Actividades: Geodésicas en caras contiguas de un cubo.

Escena primera:
Con los controles gráficos P y Q, ubicados respectivamente en el cuadrado magenta y amarillo de la derecha, posiciona los puntos P y Q lo suficientemente alejados para que se puedan observar las tres situaciones posibles correspondientes a los tres desarrollos que conducen a segmentos rectilíneos. Fíjate en la diferente posición relativa del punto Q según el desarrollo considerado y como la distancia es diferente según el camino elegido. Contempla lo que acaece en el correspondiente cubo. Posiciona P y Q como los vértices de una diagonal del cubo. ¿Cuántos caminos de longitud mínima son posibles de seguir? Posiciona P y Q como extremos de una arista del cubo. ¿Cuál es la longitud del lado del cubo considerado en la figura? ¿Depende lo reflejado del tamaño del cubo? Compruébalo cambiando la escala al cubo (botón derecho del ratón y desplazamiento del mismo) Busca dos posiciones de P y Q en las que la distancia más corta pase por la cara superior roja. Busca dos posiciones de P y Q en las que la distancia más corta pase por la cara lateral amarilla. Busca dos posiciones de P y Q en las que la distancia más corta pase por la cara inferior verde. Determina las regiones donde pueden ubicarse P y Q y que tienen, en el desarrollo del cubo, como único segmento rectilíneo que los une aquel que enlaza directamente las dos caras laterales.
Escena segunda:
En la imagen inicial que se te presenta puedes observar dos regiones en la cara de color amarillo. Desplaza el punto Q a una posición incluida en el triángulo rojizo y comprueba como el camino mínimo de todos los puntos de ese triángulo pasa por la cara superior roja. Posiciona P en una zona donde tengas tres zonas dibujadas en la cara amarilla. Comprueba que según Q ocupe una posición ubicada en cada una de estas zonas el camino mínimo pasa por diferentes caras. Posiciona P de manera que los caminos posibles, según esté ubicado Q, sean sólo por el lateral y por la cara inferior. Posiciona P de manera que los caminos posibles, según esté ubicado Q, sean sólo por el lateral . Divide mentalmente, o en un dibujo, la cara magenta mediante sus diagonales. Trata de identificar, según la posición de P respecto a ellas, cuantas zonas indicativas de diferentes tipos de caminos mínimos se reflejan en cada caso.
Escena tercera:
Demuestra tu ubicación espacial en el cubo haciendo el test que se propone. Tienes diez posibilidades en total. Si no has conseguido superar el test vuelve a intentarlo.

Guía didáctica: Geodésicas en caras contiguas de un cubo.

Este objeto de aprendizaje puede ubicarse, a diferentes niveles de profundidad y detenimiento, desde primero de secundaria hasta segundo de Bachillerato: En secundaria, Puede situarse el caso más sencillo de dos puntos ubicados en la misma cara y como en este caso al ser parte del plano la distancia mínima es el segmento rectilíneo que une esos dos puntos, para pasar al caso siguiente de puntos en caras contiguas. En el estudio de los diferentes desarrollos posibles de un cubo, puede observarse como un punto del cubo cambia su ubicación relativa según el desarrollo elegido. Observar que salvo simetrías hay sólo once desarrollos posibles del cubo: Permite una ubicación y compresión espacial de un modelo geométrico "simple". La práctica repetitiva del test permite una percepción espacial y ubicación en el entorno. Introduce la idea de camino mínimo en ámbitos no planos, o planos con obstáculos, en los que la línea recta no es posible y de esta manera produce una aconsejable ruptura conceptual que permite la reflexión, una apertura crítica a nuevas ideas y un avance en la resolución de problemas. La introducción de una superficie no plana de uso habitual, y aparentemente simple, introduce la necesidad de analizar nuevas situaciones, plantearse nuevos problemas y buscar respuestas a esas nuevas situaciones. En primero de Bachillerato, Puede servir de motivación a la necesidad de formalizar el estudio de la Geometría plana y la Matemática en general, cómo es necesario determinar y fijar de manera clara precisa y concisa los conceptos con los que se quieren trabajar, profundizar y avanzar deduciendo nuevas propiedades. Muestra la necesidad de fijar las situaciones en las que son aplicables una teoría y sus limitaciones. Ubica el modelo de geometría del plano, objeto principal en este nivel académico, y la geometría espacial (objeto de estudio en segundo de Bachillerato) desde el punto de vista euclídeo. En este nivel se abordan las técnicas necesarias que permiten determinar los posibles segmentos rectilíneos en el desarrollo del cubo, los puntos de intersección con las aristas, y la determinación en cada caso de aquel camino cuya longitud es mínima. En segundo de Bachillerato, adicionalmente a lo señalado, la disponibilidad de una bagaje técnico matemático mayor permite abordar y obtener analíticamente todo lo reflejado en la escena. Establecimiento de un sistema de referencia espacial, correspondencia con un sistema de referencia en el plano, ecuaciones de las caras del cubo, coordenadas espaciales de los puntos de corte con las aristas.

Ejercicios: Geodésicas en caras contiguas de un cubo.

Elige un sistema de referencia (ejes y escala) donde posiciones el desarrollo del cubo y explica que criterio has seguido en la elección (4º ESO). Que restricción has de poner a las coordenadas de P y Q para que respectivamente sólo puedan ser puntos de las caras magenta y amarilla. (4º ESO y 1º Bach.). Determina las ecuaciones de todas las aristas del desarrollo del cubo y sus pendientes. (1º Bach.). Para un punto Q (x2, y2) posicionado en la cara amarilla del cubo determinar las coordenadas de ese punto según el desarrollo que se realice del cubo sea a través de la cara superior (roja), de la inferior (verde) o directamente compartiendo arista en el desarrollo con la cara magenta (1º de Bach.). Ver imagen siguiente donde aparece dibujada la posición de Q en los tres desarrollos posibles:
Halla las ecuaciones de las rectas que unen P y Q en los tres casos anteriores, identificando algebraicamente cuando el segmento PQ está incluido en el desarrollo del cubo. (1º de Bach.). Determinar los puntos de corte de las rectas determinadas en el ejercicio anterior con las aristas del cubo. (1º de Bach.). Determinar el segmento rectilíneo de longitud mínima que enlaza P con Q. Discutir lo que acontece según P esté en cada uno de los cuatro triángulos en que queda dividida la cara magenta por sus diagonales. (1º de Bach.). Elegir un sistema de referencia tridimensional donde ubicar el cubo y explicar las posibles ventajas e inconvenientes de la elección realizada. (2º Bach.). Determinar, usando el sistema de referencia elegido en el ejercicio anterior, las ecuaciones de las caras del cubo, de sus aristas y de sus vértices. (2º de Bach). Hallar las coordenadas de los puntos del cubo correspondientes a los puntos de corte calculados en el ejercicio 6. (2º de Bach). Fijado un punto P en cada una de las cuatro regiones señaladas en el ejercicio 10, determinar el triángulo constituido por todos los puntos Q para los que el camino mínimo que los enlaza con P pasa por la cara superior. Ídem por la cara inferior (2º de Bach).