INDICACIONES
INTRODUCCIÓN En la miscelánea "Modelo 3D de las conchas discoidales" mostramos cómo modelar este tipo de conchas adaptando el planteamiento indicado por Raup, D. M. (1966) en su artículo "Analysis of Shell Coiling: General Problems.". Para modelar la concha del Nautilus observamos la necesidad de disponer de un tipo para la sección frontal del Nautilus lo cual quedó plasmado, junto a la dificultad ocasional que nos encontramos inesperadamente, en la miscelánea "Elección de tipo para la sección frontal del Nautilus". Seleccionado el tipo para la sección frontal, procedimos a su modelado con una curva de Bézier y con ella obtuvimos el modelo 3D uniforme del Nautilus en el recurso "Nautilus, modelado de la sección frontal con una curva de Bézier y modelo 3D uniforme asociado". Aquí constatamos que la sección frontal podría modelarse teóricamente con elipses: Modelo inicial teórico de la sección frontal del Nautilus Procede abordar el modelo teórico de la sección frontal de la concha y del callo umbilical y con ellos obtener el modelo tridimensional del Nautilus asociado a este modelo en su versión uniforme, es decir, sin tener en consideración las particularidades intrínsecas a su ontogenia, en particular en la fase embrionaria. Adicionalmente, en este caso, también incluiremos el modelo de la concha embrionaria en la primera cámara septal considerando que ésta se ajusta al modelo uniforme considerado en el resto de la concha. OBJETIVOS Modelar teóricamente la sección frontal del Nautilus tipo. Modelar la sección frontal del callo umbilical en el Nautilus tipo. Modelar tridimensionalmente a la concha y al perfil del callo umbilical del Nautilus sin reflejar su ontogenia (modelo uniforme) a partir del modelo teórico obtenido. Modelar tridimensionalmente la concha embrionaria del Nautilus en la primera cámara septal aplicando el crecimiento uniforme antes considerado. Determinar la superficie que modela a la concha y al callo umbilical del Nautilus. INSTRUCCIONES Al iniciar la escena se distinguen dos espacios: A la izquierda un espacio de control o de parametrización del modelo teórico, donde podemos distinguir tres bloques de controles: Selección de la sección frontal del Nautilus tipo. donde podemos elegir entre el tipo Tanabe (1990) o la alternativa de González-Restrepo (2019) para la concha del museo D'Arcy Thompson. La sección seleccionada se muestra en el espacio bidimensional de la derecha de la escena. Se dispone de un botón adicional que permite mostrar u ocultar dicho tipo con objeto de poder confrontar el modelo teórico con el natural o ver sólo el modelo. Selección para la construcción del modelo teórico de la sección de la concha y del callo umbilical. con cuatro controles tipo menú: Modelo de la concha ventral. Elíptico global, donde se muestra la base constructiva del modelo teórico en base a elipses. Comprende a la concha y al callo. Elíptico involuto, donde se parte de una elipse y al crecer se interseca con la sección elíptica anterior. Comprende también a la concha y al callo. Semielíptico que modela sólo la parte de la concha ventral y que con el modelo de los salientes dorsales conformará la sección teórica completa de la concha. Modelo de los salientes dorsales. Elipse, que muestra como los salientes dorsales también se ajustan a un modelo elíptico. Arco elíptico, donde se ve el arco de elipse que modela el saliente dorsal. Junto a la semielipse de la parte ventral conforma el modelo teórico completo de la sección de la concha. Modelo del callo umbilical. Arco convexo de elipse ventral. Modela la sección del callo umbilical con un arco de la elipse que se ajusta a la concha ventral. Elipses tangentes. Muestra cómo la sección umbilical se puede ajustar con elipses tangentes. Arcos de elipses tangentes. Se consideran dos arcos de la elipses del punto anterior y se obtiene el modelo del callo umbilical. Tangencias. Donde se muestran las tangencias que acontecen entre cada uno de los arcos elípticos que conforman el modelo. La tangencia entre la semielipse ventral y el arco del saliente no se muestra explícitamente porque son covértices (vértices del eje menor) y por tanto ambos tienen tangente común. Entre la concha dorsal y el saliente. Muestra, en el modelo, que la concha dorsal (ventral en el verticilo anterior) es tangente al saliente. Hay continuidad y derivabilidad en el modelo. Puede cambiarse los valores de A y B en los controles que se muestran y verificar la tangencia indicada. Entre el ombligo y el saliente. Muestra la tangencia entre esos dos elementos del modelo. Puede verificarse con los controles G y H. Distinta convexidad en el ombligo. Muestra la tangencia entre los dos arcos elípticos que modelan el ombligo. Puede verificarse con los controles E y F. Selección para la construcción del modelo teórico tridimensional de la concha y del callo umbilical. con dos controles tipo menú y un botón: Modelo teórico de la concha del tipo. Curva de Bézier. Elección que se corresponde con el modelo aproximado que abordamos inicialmente en la miscelánea "Nautilus, modelado de la sección frontal con una curva de Bézier y modelo 3D uniforme asociado". Al seleccionar esta opción se quita cualquier selección anterior realizada en los controles "Modelo de la concha ventral" y "Modelo de los salientes dorsales". Arcos elípticos. Que se corresponde con el modelo teórico que aquí mostramos. Para esta selección la concha ventral está modelada como semielíptica y se completa con arcos elípticos para los salientes. Al seleccionar esta opción queda seleccionada la opciones "semielíptico" en el control "Modelo de la concha ventral" y "Arco elíptico" en el control "Modelo de los salientes dorsales". Modelo teórico del ombligo. Arco ventral, que se corresponde con la opción "Arco convexo de elipse ventral" del control "Modelo del callo umbilical". Arcos elípticos, que se corresponde con la opción "Arcos de elipses tangentes" del mismo control "Modelo del callo umbilical". Si se elige "Selecciona" queda igual selección en el control "Modelo del callo umbilical". Dibuja 3D/Oculta 3D. Muestra/oculta el modelo 3D según el valor seleccionado en los dos menús anteriores ("Modelo teórico de la concha" y "Modelo teórico del ombligo"). Al activar el dibujo 3D se desactivan todos los controles relativos al diseño 2D no pudiéndo cambiar esos valores que quedan fijados de acuerdo a la selección realizada en los menús 3D anteriores (modelo teórico de la concha y modelo teórico del ombligo). En el título se especifica: "Modelación 3D teórica uniforme del Nautilus". En la parte derecha por defecto, y siempre que el botón "Dibuja 3D" esté visible, se presenta un espacio bidimensional en el que se refleja la sección transversal que se está modelando (Tanabe o Thompson). Cuando se pulsa sobre el botón "Dibuja 3D" (aparece en su lugar el botón "Oculta 3D") este espacio bidimensional se oculta y se muestra un espacio 3D reflejando el modelo tridimensional que se haya seleccionado en los controles del espacio lateral izquierdo. En el espacio tridimensional se dispone de varios controles: curvas auxiliares que permite elegir entre el valor "Sí" o "No" y respectivamente nos muestra u oculta el modelo bidimensional de la sección sagital de la concha para tenerlo como referencia y guía en la representación del modelo tridimensional. Las curvas representadas son: En la sección sagital: La pared dorsal en color rojo. La pared ventral en color azul. Los arcos septales en color verde. La espiral que define los septos en color verde oscuro (se muestra en el último septo representado en cada instante). La espiral de los polos de los septos en color violeta. La espiral del sifúnculo en color naranja. En la sección frontal: El perfil de la sección frontal de la concha en el último septo en color gris claro. El perfil de la sección frontal de la concha en la boca de la concha en color rosa anaranjado. La concha inicial de la primera cámara septal se ha modelado para mantener el modelo uniforme en todas las etapas de crecimiento, si bien conocemos que ello no refleja la realidad ontogénica del Nautilus. En este caso se ha seccionado la primera cámara septal en ocho partes y el perfil de la sección frontal se ha escalado a la amplitud de cada uno de los segmentos obtenidos: Los segmentos correspondientes a las secciones realizadas en la primera cámara se dibujan en color negro. Los extremos de estos segmentos en la pared dorsal en color rojo y el el septo en color verde. El perfil frontal escalado a cada segmento en color gris claro. Si se selecciona no representar las curvas auxilares solo se mostrarán las paredes dorsal y ventral y los septos en color rosa anaranjado. crecimiento, septo nº que permite simular el crecimiento de la concha desde la etapa embrionaria hasta el septo 40 (dos verticilos y medio a 16 septos por verticilo). La representación del ombligo se inicia a partir del septo cuarto que es cuando la boca de la concha se ubica en la posición de media vuelta y su prolongación ya encuentra apoyo en la pared previa de la concha. sección: parte de la sección transversal que se representa en 3D (de 0 a 1). El objetivo es poder ver el interior de la concha y observar los elementos auxilares antes indicados ubicados en este modelo tridimensional siempre que el control inferior "curvas auxiliares" esté activo. Menú con dos opciones: luz o alambre, que permite seleccionar entre el dibujo de la concha como superficie o sólo con el mallado que la define. ombligo con o sin la parte ventral, es decir, que muestre sólo la parte del callo umbilical o que también incluya la parte de los lóbulos dorsales que aportan forma al ombligo. La parte superior del callo umbilical se muestra cuando el parametro sección toma un valor mayor o igual que 0,75. tapa del ombligo que permite dibujar u ocultar la tapa del callo del ombligo. Por defecto se presenta sólo la inferior y la superior se muestra siempre que el parámetro sección tenga un valor mayor o igual que 0.75 (el objetivo es permitir la visión del interior de la concha que se vería parcialmente oculto, si bien eligiendo la representación de la concha como alambre permitirá esa visión interior en todo momento). concha inicial que permite dibujar u ocultar la concha en la primera cámara septal. Modelo teórico 3D del Nautilus con curvas auxiliares descriptivas Modelo teórico 3D del Nautilus y secciones sagitales de los septos Modelo teórico uniforme 3D del Nautilus en base a la sección de Tanabe 90. Modelo teórico del callo umbilical del Nautilus 3D con arcos elípticos (sin dibujar los lóbulos dorsales). Modelo teórico uniforme 3D del Nautilus con sección umbilical con arcos elípticos. Modelo teórico uniforme 3D del Nautilus con callo umbilical con arcos elípticos. RESUMEN A continuación tenemos una presentación en la que se resume todo el trabajo de obtención del modelo matemático tridimensional uniforme del Nautilus y dos animaciones en las que se observa ese modelo y el detalle del callo umbilical. Presentación del trabajo de modelación matemática 3D uniforme del Nautilus El modelo matemático 3D uniforme del Nautilus (Arcos elípticos en la concha y arcos elípticos en el callo umbilical) Detalle del callo umbilical en el modelo matemático 3D uniforme del Nautilus (Arcos elípticos en el callo umbilical) Realizado en el año del vigésimo quinto aniversario del Proyecto Descartes