### CAMUFLAR MONEDAS

Una aplicación de DescartesJS
Por Ángel Cabezudo Bueno

Encontré recientemente en Internet un vídeo donde alguien a modo de ilusionista hace desaparecer 10 de monedas ocultándolas, de una en una, entre otras dispuestas en los lados de un cuadrado. Aquí la ilusión consiste en que en cada lado del cuadrado la suma de monedas es siempre 10. ¿Cómo es esto posible?

En respuesta, había muchos que le interrogaban admirados: ¿¡dime cómo es esto posible!? ¡Veamos ese vídeo!

El planteamiento de este problema puede hacerse así:

En un cuadrado tenemos 10 monedas en cada lado, en total 26. Fuera del cuadrado hay otras 10 monedas extras. Se trata de hacer desaparecer estas monedas extras incorporándolas a las del cuadrado de tal manera que el número de monedas en cada lado siga siendo 10.

Figura 1
Esto que para algunas personas puede parecer un truco de magia, realmente tiene una explicación matemática como se verá más adelante.
Veamos los dos pasos en que se resuelve la ocultación de una moneda extra en uno de los lados del cuadrado.
PASO 1: Llevar una moneda extra a una celda central de una fila o columna.
En el ejemplo de la imagen se lleva a una celda central de la fila superior.
Figura 2
PASO 2: Llevar una moneda de la celda de esquina de la fila superior a una celda central de la columna que contiene la celda de esquina.
Figura 3
Y aquí está el resultado
Figura 4
Se ha camuflado una moneda extra en un lado del cuadrado y el recuento de monedas sigue dando 10 por lado, como puede comprobarse.
Este proceso se puede repetir hasta llevar el total de las 10 monedas extras iniciales a los lados del cuadrado. Un resultado final posible es el que se muestra en la siguiente figura.
Figura 5
Un cartesiano enseguida trata de pensar ¡matemáticamente! Y ve la oportunidad de sacar algún tipo de enseñanza para otros con menos habilidades y siendo profesor piensa en los alumnos de una clase elemental de matemáticas. En esta ocasión el problema no se resistió mucho.
Una celda de esquina es la intersección de dos lados, una fila y una columna. Si llevamos una moneda extra a una celda central de uno de los lados, este se incrementa en una moneda que podemos compensar extrayendo otra moneda de su esquina y llevándola a una celda central del otro lado.
Figura 6
Es evidente que mientras existan monedas en la celda de esquina es posible camuflar monedas extras: ¡incluso es posible camuflar más de una a la vez!
Según el esquema que hemos presentado la suma 10 por lado se obtiene con 4 sumandos. Podemos analizar las posibilidades del camuflaje de monedas extras si sabemos descomponer 10 en suma de cuatro sumandos, excluyendo el 0 y tenemos en cuenta que si los sumandos extremos de un lado son 1 (el contenido de las celdas de esquina) no es posible camuflar en ese lado más monedas.
Ejemplos:

1. 4 + 3 + 1 + 2, se pueden ocultar 4 monedas
2. 2 + 2 + 3 + 3, se pueden ocultar 3 monedas
3. 1 + 4 + 4 + 1, no es posible ocultar monedas
4. 4 + 1 + 1 + 4, se pueden ocultar 6 monedas

En la figura 5 vimos como quedó el cuadrado después de camuflar las 10 monedas, la figura 7 es su equivalente numérico:

Figura 7

En cada lado las sumas se configuran así 1 + 4 + 4 + 1. Y si observamos el esquema de partida en la Figura 8, equivalente numérico de la Figura 1:

Figura 8

Tenemos pues que las 10 monedas extras se han camuflado en las celdas centrales de los lados al perder en las esquinas en total, 3 + 2 + 3 + 2 = 10 monedas.

En el esquema de partida Figura 8 podemos observar que hay 26 monedas distribuidas en los 4 lados del cuadrado y contamos con 10 monedas extras, fuera de los lados del cuadrado, en total hay en juego 36 monedas. A medida que vamos ocultando monedas extras se van incorporando a las casillas centrales de los lados y va disminuyendo la misma cantidad en las celdas de esquina: si ocultamos la primera moneda moneda extra, disminuye 1 moneda de una casilla de esquina y se incrementa en 1 moneda, cierta celda central, así pues ahora tenemos 27 monedas distribuidas en los lados y quedan fuera 9 monedas extra. Cuando hemos ocultado las 10 monedas extra el cuadrado tiene 10 monedas mas y quedan 0 monedas extra. La regularidad numérica es

<Monedas en los 4 lados> + <monedas extras> = 36

Si partimos de una distribución tal que en cada celda de esquina hay 4 monedas, en total el cuadrado contiene 24 monedas y por tanto, 24 + monedas extras = 36 implica que se dispone de 12 monedas extras. En este caso las condiciones iniciales son las que muestra la Figura 9 con 12 monedas extras.

Figura 9
Si se quiere practicar con la escena de Descartes con esta configuración podemos iniciar la escena, Figuras 1 y 8, reponer a 4 monedas las 2 esquinas con 3 monedas llevándolas de cada una de las celdas centrales que tienen 2 y llevando otras dos al grupo de monedas extras.
Figura 10

Podemos a partir de aquí formular una serie de preguntas que dejo para que el lector interesado conteste y se apoye en la escena, si lo estima conveniente, partiendo de un determinado esquema de inicio de la distribución de monedas por los 4 lados.

Se puede seguir trabajando en el supuesto de que la suma de los lados sea 10 y que esta suma se obtenga únicamente con 4 sumandos, que seguirán siendo 1, 2, 3 y 4 pudiéndose repetir alguno de ellos, como se ha visto en los ejemplos anteriores.

Este artículo puede servir para que se practique con alumnos y cada profesor haga las propuestas que le parezca de interés, siempre haciendo pensar matemáticamente. Queda por tanto abierta esta serie de preguntas.
Preguntas:

Contamos con un número de monedas distribuidas en los 4 lados, de tal manera que siempre haya 10 monedas por lado y aparte un determinado número de monedas extras. En cada lado las monedas se distribuyen en 4 grupos, dos grupos centrales y dos grupos de esquina. El número de monedas en cada grupo podrá ser 1, 2, 3 ó 4. Dos grupos cualesquiera puede tener el mismo número de monedas.

1. ¿Qué distribuciones de las monedas en los 4 lados posibilitan camuflar exactamente 10 monedas extras?.
2. ¿Qué distribuciones de las monedas posibilitan camuflar solamente 1 moneda extra?
3. Partiendo de las condiciones iniciales de la escena, cuyo equivalente numérico es la Figura 8, tratar de llegar al esquema siguiente utilizando la escena de Descartes

   Figura 11
   a) ¿Cuántas monedas extras se han ocultado en los lados del cuadrado?
   b) ¿Cuántas monedas en total se han extraído de las celdas de esquina?
   c) ¿Cuántas monedas se han extraído de cada celda de esquina?
4. ¿Qué distribución de las monedas en los 4 lados posibilitaría camuflar exactamente 12 monedas extra?

a) ¿Cuantas monedas tiene que haber de inicio en cada celda de esquina.
b) ¿Cuantas monedas tiene que haber en total en los 4 lados?