Actividades: Geodésicas y loxódromas en un prisma.

Escena primera:
Varía el número de caras y obtén los sucesivos prismas: triangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal, heptagonal, octogonal, eneagonal, decagonal, endecagonal, dodecagonal, tridecagonal, cuadecagonal y pentadecagonal. Elige un prisma y modifica su altura. Elige un prisma y efectúa su desplegado (desarrollo) y su plegado directamente usando el control "caras desplegadas". Realiza el plegado y desplegado mediante los botones "desplegar" y "plegar" junto al botón de animación. Usa el ratón y sus botones para girar el prisma y observarlo desde el punto de vista deseado.
Escena segunda:
Selecciona un número de caras del prisma. Desplaza P y Q y observa en la parte superior de la escena como varían los segmentos rectilíneos que unen esos puntos. Fíjate como los colores de los segmentos varían según la posición de los puntos. Fijados P y Q observa el camino mínimo que los une tanto en el desarrollo como en el prisma. Gira el prisma y observa la correspondencia entre los segmentos en ambas figuras. Desarrolla el prisma bien directamente o mediante animación y observa la correspondencia de segmentos antes señalada. Considera los casos particulares en los que P y Q están en la misma vertical, bien en una arista o bien en una de las caras.

Guía didáctica: Geodésicas y loxódromas en un prisma.

Este objeto de aprendizaje puede ubicarse, a diferentes niveles de profundidad y detenimiento, desde primero de secundaria hasta segundo de Bachillerato: En secundaria, Puede experimentarse "virtualmente ", con el objeto de aprendizaje, el trabajo con prismas y su desarrollo, y a la vez reproducir lo mismo con papel. Permite una ubicación y compresión espacial de un modelo geométrico "simple". Introduce la idea de camino mínimo en ámbitos no planos, o planos con obstáculos, en los que la línea recta no es posible y de esta manera produce una aconsejable ruptura conceptual que permite la reflexión, una apertura crítica a nuevas ideas y un avance en la resolución de problemas. La introducción de una superficie no plana de uso habitual, y aparentemente simple, introduce la necesidad de analizar nuevas situaciones, plantearse nuevos problemas y buscar respuestas a esas nuevas situaciones. En primero de Bachillerato, Puede servir de motivación a la necesidad de formalizar el estudio de la Geometría plana y la Matemática en general, cómo es necesario determinar y fijar de manera clara precisa y concisa los conceptos con los que se quieren trabajar, profundizar y avanzar deduciendo nuevas propiedades. Permite un estudio, mediante el uso de la geometría analítica euclídea, de los prismas a través de su desarrollo plano y de esta manera la obtención de las propiedades aprendidas en la enseñanza secundaria. En este nivel se abordan las técnicas necesarias que permiten determinar los posibles segmentos rectilíneos en el desarrollo del prisma, los puntos de intersección con las aristas, y la determinación en cada caso de aquel camino cuya longitud es mínima. En segundo de Bachillerato, adicionalmente a lo señalado, la disponibilidad de una bagaje técnico matemático mayor permite abordar y obtener analíticamente todo lo reflejado en la escena. Establecimiento de un sistema de referencia espacial, correspondencia con un sistema de referencia en el plano, ecuaciones de las caras del prisma, coordenadas espaciales de los puntos de corte con las aristas. Poligonal que determina el camino mínimo, etc.

Ejercicios: Geodésicas y loxódromas en un prisma.

Toma una hoja de papel y pliégalo convenientemente para obtener la superficie lateral de un prisma recto cuadrangular y octogonal. Nota: puedes usar sucesivos plegados por la mitad de la hoja: la mitad de la mitad es la cuarta parte y la mitad la octava. (1º ESO). Ídem pero en este caso para obtener uno pentagonal y otro heptagonal. ¿Qué dificultades adicionales al caso pedido en el ejercicio anterior? ¿Cómo podrías solventar esta dificultad con poco trabajo?. Nota: Haz plegados sucesivos, por ejemplo para llegar a ocho caras, y posteriormente recortas las caras que te sobren. (1º ESO). Sobre los desarrollos de papel anteriores dibuja una recta y pliégalo para obtener el prisma y la poligonal que determina el camino más corto. (1º ESO). Definir lo que es un prisma. Escribir el nombre de los prismas cuya base es un triángulo, un cuadrado, un pentágono,... (2º ESO). Determinar el área de la superficie lateral de un prisma hexagonal de lado 5 cm. y de altura 8 cm. (2º de ESO). Determinar el volumen de un prisma hexagonal de lado 5 cm. y de altura 8 cm. (2º de ESO). Los vértices de un polígono regular se corresponden con los afijos de las raíces complejas de la unidad. Escribe las coordenadas de los vértices de un octógono inscrito en una circunferencia de centro el origen de coordenadas y radio uno. Represéntalo gráficamente. Halla la longitud del lado de dicho octógono. Si la circunferencia fuera de radio r ¿cuáles serían las coordenadas de los vértices y la longitud del lado? (1º Bach.). Determinar algebraicamente los vértices de un hexágono y la longitud del lado. ¿Qué propiedad se verifica? (1º Bach.). Dados un rectángulo de base 8cm. y altura 3 cm., dividir la base en ocho partes iguales y trazar por esos puntos paralelas a la altura obteniéndose el desarrollo de la superficie lateral de un prisma octogonal. Situar dos puntos P y Q en dicho rectángulo y hallar la ecuación de la recta que une esos dos puntos. Hallar los puntos de intersección de esta recta con las aristas del prisma. (1º Bach.). Escribir las ecuaciones de los planos que determinan las caras de un prisma triangular y uno cuadrangular. Tomar el sistema de referencia que se considere más conveniente. (2º Bach.). Hallar las ecuaciones de las aristas del prima del ejercicio anterior. (2º Bach.). Dados dos puntos en la superficie lateral de un prisma, situados en diferentes caras, dar las coordenadas de los puntos de intersección de la geodésica que los une con las aristas del prisma. Hallar las ecuaciones de los segmentos que constituyen la geodésica que une dichos puntos. (2º Bach.).