## Algunos problemas de pentominós

### una aplicación de DescartesJS

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##### Por Ángel Cabezudo Bueno

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|  | ¿Dónde acaba el juego y dónde empieza la matemática seria? (...) Para muchos que la ven desde fuera, la matemática, mortalmente aburrida, no tiene nada que ver con el juego. En cambio para la mayoría de los matemáticos, la matemática nunca deja de ser totalmente un juego, aunque, además, pueda ser muchas otras cosas. MIGUEL DE GUZMÁN (matemático español 1936-2004) creía que los juegos podían ser una herramienta muy efectiva para enseñar y aprender matemáticas, y que los juegos matemáticos podían ayudar a desarrollar habilidades importantes, como el razonamiento lógico y la resolución de problemas.

CONTENIDO

Pentominós Diferentes problemas que se han propuesto para resolver con pentominós Interés de los pentominós en el desempeño intelectual Autores relevantes que han publicado sobre pentominós y sus aportaciones al respecto Algunos problemas con pentominós: Una aplicación de DescartesJS Rectificación (tableros rectangulares que pueden ser cubiertos con los 12 pentominós) Tableros deficientes de dimensión 8x8 Partida para dos jugadores en un tablero 8x8 | Triplicación del tamaño de cada una de la 12 piezas del pentominó Distribución de las 12 piezas en figuras congruentes o no Puzles de 8 figuras de animales con las 12 piezas Tablero de libre uso Guardar. Cargar. Reordenar. Desactivar. Soluciones a los problemas. Métodos y materiales de enseñanza de Matemáticas con Pentominós Plantillas Bibliografía

### Los pentominós

Los pentominós o pentaminós son figuras geométricas compuestas por cinco cuadrados del mismo tamaño unidos por sus lados. Son por tanto unas curiosas formas de polígonos que recubren, por ejemplo, cinco cuadros o escaques interconectados de un tablero de ajedrez. Así al menos fueron presentados por Solomon Wolf Golomb en 1954 al mundo matemático, como subformas de un concepto más general llamado poliominó. Debido a sus propiedades y características, tienen diversas aplicaciones en matemáticas, geometría, diseño, y juegos, entre otras áreas.
Son doce las posibles formas que adoptan los pentominós:

Estas formas se pueden recordar por su parecido con otras tantas letras T U V W X Y Z (las 7 últimas del abecedario) y las mayúsculas que componen la palabra F I L i P i N o
En algunos casos el parecido es muy grande, T, U, Z, L, I, P, en otros la forma del pentominó tiene cierta semejanza con la letra, Y, F, N y en otros tenemos que hacer un pequeño movimiento a la figura para lograrlo, V, W, X

Los pentominós obtenidos a partir de otros por reflexión o volteado (simetría axial) o por rotación no cuentan como un pentominó diferente.

Obsérvese que los pentominós van a poder recubrir 5 cuadros interconectados de un tablero bien rotando o bien volteando horizontalmente la forma original del pentominó. Las formas que necesitan voltearse para generar la correspondiente forma simétrica axial son Y, F, L, P y N. En cualquier caso basta con hacer una rotación de 90º, 180º, 270º a la forma original o a la volteada.

Las formas que se pueden encajar en 5 cuadros interconectados de un tablero usando la forma original o realizando una rotación con ella son T, U, V, W, X, I; la I admite sólo una rotación de 90º y la X no precisa rotación. |

Las formas Y, Z, F, L P y N se pueden trasformar por rotación de la original o de la volteada horizontalmente. Por ejemplo, la L, N, Y, P y F admite 8 orientaciones, 4 por rotación y 4 por simetría axial. |
La Z puede orientarse de 4 formas, 2 por rotación y 2 por simetría axial. |

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### Diferentes problemas que se han propuesto para resolver con pentominós.

Los pentominós han sido utilizados para resolver una gran variedad de problemas en diferentes áreas, desde la matemática y la geometría hasta la programación y la robótica. A continuación, se presentan algunos ejemplos de los diferentes problemas que se han propuesto para resolver con pentominós:

1. Problemas de encaje: uno de los usos más comunes de los pentominós es el de resolver problemas de encaje. En estos problemas, se proporciona un área o un patrón y se pide que los pentominós se coloquen en el espacio de tal manera que cubran toda el área o se ajusten al patrón sin solaparse. Por ejemplo, el rompecabezas de pentominós de 5x12 es un problema de encaje común de las 12 piezas en un rectángulo de dimensión 5x12.
2. Problemas de conteo: otro tipo de problema que se puede resolver con pentominós es el de conteo. En estos problemas, se pide que se cuente el número de encajes diferentes que se pueden formar con las piezas dado un patrón determinado. Este tipo de problema se relaciona con la teoría de la combinatoria y puede ser bastante desafiante, especialmente cuando se agregan restricciones adicionales.
3. Problemas de diseño: los pentominós también se han utilizado para resolver problemas de diseño, como la creación de patrones y diseños decorativos. En estos problemas, se pide que se diseñe una composición utilizando pentominós de tal manera que se cree una imagen o patrón estéticamente agradable.
4. Problemas de optimización: los pentominós también se han utilizado en problemas de optimización, como la maximización del área cubierta por un conjunto de pentominós o la minimización del número de piezas necesarias para cubrir un área determinada.
5. Problemas de programación y robótica: los pentominós también se han utilizado en problemas de programación y robótica. Por ejemplo, se puede programar un robot para construir una estructura utilizando pentominós, o se puede crear un algoritmo que encuentre una solución óptima a un problema de encaje.

En general, los pentominós son una herramienta versátil que se ha utilizado en una amplia variedad de problemas matemáticos y de ingeniería. Su naturaleza geométrica y su simplicidad hacen que sean un objeto de estudio interesante para el desarrollo cognitivo y el aprendizaje en general.

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### Interés de los pentominós en el desempeño intelectual

Se ha demostrado que trabajar con pentominós puede mejorar la habilidad espacial, la creatividad, el pensamiento lógico y la resolución de problemas en personas de todas las edades. Al manipular y combinar estas piezas, se estimula la percepción espacial y se promueve el desarrollo de habilidades de razonamiento y visualización.

Además, los pentominós pueden ser una herramienta útil en la educación matemática, ya que permiten a los estudiantes explorar conceptos como la simetría, los patrones, las relaciones entre formas y las propiedades geométricas. También pueden ser utilizados para enseñar habilidades de pensamiento crítico y estrategias de resolución de problemas, lo que puede ser beneficioso en una amplia gama de disciplinas académicas y profesionales.
En resumen, el uso de los pentominós puede tener un impacto positivo en el desempeño intelectual al mejorar habilidades espaciales, creatividad, pensamiento lógico y resolución de problemas. Además, los pentominós pueden ser una herramienta educativa útil para enseñar habilidades matemáticas y estrategias de pensamiento crítico.

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### Autores relevantes que han publicado sobre pentominós y sus aportaciones al respecto.

A lo largo de los años, muchos autores han publicado investigaciones y trabajos sobre pentominós y su uso en el desarrollo cognitivo. A continuación, se presentan algunos de los autores más destacados en este campo:
Solomon Golomb: Golomb es considerado uno de los padres fundadores del campo de los pentominós. En su libro de 1965 "Polyominoes: A Guide to Puzzles and Problems in Tiling", Golomb exploró la teoría y la matemática detrás de estas piezas geométricas.
Martin Gardner: Gardner, un popular escritor de rompecabezas y divulgador científico, también ha escrito sobre pentominós en sus libros y artículos. En particular, su artículo "The Remarkable Puzzling Career of Martin Gardner" describe el papel que los pentominós jugaron en su trabajo.
Richard K. Guy: Guy es un matemático británico conocido por su trabajo en teoría de juegos y teoría de números. En su libro "Unsolved Problems in Number Theory", Guy presentó algunos problemas relacionados con pentominós y sus variantes.
Stewart T. Coffin: Coffin es un diseñador de rompecabezas y juegos conocido por su trabajo con pentominós. En particular, ha diseñado varios rompecabezas que utilizan estas piezas, incluyendo el "Pentominoes Puzzle".
Piet Hein: Hein fue un poeta, inventor y diseñador danés que también realizó contribuciones importantes en matemáticas. En general, las contribuciones de Piet Hein a las matemáticas se centran en la intersección entre las matemáticas, el diseño y la creatividad, y han tenido un impacto significativo en la teoría matemática y la cultura popular.

Publicó un libro llamado "Pentominoes and Puzzles" en el que presentó una gran cantidad de problemas y juegos relacionados con los pentominós. En el libro, Hein exploró diferentes configuraciones y patrones de pentominós y desarrolló una gran cantidad de juegos y acertijos que involucraban estas piezas.
Una de las contribuciones más notables de Hein en este campo fue la creación de un pentominó con una simetría única, que se conoce como el pentominó Plus. Este pentominó se puede utilizar para crear patrones y diseños interesantes y desafiantes.
En resumen, las contribuciones de Piet Hein al estudio de los problemas con pentominós son significativas y han tenido un impacto en el campo de la teoría de juegos y los acertijos matemáticos.

Estos autores, que solo representan una pequeña muestra, han contribuido significativamente al campo de los pentominós mediante la exploración de sus propiedades matemáticas, su uso en rompecabezas y juegos, y su aplicación en el desarrollo cognitivo. En conjunto, sus trabajos han ayudado a establecer los pentominós como una herramienta útil para el aprendizaje y la exploración matemática, así como para el desarrollo de habilidades cognitivas clave.

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### Algunos problemas con pentominós: Una aplicación de DescartesJS

Los pentominós pueden representarse dibujándolos en una escena de DescartesJS. Después se podrán desplazar, rotar o voltear para acoplarlos en cinco cuadrados interconectados de un tablero. Todo esto es lo que se necesita para abordar cualquier reto que se proponga como problema a resolver con estas singulares piezas planas. |  |
Por ello se puede trabajar con los pentominós simulando cualquier juego de los existentes en el mercado comercial con piezas físicas hechas básicamente en madera. |  |

### El menú de la escena de DescartesJS

Estas son las opciones del menú de la escena, con las que podremos gestionar los retos que se proponen es este trabajo.

Inicio: Permite reiniciar la escena volviendo a las condiciones iniciales.

Problemas: Proporciona un listado de todos los problemas que proponen en este trabajo. A cada problema se puede acceder seleccionándolo en dicho listado.

Los diferentes problemas se organizan en las siguientes categorías:

| Rectificación: Se ha podido demostrar que es posible encajar los 12 pentominós en un tablero rectangular. Los casos posibles, dado que la superficie acumulada de los 12 pentominós es de 60 cuadrados, son 6x10: tablero de 6x10 5x12: tablero de 5x12 4x15: tablero de 4x15 3x20: tablero de 3x20
`tablero de 6x10 2339 soluciones` | `tablero de 5x12 1010 soluciones` | `tablero de 4x15 369 soluciones` | `tablero de 3x20 2 soluciones`
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| Tableros deficientes de dimensión 8x8: Los 60 cuadrados que componen los 12 pentominós no llenan un cuadrado 8x8 de 64 cuadrados, por ello se incorpora al tablero un bloque negro de 2x2 cuadros o 4 cuadros negros separados. Las restricciones mostradas en las imágenes adjuntas son algunos de los casos que se ha demostrado tienen solución. Observar que no se muestran los casos equivalentes asociados a las formas simétricas respecto de los dos ejes horizontal y vertical que se cortan en el centro del tablero. Por ejemplo la figura 2 de la primera fila (1 solución) sería similar si los 4 cuadrados negros se disponen a lo largo de la diagonal secundaria; la forma 6 de la primera fila (5027 soluciones) sería equivalente a otros 3 casos que se corresponden con el bloque en las restantes tres esquinas del tablero, etc.
`2170 soluc.` | `1 solución` | `188 soluc.` | `21 soluc.` | `126 soluc.` | ```5027 soluc`. | `` | `3207 soluc.` | `1839 soluc.`
`1288 soluc.` | `987 soluc.` | ```1662 soluc.` | `721 soluc.` | `582 soluc.` | `768 soluc.` | `` | `65 soluc.` |
En el caso 2 de la primera fila el tablero se puede dividir en dos partes congruentes siguiendo la línea de cuadros negros, en cada parte encajan 6 pentominós: las dos partes se pueden superponer. La figura adjunta indica más claramente esta división con la línea discontinua de color rojo. En el caso del bloque negro 2x2 centrado existen 12 soluciones en que el tablero se puede descomponer en dos partes (mitades) congruentes: lateral derecho y lateral izquierdo o lateral superior y lateral inferior (en cada lateral encajan 6 pentomimós) |
## ▲ Partida para dos jugadores en un tablero 8x8.
| Juego de estrategia donde 2 jugadores van colocando alternadamente los 12 piezas que se reparten al comienzo y pierde el que no pueda colocar ninguna pieza más. Los jugadores buscan dejar sitio para el máximo número de jugadas y mínimo para las del contrario. Para hacerlo, los jugadores intentan crear lo que Golomb llama "santuarios": regiones donde solamente pueden alojarse piezas propias. Una vez que la pieza se ha situado dentro del tablero cuenta como jugada y queda marcada con lo que no es válido ya retirarla fuera del tablero.
## ▲ Triplicación del tamaño de cada una de la 12 piezas del pentominó.
Una propiedad muy interesante de cada pentominó consiste en poder triplicar su tamaño con 9 de las restantes formas. Observar que triplicar el tamaño consiste en hacer tres veces mayor cada dimensión, ancho y largo, en consecuencia el área de un pentominó que mide 5 cuadros queda multiplicada por 9 es decir 9x5=45 cuadros. Dejo al lector que pruebe a duplicar cada pentominó, lo cual también es posible. ¿Con cuántos pentominós se podrá duplicar un pentominó cualquiera? ¿Cuánto mide ahora el área del pentominó duplicado? |
## ▲ Distribución de las 12 piezas en figuras congruentes o no. 3de20: Distribución de los 12 pentominós en tres formas congruentes, formas que pueden superponerse, de 20 cuadros. Existen varias soluciones con diferentes formas, el problema que se propone consiste en el que se muestra en la figura que se muestra. 3paresx2: Distribución de los 12 pentominós en 3 de parejas de figuras congruentes. Se trata de distribuir los 12 pentominós en tres grupos de dos formas congruentes. Cada forma se puede llenar con dos pentominós fácilmente reconocibles. 2x5x6: Distribución de los 12 pentominós en dos rectángulos de 5x6, es decir dos rectángulos congruentes. Este problema es equivalente al de distribuir 12 pentominós en dos rectángulos de 6x5 pues resuelto el anterior de 5x6 bastaría realizar un giro de 90º a los tableros para obtener los correspondientes a 6x5. 5x5+5x7: Distribución de los 12 pentominós en dos rectángulos de 5x5 y de 5x7 Estas dos últimas distribuciones están relacionadas con el problema consistente en evitar líneas de fractura en una construcción de albañilería. Una vez distribuidos los 12 pentominós en dos rectángulos de dimensión 5x6 o en dos rectángulos de 5x5 y de 5x7 se ha conseguido construir un rectángulo 5x12 con una línea de fractura vertical precisamente en el lado de unión de los dos rectángulos. Una línea de fractura en una construcción de albañilería supone una debilidad estructural en la obra por donde puede producirse una falla. Este problema es más frecuente cuando se utilizan ladrillos que pueden se asimilados a dominós (poliominós de dos cuadrados). ## ▲ Puzles de 8 figuras de animales con las 12 piezas Este problema que hemos llamado "Animalia" consiste en llenar con los 12 pentominós las formas cuyo contorno nos recuerda a diferentes animales, 8 en total: camello, canguro, cocodrilo, mariposa, pingüino, reno, gallo y gato.
## ▲ Tablero de libre uso Este tablero está pensado para que el usuario pueda dibujar sus propias plantillas donde encajar algunas o todas las piezas del pentominó. Para habilitar la opción de dibujar tenemos el control representado por un rotulador , y para dejar de dibujar . Dejar de dibujar puede resultar práctico si queremos mover los pentominós y evitar que por descuido se pueda dibujar puntos no deseados. Para dibujar, basta ir haciendo clic izquierdo sobre los nudos de la cuadrícula e iremos viendo aparecer los sucesivos segmentos que configuran el contorno de la plantilla. Hay que volver al primer punto para cerrar la poligonal trazada y dar por terminado el dibujo. Admite 50 puntos y 49 segmentos como máximo. La poligonal en este caso queda abierta y no se puede seguir dibujando si el punto 50 no coincide con el primer punto También, es posible poner hasta 12 bloques negros en el interior de la plantilla para descartar algunas posiciones a los pentominós; basta arrastrarlos con el puntero. Se dispone de dos controles uno para borrar el último segmento dibujado y otro para borrar todos los segmentos de una vez. También se puede ver /ocultar el listado de las coordenadas de los puntos dibujados. Plantillas En el siguiente enlace puede obtener una serie de plantillas para dibujar, con las que se puede practicar el encaje de los pentominós. Otras plantillas pueden ser creadas por el lector interesado y guardadas en el fichero .txt de parámetros para posterior uso. ## ▲

Guardar: Esta opción del menú permite guardar los parámetros actuales de un determinado problema. Se trata de memorizar el estado de cualquier momento en la resolución de un problema. Guarda, en una carpeta local, los datos en un archivo de texto cuyo nombre es de libre elección a los efectos de poder memorizarlo para su posterior recuperación y poder consular y actualizar. Hemos pensado que el nombre de la carpeta local sea "memoria" pero este nombre es opcional.

Cargar: Permite recuperar para la escena los parámetros guardados en un archivo de texto.

Reordenar: Al seleccionar cualquier problema del menú se disponen de forma aleatoria las 12 piezas del pentominó en la mitad inferior de la escena. La opción de reordenar permite volver a obtener otra disposición aleatoria de las 12 formas.

Desactivar: En algún momento la última pieza que ha sido seleccionada ha quedado activada mostrando las imágenes de los controles que nos permite rotarla o voltearla , con esta opción la pieza queda desactivada y no presenta estos símbolos. |

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### Soluciones:

| Proporciona un listado con las mismas opciones que en el de Problemas, excepto la solución al problema Libre (que se puede consular en el apartado Plantillas) Permite consultar una posible solución relacionada con un determinado problema. Para poder ver dicha solución hay que tener seleccionada la opción del problema correspondiente. En este supuesto se muestra la imagen durante unos 10 segundos de una posible solución correspondiente al problema en que se está trabajando. Un temporizador indica la cuenta atrás: 3, 2, 1.

En la figura adjunta se puede ver como se muestra una solución, de las 16 soluciones posibles, al problema de distribución de los 12 pentominós en dos rectángulos de 5x6. |
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### Métodos y materiales de enseñanza de Matemáticas con Pentominós

Este apartado está dirigido a los docentes que necesiten utilizar materiales de enseñanza en sus clases de matemáticas.

Los pentominós son un material que está aconsejado para construir y consolidar el conocimiento matemático para

1. Introducir el principio de conservación de la cantidad y no de la forma.

- Utilizar diferentes unidades de superficie y encontrar figuras con idéntica superficie y diferente forma o de igual forma y superficie "el doble", "el triple", etc.

| En éste ejemplo se ha tomado como unidad de superficie un cuadrado de la cuadrícula y se ha dibujado tres figuras con igual área pero distinta forma. Cada figura se puede construir con dos pentominós diferentes, Z-N, X-L y W-V. Dibujar diferentes figuras con el mismo área tomando el mismo número de pentominós.

| Dada una unidad de superficie, por ejemplo el cuadrado de la cuadrícula, y dibujada una forma, por ejemplo la letra L de un pentominó de área 5 unidades es posible dibujar otra de la misma forma L de tamaño doble, para ello basta duplicar las dimensiones. Como la L tiene dimensión 4x2 dibujaremos una letra L de dimensión (2x4)x(2x2) = 8x4 esta nueva forma tiene un área de 4x5=20 unidades ¡El área de cuadriplica? ¿Cuál el área de otra forma L de tamaño triple de la forma L del pentominó de 5 unidades? ¿Cuál es la nueva dimensión de la L?

- Construir figuras con igual superficie y observar sus diferentes perímetros, en particular el perímetro mínimo y máximo.

- Un primer ejercicio puede consistir en medir los perímetros de las diferentes formas del pentominós. Sabemos que hay 12 formas y es fácil determinar cuales son el perímetro máximo y mínimo.

- Con la T y la U podemos componer formas de área 10. No valen las formas que contengan huecos. ¿Cuántas formas se pueden obtener?¿Cuáles son las de perímetro máximo y mínimo?

Una estrategia para determinar los posibles perímetros es analizar en cuantos segmentos de longitud 1 pueden hacen contacto la T y la U. Es inmediato obtener que los posibles contactos son 1, 2, 3 o 4. Obtener una composición T-U para cada uno de estos contactos. Después será fácil calcular el perímetro para cada caso. Probar la misma estrategia para componer diferentes formas con otro par de pentominós y determinar el perímetro máximo y mínimo. |
Composición T-U inválida, con un hueco. |

2. Introducir el concepto de simetría en el plano

| Los pentominós T, U, V, W, X, I tienen al menos un eje de simetría que divide la forma en dos partes, cada una reflejada de la otra, si una se voltea se pueden superponer con la otra. T, U, V y W tienen un único eje simetría, I tiene dos ejes y X cuatro. Los otros 6 pentominós F, L, N, P, Y y Z no tienen simetría pero sus formas simétricas respecto de un eje (formas reflejadas o volteadas) no se consideran diferentes en el conjunto de las posibles formas de pentominós. Sobre el tablero cuadriculado, donde estamos trabajando con los pentominós, se pueden girar 90º cada vez que se pulsa el control de giro, hasta completar una vuelta completa, manteniendo la misma forma y acomodándose a la cuadrícula. Con DescartesJS el centro de giro es el centro del rectángulo donde encaja la forma, en cada giro el centro de los sucesivos rectángulos cambia debido a un efecto "imán" programado que obliga a encajar el rectángulo en la cuadrícula. |

3. Región mínima donde pueden alojarse cualquiera de los doce pentominós

Un problema interesante es este que consiste en determinar la región mínima de un tablero cuadriculado, p.e el de ajedrez, en el que tomándolos de uno en uno podrían alojarse los doce pentominós.

Se puede verificar empíricamente que la región mínima tiene nueve cuadrados. Sólo existen dos formas posibles de esta región mínima.

Utilícese el tablero libre, en el menú Problemas, para dibujar en dos instancias diferentes la región mínima que se muestra en la imagen anterior probando alojar los doce pentominós.

Obsérvese que no es posible encontrar una región con menos de nueve cuadrados en la que puedan encajar los doce pentominós. Si fuera posible, solamente las formas I-V-X no podrían ocupar menos de ocho cuadrados, como se muestra en la siguiente imagen

Pero en ninguna de estas regiones encajan algunas de las restantes formas como P, N, W ó Z.

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### Plantillas

En el siguiente enlace puede obtener una serie de plantillas para dibujar, con las que se puede practicar el encaje de los pentominós.
Proporcionamos una solución a estas plantillas de entre otras posibles.
Otras plantillas pueden ser creadas por el lector interesado y guardadas en el fichero .txt de parámetros para posterior uso.

### Bibliografía

1. Solomon W. Golomb, Polyominoes, Princeton University Press, 1994. https://press.princeton.edu/books/paperback/9780691024448/polyominoes
2. George E. Martin, Polyominoes, a guide to puzzles and problems in tiling, The Mathematical Association of America, 1996.
3. Martin Gardner, Nuevos pasatiempos matemáticos, Alianza Editorial, 1986
4. Martin Gardner, Festival mágico matemático, Alianza Editorial, 1986
5. ©1998-2023 Kadon Enterprises, Inc., More about Polyominoes and Polycubes, http://www.gamepuzzles.com/polyintr.htm
6. Fuentes, Christian Camilo (2013). Algunas potencialidades del uso del material didáctico en el aula de matemáticas, el pentominó. En SEMUR, Sociedad de Educación Matemática Uruguaya (Ed.), VII Congreso Iberoamericano de Educación Matemática (pp. 1504-1511). Montevideo, Uruguay: SEMUR. http://funes.uniandes.edu.co/18256/
7. García, Aleida Yeraldin; Padilla, Samuel Ricardo (2015). Una propuesta de enseñanza del área y perímetro con pentominós y Cabri para una población de discapacidad auditiva. RECME, 1(1), pp. 634-639 . http://funes.uniandes.edu.co/8647/
8. Nortes Martínez-Artero, María Rosa; Nortes Checa, Andrés, El ajedrez como recurso didáctico en la enseñanza-aprendizaje de las Matemáticas, 2015. Revista de didáctica de las matemáticas. 2015, v. 89 ; p. 9-31 https://redined.educacion.gob.es/xmlui/handle/11162/228573
9. Lobo Tapia, María Victoria - Pardo Romero, Eugenio (Tutor), Los materiales didácticos manipulativos en la enseñanza-aprendizaje de la Geometría. Actividades para realizar con el alumnado del segundo ciclo de Educación Primaria, 2012. Universidad de Valladolid. Escuela Universitaria de Educación (Palencia) https://uvadoc.uva.es/handle/10324/1866
10. François DROUIN, Avec des pentominós, 2017. Edité par A.P.M.E.P. – Régionale Lorraine Première parution en juillet 2007
    Imprimé par l’atelier central de reprographie de l’Université Henri Poincaré (Nancy) http://apmeplorraine.fr/doc//brochures/Pentaminos_2007_2017.pdf
11. Sandra Jeimmi Trujillo Ramirez, El uso de los pentominós en la iniciación al estudio del área y el perímetro de figuras planas, Universidad del Valle - Instituto de Educación y Pedagogía - Área de Educación Matemática - Santiago de Cali, agosto de 2011. https://bibliotecadigital.univalle.edu.co/handle/10893/3848
12. David J. Goodger : 2016-12-04, Pentominoes: Rompecabezas y soluciones, https://puzzler.sourceforge.net/docs/pentominoes.html
13. Ever Salazar - Pentominós, http://bit.ly/Pentominos
14. Gerard’s Software, Solucionador universal de poliominós de Gerard, https://gp.home.xs4all.nl/PolyominoSolver/Polyomino.html
15. Blog Xuitee, Poliminós, https://blog.xuite.net/jc4600/twblog/178602274

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