INDICACIONES
INTRODUCCIÓN Si fijamos una cuerda a un punto de una curva y se extiende para que el segmento obtenido sea la recta tangente a la misma en ese punto, entonces al proceder a enrollarla, manteníéndola siempre tensa, se obtiene el lugar geométrico de los puntos del plano trazados por el extremo de la cuerda al que se le denomina involuta de la curva inicial. Una curva tiene infinitas involutas, una para cada punto inicial considerado. Arquímedes definió la espiral que lleva su nombre afirmando: "Si se traza una línea recta en un plano y, permaneciendo fijo uno de sus extremos y haciéndola girar un número cualquiera de veces, vuelve de nuevo a la posición de la que partió y, al mismo tiempo que se hace girar la línea, se desplaza por la recta un punto a velocidad uniforme partiendo del extremo fijo, el punto describirá una espiral en el plano". Consultad: Arquímedes (2009) p. 35 (Tratados II. Introducción, traducción y notas de Paloma Ortíz García. Madrid, Editorial Gredos). En este objeto interactivo se busca mostrar la relación existente entre la involuta de un círculo, la derivada de ésta y la espiral de Arquímedes OBJETIVOS Representar la involuta de un círculo. Mostrar que la curva derivada de la involuta es una espiral de Arquímedes Ver que si se gira $- \frac{\pi}{2}$ la anterior curva derivada, se obtiene una curva que aproxima a la involuta, en el sentido de que la primera converge asintóticamente a la segunda. Concluir que la espiral de Arquímedes es una buena aproximación de la involuta. DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA Involuta del círculo La ecuación de la involuta del círculo de radio[1] $R$, anclada al punto $(R, 0)$ y en sentido levógiro[2], puede expresarse en coordenadas cartesianas como: $$\color{blue} \begin{cases} x= R \, (\, cos \, u + u \, sen \, u) \\ y= R \, (\, sen \, u - u \, cos \, u) \end{cases} \qquad u \ge 0 \tag{1.1}$$ o en coordenadas polares como: $$\color{blue} (\rho, \theta)=(R \, \sqrt{1+u^2}, u - arctg \, u) \qquad u \ge 0 \tag{1.2}$$ Vector tangente a la Involuta del círculo El vector tangente a la involuta del círculo de radio $R$ en el punto $(x(u), y(u))$ (1.1) viene dado por el vector derivada $(x'(u), y'(u))$, es decir: $$\color {black} \begin{cases} x' = R \, u \, cos \, u \\ y' = R \, u \, sen \, u \end{cases} \qquad u \ge 0$$ que resulta que es ¡una espiral de Arquímedes! cuya ecuación en polares es: $$(\rho_1, \theta_1)=(R \, u, u)\quad u \ge 0 \tag{1.3}$$ que podemos expresar usando el mismo ángulo polar que en (1.2) como $$\color {black} (\rho_1, \theta_1)=(R (u - \, arctg \, u), u - \, arctg \, u)\quad u \ge 0 \tag{1.4}$$ Espiral de Arquímedes que aproxima a la involuta del círculo Veamos que la involuta del círculo, en cierta manera, se asemeja a la espiral arquimediana de ecuación polar: $$\color{red} (\rho_2, \theta_2)=(R(\frac{\pi}{2}+u-arctg \, u), u-arctg \, u)\quad u \ge 0 \tag{1.5}$$ Al compararla con la involuta (1.2) podemos verificar que en intervalo $u \in (0, \infty )$ los radios polares de ambas cumplen que: $\color {red} \rho_2(u) \color {gray} \gt \color {blue} \rho(u)$, luego la espiral de Arquímedes es siempre "exterior" a la involuta, no se intersecan. La función $\color {red} \rho_2(u) \color {gray} - \color {blue} \rho(u)$ es estrictamente decreciente, por lo que cada vez se aproximan más. La función $\color {red} \rho_2(u) \color {gray} - \color {blue} \rho(u)$ está acotada superiormente por $R (\frac{\pi}{2}-1) $, este valor es la máxima distancia que acontece entre esas dos espirales y se produce en $u=0$. La diferencia entre los radios polares de ambas curvas convergen asintóticamente, es decir, $$\lim_{u \to{+}\infty}{(\color {red} \rho_2(u) \color {gray} - \color {blue} \rho(u))}=0$$ Y ¿de dónde surge la espiral (1.5)? Pues, resulta que ésta es la espiral derivada de la involuta (1.4), pero girada $-\frac{\pi}{2}$ radianes. Para incidir en esta adecuada aproximación podemos observar en la siguiente escena que la amplitud de las espiras de la involuta se aproximan rápidamente a $2 \pi R$ que es la amplitud de las espiras de la espiral de Arquímedes (1.3), y de (1.4) y (1.5) puesto que éstas son la misma espiral. INSTRUCCIONES Por defecto la escena se inicia mostrando un círculo de radio $R$ y la involuta levógira correspondiente al mismo, anclada en el punto $(R, 0)$. En la parte superior se indica si las espirales dibujadas son levógiras o dextrógiras. También se cuenta con tres botones: Posibilidad de mostrar u ocultar la involuta del círculo considerado. Posibilidad de mostrar u ocultar la derivada de la involuta del círculo considerado. Posibilidad de mostrar u ocultar la aproximación de la involuta del círculo considerado. En la parte inferior se tienen otros controles modificadores de lo mostrado en el espacio central: Pulsador etiquetado "zum" que permite amplificar o reducir a voluntad del usuario el tamaño de gráfica, lo cual equivaldría a modificar el valor del radio $R$ del círculo. Campo de texto y pulsador etiquetado como "u". Indica la cota superior considerada para el valor del parámetro $u \ge 0$ que se usa en la representación de las espirales (1.2), (1.4) y (1.5). El ángulo polar considerado para las tres espirales es: $u-arctg(u)$. Al variar este valor se amplía o disminuye la longitud de las espirales dibujadas. Campo de texto y pulsador etiquetado como "desplaza puntos", que permite desplazar un punto de color azul que recorre la involuta y otro de color rojo que recorre la espiral de Arquímedes que aproxima a la involuta. Indica el valor del ángulo polar correspondiente a esos puntos y está acotado por el valor de $u$ indicado en el campo de texto citado antes. Los puntos son visibles si el valor de este campo es estrictamente mayor que cero. Campo de texto y pulsador etiquetado como "giro de la derivada", que permite girar a la espiral de Arquímedes que es la derivada de la involuta. Cuando este campo es positivo se dibuja dicha espiral en color negro y para observar adecuadamente el giro que se produce se duplica esta espiral dibujándola con una línea continua de color lima a la que se anexa su rama simétrica que se dibuja con una línea punteada. En este campo se indica el valor del ángulo de giro y cuando éste toma el valor de $\frac{\pi}{2}$ puede observarse como la espiral girada coincide con la espiral aproximación de la involuta. Botón, con las imágenes Δ o ⏻, que al pulsarlo permite mostrar la comparativa entre el radio vector de la involuta y el de la espiral de Arquímedes aproximadora. Botón, con las imágenes ⭯ o ⭮, que al pulsarlo permite alternar entre la representación levógira y la dextrógira. En el espacio auxiliar que sirve para la comparación de los radios vectores se muestra una gráfica con las funciones que determinan el valor de estos, así como la diferencia entre ellos. Puede observarse el comportamiento descrito antes. Se dispone de un botón que permite hacer un zum restringido a este gráfico. [1] Sin pérdida de generalidad podría considerarse $R=1$, dado que $R$ sólo produce un cambio de escala en lo aquí descrito y desarrollado. [2] Para obtener la involuta dextrógira basta considerar la ecuación (1.1) considerando valores de $u \le 0$, o bien cambiar el parámetro $u$ por $-u$ con $u \ge 0$, o bien dibujar la curva simétrica de la levógira respecto al eje de ordenadas.