INDICACIONES |
> INTRODUCCIÓN Problemas Clásicos. La "Duplicación del cubo". Dado un cubo de arista a, el problema consiste en construir, usando sólo la regla y el compás, la arista x de un cubo cuyo volumen sea el doble del volumen del cubo dado.
> Éste es el enunciado clásico que no pudo ser resuelto por los matemáticos de la antigüedad griega pues la solución pasaba por obtener el valor de la raíz cúbica de 2; esto no es posible con el método de la regla y el compás y requería el empleo de herramientas y técnicas diferentes. Hipócrates de Chíos (470–410 aC) demostró que tal problema se reduce a encontrar dos medias proporcionales: Si para una línea de longitud se necesita encontrar una longitud tal que , es decir , basta con hallar dos medidas e tales que sean medias proporcionales entre y , es decir, pues en estas condiciones se cumplirá que A Eratóstenes(276-194 aC), se le atribuye una solución mecánica del problema de las medias proporcionales (el Mesolabio), un instrumento formado por una plancha rectangular grande sobre la que se sitúan tres planchas rectangulares iguales entre si y más pequeñas que la primera y tales que, una es fija y las otras dos móviles, según se detalla en la información de la escena y en los gráficos siguientes.
> `` `El segmento LT tiene longitud a y el AD tiene longitud 2a` |  | `mesolabio Paso intermedio` |  | `Las medias proporcionales son: HS y EP en consecuencia x e y`
Para obtener las dos medias proporcionales entre a y 2a es necerario que AD mida 2a y LT mida a. Los controles gráficos A, G y K pueden desplazarse de forma restringida ya que su objetivo es facilitar el encuentro de la solución. La determinación de los segmentos medios proporcionales se consigue según se detalla, más adelante, en la información de la escena. Este video facilita el uso del mesolabio. Tu navegador no soporta el tag video. En las Instrucciones contenidas en estas Indicaciones se puede ver otro vídeo que muestra la interación del usuario con la escena que incluye otros controles además del mesolabio y aporta información sobre el cubo inicial y el cubo solución del problema. El proceso determina los triángulos rectángulos semejantes OAD, OEP, OHS y OLT y aplicando la proporcionalidad correspondiente entre cada par de ellos se obtiene la altura HS de OHS que es la medida del lado del cubo de volumen doble. Lo anterior se muestra de una forma práctica en el trabajo actual donde, con el aparato desarrollado por Eratóstenes obtendremos la arista del cubo que duplica en volumen a otro dado. La imagen siguiente se corresponde con la escena inicial de la utilidad y es conveniente analizarla para familiarizarse con los elementos que la conforman: En el eje horizontal los controles gráficos : A, G y K que conviene manipular para conocer sus prestaciones. En el vertical el segmento AD doble que LT (LT igual a la arista del cubo inicial) Las poligonales GHJ y KLN que juegan un papel determinante en el desarrollo de la escena. Un pulsador: arista, que establece la longitud de la arista del cubo inicial entre [1, 3]. Tres botones: Información , conviene usarlo antes de realizar cualquier otra acción. Créditos Botón inicio, restaura la escena al momento inicial El control gráfico A (punto botón) que se desplaza verticalmente para facilitar la visión y/o entendimiento de la escena.
OBJETIVOS Conocer la existencia de los problemas fundamentales que se planteó la Geometría en la Grecia clásica y cuyas soluciones no fueron aceptadas en la época por contravenir alguna condición del uso de la regla y/o el compás pero tuvieron una influencia decisiva en el desarrollo de la Geometría. Introducir al análisis y procedimientos de la Geometría Clásica. Profundizar en el estudio de las proporciones. Comprender los métodos geométricos. Aplicación de los movimientos en el plano. |
INSTRUCCIONES El siguiente video muestra la interacción con todos los controles de la escena: Si tal y como indica la información de la escena ponemos los controles G y K, el primero ligeramente a la izquierda de E y el segundo a la izquierda de H entonces observamos que se muestra un contenido similar al mostrado en el vídeo Ajustando la posición de G y K se alinean los puntos D, P, S y T y se muestran P, S y O y el cubo solución de volumen doble al inicial. Tu navegador no soporta el tag video. Seleccionamos un valor (entre 1 y 3) de la arista del cubo inicial. Arrastramos el control gráfico punto G a la izquierda del punto E de tal manera que coincidan en un punto P las rectas JH, EF y DT Arrastramos el control gráfico punto K a la izquierda del punto H de tal manera que coincidan en un punto S las rectas NL, HI y DT El mesolabio queda listo para medir el lado HS que duplica el cubo, cuando D, P, S y T quedan alineados Además observamos que se muestra el error cometido en la solución que puede y debe minimizarse hasta las 5, 6 o 7 milésimas, según el caso, manipulando los pulsadores G.x y K.x que ajustan respectivamente las coordenadas de los puntos G y K. Si se tiene interés en avanzar en el conocimiento de esta rudimentaria máquina (considerada, tal y como se construyó, la primera calculadora de la historia) puede buscarse en la Wikipedia o en cualquier buscador de Internet. La escena está programada con cierta holgura con el fin de facilitar la determinación del segmento HS. |