INTRODUCCIÓN

En la miscelánea "El rectángulo de Newton como «simétrico» del triángulo de Pascal" se muestra cómo, si se parte del triángulo de Pascal en la orientación aportada por Pascal, entonces el rectángulo de Newton se obtiene por una mera "simetría" y un cambio de signo en las columnas impares.

En la miscelánea "El rectángulo de Newton como "simétrico" del triángulo de Pascal (congruencias)" se muestra cómo si conocemos las congruencias con cero de los coeficientes en el Triángulo de Pascal, entonces por simetría tenemos las correspondientes al rectángulo de Newton, tal y  como lo observamos en la siguiente imagen:

Esa simetría no acontece para congruencias con resto no nulo y módulo superior a dos, dado que en las columnas impares hay un cambio de signo en los valores de los coeficientes.

En esta miscelánea se presenta un muestrario de las congruencias que acontecen en el paralelogramo de Newton para los números primos hasta el treinta y uno. Se representan los coeficientes binomiales correspondientes a 1000 filas y 1000 columnas, tanto en el rectángulo de Newton como en el triángulo de Pascal, observándose los patrones existentes y la simetría entre amnbas partes.

OBJETIVOS

• Observar las regularidades geométricas que acontecen en el rectángulo de Newton y en el triángulo de Pascal al considerar congruencias numéricas con números primos.
• Ver la simetría existente entre las congruencias en el rectángulo de Newton y en el triángulo de Pascal.
• Salvar el cálculo computacional necesario para obtener estas representaciones gráficas y poder realizar comparaciones entre ellas.
• Invitar a abordar la formalización analítica de las regularidades que acontecen.

INSTRUCCIONES

Al iniciar la escena, en la parte central, se muestra una imagen con las congruencias numéricas de los coeficientes binomiales módulo dos. Se han coloreado en color naranja aquellos que son divisibles por dos. Cada pixel se corresponde con un coeficiente binomial.

Hay que indicar que a medida que aumenta el número de filas y columnas la representación de este paralelogramo numérico entraña cierta dificultad para su visualización global y adicionalmente conlleva una elevado cálculo computacional, por ello se ha obtado por ofrecer este muestrario y así poder observar ágilmente las regularidades que acontecen. Todos los gráficos se han realizado con la escena "Congruencias en el paralelogramo de Newton".

En la parte superior de la escena pueden observarse dos controles cuya funcionalidad es la siguiente:

• Escala: Permite modificar la escala a la que se representa la imagen del paralelogramo de Newton.
• Selector del módulo de la congruencia. Al seleccionar unos de los números primos ofertados se muestra la imagen correspondiente a la congruencia con ese módulo.

BIBLIOGRAFIA

Para iniciarse en la justificación analítica de estas regularidades puede consultarse el artículo divulgador: "Teoremas coloridos" y los artículos ahí reseñados de H. Joris, C. Oestreicher, J. Steinig (1985) y S. Hong (2016).