Actividades: Geodésicas en la esfera. Círculo máximo.

Observa la animación y lo representado en cada uno de los espacios de la escena. Detén la animación y varía manualmente el ángulo del plano mediante el control situado en la zona inferior (puedes usar los pulsadores rojo y azul, o bien puedes introducir el ángulo deseado). ¿Qué ángulo se corresponde con la menor distancia entre los puntos P y Q dados? ¿Cuál es el centro de la circunferencia que da la distancia mínima? ¿Y su radio? Posiciona la esfera de manera que el eje Z apunte hacia ti (manteniendo pulsado el botón derecho del ratón, desplázalo hasta reflejar esa posición). Varía de nuevo el ángulo bien manual o automáticamente y observa cual es el camino mínimo. Los puntos P y Q están fijos en el plano OXY. Varía la posición de la esfera y posiciónalos en el sitio que desees. ¿Consideras que el problema es diferente o bien se puede reducir siempre al caso considerado en la escena? Si los puntos P y Q no están situados en el plano OXY ¿sería el ángulo del plano que nos da la circunferencia máxima también 0º? El ángulo del plano del haz que pasa por PQ está limitado en el rango -90º a 90º. ¿Consideras acertada esta limitación? ¿Cómo sería la grafica de la función distancia(ángulo) -representada en la zona inferior izquierda- en toda la recta real? La esfera representada tiene por radio la unidad. ¿Varía el problema si el radio fuera diferente? Puedes simular este cambio modificando la escala de la representación, para ello mantén pulsado el botón derecho del ratón y desplázalo. Fíjate que aunque hayas cambiado la escala, la distancia que se refleja en los espacios superior e inferior izquierdo no ha variado. ¿Qué valor tendría que reflejarse si el radio fuese 2? ¿Y si fuese 3? ¿En qué afectaría a la gráfica de la función distancia(ángulo)? En general se dice que "la distancia mínima viene dada por el circulo máximo". Analiza la corrección de esta expresión. ¿Consideras más adecuado decir circunferencia máxima?

Guía didáctica de la escena: Geodésicas en la esfera.

Este objeto de aprendizaje puede ubicarse, a diferentes niveles de profundidad y detenimiento, desde cuarto de secundaria hasta segundo de Bachillerato: En cuarto de ESO, Puede encuadrase en una introducción a la geometría esférica sirviendo como ruptura de la idea preasimilada, cierta en la geometría plana euclídea, de que la distancia más corta entre dos puntos es la línea recta. La introducción de una superficie no plana, consustancial a todos por ser asimilable a la superficie espacial en la que vivimos: la Tierra, introduce la necesidad de analizar nuevas situaciones, plantearse nuevos problemas y buscar respuestas a nuevas situaciones. Puede enlazarse transversalmente con lo estudiado en Geografía sobre posicionamiento o referencia unívoca en la Tierra mediante paralelos y meridianos, es decir, latitud y longitud distinguiendo como los meridianos son circunferencias máximas y los paralelos no lo son. En primero de Bachillerato, Puede servir de motivación a la necesidad de formalizar el estudio de la Geometría plana y la Matemática en general, cómo es necesario determinar y fijar de manera clara precisa y concisa los conceptos con los que se quieren trabajar, profundizar y avanzar deduciendo nuevas propiedades. Permite visualizar y experimentar la necesidad de la introducción de modelos matemáticos de la realidad y de su limitación práctica al contexto adecuado. Muestra la necesidad de fijar las situaciones en las que son aplicables una teoría y sus limitaciones. Ubica el modelo de geometría del plano, objeto principal en este nivel académico, y la geometría espacial (objeto de estudio en segundo de Bachillerato) desde el punto de vista euclídeo. La introducción de los postulados de Euclides y la negación del quinto postulado: "por un punto exterior a una recta sólo puede trazarse una paralela" (ver otros objetos de aprendizaje en este proyecto) permite encuadrar la geometría euclidea y su distinción frente a las denominadas geometrías no euclídeas (elíptica e hiperbólica), así como visualizar como para "distancias cortas" la geometría euclídea puede servir de aproximación a las no euclídeas. Permite mostrar la evolución histórica del conocimiento y acceder a la biografía de grandes genios matemáticos y científicos como Euclides, Riemann, Gauss y Lobachevsky. En segundo de Bachillerato, adicionalmente a lo señalado, la disponibilidad de una bagaje técnico matemático mayor permite abordar y obtener analíticamente lo reflejado en la escena. Ecuación de una esfera, haz de planos, ángulos entre plano, intersección de planos con la esfera, giros y traslaciones en el espacio, curvas,...

Ejercicios relativos a la escena: Geodésicas en la esfera.

Dados dos puntos del plano P (x1, y1), Q (x2, y2) aplicando el teorema de Pitágoras determinar la distancia entre esos dos puntos. (4º ESO). Dados dos puntos del plano P (x1, y1), Q (x2, y2) determinar el vector PQ y su módulo. Verificar que éste da la distancia entre los puntos P y Q. (1º Bach.). Determinar la ecuación del lugar geométrico (circunferencia) de los puntos del plano que equidistan de un punto dado. (4º ESO y 1º Bach.). Determinar las ecuaciones correspondientes a una traslación de ejes, a un giro y a una homotecia. Hacerlo mediante un planteamiento geométrico y también usando operaciones con números complejos. (1º de Bach.). Analizar los diferentes casos posibles al intersecar una circunferencia y una recta en el plano. Previa justificación (usar el ejercicio 4) reducir el problema a la intersección de la circunferencia de centro el origen de coordenadas y radio unidad. (1º de Bach.). Analizar los diferentes casos posibles al intersecar dos circunferencias en el plano. (1º de Bach.). Longitud de un arco de circunferencia. (1º de ESO conociendo el ángulo central que determina el arco, 1º Bach. a partir de las coordenadas de los puntos que determinan el arco situados en un plano, 2º Bach. a partir de las coordenadas de los puntos ubicadas en el espacio y del centro de la circunferencia que contiene dicho arco). Dados dos puntos P y Q en el plano determinar todas las circunferencias que tienen como cuerda el segmento PQ. Determinar los valores mínimo y máximo de los radios de esas circunferencias. Hallar el lugar geométrico de los centros de ellas. ¿Que figura geométrica se obtiene cuando el radio tiende a infinito? (1º de Bach). Determinar el lugar geométrico (esfera) de los puntos del espacio que equidistan de un punto dado. (2º de Bach). Analizar los diferentes casos al intersecar una esfera y un plano. Usar y justificar que el problema puede reducirse a la intersección de la esfera con centro el origen de coordenadas y radio unidad con planos paralelos, por ejemplo, al plano OXY. Determinar el tipo de curva intersecada. (2º de Bach.). Dados dos puntos P y Q de una esfera, determinar la ecuación del haz de planos secantes de arista la recta que pasa por PQ. Justificar que siempre puede reducirse el problema al caso en que los puntos P y Q estén en el plano OXY, que sean simétricos respecto al eje OY, que la esfera esté centrada en origen de coordenadas y que tenga de radio unidad. (Ver el espacio 3D representado en la zona derecha de la escena). (2º de Bach.). En la situación simplificada indicada en el ejercicio anterior, expresar el haz de planos en función del ángulo que forma el plano del haz con el plano OXY. (2º de Bach.). Cada plano del haz del ejercicio anterior interseca a la esfera en una circunferencia. Demostrar que el centro de esa circunferencia está en el plano OYZ. (2º de Bach.). Teniendo en cuenta lo demostrado en el ejercicio anterior, determinar las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia intersecada en función del ángulo que forma el plano del haz con el plano OXY, reduciendo el problema a un problema bidimensional de intersección de recta y circunferencia en el plano OYZ. (2º de Bach.). Conocido el centro y radio en función del ángulo (ejercicio 14), determinar la longitud del menor arco de circunferencia que une los puntos P y Q (distancia numérica reflejada para cada ángulo en el espacio superior izquierdo de la escena del objeto y una aproximación de la gráfica esta función en la zona inferior). (2º de Bach.). Determinar que el mínimo de la función del ejercicio 15, y consecuentemente la distancia mínima entre los dos puntos de la esfera se corresponde, en el contexto fijado, con el ángulo de 0º. Verificar a partir del ejercicio 14 que el centro y el radio de la circunferencia que da la distancia mínima coincide respectivamente con el centro y el radio de la esfera. Verificar que la función distancia(ángulo) es una función periódica de periodo el número pi. (2º de Bach.). Averiguar el radio medio de la Tierra y expresar la distancia entre dos puntos cualesquiera de la esfera. De nuevo reducir el problema a un problema de geometría plana, sin más que determinar el ángulo de vértice el origen de coordenadas y lados que pasen respectivamente por cada uno de los puntos dados . (2º de Bach.)