow{i}$ el vector director del eje de abscisas en sentido positivo del mismo. Para simplificar la escritura de estos cálculos consideremos las coordenadas del polo escritas como ${\color{#1bb600}P(r\, A, r \, B)}$ (ver (16)) y entonces: $$ \begin{aligned} \gamma &= arccos (\frac{\overrightarrow{{\color{#1bb600}P}{\color{#b63f00}P_0}}·\overrightarrow{i}}{|\overrightarrow{{\color{#1bb600}P}{\color{#b63f00}P_0}}| \, |\overrightarrow{i}|})\\ &= arccos(\frac{-A}{\sqrt{A^2+(1-B)^2}})\\ \tag{20} \end{aligned} $$ y $$\begin{aligned} \rho_{\color{#b63f00} P_0} &=\text{distancia}({\color{#1bb600}P},{\color{#b63f00} P_0})\\ &=r \sqrt{A^2+(1-B)^2}. \\ \tag{21} \end{aligned} $$ Por tanto, se ha de cumplir que $$ r \sqrt{A^2+(1-B)^2} = d \, (m^{\frac{1}{\alpha}})^\gamma \tag{22} $$ de donde obtenemos que $$ d = r \sqrt{A^2+(1-B)^2} \, (m^{\frac{1}{\alpha}})^{-\gamma} \tag{23} $$ y, consecuentemente la espiral logarítmica sigue la expresión (15) antes indicada con $$ {\color{#1bb600} a_p} = \sqrt{A^2+(1-B)^2} \, (m^{\frac{1}{\alpha}})^{-\gamma}. \tag{24} $$
    Finalmente, veamos que el ángulo que forman los radios vectores de los puntos ${\color{#b63f00}P_k}$ en la espiral logarítmica, es decir respecto al polo ${\color{#1bb600}P}$ son múltiplos de $\alpha$, es decir, ${\color{#b63f00}k} \, \alpha$. En la figura 10 podemos observar que dado que se cumple la proporcionalidad entre los segmentos $\color{#b63f00} \overline{P_kP_{k+1}}$ $ \forall{k}$, según hemos visto antes, y que estos son puntos de una espiral logarítmica, entonces los radios vectores $\overrightarrow{{\color{#1bb600}P}{\color{#b63f00}P_k}}$ son también proporcionales y por ende los triángulos ${\color{#b63f00}P_k}{\color{#1bb600}P}{\color{#b63f00}P_{k+1}}$ son semejantes, consecuentemente los ángulos homólogos son iguales. En la Fig. 10 observamos que el ángulo $${\color{#b63f00}\widehat{P_{k-1} P_k P_{k+1}}} = \pi - \alpha = \delta + \epsilon \tag{25}$$ y en el triángulo ${\color{#b63f00}{P_{k-1}} {\color{#1bb600}P} {\color{#b63f00}P_{k+1}}}$ tenemos que $$\beta+\delta+\epsilon=\pi \tag{26}$$ obteniendo que $\beta = \alpha$.
    
    Por tanto los ángulos que determinan a dichos puntos ${\color{#b63f00}P_k}$ en la espiral logarítmica (15) son $\theta=\gamma+ {\color{#b63f00} k} \, \alpha$, con $\gamma$ dado por (20).

    
    
    Fig. 10. Determinación del angulo $\beta$ en la pseudoespiral de Durero respecto al polo $\color{#1bb600} P$ de la espiral logarítmica. Se concluye que $\beta$ es igual a $\alpha$ que es lo afirmado anteriormente.

  • Consecuentemente, tenemos que para cada pareja de valores $\alpha$ y $m$ se obtiene una pseudoespiral de Durero y por los puntos extremos de los arcos de ella pasa una espiral logarítmica $\large \rho = r \, a \, (m^{\frac{1}{\alpha}})^\theta$. De esta expresión se deduce que:
    • Fijado un valor de $m$, la amplitud del arco $\alpha$ y el factor de crecimiento radial de la espiral logarítmica $(m^{\frac{1}{\alpha}})^{2 \pi}$ son inversamente proporcionales (ver Fig. 11).

      
      
      Fig. 11. Relación entre $\alpha$ y el factor de crecimiento radial de la espiral logarítmica $(m^{\frac{1}{\alpha}})^{2 \pi}$ para un factor $m$ fijo.

    • Fijado un valor de $\alpha$, el factor amplificador de la pseudoespiral $m$ y el factor de crecimiento radial de la espiral logarítmica $(m^{\frac{1}{\alpha}})^{2 \pi}$ son directamente proporcionales (ver Fig. 12).

      
      
      Fig. 12. Relación entre $m$ y el factor de crecimiento radial de la espiral logarítmica $(m^{\frac{1}{\alpha}})^{2 \pi}$ para un ángulo $\alpha$ fijo.

• Paso 5.
  
  • En este paso continuamos nuestro análisis personal de esta pseudoespiral y, como se refleja en la parte descriptiva inferior de la escena, se verifica que por todos centros ${\color{#9b00b6}C_{k}}$ de los arcos de la pseudoespiral de Durero pasa una espiral logarítmica $$\large \color{#9b00b6} \rho = r \, a_c \, m^{\large \frac{\theta}{\alpha} } \tag{27}$$ con polo en el punto $$\color{#1bb600} P(r \, (m-1) \frac{m \, sen(\alpha)}{m^2-2 \, m \, cos(\alpha)+1}, r \, (m-1) \frac{m \, cos(\alpha) - 1}{m^2-2 \,m \, cos(\alpha)+1}) \tag{28}$$ (el mismo que el de la espiral del paso 4) siendo $\color{#9b00b6} a_c$ un factor de escala o giro de la espiral que queda determinado para que ésta pase por el centro inicial ${\color{#9b00b6}C_{0}(0.0)}$. De manera análoga al paso anterior usamos la denominación $\color{#9b00b6} a_c$ para denotar que es el coeficiente de la espiral logarítmica ligada a los centros ${\color{#9b00b6}C_{k}}$.
    
    En la Fig.13 podemos observar que para los valores $\alpha=0,5$ y $m=1,2$ la espiral logarítmica es $ \color{#9b00b6} \rho = r ·1,0525 · 1,2^{\large \frac{\theta}{0,5} } \simeq r ·1,05 · 1,44^{\theta} $ con polo en $ \color{#1bb600} (0,3447 \, r, 0,0318 \, r) $.

    
    
    Fig. 13. Los centros de la construcción de la pseudoespiral de Durero ("hacia dentro" y "hacia fuera"), y espiral logarítmica aproximadora .

  • Formulación matemática
    Lo probado anteriormente en el paso 4 podemos aplicarlo analogamente a los centros ${\color{#9b00b6}C_{k}}$, los cuales también son puntos de una espiral con igual polo ${\color{#1bb600}P}$, según hemos visto antes, de igual base $m^{\frac{1}{\alpha}}$, pero con diferente coeficiente (lo que equivale a un giro de la misma o bien se puede interpretar como un ángulo de retardo).
    
    En la Fig. 8 se observa que $ {\color{#9b00b6}\widehat{C_{k-1} C_k C_{k+1}}} = \pi - \alpha $ y también se verifica que $\dfrac{|\color{#9b00b6}{\overrightarrow{ C_k C_{k+1}}}|}{|{\color{#9b00b6}\overrightarrow{ C_{k-1} C_k }}|} = m$, luego aplicando el Lema citado, los puntos ${\color{#9b00b6}C_{k}}$ están en una espiral del tipo (27) (el mismo tipo que (15)). Para hallar $c$ en esa expresión impongamos que ha de pasar por ${\color{#9b00b6}C_{0}(0,0)}$ y para ello hallemos el ángulo $\gamma_c$ que forma $\overrightarrow{{\color{#1bb600}P}{\color{#9b00b6}C_0}}$ con el eje polar $\theta=0$ $$ \begin{aligned} \gamma_{\color{#9b00b6}C_0} &= arccos (\frac{\overrightarrow{{\color{#1bb600}P}{\color{#9b00b6}C_0}}·\overrightarrow{i}}{|\overrightarrow{{\color{#1bb600}P}{\color{#9b00b6}C_0}}| \, |\overrightarrow{i}|})\\ &= arccos(\frac{-A}{\sqrt{A^2+B^2}})\\ \tag{29} \end{aligned} $$ y $$\begin{aligned} \rho_{\color{#9b00b6}C_0} &=\text{distancia}({\color{#1bb600}P},{\color{#9b00b6}C_0})\\ &=r \sqrt{A^2+B^2}. \\ \tag{30} \end{aligned} $$ Por tanto, se ha de cumplir que $$ r \sqrt{A^2+B^2} = d \, (m^{\frac{1}{\alpha}})^{\gamma_{\color{#9b00b6}C_0}} \tag{31} $$ de donde obtenemos que $$ d = r \sqrt{A^2+B^2} \, (m^{\frac{1}{\alpha}})^{-\gamma_{\color{#9b00b6}C_0}} \tag{32} $$ y, consecuentemente la espiral logarítmica sigue la expresión (15) antes indicada con $$ {\color{#9b00b6} a_c} = \sqrt{A^2+B^2} \, (m^{\frac{1}{\alpha}})^{-\gamma_{\color{#9b00b6}C_0}}. \tag{33} $$ Y, análogamente a lo que acontece en en la espiral de los extremos de los arcos, en esta espiral de centros los ángulos que determinan a dichos puntos ${\color{#9b00b6}C_k}$ en la espiral logarítmica (15) son $\theta=\gamma_{\color{#9b00b6}C_0}+ {\color{#9b00b6} k} \, \alpha$, con $\gamma$ dado por (27).
    
    Nota: En el cálculo de $\gamma_{\color{#9b00b6}C_0}$, si el valor de la ordenada del polo es positiva, es decir $B \gt 0$ (el punto ${\color{#1bb600}P}$ tiene una ordenada mayor se ubica "por encima" del punto ${\color{#9b00b6}C_0 (0,0)}$) y consecuentemente el ángulo que forma es cóncavo, así pues hay que considerar el valor opuesto al aportado por (29) $- \,arccos(\frac{-A}{\sqrt{A^2+B^2}})$, o bien $2 \pi- arccos(\frac{-A}{\sqrt{A^2+B^2}})$.
  
  
• Paso 6.
  
  • La espiral logarítmica (15) asociada a los puntos ${\color{#b63f00} { P}_{k}}$ de la pseudoespiral de Durero y la (27) asociada a los centros ${\color{#9b00b6}C_{k}}$, al tener ambas el mismo polo y la misma base $m^{\frac{1}{\alpha}}$ son la misma espiral pero con un ángulo de retardo o giro de una respecto de la otra, es decir, podemos relacionar sus ecuaciones expresándolas en función de ese ángulo que vamos a denotar por $\color{#9b00b6} \epsilon$, sin más que considerar que $$\large {\color{#1bb600} a_p}= {\color{#9b00b6} a_c \, m^{\large \frac{\epsilon}{\alpha} }} \tag{34}$$ $$\large \color{#1bb600} \rho = r \, a_p \, m^{\large \frac{\theta}{\alpha} } = \color{#9b00b6} r \, a_c \,m^{\large \frac{\theta+\epsilon}{\alpha} } \tag{35}$$ de donde, fijados los valores de $m$ y $\alpha$ el ángulo $\color{#9b00b6} \epsilon$ viene dado por $$\large {\color{#9b00b6} \epsilon} = \log_{m^{\frac{1}{\alpha}}} \frac{\color{#1bb600} a_p}{ \color{#9b00b6}a_c}. \tag{36}$$ Y, en particular, ambas serán idénticas, es decir, coincidirán en todos sus puntos aunque para diferente valor del ángulo polar, en aquellos casos en que el desfase sea un múltiplo de $2 \pi$, es decir cuando ${\color{#9b00b6} \epsilon = 2\pi k}, {\color{#9b00b6}k \in \mathbb{Z}}$. En la Fig. 14 podemos ver cómo para $m=1,0708$ y $\alpha=1,3328$ ambas espirales coinciden, el ángulo de retardo es $2\pi$.

    
    Fig. 14. Coincidencia de la espiral logarítmica aproximadora de los puntos de la pseudoespiral de Durero y la espiral logarítmica aproximadora de los centros.

    Para la determinación de los valores de $m$ y $\alpha$ que verifican las relaciones $$\large {\color{#1bb600} a_p}= {\color{#9b00b6} a_c \, m^{\large \frac{2\pi \, k}{\alpha} }, {\color{#9b00b6}k \in \mathbb{Z}}} \tag{37}$$ es necesario aplicar métodos de resolución iterativos ya que $\large {\color{#1bb600} a_p}$ y $\large {\color{#9b00b6} a_c}$ dependen a su vez de esos parámetros $m$ y $\alpha$, es decir $\large {\color{#1bb600} a_p} = {\color{#1bb600} a_p}(m, \alpha)$ y $\large {\color{#9b00b6} a_c} = {\color{#9b00b6} a_c}(m, \alpha)$.
    
    Seleccionado un valor de $k \in \mathbb{Z}$ y fijado $m$ consideramos $$\alpha_{s+1}=2 k \pi \dfrac{\log m}{\log {\color{#1bb600} a_p}(m, \alpha_s)-\log {\color{#9b00b6} a_c}(m, \alpha_s)}, s=0,1,... \tag{38}$$ hasta que $|\alpha_{s+1} - \alpha_{s}| \lt \delta$ para una tolerancia $\delta$ establecida (en la escena $\delta=0.0001$).
    
    Y, análogamente fijado $\alpha$ consideramos $$m_{s+1}= \left(\dfrac{{\color{#1bb600} a_p}(m_s, \alpha)}{{\color{#9b00b6} a_c}(m_s, \alpha)}\right)^{\dfrac{\alpha}{2 k \pi}}, s=0,1,... \tag{39}$$ hasta que $|m_{s+1} - m_{s}| \lt \delta$.
    
    Con este método, en la parte informativa inferior de la escena se muestra para la amplitud de arco $\alpha$, que elige el usuario en el control correpondiente, cual es el valor que hay que tomar para el factor de crecimiento para que ambas espirales coincidan con un retardo de $2 \pi$ y viceversa, elegido el factor $m$ cual es el valor correspondiente para $\alpha$ (ver la última línea en la Fig. 15). Trasladando los valores respectivos elegidos podrá observar esa coincidencia.

    
    Fig. 15. Información aportada por la escena para la amplitud y el factor para que la espiral logarítmica aproximadora de los puntos de la pseudoespiral de Durero y la espiral logarítmica aproximadora de los centros coincidan.

  BIBLIOGRAFÍA

Dürer, Albrecht, and Christian Wechel (1532) Albertus Durerus Nurembergensis pictor huius [a]etatis celeberrimus, versus è Germanica lingua in Latinam, ... adeò exacte quatuor his suarum Institutionum geometricarum libris, lineas, superficies & solida corpora tractauit .... Lutetiae : apud Christianum Wechelum. Consulta en línea (fuente: Biblioteca digital hispánica, Biblioteca nacional de España.

Durero, A. (2000) De la medida.Bogotá: Universidad Jorge Tadeo Lozano. Edición de Jeanne Peiffer y traducción de Jesús Espino. Consulta en línea.

Cardona Suárez, C.A. (2006) La Geometría de Alberto Durero. Madrid, Ediciones Akal, S. A. Consulta en línea.

Galo Sánchez, J.R. (2025) Análisis y crítica de la pseudoespiral de Durero. Revista Digital Red Descartes, Año. 5 - 2025, núm. 10, pp. 40-49. Consulta en línea.